平面解析几何初步复习总结

教学内容：平面解析几何初步复习

教学目的

1.复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用

2.掌握典型题型及其处理方法教学重点、难点

平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法知识分析

（一）平面直角坐标系中的基本公式主要掌握数轴上点的坐标公式、数轴上两点的距离公式、平面上两点的距离公式、线段中点的坐标公式。这些公式是进一步学习直线、圆和其他曲线

的基础，要理解它们之间的内在联系，既能运用这些公式进行简单的计算，又能运用这些公式解决较为复杂的数学问题，这就需要对问题进行适当的转化。

通过由数轴上的基本公式到坐标系中的基本公式的研究，逐步掌握由简单到复杂的认识方法；通过点与坐标的对应关系，感受形与数的统一，领会数形结合的思想，培养数形转化的意识和能力；由数轴上和坐标系中的基本公式的特点，感受数学世界既丰富多彩又和谐统一，领略数学的对称之美、简洁之美、和谐之美。

（二）直线的方程

1. 直线的方程和方程的直线

若直线l的方程记为f（x, y） 0，则需满足两条：

1）直线l 上的每一个点，其坐标都是方程 f （x, y） 0的解；

（2）坐标满足方程 f （x, y） 0的点都在直线l 上。

2. 直线的方程

（1）直线方程的几种特殊形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方程的特殊形式。在特殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推出。

以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时便能很容易的写出其直线方程，所以在解题时要恰当地选用直线方程的形式。

一般地，已知一点，通常选择点斜式；已知斜率，选择点斜式或斜截式；已知截距或两

点，选择截距式或两点式。

与直线的截距式有关的问题：

①与坐标轴围成的三角形的周长|a| |b| a b；

|ab|

②直线与坐标轴围成的三角形的面积为2 ；

③直线在两坐标轴上的截距相等，则k＝－1，或直线过原点。

（2）直线方程的一般形式和直线方程的特殊形式比较，直线方程的一般形式适用于任何位置的直线，特别地，当

B＝0，且A ≠0时，可化为x＝－A ，它是一条与x轴垂直的直线；当A＝0且B≠0时，C

可化为y＝－B ，它是一条与y 轴垂直的直线。

（3）直线在坐标轴上的截距直线的斜截式方程和截距式方程中提到的“截距”不是“距离”，“截距”可取一切实数，而“距离”是一个非负数。如直线y＝3x－6在y 轴上的截距是－6，在x 轴上的截距

是2。

因此，题目的条件中若出现截距相等这一条件时，应分为①零等；②非零等这两种情形进行讨论；题目的条件中若是出现截距的绝对值相等这一条件，应分为①零等；②同号等；③异号等这三种情形进行讨论，以防丢根。

3.两条直线的位置关系对于坐标平面内的任意两条直线，它们的位置关系从特殊到一般依次是重合，平行和相交，其中相交里面有一种特殊情况是垂直。因此，教材里面首先研究了两条直线相交，进而研究两条直线的平行和垂直，遵循了由一般到特殊的原则。

两条直线的平行和垂直，作为两条直线之间的特殊关系，对于研究其他曲线的性质，有着非常重要的作用。因此，两条直线的平行和垂直的条件要熟练掌握，并充分认识到它的地位和作用。

4.点到直线的距离解析几何里所研究的曲线实际上就是点按照某种规律运动形成的轨迹，研究点的运动规律，往往要以已知的点或直线作为参照，研究动点相对于这些已知点（定点）或直线（定直线）相对位置关系。点到直线的距离便是重要的参考量之一，在解析几何中处于重要位置起着不可替代的作用。熟练掌握这个知识点有利于提高对今后所学有关曲线知识的理解深度。

5.圆的方程圆的标准方程和一般方程中都有三个独立的参数，因此，要确定一个圆必须具备

三个独

立的条件，确定这三个参数的方法一般要用待定系数法。

由于圆是对称优美的图形，具有丰富的几何性质，因此，充分利用圆的几何性质可以找到更为简洁优美的解题方法。

直线与圆的位置关系问题在初中几何的学习中已经得出了结论，现在就是要把这些几何形式的结论转化为代数方程的形式。但是，在解决直线与圆的位置关系的问题的时候，还要充分考虑圆的几何性质，以便使问题获得更快、更好的解决。同样，在解决有关圆与圆的位置关系的问题时，也遵循这个基本思想。

6. 空间直角坐标系为了沟通空间图形与数的关系的研究，我们需要建立空间的点与有序数组

之间的关系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。用坐标来刻画空间中点的位置，需要建立起较强的空间观念和较强的抽象思维能力，这正是学习空间坐标系的重要目的之所在。在学习和应用空间直角坐标系的过程中，要注意与平面直角坐标系进行类比，体会二者之间的联系与区别。这对于这两部分的学习和掌握都有着积极的作用。

7. 基本思想方法（1）坐标法

用代数的语言描述几何要素及其关系，通过解决代数问这种处理问题的方法叫做坐标法（又叫做解析法）。这

通过这种方法，可以把点与坐标，曲线和方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合和统

2）数形结合的思想方法

解析几何就是用代数方法研究几何问题的一门数学学科。因此，解析几何本身就内在的包含着把数量关系和几何图形结合起来的方法，即数形结合的思想方法。在解决解析几何问题的过程中，一定要注意画好图形，通过图形使各个量之间的关系表达的更清晰、更形象、更具体，使问题的解决更容易。

（3）函数与方程的思想解析几何问题与函数方程有着密切的关系。例如，一次函数的图像都是直线，一般的直线方程（垂直于 x 轴或 y 轴的直线除外）都可以写成一次函数的形式。

另外，在解决解析几何问题的过程中，经常需要解二元二次方程组，用到方程的根与系数的关系。解析几何的最值问题，经常可以通过研究函数的最值而获得解决。

（ 4）分类讨论的思想方法解析几何本身的学科特点——用代数方法解决几何问题——决定了解析几何的问题往往具有一定的综合性和复杂性，例如直线方程的一些常用的形式尽管比较好用，但又不能表示所有的直线，而能表示所有直线的方程形式——一般式方程——又不太好用。

因此，经常

会涉及到直线斜率存在与否、直线与两坐标轴截距的正负、是否为 0 等的讨论。

几何问题可以转化为代数问题，题达到等价地解决几何问题的目的。种基本思想贯穿平面解析几何的始

终，

【典型例题】

例 1. 如图所示，已知两条直线 l 1： x － 3y ＋ 12＝ 0， l 2： 3x ＋ y － 4＝ 0，过定点 P (－ 1，2) 作一条直线 l ，分别与直线 l 1、l 2 交于 M 、 N 两点，若点 P 恰好是 MN 的中点，求直线 l 的方程。

∴所求直线 l 的方程为

x 2y 3 0

。

解法三求 M 、N 中的一点，运用“两点确定一条直线”求 l 的方程。如图所示，

解析：解法

设所求直线 l 的方程为

y k(x 1) 2

， y k(x 1) 2 由

x 3y 12 0

得交点 M 的

横坐标为

3k 6 1 3k ， y k(x 1) 2

由

3x y 4 0

得交点 N 的横坐标为

2k 3 k ，

∵点 P 恰好是 MN 的中点，

3k 6 2 k 2 k ∴ 1 3k 3 k ，解得

2。

∴所求直线 l 的方程为

x 2y 3 0

。

解法二以 x 确定斜率 k ，如图所示，

设

M( 1 x ，2 y)，则 N( 1 x ，2 y)

( 1 x) 3(2 y) 12 0 3( 1 x) (2 y) 4 0 x 3 y 5 0

3 x y 5 0 ，∴ 2 x

4 y 0 k

1 2，

设M(x

，y)，N( 2 x，4 y)

∴

x 3y 12 0

∴3( 2 x) (4 y) 4 0

x 3y 12 0

即3x y 6 0

解得y 3，即M(－3，3)

3 2

∴直线MN 的斜率为3 1

∴所求直线l 的方程为x 2y 3 0。

点评：解法一、解法二都是求斜率k，显然解法二中引入中点坐标的增量△x、△ y，建立关于△ x，△ y，k 的三个方程构成的方程组，消去△ x、△ y，很快就求出了k，△ x、△ y 在此扮演了参数的角色，可以看成是解法三的演变。

不同的解题方法就是对同一个题目的不同角度的理解，通过对同一个题目的多种解法的研究，不仅有利于提高解题能力，也有利于提高对数学问题和数学概念、思想的理解深度。从而提高数学素质。

例2. 圆与y 轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为 2 7，求此

圆的方程。

解析：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x 3y 0上，故设

2 2 2

圆方程为(x 3b)

2 (y b) 2 9b2

又因为直线y x截圆得弦长为2 7

(|3b b|

)

( 7)

则有2

解得b＝± 1。故所求圆方程为

2 2 2 2

(x 3)2 (y 1)2 9或(x 3)2 (y 1)2 9。

点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点： (1)确定圆方程首先明确标准方程还是一般方程。

(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得 a , b , r 或D , E , F。

(3)待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的数。

例3. 已知圆C：

(x 1) (y 2) 25，直线l：(2m 1)x (m 1)y 7m 4＝0 m R )。

（1）证明：无论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；

（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程。

解析：（1）直线l 的方程化为：（x y 4） m（2x y 7） 0。

因此，直线l 过两条直线x y 4 0和2x y 7 0的交点，联立这两条直线的方

程中解得交点为A（3，1），即直线l 恒过定点A（3，1）。

又因|AC|2（3 1）2（1 2）2 5 25

，

故点A（3，1）在圆C的内部，直线l与圆C恒交于两点；

1 k AC

（2）圆心为C（1，2），当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，有l⊥AC ，由 2 可得k1 2，因此直线l 的方程为

y 1 2（x 3），即2x y 5 0。

点评：本题（1）的常规解法是联立直线与圆的方程，证明方程组一定有解，或证明圆心到直线的距离小于圆的半径；（2）的常规解法是联立方程运用弦长公式讨论何时取得最小值。这些做法的过程都非常复杂。因此，在解直线与圆的位置关系的问题时一定要充分利用圆的几何性质，以便尽快找到简洁的解法，使问题的解决事半功倍。

例4. 自点A （－3,3 ）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y ＋7＝0 相切，求光线l 所在直线的方程。

2 2 2 2

解析：圆x y 4x 4y 7 0的方程可化为

（x 2）（y 2） 1，

由光学原理可知，圆关于x轴的对称圆必与l 相切，

对称圆方程为（x 2）（y 2） 1

设l 的斜率为k（k 必然存在）。

则l 的方程y 3 k（x 3），

即kx y 3k 3 0

|2k 2 3k 3|

由于l 与圆相切，故k 1

k 3

或k

解得4 3

故所求直线l 的方程为3x 4y 3 0或4x 3y 3 0。

点评：求入射光线的方程可从反射光线的对称入手；反之，将入射光线上的点通过反射面对称后有助于求反射光线的方程。单纯从求反射线（入射线）角度看也可利用入射角等于

反射角的方法，确定反射线（入射线）的斜率。由此可以看出确定直线的方程，要充分挖掘

所求直线已具备的几何（物理）特性，从而转化到斜率或点上去。

例5. 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2 ：（a－1）x ＋y＋b＝0，求满足下列条件的a , b 的值。

（1）l1⊥ l2，且l1 过点（－3，－1）；

（2）l1 ∥ l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等。

解析：（1）由已知可得l2 的斜率必存在，

∴k2

1 a

若k2

0，则1 a 0， a 1

∵ l1⊥l2 ，∴直线l1的斜率k1 必不存在，即b＝0

又∵ l1过（－3，－1）

∴3a b 4 0

，即b 3a 4 （不合题意）。

∴此种情况不存在，即k2≠ 0

若k2≠0，即k1、k2 都存在，

k 21 a

，

1，

1⊥

∵ b ，

k1· k2 1，即（1 a） 1

∴ b ①

又∵ l1过点（－3，－1），

∴ 3a b 4 0 ②

由①②联立，解得a＝2，b＝2。

（2）∵ l2 的斜率也存在，l1∥l2

∴直线l1 的斜率也存在，

k1 k2 ，即 1 a

∴ b ③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等且l1∥l2 ，

∴l1、l2在y 轴上的截距互为相反数。

2 a 2 a b 2

，或

b 2

∴a 、b 的值为 2和－2或 3和 2。

点评：当所求直线的方程中存在字母系数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，对于（ 1），若用 l 1⊥l 2 A 1A 2＋B 1B 2=0 可不用分类讨论。

例 6. 已知圆 C ：（x －1）2

＋（y －2）2

＝2，P 点坐标为（2，－ 1），过点 P 作圆 C 的切线，切点为 A 、B 。

1）求直线 PA 、PB 的方程； 2）求过 P 点的圆的切线长； 3）求直线 AB 的方程。

解析：（1）如图所示，设过 P 点的圆的切线方程为

y 1 k （x 2）

，

即

kx y 2k 1 0

∵圆心( 1， 2)到直线的距离为 2

。 | k 3| 2

即

1 k 2

∴ k

6k 7 0

∴

k 7 或k 1

∴所求的切线方程为 y 1 7(x 2)或 y 1 (x 2) ，即 7x y 15 0或 x y 1

0 ；

由③④联立解得

2）在Rt△ PCA 中，

|PA|2 |PC|2 |CA|2 8

∴过P点的圆C 的切线长为2 2；

7x y 15 0

，12 9

(3)由(x 1) (y 2) 2 得A(

5 5

) x y 1 0

由(x 1) (y 2) 2得B( 0，1)

∴直线AB 的方程是x 3y 3 0。

点评：①过圆外一点作圆的切线必有两条，在求圆的切线方程时，有时会遇到切线斜率不存在的情况，如过圆x2＋y2=4 外一点（2,3）作圆的切线，切线方程为5x－12y＋26=0 ，此时要注意斜率不存在的切线不要漏掉。

②本例（3）中直线AB 的方程是通过求切点A、B 的坐标写出来的。事实上，过圆（x －a）2＋（y－b）2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的切线，经过两切点的直线方程为（x0－

a）（x－a）＋（y0－b）（y －b）=r2。其证明思路有三：

思路一：设切点A（x 1,y1）,B（x 2,y2），P点坐标满足切线PA、PB 的方程，从而得出过A、B 两点的直线方程。

思路二：直线AB 是以PC（C 是已知圆的圆心）为直径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。

思路三：直线AB 是以P为圆心，以PA 为半径的圆与已知圆的公共弦所在的直线。它的形式与P 点在圆上时，过P 点的切线方程形式完全相同，它可以作为一个公式，在解有关的选择题、填空题时直接使用。

模拟试题】

、选择题(每小题5 分，共60 分)

1. 经过点A (3，－3)，圆心在B(8，－3)的圆的方程为( )

(x 8) 2(y 3) 225

(x 8) 2(y 3)225

(x 8) 2(y 3) 225

2 2

2. 圆(x 1)2 y2 1的圆心到直线 3 x 的距离是( )

A.2

B. 3

C. 1

D. 3

B ｛（ x ，y ）|4x ay 16 0，x ，y R ｝，若 A B ，则 a 的值为（

）

A. 4

B. － 2

C . 4 或－2 D. 2 或－ 4

4. 如果方程 x

y Dx Ey F

（

2 E 2

4F 0 ）所表示的曲线关于 y x

对称，则必有（

）

A. D ＝E

B. D ＝F

C E ＝ F D.

D ＝

E ＝F

5. 已知两条直线 l

：

mx y 2 0

和 l

：

（m 2）x 3y 4 0

与坐标轴围成的四边

形有外接圆，则实数 m 的值是（）

A. 1 或－ 3

B. －1 或 3

C. 2 或 2

D. 2 或－ 2

6. 过点（ 2，1）作直线 l ，使 A （1，1），B （3，5）两点到 l 的距离相等，则直线 l 的方程是（）

A. 2x y 3 0

B. x 2

2x y 3 0

D. 以上都不对

y x

2 2

7. 直线 3 绕原点按逆时针方向旋转

30°后所得直线与圆

（x 2） y

的位

置关系是（）

A. 直线过圆心

B. 直线与圆相交，但不过圆心

C. 直线与圆相切

D. 直线与圆无公共点

8. 若直线 l 与直线

x 3y 10 0

交于 M 点，与直线

2x y 8 0

交于 N 点，MN 的

中点为 P （0， 1），则直线 l 的方程

是（

）

x 4y 4 0 B.

4x y 4 0

C. x 4y 4 0

x 4y 4 0

圆

x 2 y 2 1上的点到直线 3x 4y 25 0 的距离的最小值是（

）

A. 6

B. 4

C. 5

D. 1

3. 设集合

A ｛（ x ，

y3 y)| y x 13

2，

，

y R}

，

10. 过原点的直线与圆

x2 y2 4x 3 0

相切，若切点在第三象限，则该直线方程是

11. 若直线 y x m

和曲线

9 x

有两个不同的交点，

3 2 m 3 2 B. 0 m 3 2

C. 3 m 3 2

D. 3 m 3 2

12. 若直线

Ax By C 0

（A ·B ≠0）和圆

x y 1

相切，则以 |A|， |B|，|C|为三边长的三角形一定

是（）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 任意三角形

二、填空题（每小题 4 分，共 16分）

13. 在空间直角坐标系中，已知点 A （1，－2，1），B （2，2，2），点 P 在 z 轴上，且 |PA|＝|PB|，则 P 点的坐标为 ____________ 。

14. 如果直线与坐标轴围成的三角形面积为 3，且在 x 轴和 y 轴上的截距之和为 5，那么

这样的直线共有 ____________ 条。

15. 已知两条直线

：

1x b

y 1 0

与 l

：

2x b 2y 1 0的交点为（ 2， 3），则

过点 P 1（a 1，b 1），P 2（a 2，b 2）的直线方程是 ____。

16. __________________________________________________________ 直线 y kx 1与圆 x y m

恒有公共点，则 m 的取值范围是 __________________________________ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分） 17. （本题满分 12 分）

已知正方形的中心为直线

x y 1 0

和

2x y 2 0

的交点，正方形一边所在直线

方程为

x 3y 2 0

，求其他三边方程。

y 3x

3 yx 3

则 m 的取值范围是（

18.（本题满分12 分）

光线从A（－3，4）点射出，到x 轴上的B点后，被x轴反射到y 轴上的C点，又被y轴反射；这时反射线恰好过D（－1，6）点，求BC 所在直线的方程。

19.（本题满分12 分）

已知圆x y x 6y m 0与直线x 2y 3 0相交于P、Q两点，O为原点，若

OP⊥OQ，求实数m 的值。

20.（本题满分12 分）

一长为3m，宽为2m 缺一角A 的长方形木块，如图所示，EF 是直线段。木工师傅要在BC 的中点M 处作EF 延长线的垂线（直角曲尺长度不够），应如何画线？

21.（本题满分13 分）

已知圆C 的圆心在直线l1：2x y 1 0 上，与直线3x 4y 9 0相切，且截直线l2：4x 3y 3 0所得的弦长为2，求圆C 的方程。

22.（本题满分13 分）

已知圆C：x y 2x 4y 3 0 （1）若圆C的切线在x 轴和y轴上截距相等，求切线的方程。

（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M 为切点，O为坐标原点，且有|PM | |PO|，求使|PM|最小的点P 的坐标。

试题答案】

、选择题

1. B

2. A 6. C 7. C 11. D

12. B

二、填空题

13. ( 0，0 ，3）

14. 4

15.

2x 3y 1 0

16. m 1

三、解答题

xy10

17. 解：由 2x y 2 0

∴中心坐标为（－ 1，

0）

设正方形相邻两边方程

3. C

4. A

5. A 8. C 9. B

10.

x1 得

x 3y m 0和 3x y n 0

∵正方形中心到各边距离相等，

| 1 m| 3 和 | 3 n| ∴ 10 10 10

∴ m ＝ 4 或 m ＝－ 2 和 n ＝ 6

或 n ＝ 0 ∴其他三边方程为：

x 3y 4 0， 3x y 0， 3x y 6

18. 解法一：如下图所示，依题意， B 点在原点 O 左侧，设坐标为（ a ，

于反射角可知

4 0 4 又kAB

3 a 3 a ，

3 10

0），由入射角等

∴BC 的方程为

y 0

3 a

(x a)

即

4 x (3 a) y 4a 0

又 k

BC k

CD ，

4 18 10a ∴ 3 a 3 a

得

5x 2 y 7 0

即为所求的方程。

解法二：如下图所示，作点 A 关于 x 轴的对称点 A'（－ 3，－ 4），点 D 关于 y 轴的对称点 D'（ 1，6），由光学原理和平面几何知识 A' 、B 、C 、D'四点共线。

∴直线 A'D' 的方程为

即

5x 2 y 7 0

故直线 BC 的方程为

5x 2y 7 0

。

令 x 0 ，得 C 点的坐标为

（0

4 a

) 3a

4a k

则

3a 10

18 10a 3a

解得

5 ，代入 BC 的方

程，

19. 解：设 P 、Q 两点坐标为（ x

，

1 ）和（ x

，

2），

由题意 OP ⊥OQ ，可得

x 1x

2 y 1y 2

，

x y x 6y m 0 由 x 2y 3 0 ，可得 2 5y 2

20y 12 m 0 ①

12 m

y 1y 2 ， y 1 y 2 4

∴5

又

x 1x 2 (3 2y 1)(3 2y 2 )

9 6(y 1 y 2 ) 4y 1y 2

9 24 (12 m)

12 m 4

x 1x 2 y 1y 2 9 24 (12 m) 0

∴ 5 5

∴

m 3，将 m 3 代入方程①

可得

（20）2

4× 5×15 100 0，

可得 m 3满足题意。即 m 3为所求 m 的值。

20. 解：以 EB 所在直线为 x 轴，DF 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 M （3，1）， E （0，2，0），F （0，0，5）

即为 5x 2y 1 0

∴所求的直线斜率为 5 ，又经过点（ 3， 1） y 1 2

（x 3）

∴直线方程为 5 ，

即为 2x 5y 1 0

令 y ＝ 0，则 x ＝0.5 即直线与 x 轴的交点为（ 0.5， 0）

∴EF 所在的直线方程

为 x 0.2 y 1

0.5

∴应在EB 上再截|EN|＝0.3，得点N，连结MN ，

即可得到满足要求的画线。

21. 解：设圆 C 的方程为

(x a) (y b)

2a b 1 0 |3a 4b 9|

4a 3b 3 2 2 ( )2 1 r 2

b 2a 1，

|3a 4(2a 1) 9| 5r

即 (|4a 3(2a 1) 3|)2 25 25r 2

b 2a 1 |a 1| r 22 即 4a 2 25 25r 2

22 化简得： 4a 2 25 25(a 1)2

。

，则

a 0或

a 解得

50 21。

50 a0 b

1 ， r1 或b

121

∴所求圆的方程为

x (y 1) 1

)

121

)2 (29

21 21