七年级数学上册 平面图形及其位置关系知识汇总

第四章平面图形及其位置关系

一、基础知识梳理

（一）主要概念

1．线段、射线、直线

（1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．

线段的特点：是直的，它有两个端点．

（2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线．

射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸．

（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线．

直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸．

2．线段的中点

把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点．

利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：

（1）因为AM=BM=1

AB，所以M是线段AB的中点．

2

AB或AB=2AM=2BM．

（2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=1

2

3．角

由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．

一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角．

4．角平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．5．平行线

在同一个平面，不相交的两条直线叫做平行线．

平行的关系是相互的，如果AB∥CD，则CD∥AB，其中符号“∥”读作“平行”．

6．两条直线垂直

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，?如直线AB?与直线CD垂直，记作AB⊥CD．

7．两点之间的距离

两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．

8．点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

（二）主要性质

1．直线的性质

经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”．

2．线段的性质

两点之间的所有连线中，线段最短．

3．与平行线有关的一些性质

（1）平行公理．

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

（2）平行公理的推论．

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

4．垂线性质

（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．

二、典型例题

1．考查学生发现问题、解决问题的能力．

【例1】（2003年）从开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（）

A．4种 B．6种 C．10种 D．12种

【例2】（）L1与L2是同一平面的两条相交直线，它们有１个交点，?如果在这个平面，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；?如果在这个平面再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面，6条直线最多可有_______个交点，n（n 为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用含n的代数式表示）．

2．线段长度的计算，线段的中点

【例3】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）

3．角的度量与换算

【例4】（）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（）

A．70° B．75° C．85° D．90°

4．七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆．

【例5】（2002年）如图1，用一块边长为22的正方形ABCD厚纸板，?按照下面做法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DG⊥EF于G，?交AC于H；过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K；将正方形ABCE沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（）．

（1）（2）

A．8 B．6 C．4 D．5

三、解题方法与技巧

方法1：见比设元

【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC 的长．

【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法．

【解】∵AB：BC：CD=2：4：3

∴设AB=2K BC=4K CD=3K

∴AD=3K+2K+4K=9K

∵CD=9

∴3K=9 ∴K=3

∴AB=6 BC=12 AD=27

∵M为AD中点，

∴MD=1

2

AD=

1

2

×27=13.5

∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5

【规律总结】不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数．方法2：利用线段的和差判断三点共线

【例2】判断以下三点A、B、C是否共线．

（1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm；

（2）AB=10cm ，AC=3cm ，CB=9cm ． 【解】（1）∵AB=10cm ，AC=2cm ，CB=8cm ， ∴AB=AC+CB

∴A 、C 、B 三点在同一条直线上

（2）∵AB=10cm ，AC=3cm ，CB=9cm ， ∴AB ≠AC+CB

∴A 、C 、B 三点不共线 方法3：寻找规律

（一）数直线条数：过任三点不在同一直线上的n 点一共可画(1)

2

n n -条直线． （二）数n 个人两两握手能握

(1)

2

n n -次． （三）数线段条数：线段上有n 个点（包括线段两个端点）时，共有

(1)

2

n n -条线段． （四）数角的个数：以0为端点引n 条射线，当∠AOD<180°时，则（如图）?小于平角的角个数为(1)

2

n n -．

（五）数交点个数：n 条直线最多有

(1)

2

n n -个交点． （六）数对顶角对数：n 条直线两两相交有n （n-1）对对顶角．

（七）数直线分平面的份数：平面n 条直线最多将平面分成1+(1)

2

n n -个部分．

【例3】同一平面有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ） A ．1条 B ．4条 C ．6条 D ．1条或4条或6条 【例4】一饼上切七刀，最多可得到几块饼．

【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一饼被分成两部分；当切2刀时，一饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一饼被最多分成七部分；……若用n?表示切的刀数，饼被最多分成S 部分．则：n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11．

【解】设一饼被切n 刀，最多分成S 部分，如图2-6可知：

n=1时 S=1+1 n=2时 S=1+1+2 n=3时 S=1+1+2+3 n=4时 S=1+1+2+3+4 ……

则S=1+1+2+3+4+…+n=1+(1)

2

n n - ∴当n=7时，S=1+

78

2

?=29 答：当上饼上切7切时，最多可得到29块饼．

【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般到特殊的方法应用规律解决问题．

方法4：钟表问题

【例5】钟表现在是1点15分，分针再转多少度，时针与分针首次重合．

【分析】分针1分钟走（360

60

）°=6°，时针1分钟走（

30

60

）°=0.5°（分针1小时走一圈，即60分

钟走360°，时针1小时走一格，即60分钟走30°）．因此，分针速度是时针速度的12倍，故设分针走

12x°，时针走x°时时针与分针首次重合，因为从1点整到1点15°，?分针走一圈的1

4

，此时时针走一

格的1

4

，因此1点15分时时针与分针夹角（1+

3

4

）×30°=52.5°．?列方程可求解．【解】设时针走x°时，时针与分针首次重合．

依题意，得： 12x-x=360-（

7

4

×30）

解得： x=

615

22

，∴12x=

3690

11

=335

5

11

答：分针再转335

5

11

度，时针与分针首次重合．

方法5：最优策略问题

直线上有两点（如图）A1和A2，要在直线上找一点P，使A1、A2到P的距离之和最小，则P点可放在A1、A2之间任意位置（包括A1和A2）．此时PA1+PA2=A1A2．

直线上有三点A1、A2、A3（如图）．要找到一点P，使PA1+PA2+PA3的和最小．

不妨设P在A1、A2之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2；

若P在A2、A3之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2；

若P在A1上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A1A2；

若P在A2上，则PA1+PA2+PA3=A1A3．

若P在A3上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A2+A3

结论：当P选在A2点时PA2+PA2+PA3的和最小，其最小值为A1A3．

不难发现，当直线上有四个点时，如图所示．P点选在A2A3上（包括端点）．?可使P到A1、A2、A3、A4的距离之和最小．其最小值为A1A4+A2A3．

当直线上有五个点时，如图所示P点选在A3上，可使P到A1、A2、A3、A4、A5的距离之和最小，其最小值为A1A5+A2A4．

【规律总结】当直线上有偶数个点时，P应选在最中间两点之间（可与这两点重合）；当直线上有奇数个点时，P点与最中间的点重合，可使P到各点距离之和最小．

四、中考试题归类解析

（一）线段，角

【例1】（2003，），如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是（? ）

A．CD=AC-DB B．CD=AD-BC C．CD=1

2

AB-BD D．CD=

1

2

AB

【例2】（2004，）一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜

反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（）

A．45° B．60° C．75° D．80°

（二）平行

【例1】（2003，）如图，已知AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例2】（2004，）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=?140?°，?则∠BCD=_______．

五、中考试题集萃

一、填空题

1．（2003年，）如图1，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经过两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ=________度．

2．（2003，）如图2，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=70°，则∠2=?____度．

（1）（2）（3）（4）

3．（2003，）如图3，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若∠1=43°则∠2=_______度．4．（2003，）如图4，直线a、b被直线c所截，且a∥b，如果∠1=60?°，?那么∠2=______度．5．（2004，）如图5，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB 边的中点D处，则∠A的度数等于_________．

（5）（6）（7）（8）

B

A

6．（2004，）如图6，两条直线a 、b 被第三条直线C 所截，如果a ∥b ，∠C=70°，那么∠2=_______． 7．（2004，）如图7，直线a ∥b ，则∠ACB=_____度． 8．（2004，）已知∠α=36°，若∠β是∠α的余角，则∠β=______，sin β=_______．（?结果保留四个有效数字） 9．（2004．）已知一个角的余角为60°，则这个角的补角为_________． 二、选择题 1．（2003，海淀区）若∠α=30°，则∠α的补角是（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．（2003，海淀区）如图8，直线c 与a 、b 相交，且a ∥b ，则下列结论：①∠1=?∠2②∠1=∠3 ③∠3=6∠2中正确的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3．（2003，）已知：如图9，下列条件中，不能判断直线L 1∥L 2的是（ ） A ．∠1=∠3 B ．∠2=∠3 C ．∠4=∠5 D ．∠2+∠4=180°

（9） （10） （11） （12） 4．（2003，）如图10，从A 地到B 地有多条道路，一般地，人 们会走中间的直路，?而不会走其他的曲折的路，这是因为（ ）

A ．两点之间线段最短

B ．两直线相交只有一个交点

C ．两点确定一条直线

D ．垂线段最短 5．（2004，）天安门广场上五星红旗的旗杆与地面的位置关系属于（ ）

A ．直线与直线平行

B ．直线与直线垂直

C ．直线与平面平行

D ．直线与平面垂直 6．（2004，

）如图11，从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路，走陆路，走空中．从A 地到B 地有2条水路，2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可代选择，走空中从A?地直接到C 地，则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ）

A ．20种

B ．8种

C ．5种

D ．13种 7．（2004，）如果∠α=20°，那么，∠α的补有等于（ ） A ．20° B ．70° C ．110° D ．160° 8．（2004，日照）如图12，已知直线AB ∥CD ．当点

E 在直线AB 与CD 之间时，有∠BED=?∠ABE+∠CDE 成立；而当点E 在直线AB 与CD 之外时，下列关系式成立的是（ ） A ．∠BED=∠ABE+∠CDE 或∠BED=∠ABE-∠CDE B ．∠BED=∠ABE-∠CDE

C ．∠BED=∠CDE-∠ABE 或∠BED=∠ABE-∠CDE

D ．∠BED=∠CDE-∠AB

E 三、解答题 1．（2003，）某市召集20名特级老师参加教研教改研讨会，与会的特级老师每两人之间都握手一次，那么他们之间一共握手________次． 2．（2003，天津）如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，D

F ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF=∠BDF ．

3．（2003，）如图，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM部，ON是∠BOC?的平分线，已知∠AOC=80°，求∠MON的度数．

4．（2004，）如图，已知AB∥CD，∠EAF=1

4

∠EAB，∠ECF=

1

4

∠ECD。

求证：∠AFC=3

4

∠AEC。

5．（2004，）如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P′分别在边OA、?OB上，如果要得到OP=OP′．需要添加以下条件中的某一个即可．请你写出所有可能结果的序号为________．

①∠OCP=∠OCP′②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C ④PP′⊥OC

6．（2004，乌鲁木齐）某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育中心，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图中作出体育中心的位置，（不要写作法，?只保留作图痕迹）

答案

一、填空题：

1．60 2．110 3．133 4．120° 5．30° 6．110°

7．78° 8．54°，0．?8090 9．150°

二、选择题：

1．D 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C

三、解答题：

1．190．

2．证明：∵CE∥DF ∠EDF=∠DEC 又∵AC∥DE

∴∠DEC=∠ACE

∴∠ACE=∠EDF

又∵DF∥CE

∴∠FDB=∠ECB

又∵∠ACE=∠ECB

∴∠EDF=∠BDF．

3．解：∠MON=1

2

∠AOB-

1

2

∠BOC

=1

2

（∠AOB-∠BOC）

=1

2

∠AOC

=1

2

×80°=40°

4．提示：∠AEC=∠EAB+∠ECD

∠AFC=∠FAB+∠FCD

∠AEC=∠FAB+∠FCD+∠EAF+∠ECF．

5．①或②或④．

6．体育中心应选在三条公路相交所构成的三角形角平分线的交点处．