(数学试卷高一)第3章不等式易错题及错解分析(苏教版必修5)

2

必修5不等式易错题及错解分析

一、选择题：

1 .设f (x) lgx ,若0f(b)>f(c),

则下列结论中正确的是

A (a-1)(c-1)>0

B ac>1

C ac=1

D ac>1

错解原因是没有数形结合意识，正解是作出函数f(x) lgx 的图象，由图可得出 选D.

2 .设x,y R,则使|x

y 1成立的充分不必要条件是

1 1

A x y 1

B x ?或 |y -

C x 1

D x<-1

错解：选B,对充分不必要条件的概念理解不清，“或”与“且”概念不清，正确 答案为Db

3. 不等式(x 1)?..C 0的解集是

A {x|x 1}

B {x|x 1}

C {x| x 2且x 1}

D {x|x

错解：选B,不等式的等价转化出现错误，没考虑 x=-2的情形。正确答案为Do 4. 某工厂第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ,这两年的 平均增长率为x,则

错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为 Bo

5 .已知 1 a b 3且2 a b 4，则2a+3b 的取值范围是

2a+3b 的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出 2a+3b=— (a+b) — (a-b),

2 2

求出结果为Do

6.若不等式 2

ax +x+a v 0 的解集为 ①，则实数 a 的取值范围()

A a <

-—或 a > 1

B a

v 丄C

1 1

-

w a w

D a

1 2 2

2

2 2

正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系

2 或 x 1}

7 11 A (歸B (帯)C 错解：对条件“ 1 a b 3且 2 a

,7 13 I 、

2 b 4”不是等价转化，解出a,b (7,13) D ( 2 2 2 2 的范围，再求

还不能掌握。

7.已知函数y=og i （3x 2 ax 5）在［-1 ,+Q 上是减函数，则实数a 的取值范围（

）

2

A a w -6

B - ■> 60 v a v -6

C -8 v a w -6

D — 8w a w -6

正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于 0这一隐含条件。

111

8 .已知实数 x 、y 、z 满足 x+y+z=0,xyz > 0 记 T=— + 一 + -,贝9（

）

x y z

A T > 0

B T=0

C T v 0 D

以上都非

正确答案：C

错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断

T 的符号改为判

定xyz （ 一 + — + 1）的符号。

x y z

9.下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（

）

1 1

A.甲 a >b ,乙一v — B

甲 ab v 0,乙 I a+b Ivl a — b

a b

v 2

正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。 11. a,b € R,且a>b ,则下列不等式中恒成立的是（ ）

正确答案：Bo 错误原因：容易忽视不等式成立的条件。

12. x 为实数，不等式|x — 3| — |x — 1|>m 恒成立，贝U m 的取值范围是（ ）

I

C

甲 a=b ,乙 a + b=2、ab D

甲

a b 1 ,乙

0 a b 2

1 a b 2

正确答案：D 错因 :学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻 o

10.

f(x)=

| 2 x —1

1

,当 a v b v c 时有 f(a) > f(c) > f(b)

则

( )

2 2

A.a >b

1、a z 1、b

B.( 1) <( 1)

C.lg(a — b)>0

D.->1

b

A.m>2

B.m<2

C.m>- 2

D.m<— 2

正确答案：Db

错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错 13 .已知实数 x 、y 满足 x 2+y 2=1，则(1 - xy)(1+xy)()

1

3

A.有最小值丄，也有最大值1

B.有最小值-，也有最大值1

2 4

3

C.有最小值3，但无最大值

D.有最大值1,但无最小值

4

正确答案：B 。

错误原因：容易忽视x 、y 本身的范围。 错因：利用真数大于零得x 不等于60度，从而正弦值就不等于—，于是就选了 D.

2

其实x 等于120度时可取得该值。故选B 。 17 .设a 0,b 0,则以下不等式中不恒成立.的是

(

)

1

1 3

3

2

A. (a b)(

)

4 B . a 3 b 3 2ab 2 a b

C. a 2 b 2

2 2a 2b

D

. . |a b | a . b -

正确答案：B

18 .如果不等式 x a x (a>0)的解集为｛x|m < x < n ｝，且|m-n|=2a ，则a 的值等 于( )

A. m R 正确答

案： 错误原因： b m b

B. m>0

C. m<0 D 。

错用分数的性质。 D. -b

15.已知 x R,y

R ，

则：

x 1,

y

1是x y x y 2的 A 、充分不必要

B 、必要不充分

C 既不充分也不必要

)条件 D 充要

16.如果 log 1 x

2

log 1那么sin x 的取值范围是(

2 2 A 、

1 1 B 、

丄1

C

2 2

2

2’ 2

1基

2, 2

■■■ 3 2

,1 14.若a>b>0,且 色』>2，则m 的取值范围是()

正确答案：D

错因：不严格证明随便判断 正确答案：B

A. 1 B

正确答案：B

19.若实数m, n, x, y满足m+n2=a, x2+y2=b (a工b),贝U mx+ny的最大值

为(

a2b2 2 ab a

答案：B

点评：易误选A,忽略运用基本不等式

20.数列｛a n｝的通项式a n

A、第9项

C第答

案：10项D

点评: 易误选A,

n

-2~

n

B

“=”成立的条件。

则数列｛a n｝中的最大项是

(

90

运用基本不等式，求

、第8项和第9项

、第9项和第10项

21.

A. 错解错因正解若不等式x 1

3,3 B.

:D

选D恒成

立。

:C

x 2 > a 在

3,3

1

-，忽略定义域

90

n

n

R上有解,则a的取值范围是

,3 D .

a n N*

。

22.已知x1, x2是方程的最大值为( (k2)x 2

(k 3k

2

5) 0(k R)的两个实根，则洛

2

X

2

A 18

B 、19 55

9

、不存在答案:

错选:

错因: 2

X i 23.实数

X22化简后是关于

m,n,x,y 满足n i+n2=a , x +y=a ,

k的二次函数,

2 2

它的最值依赖于0所得的k的范围。

则mx+ny的最大值是

a b

2

答案：B 错解：A a2 b2

2

a2 b2

错因：忽视基本不等式使用的条件，而用mx

m2 ny

出错解。

24.如果方程(x-1 ) (x 2-2x + m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那

么实数m 的取值范围是

（

）

3

3

3 A 0< m< 1 B 、一 v me 1

C 、—w m ^ 1

D 、m > 一

4

4

4

正确答案：（B ）

错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。 二填空题：

b

1 2 3

______________ 1?设a 0,b 0,— a 2 1，则a l b 2

的最大值为

2

a 2 1牛，且0

b 2 1，原式=（1 ；）（1 b 2） ■ ；b 4》b 2 1，求出最大值

为1。

2?若x, y R ,且、.x , y a 、厂、恒成立，则a 的最小值是

~2 2-

_

错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由? m n 丄卫，得一m n - ,2，

Y 2 2 Jm 2 n 2

即' X y

J ，故a 的最小值是2。

.x y

1 1

3?已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=（x —）（y -）的最小值为 _____________

x y

错解一、因为对a>0,恒有a

1 2 ,从而z= (x

1

-)(y 1

—）4,所以z 的最小值是

a

x

y 4。

2

2

错解二、z 2 xy 2xy

(-

xy) 2 2、: 2

xy 2 2C 、2 1），所以z 的最

xy

xy

y x ：y

小值是2（、2 1）

9

4

解二等号成立的条件是一 xy,即xy 、2，与0 xy -相矛盾。

1 1

错解分析：解一等号成立的条件是x -且y -,即x 1且y 1,与x y 1相矛盾。

x y

错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由

a 0,

b 0,b

a 2 1 得:

2

xy 4

正

解：z=(x 1)(y 1、

-)=xy

1 y x

=xy 1 (x y)

4 5 62xy 2

xy 2 ,令

x y xy x y xy xy xy

t=xy, 则0 t xy (x y)2

1

—,由f(t) t

2 在0,1上单调递减，故当t= 1 2 4 t 4 4

时f(t) t |有最小值手,所以当x y ￡时z有最小值手。

4 ?若对于任意x € R,都有(m—2)x2- 2(m—2)x —4<0恒成立，则实数m的取值范围

正确答案：(一2,2)。

错误原因：容易忽视m= 2。

5?不等式ax2 + bx + c >0，解集区间(--,2),对于系数a、b、c,则有如下

2

结论：

①a >0 ②b >0 ③c >0④a + b + c >0 ⑤a - b + c >0，其中正确的结论的序号是.

正确答案2、3、4

错因：一元二次函数的理解

6 ?不等式(x —2) x2—2x — 3 > 0的解集是______________ .

正确答案：x x 1或x 3

7 .不等式.x2a2x 1的解集为(-%, 0),则实数a的取值范围是

正确答案：{-1,1}

8?若a,B，丫为奇函数f(x)的自变量，又f(x)是在(-X, 0) 上的减函数，且

有a + B >0, a + 丫>0, B + Y >0,贝U f( a )+f( B )与f(- 丫)的大小关系是：f( a )+f( B ) ______________ f(- Y )。正确答案：<

9 ?不等式|x+1|(2x —1) > 0的解集为______________

1

答案：［―,){ 1}

2

5

点评：误填［-,)而忽略x=— 1 O

6

10 .设x>1，则y=x+—的最小值为________________

答案：2、2 1

成

立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。

11. __________________________________________________________________ 设实数a,b,x,y 满足a 2+b 2=1,x 2+y 2=3,则ax+by 的取值范围为 _________________________ 错解：（，2）

正解：[-、3,、3]

12. ________________________________________________ -4v k v o 是函数y=kx — kx — 1恒为负值的 _______________________________________ 件 错解：充要条件 错因：忽视k 0时y 1符合题意 正解：充分非必要条件

2

13. 函数 y=-X — v ;x 2

4

错解：2

3b)2 1,得 a 2 6ab 9b 2 1，6ab 1 a 2 9b 2 1，

等号成立的条件是a b 0与已知矛盾。 正解：-

12

15.设函数y ? k 2 6x k 8的定义域为R,则k 的取值范围是 ____________________

点评：误填：4,错因:

占＞ 2,，当且仅当x

2

Fl

即x=2时等号 2 2,2 2

错因：ax by 宁亍

2，当且仅当a x,b y 时等

号成立，而此时a 2 b 2

x 2 y 2与已知条件矛盾

=的最小值为

错因：可化得 y x 2 4

2，而些时等号不能成立。

正解：5

2

14.已知a,b 错解：-

6

R ，且满足 a+3b=1, 则ab 的最大值为

错因：由（a

A k 1 或k 9

B 、k 1

C 、9 k 1

D 、0 k 1

答案：B 错解：C

错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用0。

16 ?不等式(x-2) 2(3-X) (x-4) 3(x-1) 0 的解集为__________ 。

答案：{XX 1或x 2或3 x 4}

错解：{xx 1或3 x 4}

错因：忽视x=2时不等式成立。

17?已知实数x,y满足-x y，则x的取值范围是。

y

答案：{xx 0或x 4}

错解：{xx 0或x 4}

错因：将方程作变形使用判别式，忽视隐含条件“y 0 ”。

18 .若x, y R，且2x+8y-xy=0 则x+y 的范围是_____________ 。

答案：[18 )由原方程可得

2x (16)

y(x 8) 2x, x 0, y 0, x 8 0, y 则x y x 8 10 18

x 8 x 8错解：(，2] [18,)设x y t设y t x代入原方程使用判别式。

错因：忽视隐含条件，原方程可得y (x-8)=2x，则x>8则x+y>8

19. __________________________________________________________ 已知实数x, y满足- x y,则x的取值范围是_____________________________________________ 。

y

正确答案：x 0或x 4

2

错误原因：找不到解题思路，另外变形为x 丄时易忽视y 0这一条件。

y 1

1 4

20. 已知两个正变量x, y满足x y 4,则使不等式1 - m恒成立的实数m的取值

x y

范围是__________________________ 。

9

正确答案：m -

4

错误原因：条件x+y = 4不知如何使用

4

21 .已知函数①y x — x 0②y

x

y 1 1 cotx 1 4tanx 0 x 正,其中以4为最小值的函数个数

正确答案：0 错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。 22.已知f x 是定义在0, 的等调递增函数，f xy f x f y ,且f 2 1，则

不等式f x f x 3

2的解集为 _________________________________ 正确答案：

x|3 x 4

错误原因：不能正确转化为不等式组。

23.(案中)已知 a 2+b 2+c 2=1, x 2+y 2+z 2=9,则 ax+by+cz 的最大值为

正确答案：3

错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成 5。应使用如下做法： 9a 2+x 2>6ax, 9b 2+y 2 >6by,9c 2+z 2》6cz , 6(ax+by+cz) <9(a 2+b 2+c 2)+9(x 2+y 2+z 2) =18, ax+by+cz < 3 三、解答题：

1.是否存在常数c ,使得不等式 c 」

J 对任意正数x,y

2x y x 2y x 2y 2x y

恒成立？ 错

证明不等式

x y x y 恒成立，故说明c 存在。

2x y x 2y x 2y 2x y

正解

:令

x=y

得 2

得 — c -，故 猜想

c=-,下证不等式

3 3

3

x y 2 x J 恒成立。

2x y

x 2y

3

x 2y 2x y

要证不等式 x

y

2

2

，因为x,y 是正数，

即证 3x(x+2y)+3y(2x+y) < 2

2x

y x 2y 3

(2 x+y ) (x+2y),也即证 3x 2 12xy 3y 2 2(2x 2 2y 2 5xy),即 2xy < x 2 y 2 ,

4

COSX ------ 0

cosx

x 13 _

…③y -

-9④

一x y 一 也成立，故存在 c=2使原不

x 2y 2x y

3

若 x 2 3，贝U 9-15+p-2=0 , p=8 若 x 3，贝U 9-9+p+2=0,p=-2

当a=-2时，原方程组无解，则p=8

3. 设，且，求的取值范围。 解：令 则 比较系数有

即

说明：此题极易由已知二不等式求出的范围，然后再求即的范围，这种解法错在已 知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待 定系数法则容易避免上述错误。

4. 若，解关于的不等式：。 解：令 则 的判别式 恒成立

原不等式的解为

说明：此题容易由得出的错误结论。解有关不等式的问题，一定要注意含参数的表 达式的符号，否则易出错误。 5. 求函数的极大值或极小值。 解：当时，

当且仅当 即时，

当时， 当且仅当 即时，

说明：此题容易漏掉对的讨论。不等式成立的前提是 6．求函数的最大值。 解： 当且仅当

而此不等式恒成立，同理不等式- 3 等式恒成立。

2 ?已知适合不等式 x 2 4x p

5的x 的最大值为3，求p 的值。

错解: 正解: 对此不等式无法进行等价转化，不理解“ x 的最大值为3”的含义。 因为x 的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于

x 2 4x p (x 3) 5，

2 x 2 4x p x 2，则｛X ：

5x p 2

x 3x p 2

0(1)

0(2)

设(1) (2)的根分别为 捲、x 2(x 2 xj, x 3、x 4 (x 4

X 3), 则 x 2 3或 x 4 3

即时，

说明：此题容易这样做：。但此时等号应满足条件，这样的是不存在的，错误的原因是没有考虑到等号成立的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。7．解不等式：。解：当时，原不等式为

当时，原不等式为

又

原不等式的解为

说明：此题易在时处出错，忽略了的前提。这提醒我们分段求解的结果要考虑分段的前提。

7．若且，解不等式：

解：若，两边取以为底的对数

若，同样有，

又

当时不等式的解为当时不等式的解为说明：此题易在时的解中出错，容易忽略这个条件。解决对数问题要注意真数大于0 的条件。

8．方程的两根都大于2，求实数的取值范围。解：设方程的两根为，则必有

说明：此题易犯这样的错误: 且

和判别式联立即得的范围 原因是只是的充分条件 即不能保证同时成立 x 2 2x 2

9.设函数 f(x)=log b-

------- (b>0 且 b M 1),

1 2ax

(1) 求f(x)的定义域；

(2) 当b>1时，求使f(x)>0的所有x 的值 解(1)V x 2 — 2x+2 恒正， ??? f(x)的定义域是1+2ax>0,

即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。

1

当a>0时，f(x)的定义域是(—一，+x)

2a

1

当a<0时，f(x)的定义域是(— X ，— 一)

2a

x 2— 2(1+a)x+1>0

其判别式厶=4(1+a)2— 4=4a(a+2) (i) 当厶<0时，即—20 1 --f(x)>0

x< —

2a

(ii) 当厶=0时，即a=— 2或0时 若 a=0,f(x) > 0 (x —1)2>0

x € R 且x 工1 若 a=— 2,f(x) >0 (x+1) >0

1厂

x V —且 x M — 1

4

(iii) 当厶> 0时，即a >0或a v — 2时 方程x 2 — 2(1+a)x+仁0的两根为

(2)当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0

2x 2 2ax

>1

2

x —2x+2>1+2ax

x i =1+a — , a 2 2a,x 2=1+a+ a 2 2a

1

若 a >0，贝U X 2>X 1>0>— 一

2a

；

2

1 ：

2

.a 2a 或 x 1 a a 2a a

-------- ----------------------- 1

? f(x) >0

x < 1+a — a 2 2a 或 1+a+ a 2 2a < x < ----------

2a

综上所述：当一2< a < 0时，x 的取值集合为{ x|x <— — }

2a

1

当 a=0 时，x € R 且 X M 1, x € R,当 a=— 2 时：{ x|x v — 1 或一1 < x v - } 4 当 a >0 时，x € { x|x > 1+a+ a 2 2a 或——1

2a

当 a v — 2 时，x € { x|x < 1+a — a 2 2a 或 1+a+ ,a 2 2a < x <—— } 2a 错误原因：解题时易忽视函数的定义域，不会合理分类。

10 .设集合 M= [ — 1，1]，N=[ — ^2- ，] ，f (x)=2x 2+mx- 1，若 x € N,m € M, 8

求证 |f (x )i < 9

_

2

2

2

2

证明：|f(x)|=|2x +mx — 1|= |(2x — 1)+mx| < |(2x — 1)|+|mx|=(2x — 1)+|mx| <

2

(2x — 1)+| x|

1288

=—2(1 x| 一 1)+ 8 = 8

错因：不知何时使用绝对值不等式。

11.在边长为a 的正三角形中，点 P 、Q R 分别在BC CA AB 上，且BP+CQ+AR=a, 设BP=x,CQ=y,AR=z W 角形PQR 的面积为s,求s 的最大值及相应的x 、y 、z 的值。 解设厶BPR △ PCR △ ARQ 勺面积为S 1、、S 2、S 3,则

??? f (x) 0 x 右 a<— 2,则 x 1 X 2

1

2a

弓[a 2—( xy+xz+yz )]

(xy+xz+yz )

2

a

由 x+y+z=a ，得 xy+yz+zx < -, 错因：不知如何使用基本不等式。

设a 、b e R 求证册「罟晋

证明：当|a+b|=0时，不等式已成立

=|a|

+

|b| 三旦

1 |a| |b| 1 |a| |b 广 1 |a| 1 |b| 点评：错证：??? |a+b| < |a|+|b|

? |a b| 三 |a| |b| |a| |b| 三旦 "1 |a b 「1 |a| |b|

1 |a| |b|

1 |a| |b 「1 |a|

错因：①的推理无根据

当|a+b|工0时,

|a b| =

…1 |a |a+b| < |a|+|b| 1 |a| |b| |a b|

1

|a| |b| 1

|a| |b|

3 ? ? S ma = a 12 ,此时，x=y=z=3

罟①