中考数学易错题专题训练-二次函数练习题附答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
【答案】（1）y=3
8
x2﹣
3
4
x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
9 10
（3）K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣
9 10
（t﹣1）2+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=3
4
x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K的坐标为（m，3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得
S△CBK=9
4
．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=
1
2
EK?m+
1
2
?EK?（4﹣m），把相关线段的
长度代入推知：﹣3
4
m2+3m=
9
4
．易求得K1（1，﹣
27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得4230
16430
a b
a b
--=
?
?
+-=
?
，
解得
3
8
3
4
a
b
?
=
??
?
?=-
??
，
所以该抛物线的解析式为：y=
3
8
x2﹣
3
4
x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在Rt△BOC中，BC=22
34
+=5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴HB
OC
BG
BC
=，即
Hb
35
t
=，
∴HQ=3
5
t．
∴S△PBQ=
1
2
PB?HQ=
1
2
（6﹣3t）?
3
5
t=﹣
9
10
t2+
9
5
t=﹣
9
10
（t﹣1）2+
9
10
．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S△PBQ最大=
9
10
．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
9
10
；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
40
3
k c c +=??
=-?， 解得3k 4c 3
?=???=-?，
∴直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．
∴设点K 的坐标为（m ，3
8
m 2﹣
3
4
m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，
3
4
m ﹣3）．
∴EK=
34m ﹣3﹣（38m 2﹣34
m ﹣3）=﹣3
8m 2+32m ．
当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =9
10
． ∴S △CBK =
94
． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK?m+1
2
?EK?（4﹣m ） =
1
2
×4?EK =2（﹣38
m 2+3
2
m ） =﹣
34m 2
+3m ． 即：﹣34
m 2+3m=94．
解得 m 1=1，m 2=3．
∴K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存
在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为
2
8
，此时点P的坐
标为（3
2
，
15
4
）．
【解析】
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得
10
930
b c
b c
-++=
?
?
-++=
?
，解得：
2
3
b
c
=
?
?
=
?
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），
∴点M的坐标为（1，6）；
当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
得
30
3
m n
n
+=
?
?
=
?
，解得：
1
3
m
n
=-
?
?
=
?
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S=1
2
PF?OB=﹣
3
2
t2+
9
2
t=﹣
3
2
（t﹣
3
2
）2+
27
8
；
②∵﹣3
2
＜0，
∴当t=3
2时，S取最大值，最大值为
27
8
．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴线段
=
∴P点到直线BC的距离的最大值为27
292
8
8
32
?
=，
此时点P的坐标为（
3
2
，
15
4
）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．
3．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c
与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．
（1）求点B，C的坐标；
（2）判断△CDB的形状并说明理由；
（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB
?为直角三角形；
(Ⅲ)
2
2
33
3(0)
22
193
3(3)
222
t t t
S
t t t
?
-+<≤
??
=?
?=-+<<
??
.
【解析】
【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段： ①当0＜t≤3
2
时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当
3
2＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】
解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2
1y x c =--+上，
∴()2
011c =---+，得4c =
∴抛物线解析式为：()2
14y x =--+，
令0x =，得3y =，∴()0,3C ； 令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B . (Ⅱ)CDB ?为直角三角形.理由如下： 由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4. 如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ， 则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.
过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ?中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ?中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ?中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.
∵222BC CD BD +=， ∴CDB ?为直角三角形.
(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，
∵()()3,0,0,3B C ，
∴303k b b +=??=?
，
解得1,3k b =-=，
∴3y x =-+，
直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，
∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ， ∴30
4
m n m n +=??
+=?，解得：2,6m n =-=，
∴26y x =-+.
连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ?? ???
. 在COB ?向右平移的过程中： (1)当3
02
t <≤
时，如答图2所示：
设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-. 设QE 与BD 的交点为F ，则：26
3y x y x t
=-+??
=-++?.
解得32x t y t =-??=?
，
∴()3,2F t t -.
111
222
QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ???=--=
?-?-?
()22
1113
3332
3
2222
t t t t t
=??---?=-+.
(2)当
3
3
2
t<<时，如答图3所示：
设PQ分别与BC BD
、交于点K、点J.
∵CQ t=，
∴KQ t=，3
PK PB t
==-.
直线BD解析式为26
y x
=-+，令x t
=，得62
y t
=-，
∴()
,62
J t t
-.
11
22
PBJ PBK
S S S PB PJ PB PK
??
=-=?-?
()()()2
11
3623
22
t t t
=----
2
19
3
22
t t
=-+.
综上所述，S与t的函数关系式为：
2
2
33
30
22
193
33
222
t t t
S
t t t
???
-+<≤
?
?
???
=?
??
?=-+<<
?
???
?
.
4．如图所示，已知平面直角坐标系xOy，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对
称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
【答案】(1)y=-22
4(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）
(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】
（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．
所以抛物线的表达式为：24y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，
所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，
所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．
5．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．
（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；
（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？
（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 30
7
;(3)见解析. 【解析】 【分析】
（1）如图1，根据S=S△ABC-S△APQ，代入可得S与t的关系式；
（2）设PM=x，则AM=2x，可得，计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得
AM=AO+OM，列方程可得t的值；
（3）存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．
【详解】
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=1
2
∠ABC=60°，AC⊥BD，
∴∠OAB=30°，
∵AB=20，
∴OB=10，
由题意得：AP=4t，
∴PQ=2t
，，
∴S=S△ABC﹣S△APQ，
=11
··
22
AC OB PQ AQ
-，
=11
102
22
t
????，
=﹣2（0＜t＜5）；（2）如图2，在Rt△APM中，AP=4t，∵点Q关于O的对称点为M，
∴OM=OQ，
设PM=x，则AM=2x，
∴
，
∴
∴
∵AM=AO+OM，
∴
，
t=30
7
；
答：当t为30
7
秒时，点P、M、N在一直线上；
（3）存在，
如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ， 过M 作MG ⊥PN 于G ，
∴ 11··22PN AP PN MG ， ∴MG=AP ，
易得△APH ≌△MGH ，
∴AH=HM=
3
t ， ∵AM=AO+OM ，
同理可知：OM=OQ=103﹣23t ，
3
t=103=103﹣23t ， t=
3011
． 答：当t 为
30
11
秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.
6．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）假；（2）223）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P
（－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】
分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到2
2y x =-，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
21
22
b b =
?，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：2
2y x =-，令y =0，得：x
=，∴ S
=1
22
?=12x x ；
（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半得到：2
1
22
b b =
?，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．
（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），
则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．
∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．
∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．
点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．
7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC 面积为3，求点P 的坐标； （3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存
在，（32-
，32）或（34-，9
4
），见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法，然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2））过P 点作PQ 垂直x 轴，交AC 于Q ，把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ，把PQ 作为两个三角形的底，通过点A ，C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积．
（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM 为y=-x ，若∠AOM=∠CBA ，则OM 为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M ． 【详解】
（1）把A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3）代入抛物线解析式y ＝ax 2+bx+c 得
93003a b c a b c c -+=??
++=??=?
， 解得123a b c =-??
=-??=?
，
所以抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2﹣2x+3．
（2）如解（2）图1，过P 点作PQ 平行y 轴，交AC 于Q 点，
∵A （﹣3，0），C （0，3）， ∴直线AC 解析式为y ＝x+3，
设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3．），则Q 点坐标为（x ，x+3）， ∴PQ ＝﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x 2﹣3x ． ∴S △PAC ＝1
PQ A 2
O ?， ∴
()
21
3332
x x --?=， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣2．
当x ＝﹣1时，P 点坐标为（﹣1，4）， 当x ＝﹣2时，P 点坐标为（﹣2，3），
综上所述：若△PAC 面积为3，点P 的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
（3）如解（3）图1，过D 点作DF 垂直x 轴于F 点，过A 点作AE 垂直BC 于E 点，
∵D 为抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的顶点， ∴D 点坐标为（﹣1，4）， 又∵A （﹣3，0），
∴直线AC 为y ＝2x+4，AF ＝2，DF ＝4，tan ∠PAB ＝2，
∵B （1，0），C （0，3）
∴tan ∠ABC ＝3，BC ＝10，sin ∠ABC
＝310
，直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3． ∵AC ＝4，
∴AE ＝AC?sin ∠ABC ＝310410?＝6105
，BE ＝210
5， ∴CE ＝
310
， ∴tan ∠ACB ＝
2AE
CE
=， ∴tan ∠ACB ＝tan ∠PAB ＝2， ∴∠ACB ＝∠PAB ，
∴使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有两种情况，如解（3）图2
Ⅰ．当∠AOM ＝∠CAB ＝45°时，△ABC ∽△OMA ， 即OM 为y ＝﹣x ，
设OM 与AD 的交点M （x ，y ）
依题意得：3y x
y x =-??=+?
，
解得3232x y ?=-????=??
，
即M 点为（32-
，3
2
）． Ⅱ．若∠AOM ＝∠CBA ，即OM ∥BC ， ∵直线BC 解析式为y ＝﹣3x+3．
∴直线OM 为y ＝﹣3x ，设直线OM 与AD 的交点M （x ，y ）．则
依题意得：33y x
y x =-??=+?
，
解得3494x y ?=-????=??
，
即M 点为（34-
，9
4
）， 综上所述：存在使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M ，其坐标为
（32-
，32）或（34-，9
4）． 【点睛】
本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2
y=ax bx a 0+≠。
（1）对于这样的抛物线： 当顶点坐标为（1，1）时，a= ；
当顶点坐标为（m ，m ），m≠0时，a 与m 之间的关系式是 ；
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线()y=kx k 0≠上，请用含k 的代数式表示b ；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y=x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1，B 2，B 3，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有一条经过点D n ，求所有满足条件的正方形边长。
【答案】（1）－1；1a=m -（2）2b b =k 4a 2a ??
-?- ???
（3）3，6，9 【解析】
解：（1）－1；1
a=m
-
。 （2）∵过原点的抛物线顶点2b b 2a 4a ??
-- ???
，在直线()y=kx k 0≠上，∴2b b =k 4a 2a ??-?- ???
。 ∵b≠0，∴b=2k -。
（3）由（2）知，顶点在直线y=x 上，横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且
n≤12）的抛物线为：()2
1y=x n n n -
-+，即21y=x 2x n
-+。 对于顶点在在直线y=x 上的一点A m （m ，m ）（m 为正整数，且m≤n ），依题意，作的正方形A m B m C m D m 边长为m ，点D m 坐标为（2 m ，m ）， 若点D m 在某一抛物线2
1y=x 2x n
-
+上，则 ()()2
1m=2m 22m n -
+，化简，得3m=n 4
。 ∵m ，n 为正整数，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。 ∴所有满足条件的正方形边长为3，6，9。
（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有2
b
=12a
{4ac b =14a --，即
2b =12a
{a=1b =14a
-?--。 当顶点坐标为（m ，m ），m≠0时，()2
2
b =m 2am 12a
{=m a=4a m b =m 4a
--?-?--。
（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标2b b 2a 4a ??
-- ???
，代入y=kx ，
化简即可用含k 的代数式表示b 。
由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标。
（3）将依题意，作的正方形A m B m C m D m 边长为m ，点D m 坐标为（2 m ，m ），将（2 m ，m ）代入抛物线2
1y=x 2x n
-
+求出m ，n 的关系，即可求解。
9．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．
【详解】
（1）由题意得，
3 2
2
a b
b
a
+-
?
?
?
-?
?
＝
＝
，
解得
1
4
a
b-
?
?
?
＝
＝
，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，
设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,
∴PF AF AE BE =，即244213x x x
--=-， 解得，x= ?1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5
∴点P 的坐标为（-1，-5），
又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（1
4
，0） ∴S △PAB=115
531524
??+= 【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
10．空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD 的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙AD 的长为10米．（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）按题意设出AD ，表示AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系． 【详解】
（1）设AD=x 米，则AB=1002
x
米 依题意得，
(100)
2
x x -＝450
二次函数易错题、重点题型汇总
二次函数易错题、重点题型汇总 一、选择题 1、若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为（ ） A 0．5 B 0．1 C —4．5 D —4．1 2、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋2x 与坐标轴的交点的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.6 -0. 2 0. 3 0.9 判断方程ax 2+bx+c-0.4=0（a ≠0,a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ） Ａ．3＜x ＜3.23 Ｂ．3.23＜x ＜3.24 Ｃ．3.24＜x ＜3.25 Ｄ．3.25＜x ＜3.26 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 5、把抛物线y=2x 2 －4x －5绕顶点旋转180o，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．y= －2x 2 －4x －5 B ．y=－2x 2+4x+5 C ．y=－2x 2+4x －9 D ．以上都不对 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a －b+c>0；③abc<0； ④2a+b=0．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、函数y=x 2 -2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>-
中考数学二次函数-经典压轴题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），
中考数学二次函数经典易错题解析
中考数学二次函数经典易错题解析 篇一：2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析 2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析 1． 如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按 1 照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y??x2?bx?c表示，且抛物线上的 617 点c到oB的水平距离为3m，到地面oA的距离为m。 2 （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面oA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双 向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果 灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？2．
已知如图1，在以o为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与 14 x轴交于A,B两点，与y轴交于点c，连接Ac，Ao＝2co，直线l 过点G（0，t）且平行于x轴，t＜1．（1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）①若D（4，m）为抛物线y＝x2＋bx＋c上一定点，点D到直线l的 距离记为d，当d＝Do时，求t的值； ②若为抛物线y＝x2＋bx＋c上一动点，点D到①中的直线l的距离与 14 14 oD的长是否恒相等，说明理由； （3）如图2，若E,F为上述抛物线上的两个动点，且EF＝8，线段EF的中点 为m，求点m纵坐标的最小值． 图1图2 3.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作Pc⊥x 轴于点D，交抛物线于点c．（1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段Pc的长
初三《二次函数》经典习题 汇编(易错题、难题)
二次函数习题讲解 一、二次函数的相关概念 1．若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为（ ） A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2 2．当或（）时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 。3．已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于 ________。 二、二次函数的顶点问题 1．若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围为________。 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为，则下列结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 三、二次函数的对称轴问题 1．已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 ________。 3．已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是（ ）A． B． C． D． 四、二次函数的图象共存问题 1．在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是 （ ）
A B C D 2．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系 内的图象大致为（ ）
A B C D 五、二次函数的图象综合问题 1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为。下列结论中，正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④。其中，正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知二次函数的图象如图所示，下列4个结论： ①；②；③；④；⑤（为不等于1的任意实数）。 其中正确的结论有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④。 其中正确的有________。 5．二次函数（是常数，且）图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示。对于下列说法：
初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)
《 二次函数 》经典习题汇编 模块一：二次函数的相关概念 1．（2014山东东营，9）若函数21(2)12 y mx m x m =++++的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ） A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－2 2．（2015江苏宿迁，16）当x m =或x n =（m n ≠）时，代数式223x x -+的值相等，则x m n =+时，代数 式223x x -+的值为 。 3．（2013江苏南通，18）已知22x m n =++和2x m n =+时，多项式2 46x x ++的值相等，且20m n -+≠，则当3(1)x m n =++时，多项式246x x ++的值等于________。 模块二：二次函数的顶点问题 1．（2015湖南益阳，8改编）若抛物线2()(1)y x m m =+++的顶点在第一象限，则m 的取值范围为________。 2．(2013吉林，6)如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为22()y x h k =--+，则下列结论正确的是（ ） A ．0h >，0k > B ．0h <，0k > C ．0h <，0k < D ．0h >，0k < 模块三：二次函数的对称轴问题 1．（2014福建三明，10）已知二次函数2 2y x bx c =-++，当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ） A ．1b ≥- B ．1b ≤- C ．1b ≥ D ．1b ≤ 2．（2013贵州贵阳，15）已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________。 3．（2015江苏常州，7）已知二次函数2(1)1y x m x =+-+，当1x >时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ） A ．1m =- B ．3m = C ．1m ≤- D ．1m ≥- 模块四：二次函数的图象共存问题 1．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ）
九年级数学 二次函数易错题(Word版 含答案)
九年级数学 二次函数易错题（Word 版 含答案） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线()2 1y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的负半轴交于点C ． ()1求点B 的坐标． ()2若ABC 的面积为6． ①求这条抛物线相应的函数解析式． ②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（1，0）；（2）①2 23y x x =+-；②存在，点P 的坐标为 1133313++??或53715337-+-?? ． 【解析】 【分析】 （1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标； （2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到1 2 (1?a)?(?a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式； ②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可． 【详解】 解：()1当0y =时，()2 10,x a x a -++= 解得121,.x x a == 点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C
0,a ∴< ∴点B 坐标为()1,0． ()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a < 1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6, ()()1 16,2a a ∴ --?= 123,4a a ∴=-=． 0,a < 3a ∴=- 22 3.y x x =+- ②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-， ∴设直线BC 的解析式为3,y kx =- 则03,k =- 3k ∴=． ,POB CBO ∠=∠ ∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC ∴直线OP 的函数解析式3,y x =为 则2 3, 23,y x y x x =?? =+-? 1112x y ?=??∴??=??(舍去) ，2212x y ?+=????=??∴点的P 坐标为1322??+ ? ??? ； 当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称， 则直线'OP 的函数解析式为3,y x =- 则2 3,23,y x y x x =-??=+-? 1152x y ?-=??∴??=??舍去) ，2252x y ?-=????=??
《二次函数》易错题试卷及标准标准答案
浙教版数学九年级上《二次函数》单元测试卷 （时间：60分钟 分值：100分 出卷人：历山中学 景祝君 班级：_________ 姓名：_________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）2 2x y -=；（2）2 x x y -=；（3）3)1(22 +-=x y ； （4）332 --=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2 （0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若3 2 )2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B. 5 C. — 5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32 -m =2，且2-m 0≠， 故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32 -m =2，但会忽略2-m 0≠， 说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线2 3x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32 -+=x y B. 2)3(32 ++=x y C. 2)3(32 --=x y D. 2)3(32 +-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合，
二次函数易错题汇编附答案
二次函数易错题汇编附答案 一、选择题 1．若二次函数y ＝x 2﹣2x+2在自变量x 满足m≤x≤m+1时的最小值为6，则m 的值为（ ） A ．5,5,15,12-+- B ．5,51-+ C ．1 D ．5,15-- 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1，分m ＞1或m+1＜1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m 的方程，可求得m 的值． 【详解】 ∵y ＝x 2﹣2x+2＝（x ﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1， 当m ＞1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝m 时，y 有最小值， ∴m 2﹣2m+2＝6，解得m ＝1+5或m ＝1﹣5（舍去）， 当m+1＜1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝m+1时，y 有最小值， ∴（m+1）2﹣2（m+1）+2＝6，解得m ＝5（舍去）或m ＝﹣5， 综上可知m 的值为1+5或﹣5． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，用m 表示出其最小值是解题的关键． 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc ＜0；②2a +b ＝0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定解答．
初中数学二次函数易错题汇编及答案
初中数学二次函数易错题汇编及答案 一、选择题 1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确； 根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b a =3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论. 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】
人教备战中考数学易错题专题复习-二次函数练习题及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加x 元．求： （1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）y=60-10 x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房 间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元． 【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10； （2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量； （3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10 x ），利用配方法化简可求最大值． 试题解析：解：（1）由题意得： y =60﹣ 10 x （2）p =（200+x ）（60﹣ 10x ）=﹣ 2 110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10 x ） =﹣2 110 x +42x +10800 =﹣ 1 10 （x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值． 此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元． 点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
二次函数易错题汇编含答案
二次函数易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①； 0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( ) A ．①② B ．①②③ C ． ①③④ D ． ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以 0a b c -+>；由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】 ①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =- >得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴1 23 b x a =- =，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为 23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。 2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
(易错题精选)初中数学二次函数知识点总复习
（易错题精选）初中数学二次函数知识点总复习 一、选择题 1．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( ) ①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ； ②c ＝a+3； ③a+b+c ＜0； ④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确； 由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a =-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确； 由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确． 故选C ． 考点：二次函数的图像与性质 2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
二次函数中考真题汇编[解析版]
二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式： （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 y x2x3 =-++；3 y x =-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论； （2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论； （3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】 解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 930 10 b c b c -++= ? ? --+= ? ， ∴ 2 3 b c = ? ? = ? ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标是（0，3）， 把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1 1 30 3 k b b += ? ? = ? ， ∴ 1 1 3 k b =- ? ? = ? ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
徐州数学 二次函数专题练习(解析版)
徐州数学 二次函数专题练习（解析版） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴． （2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式． （3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2x =；（2）2 122 y x x =- + ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2? ?- ?? ? 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的对称轴公式计算即可． （2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a a -＝2． （2）如图1中，
对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4， ∴A(4，0)， ∵四边形OMAM′是正方形， ∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2， ∴M((2，﹣2)，M′(2，2) 把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax， 可得﹣2＝4a﹣8a， ∴a＝1 2 ， ∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1 2(x﹣2)2+2＝﹣ 1 2 x2+2x． （3）如图3中，由题意OD＝2． 当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1 2 m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣ 1 2 (m﹣ 2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1 2 (m+2)2+2(m+2)]， ∵PQ∥OD， ∴1 2m2﹣2m＝﹣ 1 2 (m﹣2)2+2(m﹣2)或 1 2 m2﹣2m＝﹣ 1 2 (m+2)2+2(m+2)，
二次函数重点知识易错题精选
二次函数重点知识易错题精选 一、选择题（每小题6分，共36分） 1、 若一 元 二次方程02 =++c bx ax 有两个实数根，则抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴（ ） A. 有两个交点 B.只有一个交点 C. 至少有一个交点 D.至多有一个交点 2、下列表格给出的是二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的几组对应值，那么方程 02=++c bx ax 的一个近似解可以是（ ） A ．3.25 B ．3.35 C ．3.45 D ．3.55 3、如图所示，在Rt △ABO 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得的阴影部分面积为S ，则S 与t 的函数关系图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 4、关于x 的一元二次方程02 =++q px x 的两根互为倒数，则p ，q 应满足的条件为（ ） 1.=q A 1.=p B 041.2 >-=p q C 且 041.2 ≥-=p q D 且 5、已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） 0.>abc A 0.=+b a B 02.<+c a C b c a D 24.>+ 6、若二次函数1)(2--=m x y ，当1≤x ，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） 1.=m A 1.>m B 1.≥m C D.1≤m 一、填空题（每小题6分，共24分） 7、二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的部分图像如图所示，由图像 可知不等式02 >++c bx ax 的解是 . x 3.3 3.4 3.5 3.6 y -0.06 -0.02 0.03 0.09
九年级 二次函数综合测试卷(word含答案)
九年级二次函数综合测试卷（word含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值； （3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值 为4；（3）Q的坐标为（5 3 ，﹣ 28 9 ）或（﹣ 11 3 ， 92 9 ）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），进而根据S ＝S△PHB+S△PHC＝1 2 PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解； （3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解． 【详解】 解：（1）对于直线y＝1 2 x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2， 令y＝0，即1 2 x﹣2＝0，解得：x＝4， 故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4）， 将点C的坐标代入上式并解得：a＝1 2 ，
故抛物线的表达式为y＝ 1 2 x2 ﹣ 3 2 x﹣2①； （2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H， 设点P（x， 1 2 x2﹣ 3 2 x﹣2），则点H（x， 1 2 x﹣2）， S＝S△PHB+S△PHC＝ 1 2 PH?（x B﹣x C）＝ 1 2 ×4×（ 1 2 x﹣2﹣ 1 2 x2+ 3 2 x+2）＝﹣x2+4x， ∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4； （3）①当点Q在BC下方时，如图2， 延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形， 则点C是RQ的中点， 在△BOC中，tan∠OBC＝ OC OB ＝ 1 2 ＝tan∠ROC＝ RC BC ， 则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22 (2) x x 5＝BQ， 在△QRB中，S△RQB＝ 1 2 ×QR?BC＝ 1 2 BR?QK，即 1 2 2x?2x＝ 1 2 5， 解得：KQ 5 ∴sin∠RBQ＝ KQ BQ 5 5x ＝ 4 5 ，则tanRBH＝ 4 3 ，
二次函数易错题以及分析
一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 3、把抛物线23x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322--=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 5、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000><
二次函数易错题(精华)
(时间: 、选择题(每小题4分，共40分) 1 .下列各式中，y 是x 的二次函数的是 2 A . y = ax + bx + c B . 2?下列关于二次函数 其中正确的有( ) A . 1个 2 抛物线y = (x + 2) A .先向左平移 B .先向左平移 C .先向右平移 D .先向右平移 3 . 4. 周测二次函数 45分钟满分：120分)姓名: ( ) 2 2 2 x — y + 2= 0 C . y = x -(x-1) 班级: y 2— 4x = 3 二、填空题(每小题4分，共24分) 11. 若抛物线y = a(x — 1)2+ k 上(3,5),则点A 关于对称轴对称的点 B 的坐标 ___________ . 12. ___________________________________________________________________________ 关于x 的二次函数2x-1与x 轴有公共点，则实数k 的取值范围： _____________________________________________ . 14. _____________ 当m = 时，二次函数y = mx 2+ 6x+5m 有最小值为4. 1 1 15. 如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y= ?x 2经过平移得到抛物线 y= 2 x 2-2x 与两段抛物线所围成的阴影 y =— 2y 2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是 y 轴；④顶点(0, 0). 在平面直角坐标系中，抛物线 A . B . 2个 C . 3个 D . 4个 —3可以由抛物线y = x 2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) 2个单位，再向上平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向下平移 2个单位，再向上平移 y = x — 1 3个单位 3个单位 3个单位 3个单位 与坐标轴的交点的个数是 C . 1 3 B . 2 y = ~x 2 + 1与y = |x 2 + 2的图象的不同之处是( ) 次函数y = (x 其图象构成一 0, a = 1, a = 2 上，这条直线 (共56分) —2a)2 + (a — 1)(a 为常 个“抛物线系”.如图分时二次函数的图象.它们 析 式 是 函数 5. ) 7. 8. 则下列判断中正确的是( A .抛物线开口向上 C .当 x = 4 时，y >0 已知二次函数 y = -3(x+1)2+ k 的图象上有 A(0 , y 1), B(1 ,汕,C(2, y 3)三个点，则y 1, y 2, y 3的大小关系是( A . y 1>y 2>y 3 B . y 2>y 1>y 3 C . y 3>y 1>y 2 D . y 3>y 2>y 1 同一坐标系中， B .抛物线与y 轴交于负半轴 D .方程ax 2 + bx + c = 0的正根在3与4之间 17. (12分)二次函数y = ax 2 + bx + c(a ^ 0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1) 方程ax 2 + bx + c = 0的两个根为 _____________ ； (2) __________________________________ 不等式ax 2 + bx + c>0的解集为 ； (3) y 随x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为 ； ⑷若方程ax 2 + bx + c = k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 _________ 18. (10分)如图，一次函数 y 1= kx + b 与二次函数y ?= ax 2的图象交于 A 、B 两点. (1)利用图中条件，求两个函数的解析式； ⑵根据图象写出使y 1>y 2的x 的取值范围. 9. y i . 佃.(10分)已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2 , 0)、( X 1 , 0), X 1 V 2，与y 轴的正半轴的交点在(0, 2)的下方.试判断：①4a-2b+c :②a-b ； 2a+c ;④2a-b+1的符号. 20. (12 分)如图，L:y=- 1 2 (x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x 轴从左到右的交点为 B , 线段OA 的中点M 作 MP 丄x 轴，交双曲线 y=k/x(k>0 , x>0)于点 P ，且 OA- MP=12。 (2, 4),且过另一点(0, — 4),则这个二次函数的解析式为 ( ) B . y =— 2(x — 2)2+ 4 D . y = 2(x — 2)2 — 4 一个二次函数的图象的顶点坐标是 2 A . y =— 2(x + 2) + 4 2 C . y = 2(x + 2) — 4 10 .如图是抛物线 y i = ax 2 + bx + c(a ^ 0)图象的一部分.抛物线的顶点坐标是 A(1 , 3)，与x 轴的一个交点是 B(4 , 0).直线y 2= mx + n(m 丰0)与抛物线交于 A 、B 两点.下列结论：① 2a + b ③方程ax 2 + bx + c = 3有两个相等的实数根； ④抛物线与x 轴的另一个交点是(— 1 最新人教版中考数学易错题汇总 1．如图，能判定 AB ∥CD 的条件是（ ） A ．∠1=∠2 B ．∠1+∠2= 180° C ．∠3=∠4 D ．∠3+∠1=180° 2．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．（a+3）（a-3）=a 2-9； B ．x 2+x-5=（x-2）（x+3）+1； C ．a 2b+ab 2=ab （a+b ） D ．x 2+1=x （x+x 1 ） 3．用科学记数方法表示0000907.0，得（ ） A ．41007.9-? B ．51007.9-? C ．6107.90-? D ．7107.90-? 4．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，则他做对的题目是 （ ） A ．222)(b a b a -=- B ．6234)2(a a =- C ．5232a a a =+ D ．1)1(--=--a a 5．方程x 3＝22 -x 的解的情况是（ ） A ．2=x B ．6=x C ．6-=x D ．无解 6．已知235x x ++的值为 3，则代数式2391x x +-的值为（ ） A ．-9 B ．-7 C ．0 D ．3 7．下列事件中，届于不确定事件的是（ ） A ．2008年奥运会在北京举行 B ．太阳从西边升起 C ．在1，2，3，4中任取一个教比 5大 D ．打开数学书就翻到第10页 8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．5cm,3cm,1cm B ．6cm,4cm,2cm C ． 8cm, 5cm, 3cm D ． 9cm,6cm,4cm 9．在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（ ） 初中数学二次函数易错题汇编及解析 一、选择题 1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表： 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92 t ；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确， ∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B ． 2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为 2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 故答案选：D ． 【点睛】 本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号． 3．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥ B ．0m ≤ C ．01m ≤≤ D ．m 1≥或0m ≤ 【答案】C 【解析】 【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知. 【详解】 解：如图1所示，当t 等于0时， ∵2 (1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-， ∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ，最新人教版中考数学易错题汇总
初中数学二次函数易错题汇编及解析