(甘志国)为什么这些曲线平移后不“平行”了

为什么这些曲线平移后不“平行”了

甘志国(该文已发表 中学数学教学参考(上旬)，2012(9)：71-72)

如图1，把曲线y x =向左平移1个单位后得到曲线1y x =+，前后两条曲线是两条平行直线.

图1

如图2，把曲线2x y =向左平移1个单位后得到曲线12x y +=，但这两条曲线给我们的视觉却不是“平行”的.当然，何谓两条曲线平行？还等着下定义呢？先与直线平行类比着想象其内涵吧.

图2

如图3，把曲线22

1(0)x y x +=≥向左平移1个单位后得到曲线22(1)1(1)x y x ++=≥-，但这两条曲线给我们的视觉也不是“平行”的.

图3

如图4，把曲线2y x =向下平移1个单位后得到曲线21y x =-，但这两条曲线给我们的视觉还是不“平行”的.

图4

由图1~4中产生的“平行”、“不平行”的视觉的原因何在？难道是错觉？

在图1中，无论怎么看，曲线y x =与曲线1y x =+都是平行的.笔者认为，原因是夹在它们之间的任意平行线段都相等(如图1').

图1'

在图2中，曲线2x y =与曲线12x y +=为什么不“平行”呢？原因就是夹在它们之间的两条平行线段有不相等的情形：用两条铅垂线截这两条曲线，截得的两条线段不相等；用两条水平线截这两条曲线，截得的两条线段相等(如图2').

图2'

猜想 1 用两条不是水平线的平行线截曲线x y a =与(,x h y a a h +=是已知数，且0,1,0)a a h >≠≠，截得的两条线段不相等.

在图3中，曲线221(0)x y x +=≥与曲线22

(1)1(1)x y x ++=≥-为什么不“平行”呢？

原因就是夹在它们之间的两条平行线段有不相等的情形：用两条平行线1,0.1y x y x =+=+截这两条曲线，截得的两条线段不相等；用两条水平线截这两条曲线，截得的两条线段相等(如图2').

图3'

在图4中，曲线2y x =与曲线21y x =-为什么不“平行”呢？原因就是夹在它们之间的两条平行线段有不相等的情形：用两条水平线截这两条曲线，截得的两条线段不相等；用两条铅垂线截这两条曲线，截得的两条线段相等(如图4').

图4'

定理 用两条不是铅垂线的直线截曲线2y x =与21y x =-，截得的对应线段不相等(比如在图5中，与线段,,AB AC AD 对应的线段只能分别是,,A B A C A D '''''').

图5

证明 设两条不是铅垂线的直线的方程分别是:l y kx b =+与:(l y kx b ''=+可不妨设

)b b '>，直线l 与曲线2y x =、21y x =-的一个公共点分别是(,),(,)A k b B k b ααββ++，

直线l '与曲线2y x =、21y x =-对应的公共点分别是,A B ''，即直线,l l '截这两条曲线所

得的对应线段是AB 与A B ''.

可得2

k b αα+=，所以242k k b α±+=. 又2

1k b ββ+=-，所以2442k k b β±++=. 由“对应线段”知，求得的两个等式中的“±”应选取一致，即都选“+”或都选“-”.

再由两点的距离公式，得

22222

22222214(1)(1)()(444)4(444)k k AB k k b k b k b k b βα++=+-=++-+=++++ 即 222224(1)(444)

k AB k b k b +=

++++ 同理，有 222224(1)

(444)k A B k b k b +''=''++++

由b b '>，得AB A B ''<.证毕！

猜想2 用两条不是水平线的平行线截曲线t a n 2

2y x x ππ??=-<< ???与3tan 2

2y x x ππ??=-<<- ???，截得的两条线段不相等(如图6).

图6

定义 设曲线'Γ可通过曲线Γ平移得到，若用任意的两条平行直线去截曲线Γ与'Γ，截得的两条对应线段长度都相等，则称曲线Γ与'Γ平行.

注 (1)我们看到图2，3，4，6中的两条曲线不“平行”，是我们的整体视觉产生的效应，说明人的视觉很准确，这决不是错觉！

(2)按此定义立得，是同心圆的两个圆不平行，因为这两个圆没有平移关系.

猜想3 若曲线Γ与'Γ平行，则曲线Γ是由一条直线的部分或全体组成的.