第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质(2)
第一章 行列式
行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质
一、 二、三阶行列式定义的引出
1. 二阶行列式
例1：二阶线性方程组
??
?=+=+2
2221211
212111b x a x a b x a x a
且021122211≠-a a a a . 解：利用加减消元可求得122122
112121
1211221221
11221221
,
.b a a b a b b a x x a a a a a a a a --==--
取 2112221122
21
1211a a a a a a a a D -==
，21222122
2
1211b a a b a b a b D -==
，
得 .,2
21
1D
D x D
D x =
=
定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=
称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第
j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由2
2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程
例2：解方程组.328
3221
21
???-=-=+x x x x 解 D 2
132-=13)2(2?--?=,7-=1D 233
8--=)3(3)2(8-?--?=,7-=
1112112121
21
2
a b D a b b a a b =
=-
2D 3
18
2-=
18)3(2?--?=.14-=
因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解
1x D D 1=
77--=
,1=2x D
D 2=714
--=.2=
2.三阶行列式
定义2
由2
3个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 33
323123222113
1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++
称为三阶行列式。3阶行列式由2
3个元素组成，三行三列；展开式也是一个数或多项式；若是多项式则必有6!3=项，且正负项的各数相同。其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。
应用：解三元线性方程组
类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组
???
??=++=++=++33332321
3123232221211313212111,b
x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 记
D =,3332
312322
21131211a a a a a a a a a 1D =,33
32
3
2322213121a a b a a b a a b
2D =,33331232
2113111a b a a b a a b a 3D =,3
32
31
2222111211b a a b a a b a a 若系数行列式D 0≠，则该方程组有唯一解：
.,,332211D
D x D D
x D D x ===
例3. 计算三阶行列式6
01504
3
21
- 解 =-6
015043
21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??-
4810--=.58-=
例4 ( 解三元线性方程组.0
13222321
321321???
??=-+-=-+-=+-x x x x x x x x x
解 由于方程组的系数行列式
=D 1
1
1
312
121
---- =)1(11-??)1()3()2(-?-?-+121??+11)1(??--1)3(1?-?-)1(2)2(-??--
5-=,0≠
1D =11
311
1
2
2----,5-=2D =1
1
312121
----,10-=3D =0
1
1
112
221---,5-= 故所求方程组的解为:
,111==
D D x ,222==D
D
x .133==D D x
再看三阶行列式
33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ =112233233212213323311321322231()()().a a a a a a a a a a a a a a a ---+- =22232123212211
1213
32
33
31
33
31
32
a a a a a a a a a a a a a a a -+
二、n 阶行列式的定义
1. n 阶行列式的定义 定义3
由2
n 个数
),,2,1,(n j i a ij =排成n 行n 列的式子， 称
nn
n n n n
a a a a a a a a a D
21
2222111211
=
为n 阶行列式。
注意：n 阶行列式|D |是一个算式（多项式）。
当1=n 时，|D |1111a a ==；
当2≥n 时，∑==+++==n
j j j
n n n A a
A a A a A a D D 1
111112121111
其中，j j
j M A 111)1(+-=
nn
j n j n n n
i j i j i i n i j i j i i n
j j j a a a a a a a a a a a a a a a a M
1
,1
,1
,11
,11,11,1,1
,1
,1,21,21
,2211+-+++-+++-+-=
并称j M 1为元素j a 1的余子式，j A 1为元素j a 1的代数余子式；其中, 求和式中共有!n 项．
2.几个特殊行列式
上三角行列式，下三角行列式和对角行列式
nn n
n a a a a a a D
22211211
1=
, 1
1,22111
,1112n n n
n a a a a a a D
--=
nn
a a a D
000
02211
3=
.
例5 计算
nn
n
n a a a a a a D
22211211
1=
解：利用数学归纳法可以证明。
=1D nn a a a 2211
结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．
例6 证明
*
*
*
***=--
1
2,11
,21000000n n n n n a a a a D =2
)1()1(--n n 11,21n n n a a a -
证明：利用行列式的定义
111112
,31,211)1()1(000
)
1(---+--+-=-=*
*
*-=n n n n n n n n
n
n D aD a a a a D
反复利用行列式的定义，可得
1
2,11,2112)2()1(21,2211111)1()1()1()1(n n n n n n n n n n n n n n n a a a a D a a D a D --+++-+--------=--=-= =2
)1()
1(--n n 11,21n n n a a a -
结论：以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素 的乘积, 并冠以符号2
)1()1(--n n ．
特例：
n
n λλλλλλ
212
1
=，
n
n n n
λλλλλλ
212
)1(2
1
)
1(--=
3. 全排列和逆序数
定义4
把n 个不同的元素排成一列组成的一个有序数组称为这n 不同数的一个全排列(简称排列).显然，由n ,,2,1 组成的n 12是一个全排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的，称自然排列。
标准排列：对n 个不同的自然数从小到大构成的排列．
注：n 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．
例如, 自然数1，2，3可以组成多少个没有重复数字的三位数？
（3！=6） ；
自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!=24种；
那么互异元素
n p p p ,,,21 构成的不同排列？有!n 种．
定义5
在一个全排列中，如果某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）之间有（存在）1个逆序．一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列n j j j 21的逆序数记为)(21n j j j τ.
注意：逆序是对元素来说的，而逆序数是对一排列来说的。 算法：固定),3,2( =i , 当i j <时,
满足i j p p >的“j p ”的个数记作i t （称为i p 的逆序）, 那么)(21n p p p τn t t ++= 2.
例 求排列8372451的逆序数, 1562231172=+++++=++=t t τ． 定义6
对一排列来说，逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.
4.排列的奇偶性
把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了.由此得知，一个对换把全部排列两两配对，使每两个配成对的排列在这个对换下互变.
定理 1对换改变排列的奇偶性.
这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 相邻对换：n i i n i i p p p p p p p p 1111++→ 一般对换：
n i j n j i p p p p p p p p 11→)(j i <
推论 在全部!n 各排列中，奇、偶排列的个数相等，各有2/!n 个.
5. n 阶行列式的另一定义
在行列式的定义中，虽然每一项是n 个元素的乘积，但是由于这n 个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中n 个元素(譬如in i i a a a ,,,21 )来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.
看一下二阶和三阶行列式的定义.我们有
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=, (1)
31221333211232231132211331231233221133
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (2) 从二阶和三阶行列式的定义中可以看出，每一项都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，每一项都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成
321321j j j a a a , (3)
其中321j j j 是1，2，3的一个排列.可以看出，当321j j j 是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当321j j j 是奇排列时带有负号.
定义7
n 阶行列式
nn
n n n n
a a a a a a a a a
21
2222111211 (4)
等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积
n nj j j a a a 2121 (5)
的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当
n j j j 21是偶排列时，(5)带有正号，当n j j j 21是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写
成
∑-=
n
n n j j j nj j j j j j nn
n n n n
a a a a a a a a a a a a
21212121)
(21
2222111211)1(τ
, (6)
这里
∑
n
j j j 21表示对所有排列求和.
为了计算n 阶行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些
乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出，n 阶行列式是由!n 项组成的.
三、 n 阶行列式的性质
行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题. n 阶行列式一共有!n 项，计算它就需做个乘法.当n 较大时，!n 是一个相当在的数字.直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算.
性质1 行列互换，行列式不变.即
11
1211121121222122221
212||n n n n n n nn
n
n nn
a a a a a a a a a a a a D a a a a a a =
=
=T D
证明：（略）
设
nn n n
a a a a D
1111=, nn
n n a a a a D
11
11Τ=
则称||T
D 是D 的转置，即D D =Τ．
证 令
),,2,1,(n j i a b ji ij ==, 则
nn
n b b b b D
1n
111Τ=n
n np p p p p p b b
b
2
12121)
()1(∑-=
τ )(21n p p p ττ=
D
a a a
n p p p p p p n n =-=
∑ 21
)
(2121)1(τ
性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如下三角形的行列式
nn nn
n n a a a a a a a a a
221121
222111000=
性质2 行列式
nn
nj n in ij i n j a a a a a a a a a D
111111||=
对任意一行按下式展开，其值不变。
n i A a A a A a a a a a a a a a a D in in i i i i nn
n n in i i n
,,2,1,221121
21
11211
=+++==
其中ij j
i ij M A +-=)1(，ij M 是划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2)1(-n 个元素
按原来的排法构成一个1-n 阶行列式
111,11,1
11,11,1
1,11,1,11,11,1
1,1
,1
,1
j j n i i j i j i n ij i i j i j i n
n n j n j nn
a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=
称为元素ij a 的余子式，记作ij M ，ij j
i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式。
证明：（略） 利用数学归纳法可以证明。
性质3
（i ）nn
n n in i i n
nn
n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a
21
21
112112
1
2111211= 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行所有元素相当于用这个数乘此行列式.
证明：左==+++in in i i i i A ka A ka A ka 2211)(2211in in i i i i A a A a A a k +++ 右=)(2211in in i i i i A a A a A a k +++ 所以，成立。
若0=k ，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零.
即得
推论1 某行元素全为零的行列式其值为零。
（ii ）nn
n n in i i n nn
n n in i i n
nn
n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a
21
211121121
21112112
1
221111211+=+++.
这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 证明：利用行列式的定义可以证明。
性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 所谓两行相同就是说两行的对应
元素都相等.即 当n l j i a a jl il ,,2,1,, =≠=
=
D nn
n jn j in i n a a a a a a a a
1111110=
证明：利用数学归纳法
当2=n 时，结论显然成立，即022
21
12112==a a a a D ；
假设结论对1-n 阶行列式成立；
在n 阶的情况下，对k 行展开，且j i k ,≠
则∑==
+++=n
l kl kl
kn kn k k k k A a
A a A a A a D 1
2211|| ，
kl l k kl M A +-=)1( 又因为kl M 是1-n 阶行列式，由假设，n l M kl ,,2,1,0 ==
所以 0=kl A 即0=D .
推论2 行列式中两行对应元素成比例，其值为零。
=
D nn
n in
i in i n a a a k ka a a a a
1111110=
性质 5 在行列式中，把某一行各元素分别乘以非零常数k ，再加到另一行的对应元素上，
行列式的值不变。（对行列式做倍加行变换，其值不变）。
即 =
D =nn
n jn j in i n
a a a a a a a a
111111nn
n jn
in j i in i n
a a a ka a a k a a a a
1111111++
证明：右式=
+
nn
n in i in i n
a a a k a k a a a a
111111=nn n jn j in
i n
a a a a a a a a
111111=nn
n jn
j in
i n
a a a a a a a a
111111D 性质6 （反对称性）行列式的两行对换，行列式的值反号。
即=D =nn
n jn j in i n
a a a a a a a a
111111=-nn
n in i jn
j n
a a a a a a a a
111111D - 证明：反复利用性质5.
=
D =nn
n jn
j in i n
a a a a a a a a
111111=
++nn n jn j jn in j i n
a a a a a a a a a a
1111111=--++nn
n in i jn in j i n
a a a a a a a a a a
1111111
=--nn
n in
i jn j n
a a a a a a a a
111111=-
nn
n in i jn
j n
a a a a a a a a
111111D -. 性质7 行列式某一行的元素乘以另一行对应元素的代数余子式之和等于零
)(,022111
j i A a A a A a A a
jn in j i j i n
k jk ik
≠=+++=∑=
证明：由性质2，
jn in j i j i n
k jk ik
A a A a A a A a
+++=∑= 22111
=nn
n n in
i i in
i i n
a a a a a a a a a a a a
21
2121
11211
再有性质4，故
)(,022111j i A a A a A a A a
jn in j i j i n
k jk ik
≠=+++=∑=
结论：当j i =时，
,1
D A a
n
k jk ik
∑== 当j i ≠时，.01
∑==n
k jk ik A a
故可写成 ,1
D A a n
k ij jk ik ∑==δ 其中 ?
?
?≠==j i j
i ij ，，01δ.
复习 1. 二阶行列式
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=.
2. 三阶行列式
33
32
31
23222113
1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 3. n 阶行列式
nn n n n n
a a a a a a a a a D
21
2222111211
=
∑==+++==n
j j j n n n A a A a A a A a D D 1
111112121111 其中，j j j M A 111)1(+-=
nn
j n j n n n
i j i j i i n i j i j i i n
j j j a a a a a a a a a a a a a a a a M
1
,1
,1
,11
,11,11,1,1
,1
,1,21,21
,2211+-+++-+++-+-=
并称j M 1为元素j a 1的余子式，j A 1为元素j a 1的代数余子式；
=
n D ∑
-=
n
n n j j j nj j j j j j nn
n n n n
a a a a a a a a a a a a
21212121)(21
2222111211
)1(τ, 这里
∑
n
j j j 21表示对所有排列求和.
4. n 阶行列式的性质
性质1 T
D
D =．
性质2 n i A a A a A a a a a a a a a a a D in in i i i i nn
n n in i i n
,,2,1,||221121
21
11211
=+++==
性质3
（i ）nn
n n in i i n
nn
n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a
21
21
112112
1
2111211= 推论1 某行元素全为零的行列式其值为零。
（ii ）nn
n n in i i n nn
n n in i i n
nn
n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a
21
211121121
21112112
1
221111211+=+++.
性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.
=
D nn
n in i in i n a a a a a a a a
1111110=
性质 5 =nn
n jn j in i n
a a a a a a a a
111111nn
n jn
in j i in i n
a a a ka a a k a a a a
1111111++
性质6 （反对称性）行列式的两行对换，行列式的值反号。
即=
D =nn
n jn
j in i n
a a a a a a a a
111111=-nn
n in i jn
j n
a a a a a a a a
111111D -
性质7 行列式某一行的元素乘以另一行对应元素的代数余子式之和等于零
)(,022111
j i A a A a A a A a
jn in j i j i n
k jk ik
≠=+++=∑=
证明：因为 =
+++jn in j i j i A a A a A a 2211
in i i in i i n a a a a a a a a a 212111211，≠i j
所以 性质7成立
§1.2 n 阶行列式的计算
利用行列式的定义和性质，计算n 阶行列式。
例1 计算
1
3
1
4
21131-1023-35-1=
D
解：55-=D .
注：方法一，降阶法 方法二，上三角法
例2 2
341231413424
321=
D ，求=+++41312111A A A A
解：解法1令 02
341231113414
3211==
D
=+++41312111A A A A 1D 的第1列元素的代数余子式求和相同
而1D 0=，所以1D 按第1列展开可得=+++41312111A A A A 0.
解法 2 因为|D |的第3列元素与|D |的第1列元素的代数余子式相乘得
=+++413121113333A A A A )(341312111A A A A +++=0
所以 =+++41312111A A A A 0.
例3 如果行列式n ij a D 1
=的元素满足 ),,2,1,(n j i a a ji ij =-=就称D 是反对称行
列式.（其中,ii ii a a -=即n i a ii ,,2,1,0 ==） 证明 奇数阶反对称行列式的值为零.
证：设0
00
21212112
n n n
n a a a a a a D ---=
因为
=
=T D D 0
0021212112
n
n
n
n
a a a a a a ---n
)1(-=0
00
21212112 n
n
n
n a a a a a a ---D n )1(-=，
由n 是奇于数，所以D D -=，故，0=D .
例4 证明：33
3222
1113
33
33
322222
21111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 证: 方法1，左边===--++--++--++3
3
3
2221113
3
33322222111112)
(2)
(2)
(2b a c b a c b a c b a c b a b a c b a b a c b a 3
3
3
222
1112c b a c b a c b a 方法2，
方法3，
例5 计算n 阶行列式
x
a a a x a a a x D n
=
解：
x a a a x a a n x D n r r r n
1
11]
)1([)
(21-+=+++
a x a x a n x ---+=
00111]
)1([
1
)]()1([---+=n a x a n x
例6 计算4
321
x a
a
a
a x a a a a x a a a a x D =
，且4,3,2,1,=≠i x a i
解：将D 化成上三角行列式，①第一行乘1-加到各行，
②第j 列乘)4,3,2(=---
j a
x x a j j 加到第一列
D a
x x a a x x a a x x a a a a x ------=
41
31211
0000a
x a x a x a a a a
x x a a x j j j ------=
∑
=4324
2
10
000000
=∑=-----+4
243211))()()(1
)
((j j a x a x a x a
x a x a x =∏∑
==--+4
1
41)()1
1(j j j j a x a x a a 推广 ==n
n x a
a
a
a
a x a a
a
a x a
a a a x D
321∏∑
==--+n
j j n j j a x a x a a 1
1)()1
1(
例7 计算.3610363234232d
c b a c b a b a a d
c b a c
b a b a a d
c b a c
b a b
a a
d c b a D ++++++++++++++++++=
解 从第4行开始，后一行减前一行：
D
r r r r r r ---3341
2
.363023200c
b a b a a
c b a b a a c
b a b
a a d c b
a +++++++++
342
3r r r r --
.20200b
a a
a
b a a a
c b a b a a
d c b
a +++++
3
4r r -..0
020004a a
b a a
c b a b a a
d c b
a =++++
例8 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
,)(1
11||1
1
121
12
2
2
2
12
1
∏≥>≥----==j i n j i
n n
n n n
n
n x x
x x x x x x x x x D
其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.
证 用数学归纳法.
|2D |2
1
11x x =
12x x -=,)(1
2∏≥>≥-=
j i j
i
x x
∴当2=n 时(1)式成立. 假设(1)式对于1-n 时成立，则
|)
()()(0
)()
()
(0
1111|12
13231222113312211312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n ---------=---
=)
())((11312x x x x x x n --- 2232
2
32111
---n n
n n n x x x x x x
|n D |∏≥>≥----=2
11312)()
())((j i n j
i
n x x x x x x x x ∏≥>≥-=1
).(j i n j
i
x x
例9 |nn
n nk
n n k kk k k b b c c b b c c a a a a D
1111111111110000|=
，
,
)d e t (||,
)d e t (||11111111nn
n n
ij kk k k
ij b b b b b B a a a a a A
====
证明 .||||||B A D = （＊） 证 ：利用数学归纳法
k
ij a A 1= 对A 的阶数k 做数学归纳法，
当1=k 时，对D 按第一行展开，得B a B a D 1111==，结论成立。
假设，A 为1-k 阶行列式时，结论成立。
下面证明A 为k 阶行列式的情形，将对D 按第一行展开，得
D k k k D
D M a M a M a D 111122112111111)1()1()1(+++-+-+-= （1）
其中，D
j M 1是j a 1在D 中的余子式),,2,1(k j =
D j M 1也是D 式类型的行列式，而且它的左上角是1-k 阶的。由归纳法的假设 B M M A j D j 11= （2）
其中A
j M 1是j a 1在A 中的余子式，将上式（2）代入（1）得，
B A B M a M a M a D A k k k A
A =-+-+-=+++))1()1()1((111122112111111
故，A 为k 阶时，（＊）成立。 所以，A 为任意阶时，（＊）成立。
证法2 对作运算,j i kr r +对||2D 作运算,j i kc c +可分别把||1D 和|2D |化为下三角形行列式.
|1D |=
kk k p p p
111
0;11kk p p = |2D |=
nn
n q q q
1110
.11nn q q =
对|D |的前k 行作与对|1D |相同的运算,j i kr r +再对后n 列作与对|2D |相同的运算,j i kc c +即
把|D |化为下三角形行列式，且|D |nn kk q q p p 1111?=.||||21D D = 证毕. 推广：若B A D B A B A D ==
*=
则,000。
若B A B
A B
A D m k ?-=*=
*
=)1(0
0 m k ,分别是B A ,的阶数。
例10 设,3
142
3
1
3
150111253------=
D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求
14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.
解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即
3142
3
1
3
150111111
14131211-----=
+++A A A A
341
3r r r r +-
11
20
2
25
0111111
---
1
1
222511---= 1
2c c + .42
520
1
202
511
=-=--
又按定义知,
3
1413
1
3
1
50111251
4131211141312111-------=
-+-=+++A A A A M M M M
3
4r r +
3
1
1
501121)1(0
10
31
3
15
0111251
---=----
3
12r r -.03
1
150
15
01=-----
行列式的定义及其性质证明
行列式的定义及其性质证明 摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力和创新能力。 关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数 1 基本定理与性质的证明 引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…p n的逆序数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性不变。 证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序数之和的奇偶性不变。 定理1 n阶行列式也可定义为 证明由定义1和引理即可证得。 性质1 行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。 (根据性质1知对行成立的性质对列也成立) 性质2 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。 性质3 如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列式等于零。 证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素对应相等，由性质2可知 又A is=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，M i+s又可以展开成n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类推，M i+s 总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即 (mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由于这
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
行列式的应用讲解
摘要 行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。 关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何
The Application of The Determinant Abstract The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects. Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry
行列式的计算技巧与方法总结讲解
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式0 004003002001000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故 004003002001000=() () 241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 22113 2 1 33323122211100 0000=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 121n 1121000 0D 0 n n n a a a b b b b b += =. 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
计算N阶行列式若干方法
网上搜集的计算行列式方法总结, 还算可以. 计算n 阶行列式的若干方法举例 闵 兰 摘 要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。 关键词：n 阶行列式 计算方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100200 10 000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足
,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明 由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a =
线性代数行列式基本概念
目录 目录 (1) 一、行列式 (2) 见ppt。 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
行列式的定义及性质
行列式的定义及性质 （张俊敏） ● 教学目标与要求 通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。 ● 教学重点与难点 教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。 ● 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 （二元线性方程组???=+=+22221 211 212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为： 22 21 1211 222121********* 122211a a a a a b a b a a a a b a a b x = --= 二阶、三阶行列式
22 212 1122 211112112221121 12112a b a a a a b a a a a a a b b a x = --= ）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式） 1112 112212212122 det()a a A a a a a a a = =-，其中A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式： 32 3122 21133331232112333223221133 32 31 23222113 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。 (2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义： 1112122 23 221 23 22122211 12 23 1 3 1 2 21 22 2,1 111 2 ,1 (1)n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-= =-+ +- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的 1n -阶行列式叫做ij a 的余子式，记作ij M ，即11 1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1 ,1 ,1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+= 并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 111111********* det (1)(1)k n n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+ +-=-∑ （2.5）
特殊行列式与行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
行列式的计算技巧与方法总结(修改版)
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式
构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
行列式计算方法归纳总结
数学与统计学学院 中期报告 学院: 专业: 年级: 题目: 学生姓名: 学号: 指导教师姓名职称: 年月日
目录 1 引言 (1) 2行列式性质 (2) 3行列式计算方法 (6) 3.1定义法 (6) 3.2递推法 (9) 3.3化三角法 (9) 3.4拆元法 (11) 3 .4加边法 (12) 3.6数学归结法 (13) 3.7降价法 (15) 3.8利用普拉斯定理 (16) 3.9利用范德蒙行列式 参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。8
行列式的概念及应用 摘要： 本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。 关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式 The concept and application of determinant Summary: This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant. Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant 1 引言 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11=∑ -n n n j j j nj j j j j j a a a 212 1 2121) () 1(τ 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质 性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 即nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11=nn n n n n a a a a a a a a a 2122212121 11； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D= d c b a =ad-b c , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ?,交换i,j 两列记作 C i ? C j 。 32 2311332112312213a a a a a a a a a ---3221133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1
n阶行列式的定义
第二节 n 阶行列式的定义 介绍线性代数的思想方法及其要点，关于行列式定义的说明以及学习中要特别注意之处 内容要点： 从三阶行列式讲起，应如何定义行列式，对于更高阶行列式定义的启发于思考。 一、排列与逆序 定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。 例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列. 规定自然数的排列由小到大的次序为标准次序。 定义2 在一个n 级排列)(21n s t i i i i i 中， 若数,s t i i > 则称数t i 与s i 构成一个逆序.一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为).(21n i i i N 根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数: 设在一个n 级排列n i i i 21中,比),,2,1(n k i k =大的且排在k i 前面的数由共有k t 个, 则 k i 的逆序的个数为k t , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即 .)(1 2121∑== +++=n k k n n t t t t i i i N 定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 二、n 阶行列式的定义 定义4 由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij =组成的记号 nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211 称为n 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积n nj j j a a a 2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即 ∑ -=n n n j j j nj j j j j j N nn n n n n a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1( 其中∑ n j j j 21表示对所有n 级排列n j j j 21求和. 行列式有时也简记为det )(ij a 或||ij a ，这里 数ij a 称为 元素，称 n n nj j j j j j N a a a 212121) () 1(- 为行列式的一般项. 注: (1) n 阶行列式是!n 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半; (2) n nj j j a a a 2121的符号为) (21) 1(n j j j N -(不算元素本身所带的符号); (3) 一阶行列式 ,||a a =不要与绝对值记号相混淆.
n阶行列式的求法
计算n 阶行列式的若干方法举例 闵 兰 摘 要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。 关键词：n 阶行列式 计算 方法 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100 20010000 n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=
则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即 0,1,2,,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a = 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，
线性代数行列式基本概念
目录 一、行列式 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
线性代数总结汇总+经典例题
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1
（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A|
经济数学基础线性代数之第1章 行列式
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式 第一单元 行列式的定义 一、学习目标 通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的． 二、内容讲解 行列式 行列式的概念 什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。 即215 3 - 有几个概念要清楚，即 上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用 ij a 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ， 512=a ，121-=a ，222=a ． 再看一个算式 754 2 3 011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为 –1，2，-7；元素423=a ，5 31=a 又如 1 3 2140301 1320---，是一个四阶行列式． 而11a
经济数学基础之线性代数 第1章 行列式 ()074 21111 111-- =-=+M A 代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数． () 43011322 332- =-=+M A 问题思考：元素ij a 的代数余子式ij A 是如何定义的？ 代数余子式 ij A 由符号因 子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ij j i ij M A +-=1 三、例题讲解 例题1：计算三阶行列式5 4 2 303 241---=D 分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果． 解： () ()() 5 2 33145 4 30112 11 1---?-+--?=++D () 4 20 3123 1--?++ 72 12294121=?+?+?= 四、课堂练习 计算行列式 h g f e d c b a D 0 0000004= 利用n 阶行列式的定义选择答案．
矩阵行列式的概念与运算(标准答案)
矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ? ?????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式; 算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的 对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解
行列式总结
行列式总结 一、概念 1. 排列：排列的逆序数及其计算方法，排列的奇偶性。 一个排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。 一个排列中所有逆序的总数叫做该排列的逆序数。 排列的逆序数的计算方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，然后相加。 ? 逆序数为奇数的排列叫奇排列。 ? 逆序数为偶数的排列叫偶排列。 2．行列式：() () 121212 1112 12122 21212 1n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a = = -∑ 其他两种形式： ()1 212 1n t p p p n D a a a =-∑ ()11 22 1n n t p q p q p q D a a a =-∑ 一般项是不同行不同列元素乘积的代数和。 ※一般项中的元素及一般项符号的确定。 3. 余子式与代数余子式 一般地, 在n 阶行列式中, 把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去, 留下来的n -1阶行列式叫做元素a ij 的余子式, 记作M ij , 令 A ij = (-1)i+j M ij , 并称之为a ij 的代数余子式.
二、性质 ⑴将行列式转置，行列式的值不变：T D D 。 ⑵交换行列式的两行（列），行列式的值变号； 推论：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零； ⑶用数k乘行列式的某一行（列），等于用数k乘此行列式；推论1：如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面； 推论2：如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零； ⑷如果将行列式某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同。 推论：如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。 ⑸将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。 三、计算 ⑴定义法⑵化三角形法（利用性质） ⑶降阶法（展开法则）⑷其他