函数的极限与连续

第一章 函数的极限与连续

极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念.

§1-1函数

一、函数的概念

定义1.1 设有一非空实数集D ，如果存在一个对应法则f ，使得对于每一个D x ∈，都有一个惟一的实数y 与之对应，则称对应法则f 是定义在D 上的一个函数. 记作y=f(x)，其中x 为自变量，y 为因变量，习惯上称y 是x 的函数，D 称为定义域.

当自变量x 取定义域D 内的某一定值0x 时，按对应法则f 所得的对应值y 0， 称为函数y=f(x)在x =x 0时的函数值，记作f(x 0)，即 y 0=f(x 0). 当自变量x 取遍D 中的数，所有对应的函数值y 构成的集合称为函数的值域，记作M ，即

{}

D x x f y y M ∈==),(

例1 已知1)(2

--=x x x f ，求)0(f ，)1(f ，)(x f -

解 1100)0(2

-=--=f

1111)1(2

-=--=f

11)()()(22-+=----=-x x x x x f

例2 求下列函数的定义域.

（1）142

-=

x y (2))1ln(62

++-+=x x x y 解（1）1,012

±≠≠-x x ，所以定义域为),1()1,1()1,(+∞---∞∈Y Y x

（2）?

???+≥-+01062x x x ??

?-?≤≤-?132x x ，所以定义域为(]3,1-∈x 由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定. 因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素. 如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数. 反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数.

例如：x x x f 2

2

cos sin )(+= 与1)(=x ?,因为1cos sin 2

2=+x x ,即这两个函数的对应法

则相同，而且定义域均为R ，所以它们是相同的函数.

又如1

1)(2--=x x x f 与1)(+=x x ?，虽然11

2--x x 1+=x ，但由于这两个函数的定义域不同，

所以这两个函数不是同一函数.

通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.

二、函数的性质 1、 单调性

设函数)(x f y =在（b a ,）内有定义，若对（b a ,）内的任意两点21,x x ，当21x x ?时，有

)()(21x f x f ?，则称)(x f y =在（b a ,）内单调增加；若当21x x ?时，有)()(21x f x f ?，则称)

(x f 在（b a ,）内单调减少，区间（b a ,）称为单调区间.

2、 奇偶性

设函数)(x f y =在D 上有定义，若对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称)(x f y = 为偶函数；若有)()(x f x f -=-，则称)(x f y =为奇函数.

在直角坐标系中，奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称，且偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称.

3、 有界性

若存在一个正数M ，使得对任意的),(b a x ∈，恒有M x f ≤)(，则称函数y=f(x)在（b a ,）内有界.

如y=sinx 与y=cosx 都在（+∞∞-,）内有界. 4、 周期性

设函数)(x f y =在D 上有定义，若存在一个正实数T ，对于任意的D x ∈，恒有

)()(x f T x f =+，则称)(x f 是以T 为周期的周期函数.

通常所说的周期函数的周期，是指它们的最小正周期. 如x y sin =的周期是2π，x

y tan =的周期是π，)sin(?+=wx A y 的周期是

w

π

2. 函数c y =,（c 为常数）是周期函数,但不存在最小正周期,此类函数称为平凡周期函数.

三、反函数

定义1.2 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作

)(1

y f

x -=

显然，)(1

y f

x -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示，

所以)(x f y =的反函数可表示为

)(1

x f

y -=

例如x y =的反函数是2x y =)0(>x ，其定义域就是x y =

的值域[)+∞,0，值域是

x y =

的定义域[)+∞,0，如图1-1（a ）所示.

在同一直角坐标系中，函数y=f(x)和其反函数)(1

x f

y -=的图象关于直线x y =对称.如图

1-1（b ）所示.

图1—1

四、初等函数 1、基本初等函数

（a ）

（b ）

下列六种函数统称为基本初等函数. （1）常数函数c y =（c 为常数），其图形为一条平行或重合于x 轴的直线. （2）幂函数α

x y =（α为实数）,其在第一象限内的图形如图1-2所示.

图1-2

（3）指数函数x

a y =（1,0≠?a a ），定义域为R ，值域为),0(+∞，图形如图1-3)(a 所示.

图1-3

（4）对数函数)1,0(log ≠?=a a x y a ，定义域),0(+∞，值域为R ，图形如图1-3（b ）所示. （5）三角函数x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =. 其

中正弦函数x y sin =和余弦函数x y cos =的定义域都为R ，值域都为[]1,1-，正切函数x y tan =的定义域为?

??

?

??∈+

≠∈Z k k x R x x ,2,π

π且，值域为R ，这三个函数的图形如图1-4所示.

0>α

0<α

（a ）

（b ） ππ

（a ）

（b ）

图1-4

（6）反三角函数x y arcsin =，x y arccos =，x y arctan =，x arc y cot =，其中反正弦函数x y arcsin =与反余弦函数x y arccos =的定义域都为[]1,1-，值域分别为??

?

???-22ππ，和[]π,0反正切函数y=arcanx 的定义域R ，值域为??

?

??-

2,2ππ，这三个函数的图形如图1-5所示.

2、复合函数

定义1.3 设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x u ?=的值域为?M ,若φ?≠f D M I ，

则将[])(x f y ?=称为)(u f y =与)(x u ?=复合而成的复合函数，u 称为中间变量，x 为自变量.

如函数1,ln 2

+==x u u y ，因为12+=x u 的值域[)+∞,1包含在u y ln =的定义域（0，+∞）

内，所以)1ln(2

+=x y 是u y ln =与12

+=x u 复合而成的复合函数.

注意：（1）并不是任何两个函数都可以复合的，如u y arcsin =与2

2x u +=就不能复合. 因

为2

2x u +=的值域为[)+∞,2，而u y arcsin =的定义域为[]1,1-，所以对于任意的x 所对应的u ，

都使u y arcsin =无意义；

（2）复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合. 例4 指出下列函数的复合过程

（1）312+=x y ； （2）2

tan ln x

y =.

解 （1）3

12+=

x y 是由3u y =与 12+=x u 复合而成的；

（2）2tan ln x

y =是有νtan ,ln ==u u y , 2

x =ν复合而成的.

例5 已知f （x ）的定义域为[]1,1-，求f （lnx ）的定义域. 解 由1ln 1≤≤-x 得

e x e

≤≤1

所以)(ln x f 的定义域为??

?

???e e ,1.

3、初等函数

定义1.4 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数.

有些函数，在其定义域内，当自变量在不同范围内取值时，要用不同的解析式表示，这类函

例6 已知1

100112)(>≤<≤??

?

??-=x x x x x f x ，求)2(-f ，

)0(f ，)2

1

(f ，)2(f ，并作出函数图形

解 4

12)2(2==--=x x f ； 12)0(0===x x

f ；

21

)1()21(2

1=-==x x f ； 11)2(2===x f

图形如图1-6所示

五、建立函数关系举例

运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系），最后进行分析、计算.

例7 如图1-7，从边长为a 的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为x ，周长为P ，面积为A ，试分别将P 和A 表示为x 的函数.

解 设矩形的另一条边长为060tan 2

?-x

a =

2)(3x a - 该矩形周长P=a x x x a 3)32(2)(3+-=+-， ),0(a x ∈

矩形面积2

2

3232)(3x ax x x a A -=?-=

， ),0(a x ∈. 例8 电力部门规定，居民每月用电不超过30度时，每度电按0.5元收费，当用电超过30

度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费,当用电超过60度时,超过部分按每度0.8元收费,试建立居民月用电费G 与月用电量W 之间的函数关系.

解 当300≤≤w 时，G=05W

当6030≤

当60>w 时,G=158.0)60(8.0306.0305.0-=-?+?+?W W

所示??

?

??>-≤<-≤≤==60

158.060303

6.03005.0)(w w w w w w w f G

习题1-1

1、 求下列函数的定义域

（1）2

21x

x y -=

（2）232

+-=x x y （3）)1ln(2

x y -= （4）x y 2arcsin =

2、已知??

?

???=?+=0

301

2)(2x x x x x x f ，求)1(-f ，)0(f ，)1(f 的值，并作出函数的图形. 3、求下列函数的反函数

（1）13+=x y （2）x y ln 1-= （3）1

1

+-=x x y 4、判断下列函数的奇偶性

（1）x x y sin 2

= （2）x x y cos sin +=

（3）x x y cos 22

+= （4）1

1

+-=-x x e e y .

5、分析下列复合函数的结构，并指出它们的复合过程

（1）12+=

x y

（2）x

e y sin = （3）)1(cos 2

-=x y （4）)1sin(lg +=x y

6、把一个直径为50厘米的圆木截成横截面为长方形的方木，若此长方形截面的一条边长x 厘米，截面面积为A 平方厘米，试将A 表示成x 的函数，并指出其定义域.

§1-2极限的概念

一、数列的极限

先看下面两个按一定次序排列的一列数

（1）1，21，31，41……，n 1

,…… （2）21，32，43，54……，1

+n n ,……

我们称它们为数列，分别记作??????n 1，?

??

???+1n n .

现在来考察n 无限增大时，这两个数列的变化趋势. 为清楚起见，我们把这两个数列的前n 项：1x ，2x ……n x 分别在数轴上表示出来（如图1-8，图1-9所示）.

由图1-8可以看出，当n 无限增大时，表示n x n 1=

的点逐渐密集在点0=x 的右侧，且n

x n 1

=

无限接近于0；由图1-9可以看出，当n 无限增大时，表示1

+=n n

x n 的点逐渐密集在点当1=x 的左侧，且1

+=

n n

x n 无限接近于1. 上述两个数列具有相同的变化特征，即当n 无限增大时，它们都无限接近于一个确定的常数.对于具有这样特征的数列，我们给出定义. 定义1.5如果当n 无限增大时，数列{}n x 无限接近于一个确定的常数A ，则把常数A 称为数

列{}n x 的极限（也称数列{}n x 收敛于A ）记作

A x n n =∞

→lim 或当∞→n 时，A x n →

因此，上述数列（1）有极限为0，记作01lim

=∞→n x ；数列（2）有极限为1，记作11

lim =+∞→n n x . 例1 观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限.

（1）1

21-=

n n x （2）n n x n

1

+= （3）n

n x )

3(1

-= （4）4=n x 解 （1）12

1-=n n x 的项依次为1，21，41，81

……，当n 无限增大时，n x 无限接近于0，

所以 12

1

lim -∞→n x =0；

（2）n n x n 1+=的项依次为2，23，34，4

5

……，当n 无限增大时，n x 无限接近于1，所

以n

n x 1

lim +=∞→=1； （3）n n x )3(1-=的项依次为31-，91，271-

，811

，……，当n 无限增大时，n x 无限接近于0，所以n x )

3(1

lim -=∞→=0； （4）4=n x 为常数数列，无论n 取怎样的正整数，n x 始终为4，所以44lim =∞

→n .

一般地，一个常数数列的极限等于这个常数本身，即

c c n =∞

→lim （c 为常数）

需要指出的是，并不是所有数列都有极限，如数列n

n x 2=，当n 无限增大时，n x 也无限增大，不能无限接近于一个确定常数，所以它没有极限. 又如数列n

n x )1(-=，当n 无限增大时，n

x 在-1和1这两个数上来回摆动，不能无限接近于一个确定常数，所以它也没有极限.

对于没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散. 二、函数的极限

对于函数的极限，根据自变量的不同变化过程分两种情况介绍. 1、当∞→x 时，函数)(x f y =的极限

当自变量x 的绝对值无限增大时，记作∞→x .

定义1.6 设函数)(x f y =在a x >时有定义（a 为某个正实数），如果当自变量x 的绝对值无限增大时，函数)(x f y =无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当∞→x 时，函数

)(x f y =的极限，记作()A x f x =∞

→lim （或当∞→x 时，A x f →)(）.

需要指出的是，∞→x 表示x 既取正值而无限增大（记作+∞→x ），同时又取负值而其绝对值无限增大（记作-∞→x ）

显然，函数)(x f 在∞→x 时的极限与在+∞→x ，-∞→x 时的极限存在以下关系：

定理1.1 A x f x =∞

→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞

→+∞

→)(lim )(lim .

例2 讨论下列函数当∞→x 时的极限.

（1）x

y 1=

； （2）x

y 2= ； （3）x y arctan =. 解 （1）由反比例函数的图形及性质可知，当x 无限增大时，x 1无限接近于0，所以x

x 1

lim ∞→=0；

（2）由指数函数的图形及性质可知，+∞=+∞

→x x 2lim ，02lim =-∞

→x x ，所以x

x 2lim ∞

→不存在.

（3）由反正切函数的图形及性质可知，2

arctan lim π

=

+∞

→x x ，2

arctan lim π

-

=-∞

→x x ，所以

x x arctan lim ∞

→不存在.

2、 当0x x →时，函数)(x f y =的极限

当自变量x 无限接近于某一定值0x 时，记作0x x →.

定义1.7 设0>δ，我们把集合{x │δ<-0x x }称为点0x 的δ邻域，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径. 称集合{x │0<δ<-0x x }为0x 的去心邻域.

如图1-10（a ）、（b ）所示. 显然，0x 的δ邻域即为开区间δδ+-00,(x x )，记为N(δ,0x );0

x 的去心δ邻域即为

,(x x δ-)δ+,(x x Y ),记为N(δ,Λ

x ).

定义1.8 设函数)(x f y =在0x 的某去心邻域N （δ,0x ）内有定义，如果当x 无限趋近于0

x 时，)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当0x x →时函数)(x f 的极限，记作

()A x f x x =→0

lim 或当0x x →，)(x f →A

如函数x

y 2=，从图1-11可看出，当x 从1的左、右两旁无限趋近于1时，曲线x

y 2=上

的点M 与M ＇都无限接近于点N(1,2)，即函数x

y 2=的值无限接近于常数2，所以22lim 1

=x

.

需要指出的是：

(1)由于现在考察的是当0x x →时函数)(x f 的变化趋势，所以定义中并不要求)(x f 在点0

x 处有定义；

(2) 0x x →表示自变量x 从0x 的左、右两旁同时无限趋近于0x .

例3 考察当1-→x 时，函数1

1

2+-=x x y 的变化趋势，并求1-→x 时的极限.

解 从函数)1(111

2-≠-=+-=

x x x x y 的图形（图1-12）可知，当x 从左、右两旁同时无限 趋近于-1时，函数)1(111

2-≠-=+-=

x x x x y 的值无限趋近于常数2-，所以 ().21lim 11lim 1

21-=-=+--→-→x x x x x 定义1.9 设函数)(x f y =在（00,x x δ-）（或（δ+00,x x ））内有定义，若当自变量x 从0x 的左（右）近旁无限接近于0x ，记作-→0x x （+

→0x x ）时，函数)(x f y =无限接近于一

个确定的常数A ，则称常数A 为0x x →时的左（右）极限，记作

A x f x x =-

→)(lim 0或A x f =-)0(0，（A x f x x =+→)(lim 0

或A x f =+)0(0）.

极限与左、右极限之间有以下结论：

定理1.2 A x f x x =→)(lim 0

的充要条件是=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0

.

例4 讨论下列函数当0→x 时的极限.

（1）??

?

??<-=>==0

100

1

)sgn()(x x x x x f ； （2）???<-≥+=010

1)(x x x x x f .

解 （1）因为11lim )sgn(lim 0

==++→→x x x ，1)1(lim )sgn(lim 0

-=-=--→→x x x ，所以根据定理１.2，

)sgn(lim 0

x x →不存在. )sgn(x 称为符号函数，见图1-13)(a .

（2）因为1)1(lim )(lim 0

=+=++→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0

=-=--→→x x f x x ，所以根据定理1.2，

(lim 0

→x f x

习题1-2

1、观察下列数列的变化趋势，并判断极限是否存在，若存在，指出其极限值。 （1）n x n +=1 （2）n

x n 12+= （3）2

1n

x n =

（4）n

n x )1(1-+= 2、考察下列函数当2→x 时以的变化趋势，并求出其当2→x 时的极限。

（1）12+=x y （2） 2

4

2--=x x y

3、 讨论下列函数当0→x 时的极限

（1） ??

?

??>=<-=000

01)(x e x x x

x f x

（2）x x x f =)( §1-3 极限的运算

一、极限的四则运算

定理1.3 设A x f x x =→)(lim 0

，B x g x x =→)(lim 0

,则

（1）[]B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )()(lim 0

0；

（2）CA x f C x f C x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0

，（C 为常数）； （3）[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0

；

（4）B

A

x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )

(lim )()(lim 0

00(B 0≠)

说明：

（1）上述运算法则对于∞→x 时的情形也是成立的;而且法则(1)与(3)可以推广到有限个具有极限的函数的情形.

（2）由于数列可以看作定义在正整数集上并依次取值的函数，所以数列极限可以看作是一种特殊的函数极限. 因此，对于数列极限也是有类似的四则运算法则.

例1 求)32(lim 2

1++→x x x .

解 )32(lim 2

1

-+→x x x =3lim 2lim lim 1

1

2

1

→→→-+x x x x x

=3lim lim 2lim 1

1

2

1

→→→-+x x x x x

=1+2?1--3=0

例2 求1

2

32lim 22-+-→x x x x

解 1232lim 22-+-→x x x x =)

1(lim )232(lim

2

22-+-→→x x x x x

=1

lim lim 2

lim lim 3lim 22

2

2

2

2

2→→→→→-+-x x x x x x x x

=

1

22

2342-+?-?=4

例3 求2

4

lim 22--→x x x .

解 因为当2→x 时，分母的极限为零，所以不能直接应用法则（4）.但因，在2→x 的过程中，02≠-x ，所以

4)2(lim 2

)2)(2(lim 24lim 2222=+=--+=--→→→x x x x x x x x x 例4 求)13

11(lim 31x

x x ---→. 解 因为当1→x 时，x -11与3

13

x -的极限都不存在，所以不能直接应用法则（1）计算，应

先通分，进行适当的变形，然后用相应的法则来计算.

)13

11(lim 31x

x x ---→=321131lim x x x x --++→=32112lim x x x x --+→ =211)

2(lim x x x x +++-→ =)

1(lim )2(lim 21

1x x x x x +++-→→=--1 例5 求下列函数极限.

（1）24543lim 22++--∞→x x x x x ； （2）1

233

2lim 232---+∞→x x x x x .

解 （1）因为∞→x 时，分子分母的极限都不存在，所以不能直接应用法则（4）.可先用2

x

同除分子、分母，然后再求极限

24543lim 22++--∞→x x x x x =2221

4543lim x x

x x x +

+-

-

∞→=)

214(lim )5

43(lim 22x x x x x x ++--∞

→∞→=004003++--=4

3 （2）不能直接应用法则（4）.先用3

x 同除分子、分母，

12332lim 232---+∞→x x x x x =

3

321

23312lim x

x x x x x ---+∞→=)123(lim )312(lim 332x x x x x x x ---+∞→∞→=003000---+=0 例6 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比q 满足1

解 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，由等比数列的前n 项和公式可得：

q

q a S n n --=1)

1(1

所以??????++??????++=n a a a S 21 =n n S ∞→lim =q

q a n n --∞→1)

1(lim 1

=)1(lim 11

n n q q a --∞

→ =

)lim 1(11

n n q q

a ∞→--

因为1

→n

n q

故S =n n S ∞

→lim =

)lim 1(11n n q q a ∞→--q

a -=11

由此例可知，若一无穷等比数列的公比绝对值小于1（称为无穷递缩等比数列），则其所有项和为q

a S -=

11

. 其中1a 为首项,q 为公比，此式称为无穷递缩等比数列的求和公式. 二、无穷小与无穷大 1、无穷小

定义1.10 在自变量x 的某一变化过程中，若函数)(x f 的极限为零，则称此函数为在自变量x 的这一变化中的无穷小量，简称为无穷小.

如函数2

)1()(-=x x f ，因为0)1(lim 2

1

=-→x x ，所以函数2

)1()(-=x x f 是当1→x 时的无

穷小.

又如函数()x x f 1=，因为01

lim =∞→x x ，所以函数()x

x f 1=是当∞→x 时的无穷小.

值得注意的是：

（1）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. 如2

)1()(-=x x f 是当1→x 的无穷小，而当x 趋向其它数值时，2

)1()(-=x x f 就不是无穷小；

（2）常数中只有“0”可以看成无穷小，其他无论绝对值多么小的常数都不是无穷小.

无穷小具有如下性质：

（1）有界函数与无穷小的乘积为无穷小； （2）有限个无穷小的代数和为无穷小； （3）有限个无穷小的乘积为无穷小.

例7 求x x

x sin lim

∞→.

解 因01lim =∞→x x ，1sin ≤x ，即x

1

是当∞→x 时的无穷小，x sin 是有界函数. 所以根据无

穷小的性质知，x x

sin 1

仍为当∞→x 时的无穷小，即

0sin lim =∞→x

x x 2、无穷小与极限的关系

定理1.4 在自变量的某一变化过程中，函数)(x f 的极限为A 的充要条件是)(x f 可以表示成A 与一个同一变化过程中的无穷小量)(x α之和. 即

()

()x A x f A x f x x x α+=?=∞→→)()(lim 0

3、无穷大

定义1.11 在自变量x 的某一变化过程中，函数)(x f 的绝对值无限增大，而且可以任意地大，则函数)(x f 称为在自变量x 的这一变化过程中的无穷大量，简称为无穷大，记为

()

∞=∞→→)(lim 0x f x x x

这里采用极限记号只为方便起见，并不表明极限存在.

例如当0→x 时，

x 1无限增大，所以x

1是当0→x 时的无穷大，记作∞=→x x 1lim 0；当∞

→x 时，2x 总取正值而无限增大，所以2

x 是当∞→x 时的无穷大，记作+∞=∞

→2lim x x ；当-→0x 时，

x ln 取负值而绝对值无限增大，所以x ln 是当-→0x 时的无穷大，记作-∞=-→x x ln lim 0

.

无穷小与无穷大的关系：

在自变量的同一变化过程中，若)(x f 为无穷大，则)

(1

x f 为无穷小；反之，若)(x f 为不恒等于零的无穷小，则

)

(1

x f 为无穷大. 例8 求1

22

3lim 2+--∞→x x x x .

解 因为2312lim 2--+∞→x x x x =2223112lim x x x x x --+∞→=)2

31(lim )

1

2(lim 22x

x x x x x --+∞→∞→=00

0100=--+

所以 ∞=+--∞→1

22

3lim

2x x x x . 结合本节的例5、例6，并可以证明：

???

????>∞

<==++++++++----∞→m

n m n m

n b a b x b x b x b a x a x a x a m m m m n n n n x 0lim 00

111011

10ΛΛ )0,0(00≠≠b a 三、无穷小的比较

定义1.12 设α与β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小， （1）若0lim =β

α

，则称α是比β高阶的无穷小，记作)(βοα=； （2）若c =β

α

lim

（c 为非零常数），则称α与β是同阶无穷小，特别地，若1=c ，则称α与β是等价无穷小，记作α∽β.

例9 下列函数是当1→x 时的无穷小，试与1-x 相比较，哪个是高阶无穷小？哪个同阶无

穷小？哪个等价无穷小？

（1）)1(2-x （2）13-x （3）233

+-x x

解 因为1)1(2lim

1--→x x x =11

2

lim

1=+→x x 11lim 31--→x x x =)1(lim 2

1

++→x x x =3

1

23lim 31-+-→x x x x =)2(lim 2

1-+→x x x =0

所以当1→x 时

)1(2-x 是与1-x 等价的无穷小，

13

-x 是与1-x 同阶的无穷小，

233+-x x 是比1-x 高阶的无穷小.

习题1-3

1、求下列函数的极限：

（1）)1234(lim 2

3

1

+-+-→x x x x （2）64

lim 222-+-→x x x x

（3）)1311(lim 221----→x x x x （4）3

2553lim 22-++-∞→x x x x x

（5）x e x

x sin lim -∞→ （6）)1(lim 2

x x x -++∞

→

2、求无穷递缩等比数列

21，41- ，81，16

1-…….的所有项之和. 3、试比较下列各组无穷小阶数的高低 （1）4-x 与)2(4-x （4→x ） （2）2

3

23x x -与2

x （0→x ） （3）

2

21x 与x 2

（∞→x ） §1-4两个重要极限

一、极限存在准则

我们不加证明地给出以下两个极限存在准则：

准则1 如果函数)(x f ，)(x g ，)(x h 在),(0δ∧

∈x x （或在M x >时，0>M ）有

)()()(x h x f x g ≤≤，而且()

)(lim 0x g x x x ∞→→=()

)(lim 0x h x x x ∞→→=A ，则

()

)(lim 0x f x x x ∞→→=A

准则2 如果数列{}n x 单调有界，则极限n n x ∞

→lim 一定存在.

二、两个重要极限 1、1sin lim

0=→x

x

x

这个极限的正确性可用准则1来证明. 这里，我们仅列表考察当0→x 时，

x

sin 的变化趋势.

从上表可以看出，当0→x 时，

x

的值无限趋近于1，所以

1sin lim

0=→x

x

x

例1 x

x x 32sin lim

0→.

解 令t x =2则当0→x 时，0→t ，所以

x x x 32sin lim 0→=)sin 32(lim 0t t t ?→=t t t sin lim

320→=3

2

此例还可以用正弦的二倍角公式来解：

x x x 32sin lim

0→=x x x x 3cos sin 2lim 0?→=)cos sin (lim 320x x x x ?→=x x x x x cos lim sin lim 3200→→?=3

2

例2 求x x x 1

sin lim ∞→.

解 令t x

=1

则当∞→x 时0→t ，所以

x x x 1sin lim ∞→=t t t sin 1lim 0?→=t

t

t sin lim 0→=1

例3 证明1tan lim 0=→x

x

x .

证 x x

x tan lim 0→=)cos 1sin (lim 0x x x x ?→=x

x x x x cos 1lim

sin lim 00→→?=1 例4 求20cos 1lim x

x

x -→. 解 212

2sin

22sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim 02

2020=??==-→→→x x x x x x x x x x x 实际上，这个重要极限还可推广到一般情况：当)(0∞→→x x x 时，若0)(→x ?，则有

1)()

(sin lim )

(0=∞→→x x x x x ??

例5 求x

x

x 3tan 5sin lim

0→.

解 x x x 3tan 5sin lim 0→=x x x x

x 33tan 355sin 5lim

0??

→=x

x x x x x 33tan lim

55sin lim

3500→→=35 例6 求x

x

x -→ππsin lim .

解 x x

x -→ππsin lim =x

x sim x --→-πππ)(lim 0=1

2、e x

x

x =+∞→)11(lim

这个极限的正确性可用极限存在准则2来证明，在此从略，仅列表考察当∞→x 时，函数

x x

)1

1(+的变化趋势.

从上表可以看出，当+∞→x 或-∞→x 时，x

x

)1(+的值都无限趋近于无理数

ΛΛ590457182818284.2=e 所以

e x

x x =+∞→)1

1(lim 若令t x

=1

，则当∞→x 时，0→t ，所以上式也可改写成：

e t t

t =+→10

)1(lim

一般地，当)(0∞→→x x x 时，若0)(→x ?，则有 e x x x x x =+∞→→)

(1)

()]

(1[lim 0??

例7 求x x x

)21(lim +

∞

→. 解 x x x )21(lim +∞→=2

2

2

)21(lim ??????+∞→x x x =2

22)21(lim ????????+∞→x

x x =2

e

例8 求()5

3

1lim +→-x

x x .

解 ()

53

1lim +→-x

x x =()[]()53

1011lim x x x x -??

?????-+--→

=()[]()50

3

1

01lim 1lim x x x x x -???????-+→--→=3

-e 例9 求2

11lim +∞→??

?

??-+x x x x .

解 211lim +∞→??? ??-+x x x x =2121lim +∞→??? ??-+x x x =32

21

1212111lim ??? ??-+??

????

?????????????? ??-+-∞→x x x x

=

32

2

1

21121lim .2111lim ??

? ??-+??????

???????

?

?

??

??? ??-+∞→-∞→-x x x x x =2

e 习题1-4

1、求下列各极限

（1）x x

x 43sin lim 0→ （2）x x x 3cot lim 0→

（3）x x x 5sin 3sin lim 0→ （4）()11sin lim 21--→x x x （5）2

0cos 1lim x x x -→ （6）x x

x 3sin 2arcsin lim

0→ 2、求下列各极限

（1）x

x x x 31lim ??

?

??+∞→ （2）()x x x 1

021lim -→ （3）()

x

x x sec 2

cos 21lim +∏

→

（4）2

3

1212lim +

∞→??

?

??+-x x x x

§1-5 函数的连续性

在许多实际问题中，变量的变化往往是“连续”不断的. 例如，气温的变化、物体的运动等，其特点是时间变化很小时，这些变量的变化也很小. 变量的这种变化现象，体现在函数关系上，就是函数的连续性. 本节我们将用极限来定义函数的连续性.

一、函数的连续与间断 1、函数的改变量 设变量u 从初值1u 变到终值2u ，则终值2u 与初值1u 的差12u u -称为变量u 的改变量，也称

为增量，记作△u .即

△12u u u -=

变量u 的改变量△u 可以是正的，也可以是负的. 当△u 为正时，变量u 是增加的；当△u 为负时，变量u 是减少的.

现设函数()x f y =在()δ,0x N 内有定义，当自变量x 在该邻域内从0x 变到x x △0+（即x 在

0x 处有改变量△x ）时，函数()x f y =相应地从()0x f 变到() △0x x f +，所以函数y 相应的改

变量为

()()00 △△x f x x f y -+=

这个关系式的几何解释如图1-14所示.

例1 已知函数()32

+==x x f y ，当自变量x 有下列变化时，求相应的函数改变量y △.

（1）x 从1-变到1； （2）x 从1变到0； （3）x 从1变到x △1+.

解 （1）()()(

)()[]

0313111△2

2

=+--+=--=f f y

（2）()()()()

131

30

10△2

2

-=+-+=-=f f y

（3）()()()[

](

)

()x x x f x f y △2△313△11△1△2

2

+=+-++=-+=

2、函数在点0x 处的连续性

由图1-14可以看出，如果函数()x f y =的图形在0x 的某一邻域内没有断开，那么当0x 保持

不变，而让0△→x 时，曲线上的点N M →，即()()00 △x f x x f →+，从而函数改变量

()()0 △△00→-+=x f x x f y

由此有如下定义.

定义1.13 设函数()x f y =在()δ,0x N 内有定义，若当自变量x 在0x 处的改变量x △趋近

于零时，相应的函数改变量()()00 △△x f x x f y -+=也趋近于零，即 ()()[]0△lim △lim 000

△0

△=-+=→→x f x x f y x x

则称函数()x f y =在点0x 处连续，称点0x 为函数()x f y =的连续点.

例2 试用定义1.13证明：函数32

+=x y 在点1=x 处连续.

证明 显然函数32

+=x y 在点1=x 的邻域内有定义. 现设自变量x 在1=x 处有改变量

x △，则由例1，当0△→x ，相应的函数改变量y △的极限.

()[]

0△△2lim △lim 2

△0

△=+=→→x x y x x

所以，根据定义1.13，函数32

+=x y 在点1=x 处连续.

在定义1.13中，若令x x x △0+=，则0△→x 就是0x x →，()()00 △△x f x x f y -+=

()()0x f x f -=，0△→y 就是()()0x f x f →，即0△lim 0

△=→y x 就是()()00

lim x f x f x x =→.

因此，函数()x f 在点0x 的连续定义也可叙述如下： 定义1.14 设函数()x f y =在()δ,0x N 内有定义，若当0x x →时，函数()x f 的极限存在，

而且极限值就等于()x f 在点0x 处的函数值()0x f ，即 ()()00

lim x f x f x x =→

则称函数()x f y =在点0x 处连续.

例3 试用定义1.14证明：函数()?????

=，

，x

x x f 01sin .00=≠x ；

x 在点0=x 处连续. 证明 显然()x f 在0=x 的邻域内有定义，由无穷小的性质可知，

()01

sin lim lim 00=?=→→x

x x f x x 即 ()()0lim 0

f x f x =→

所以根据定义1.14，函数()x f 在点0=x 处连续.

3、函数在区间()b a ,内的连续性

若函数()x f y =在开区间()b a ,内的每一点处都连续，则称函数()x f y =在开区间()b a ,内连续

若函数()x f y =在(]00,x x δ-有定义，且()()00

lim x f x f x x =→-，则称函数()x f y =在0x 处.

左连续.

若函数()x f y =在[)δ+00,x x 有定义，且()()00

lim x f x f x x =→+，则称函数()x f y =在0x 处右

连续.

显然函数()x f 在0x x =处连续的充要条件是：函数在该点既是左连续，又是右连续.

若函数()x f 在开区间()b a ,内连续，且在a x =右连续，在b x =左连续，则称函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续.

4、函数的间断点

由定义1.14可知，函数()x f y =在点0x 处连续必须同时满足下列条件： （1）函数()x f y =在点0x 处有定义；

（2）当0x x →时，()x f 的极限()x f x x 0

lim →存在；

（3）极限()x f x x 0

lim →等于()x f 在点0x 处的函数值，即()()00

lim x f x f x x =→. 上述三个条件中只要有一个不满足，函数()x f y =在点0x 处就不连续.

若函数()x f y =在点0x 处不连续，则称函数()x f y =在点0x 处间断，称点0x 为函数

()x f y =的间断点.

定义1.15 设0x 为()x f 的一个间断点，如果()00-x f 与()00+x f 均存在，则0x 称为函数()x f y =的第一类间断点，（特别地，当()()0000+=-x f x f ，0x 为函数()x f y =的可去间断

点）否则，称0x 为()x f 的第二类间断点.

二、初等函数的连续性

我们不加证明地给出如下重要事实：一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 这样，求初等函数的连续区间就是求初等函数的定义区间. 关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一分段区间内的连续性外，必须讨论分界点的连续性.

例4 求下列函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型.

（1）()23222+---=x x x x x f （2）()1

100212

112

>≤<≤???????--=-x x x x x e x f x

解 （1）()()()()()

121223222--+-=+---=x x x x x x x x x f 其连续区间即为定义区间：()1,∞-、()21，

、()∞+，2，21==x x 和是它的两个间断点. 因为 ()()()()()

∞=--+-=→→1212lim

lim 11x x x x x f x x ，所以1=x 是第二类间断点.

因为 ()()()()()

31212lim

lim 22=--+-=→→x x x x x f x x ，所以2=x 是第一类可去间断点.

（2）显然，()x f 在分段区间内连续，现考察分界点的极限.

()()01lim lim 0

0f e x f x x x ===-→→--

()()

()011lim lim 20

f x x f x x ≠-=-=++→→

所以0=x 是间断点，且是第一类间断点.

()()

()101lim lim 211f x x f x x ==-=--→→； ()()102121

lim lim 11f x x f x x ==??

? ??-=++→→

所以 1=x 是连续点，故函数()x f 的连续区间是()0,∞-，()+∞,0.

三、闭区间上连续函数的性质

定理1.5（最大值、最小值定理） 若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则函数()x f 在区间

[]b a ,上必然存在最大值与最小值.

如图1-15所示，函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,则在闭区间[]b a ,上至少存在一点1ξ，使得()1ξf 是函数()x f 在区间[]b a ,上的最大值，即对一切[]b a x ,∈，均有()()x f f ≥1ξ成立；同样，也至少有一点[]b a ,2∈ξ，使得()2ξf 是函数()x f 在区间[]b a ,上的最小值，即对一切[]b a x ,∈，均有()()x f f ≤2ξ成立.