空间向量基本定理及其应用
空间向量基本定理及其应用
教学目的：
1、了解空间向量基本定理；
2、能利用基向量法解一些简单的空间问题. 教学重点： 教学难点： 教学过程： 一、复习引入： 1、（1）向量的平行四边形法则： （2）向量的三角形法则： （3）向量的多边形法则：
2、平面向量基本定理：在平面上，取两个不共线的向量1e 、2e 作基底，则平面内的任一向量a 都可以用1e 、2e 表示，即存在唯一的实数x 、y ，使得12a xe ye =+.
二、讲授新课：
1、空间向量基本定理：在空间，取三个不共面的向量1e 、2e 、3e 作基底，则空间的任一向量a 都可以用1e 、2e 、3e 表示，即存在唯一的实数x 、y 、z ，使得123a xe ye ze =++.
2、将ABCD （包括它的内部）按向量a 平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体叫做平行六面体，记作平行六面体
ABCD A B C D ''''-. 它的六个面都是平行四边形，
每个面的边叫做平行六面体的棱
三、讲解范例：
例1、三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：ΔABC 为锐角三角形.
例2、设两异面直线a 、b 所成的角为θ，直线a 上两点A 、B 在b 上的射影分别是A′、B′，
则cos θ=
A B AB
''
. 证：∵AA′⊥A′B ′, BB ′⊥A′B ′，
∴cos
|| | |
AB A B AB A B ''
?''
=()|| | |AA A B B B A B AB A B ''''''++?''=2|||||| | |||
A B A B AB A B AB ''''=
'', 故cos θ=
A B AB
''
. 练习：三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a ，则异面直线PB 与
AC 所成角的正切值等于________．答：2
例3、已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，
4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=， 60BAA DAA ''∠=∠=，
（1）用向量AB 、AD 、AA '表示AC '； （2）求AC '的长
解：（1）AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++
（2）22
||()AC AB AD AA ''=++
222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++?+?+?
222435243cos90245cos60235cos60
=+++???+???+???
169250201585=+++++=
所以，||85AC '=
例4、已知O 为空间任意一点，G 为ΔABC 的重心，试用向量OA 、OB 、OC 表示OG ；
A
B
A′
B ′
a
b
空间向量与立体几何(整章教案)
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教
材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与
平面向量基本定理教案(区公开课)
仁爱/诚信/勤奋/创新 授课教师：蒋金凤 课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班
授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时 教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重 点 平面向量基本定理 难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证 突破 方法 通过实例画图和类比平面直角 坐标系的象限归纳总结 教学模式讲授式、探究式 板书设计 平面向量基本定理 平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影 小结： 教学过程 教学活动学生活动设计意图一、情景引入 两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同 的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？ 二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算 （1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？ 看图观察并 思考，说出自己 的判断和依据 学生口述，作图 过程得结果 独立完成，个别 展示 从实际生活 问题入手，贴近 学生的日常生 活，能很好地激 发学生的求知欲 望 复习向量的 线性运算和共线 向量定理，为后 续的向量的分解 和唯一性作铺垫 进入向量分解的 探究，刚刚作图 的过程还记忆犹 新，按照来的痕 迹寻找构造平行 四边形的方法
空间向量高中数学教案课程
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
(完整版)平面向量基本定理练习题
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
数学选修空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为
三维设计3.1.2 空间向量的基本定理
3.1.2 空间向量的基本定理 学习目标 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 知识点一 共线向量定理与共面向量定理 1．共线向量定理 两个空间向量a ，b (________)，a ∥b 的充要条件是________________，使________________． 2．向量共面的条件 (1)向量a 平行于平面α的定义 已知向量a ，作OA → ＝a ，如果a 的基线OA ________________________，则就说向量a 平行于平面α，记作________． (2)共面向量的定义 平行于____________的向量，叫做共面向量． (3)共面向量定理 如果两个向量a ，b __________，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是____________，使____________． 知识点二 空间向量分解定理 1．空间向量分解定理 如果三个向量a ，b ，c ________，那么对空间任一向量p ，________________________，使__________． 2．基底 如果三个向量a ，b ，c 是三个____________，则a ，b ，c 的线性组合____________能生成所有的空间向量，这时a ，b ，c 叫做空间的一个________，记作________，其中a ，b ，c 都叫做__________．表达式x a ＋y b ＋z c ，叫做向量a ，b ，c 的____________或____________． 类型一 向量共线问题 例1 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→ ，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23 FC → .求证：E ，F ，B 三点共线．
高中数学 空间向量及其运算 教案
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
平面向量基本定理03913
2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一
组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.
高中数学_3.1.2 空间向量的基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.2 空间向量的基本定理教学设计 教学设计思路 本节课主要类比平面向量的定理，和学生一起探讨得到空间向量的三个定理，并会在立体几何中进行简单应用。 教学目标 （1）知识和技能目标： 了解共面向量的概念，向量与平面平行的意义；理解共线、共面和 空间向量的分解定理，并能利用它们解决简单问题；理解空间向量 的基底、基向量的概念。 （2）过程和方法目标： 经历概念的形成过程、解题思维过程，体验数形结合思想的指导作 用； 渗透数形结合和类比、转化化归的数学思想方法； 通过问题驱动，让学生在质疑、交流、讨论中形成良好的数学思维 品质。 （3）情感、态度、价值观目标： 本节的学习较多的运用了几何直观、类比、特殊到一般等思维方
法，经历向量及其运算由平面向空间的推广过程，并注意维数增 加带来的影响，并逐步认识向量的应用价值，提高兴趣，树立信 心。 教学重点和难点 本节的重点是空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理，难点是对这些定理条件的理解与运用，空间向量分解定理的空间作图。 教学方法启发式提问探究 教学手段投影仪、多媒体 教学过程 b y c
【问题2】在问题1的前提下，如果c与a、b共面，那么c与a、b之间有何数量关系？（先复习平面向量基本定理）类比归纳切实理解共面向量定理，培养学生思考问题能力 环节三：问题引导实战演练例1已知斜三棱柱ABC- 1 1 1 C B A,设AB a =，b = AC， 1 AA c =，如图，在面对角线 1 AC， 棱BC上分别取点M、N，使 1 AC k AM=，BC BN k = （1 0≤ ≤k），求证：向量MN 与向量a，c共面． 思考1：如何证明三个向量共面 呢？ 思考2：MN能直接用a和c表 示吗？ 思考3：可以将MN进行分解， 教师引导 思路，学 生回答过 程，逐步 完成例题 层层递进，有 利于培养学生 的解题习惯
必修四平面向量基本定理
平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .
思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)
(完整)空间向量__新高中数学教学教学教案
欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．
空间向量基本定理教案
《3.1.2空间向量基本定理》教案 一、教学目标： 1．知识目标：了解向量与平面平行的意义，掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。 2．能力目标：通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。 3．情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。 二、教学重点： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。 三、教学难点： 空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。 四、教学过程 1．复习引入： 在平面向量中，我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。（找同学回答） 由上节课的学习，我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量，那么请大家思考：平行向量基本定理在空间中是否成立？ 结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理”（板书并投影） 注意：①向量0a ≠； ②a b ∥b a λ?=是共线向量的性质定理，b a λ=?a b ∥是空间向量共线的判定定理； 2、问题探究： “向量与平面平行”的概念：如果向量a 的基线平行于平面α或在平面α内，就称a 平行于平面α，记作a ∥α。
平面向量的基本定理
平面向量的基本定理 各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析 一、说教材 1.关于教材内容的分析 （1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。 （2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它、也为平面向量坐标表示的学习打下基础。 （3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。 2.关于教学目标的确定 根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。 1、①了解平面向量基本定理及其意义,会做出由一组基地所表示的向量
②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式 2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力 3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。 3.重点和难点的分析 掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。 二、说教学方法与教学手段 结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。 此模式的流程为激发兴趣--发现问题，提出问题--自主探究，解决问题--自主练习， 采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。
3.1.3 空间向量基本定理
3.1.3 空间向量基本定理 一、基础过关 1． 设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的____________条件． 2． 下列命题中真命题有________(填序号)． ①空间中的任何一个向量都可用a ，b ，c 表示； ②空间中的任何一个向量都可用基向量a ，b ，c 表示； ③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示； ④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示． 3． 已知a 、b 、c 是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是 __________． ①2a ，a －b ，a ＋2b ②2b ，b －a ，b ＋2a ③a,2b ，b －c ④c ，a ＋c ，a －c 4． 下列说法正确的是________(填序号)． ①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直； ④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底． 5． 在以下三个命题中，真命题的个数是________． ①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面； ②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，且{a ，b ，c }构成空间的一个基底． 6． 已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝ ________，y ＝________. 7． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若EF →＋λA 1D → ＝0 (λ∈R )，则λ＝______. 8． 从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR → ＝b ， PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________.(用 a ， b ， c 表示) 二、能力提升 9． 若向量MA →、MB →、MC → 的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列 关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →、MB →、MC → 成为空间一个基底的关系是 ________(填序号)． ①OM →＝13OA →＋13OB →＋13 OC →
平面向量基本定理(教案)
《2.3.1 平面向量基本定理》教案 【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时 【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹 【教材分析】 1.向量在数学中的地位 向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。 2.本节在教学中的地位 平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。 3.本节在教学思维方面的培养价值 平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。 【目标分析】 知识与技能 1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表 示为一组基底的线性组合； 2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。过程与方法 1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上 的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念； 2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定 理所蕴含的转化思想。 情感态度价值观 1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程； 2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。 【学情分析】 有利因素 1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和 向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备； 2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这 为我们学习向量分解提供了认知准备。 不利因素
空间向量基本定理汇总
1 装 订 线 庆云第一中学课堂导学案 （设计者：于长田 审核者：刘晓莉） 年级 高二 学科 数学 编号 x （2-1）44日期 2015-12-02 班级 姓名 3.1.2空间向量基本定理 一．学习目标：掌握空间向量基底的概念；了解空间向量的基本定理及其推论；了解空间向 量基本定理的证明。 二．自学指导：阅读课本P82—P84页注意下面问题。 1.共线向量定理： 2.共面向量： 3.共面向量定理： 4.空间向量分解定理： 三．知识应用 例1在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = a ，AD =b ，1AA =c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ：QA 1=4：1， 用基底{a 、b 、c }表示以下向量： （1）AP ，（2）AN ，（3）AQ 练习：1.已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设，AB = a ，AD =b ，1AA =c 用基底{} ,,a b c 表示如下向量 ： (1) 111,,,AC AB A D DC (2)AG (G 是侧面CC 1D 1D 的中心) 2.已知空间四边形OABC 中，M,N 分别是对边OA,BC 的中点，点G 在MN 上，且MG=2GN.设OA=,a ,OB b = ,OC c =试用基底{} ,,a b c 表示OG 例2.已知向量a =1e －22e +33e ，=21e +2e ，=61e －22e +63e ， 判断a +b 与c 能否共面或共线？c －3b 与b －2a 能否共面或共线？
3 . 已知2,a i j k =-+ 32,b i j k =-++ -37c i j =+ 证明这三个向量共面。 4.已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p a b c =+-，235q a b c =--，71822r a b c =-++，向量p ，q ，r 是否共面？ 例 3.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD,M,N 分别为PC,PD 上的点，且 PM=2MC,PN=ND 求满足MN=x AB y AD z AP ++的实数x,y,z 的值。 5 已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1 （1）化简112 23 AA BC AB ++并在图上标出其结果。（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧 面BCC 1B 1对角线BC 1上的 3 4 分点，设1MN AB AD AA αβλ=++试求,,αβλ的值。 练习巩固： 1．“a ＝x b ”是“向量a 、b 共线”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是 ( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 3．已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是 A ．a B ．b C ．a ＋2b D ．a ＋2c 4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 ( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是 ( ) A.OM →＝25OA →－15OB →－15OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC →＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC → 确定的一点P 与A ， B ， C 三点共面，则λ＝________. 7．在以下3个命题中，真命题的个数是________． ①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面． ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线． ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． 8．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD → ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共
空间向量基本定理及其应用
空间向量基本定理及其应用 教学目的： 1、了解空间向量基本定理； 2、能利用基向量法解一些简单的空间问题. 教学重点： 教学难点： 教学过程： 一、复习引入： 1、（1）向量的平行四边形法则： （2）向量的三角形法则： （3）向量的多边形法则： 2、平面向量基本定理：在平面上，取两个不共线的向量1e 、2e 作基底，则平面内的任一向量a 都可以用1e 、2e 表示，即存在唯一的实数x 、y ，使得12a xe ye =+. 二、讲授新课： 1、空间向量基本定理：在空间，取三个不共面的向量1e 、2e 、3e 作基底，则空间的任一向量a 都可以用1e 、2e 、3e 表示，即存在唯一的实数x 、y 、z ，使得123a xe ye ze =++. 2、将ABCD （包括它的内部）按向量a 平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体叫做平行六面体，记作平行六面体 ABCD A B C D ''''-. 它的六个面都是平行四边形， 每个面的边叫做平行六面体的棱 三、讲解范例： 例1、三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：ΔABC 为锐角三角形.
例2、设两异面直线a 、b 所成的角为θ，直线a 上两点A 、B 在b 上的射影分别是A′、B′， 则cos θ= A B AB '' . 证：∵AA′⊥A′B ′, BB ′⊥A′B ′， ∴cos