小学奥数习题版三年级几何图形计数教师版

图形计数

知识要点

(n m

++-

数线段

【例1】请数出下图中线段的总条数。

【分析】法1：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数：

由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF5条．

由2条基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF4条．

由3条基本线段构成的线段有：AD、BE、CF3条．

由4条基本线段构成的线段有：AE、BF2条．

由5条基本线段构成的线段有：AF1条．

总数5432115

++++=条．

法2：按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图

以A点为共同左端点的线段有：AB、AC、AD、AE、AF5条．

以B点为共同左端点的线段有：BC、BD、BE、BF4条．

以C点为共同左端点的线段有：CD、CE、CF3条．

以D点为共同左端点的线段有：DE、DF2条．

以E点为共同左端点的线段有：EF1条．

总数5432115

++++=条．

法3：线段AF上共有6个点，那么应该共有65215

?÷=条线段。

【小结】两点确定一条线段，假设某条线段上有n个点（包含线段的两个端点），那么这条线段共包含的线段数为(1)2

n n-÷条。

【例2】数一数，下图中共有多少条线段？

【分析】水平方向，有(12)39

+?=（条），两条对角线上有(12)26

+?=

+?=（条），竖直方向有(12)39

（条）线段，所以共有99624

++=（条）线段。

【例3】请问下图有多少条线段？

【分析】五角星每条边上都有6条线段，那么除去相接的那条线段，两个五角星各24条线段，而两个五角星相接的那条线段上有76221

?÷=（条），由此可得此图共有线段

++=（条）。

24242169

【例4】数一数下图一共有多少条线段？

【分析】横向线段：1(21)(321)(4321)(54321)(654321)56

++++++++++++++++++++=（条）；

同样的，斜向左与斜向右的线段条数也均为56条，那么此图形线段总数为：563168

?=（条）。【例5】数一数下图中共有多少条线段？

【分析】横线段：(654321)3(54321)1(4321)298

+++++?+++++?++++?=（条）；

竖线段：(54321)2(4321)3(321)1(21)272

++++?++++?+++?++?=（条）；

因此总线段条数为：9872170

+=（条）。

数长方形

【例6】数一数：下图中有几个长方形（包括正方形）？

【分析】AD（或BC）边上的4326

?÷=条线段中每一条对应的长方形的个数均为CD（或AB）边上的线段个数54210

?=（个）。

?÷=个，也就是说整个图形中的长方形个数为10660

【小结】网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。

【例7】图171

--中有多少个长方形（包括正方形）？

图1-7-1

【分析】 图中长方形个数为：542?÷??÷（）（432）=60（个）；

【例8】 图中有多少个长方形（包括正方形）？

【分析】 添加一条线段后（如图1-7-1）增加了5个长方形；共60+5=65

【例9】 图中有多少个长方形（包括正方形）？

【分析】 法1：按所含宽边的线段长度分类统计：

以AB 为宽边长度的长方形有：6(61)215?-÷=（个）； 以BC 为宽边长度的长方形有：5(51)210?-÷=（个）； 以CD 为宽边长度的长方形有：7(71)221?-÷=（个）； 以AC 为宽边长度的长方形有：5(51)210?-÷=（个）； 以BD 为宽边长度的长方形有：5(51)210?-÷=（个）； 以AD 为宽边长度的长方形有：5(51)210?-÷=（个）；

由此可得图中长方形总数为：15102110101076+++++=（个）。

法2：再增加两条线段后（如原图171--）增加了5611+=（个）长方形；

由此可得图中长方形总数为：6051176++=（个）。

【例10】 下图中有多少个长方形？

F

J

I H

G

B

C D E A

【分析】 长方形ABCD 中包含的长方形个数为：652?÷??÷（）（432）=90（个）；加上EF GH 、之后增加

的长方形个数为：?（2+1）（6+6+1）=39（个）

；最后再加上IJ 之后又增加的长方形个数为：4??÷（542）=40（个）

；综上可得，此图形中包含的长方形总数为：903940169++=（个）。

【例11】 下图中有多少个长方形？

图1-7-2 图1-7-3

【分析】把图中的长方形分为三部分来计算：

+++?+=（个）；

1)去掉长方形EFGH后图中有长方形：(1234)(12)30

2)去掉长方形ABCD后图中长方形的个数也为30（个）；

3)两部分共同构成的长方形有12（个）；

因此，图中长方形的总数为：30301272

++=（个）。

数正方形

【例12】数一数：下图中有几个正方形？

【分析】法1：设最小的基本正方形边长为1，那么边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3的正方形有2个，共20个．即43322120

?+?+?=（个）。

法2：长方形的长被分成4等份，宽分成3等份，那么正方形总数为：43322120

?+?+?=（个）【小结】一般的，一个长方形的长被分成n等份，宽被分成m等份（n m

>），那么这个长方形中正方形的总数为：(1)(1)(2)(2)(1)1

+--+--++-+?（个）。

mn n m n m n m

【例13】下图中共有多少个正方形？

【分析】水平方向的正方形有：由一个小正方形组成的正方形有8个，由四个小正方形组成的正方形有2个；

倾斜的正方形有：由一个小正方形组成的正方形有9个，由四个小正方形组成的正方形有4个，由九个小正方形组成的正方形有1个。那么此图总共有正方形8294124

++++=（个）。

【例14】如图182

--所示，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成44

?的正方形钉阵，现在有足够的橡皮筋，请问能在这个正方形钉阵上套出多少个正方形？

【分析】由于正方形需要我们确定之后再数出来，那么首先我们要考虑的是如何确定正方形的边长和顶点。如图a所示的正方形可以套出222

32114

++=（个），除此之外，我们还能套出如图b所示的正方形4个，以及如图c所示的正方形2个，那么可得此正方形钉阵共可套出正方形144220

++=（个）。

【例15】如图182

--所示为44

?的正方形网格由16个11

?的小正方形构成，网格的格点都是小正方形的顶点。那么，以网格的格点为顶点的正方形一共有个_______。

为了方便，以网格线为边的正方形称之为网格正方形；以格点为顶点的正方形称之为格点正方形。

如图一所示，面积为111

?=的网格正方形有4416

?=个；面积为111

?=的网格正方形的边上有144

?=个格点，所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有1个。

如图二所示，面积为224

?=的网格正方形有339

?=个；面积为224

?=的网格正方形的边上有248

?=个格点，所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有2个。

如图三所示，面积为339

?=的网格正方形有224

?=个；面积为339

?=的网格正方形的边上有3412

?=个格点，所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有3个。

如图四所示，面积为4416

?=的网格正方形有111

?=个；面积为4416

?=的网格正方形的边上有4416

?=个格点，所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有4个。

所以，一共有11422333244150

??+??+??+??=个格点正方形。

【小结】一般地，n n

?的正方形网格中由2n个11

?的小正方形构成，网格的格点都是小正方形的顶点。那么，以网格的格点为顶点的正方形一共有：2

1

(1)1122(1)(1)(1)21

n

i

i n i n n n n n n

=

-+=??+??-++-?-?+??

∑……个

数三角形

图1-8-2

图1-8-2

【例16】数一数下图中共有多少个三角形？

【分析】图中所有三角形必然都含有顶点A，且必有一条边在BC上，所以三角形的个数应该等于BC边上的线段数。BC边上线段数为76221

?÷=（条），所以共有21个三角形。

【例17】数一数下图中共有多少个三角形？

【分析】图中所有三角形必然都含有顶点A，且必有一条边在BC或者EF上，BC以及EF边上线段数均为76221

?÷=（条），因此图中三角形个数为21242

?=（条）。

【例18】数一数下图一共有多少个三角形？

【分析】定义基本三角形边长为1，那么根据三角形的边长分类：

边长为1的三角形个数为：135791136

+++++=（个）；

边长为2的三角形个数为：5432115

++++=（个）；

边长为3的三角形个数为：432110

+++=（个）；

边长为4的三角形个数为：3216

++=（个）；

边长为5的三角形个数为：213

+=（个）；

边长为6的三角形个数为：1（个）；

综上可得，图中三角形的总数为：36151063171

+++++=（个）。

【例19】（第十四届华罗庚少年数学邀请赛决赛试题A（小学组））如下图所示，在边长为1的小正方形组成的44

?方格图中，共有25个格点.在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有________个.

【分析】如图中所示横向边长为3纵向边长为1且短边在右侧的直角三角形个数为24216

??=，短边的方向有上下左右四种，因此符合题意的直角三角形共有16464

?=（个）。

【例20】数一数下图一共有多少个三角形？

【分析】ABC

??÷=，加上DE之后多出3个，因此，此图一共有?中含有的三角形个数为6(542)60

+=（个）。

60363

【例21】数一数下图中的三角形个数是多少？

【分析】观察图形可知此图为以BC为对称轴的对称图形，横向：对称轴之上的ABC

?中包含的三角形个数等于BC边上的线段数为76221

?之中必同样包含21个三

?÷=（个），那么对称轴之下的BCD

角形，纵向：以AD边为某条边的三角形6个，便可得出此图共有三角形2121648

++=（个）【例22】数一数下面图形中各有多少个三角形？

a

【分析】每一个如图a的图形中含有5个三角形，而题中的图形中有4个这样的图形，另外再加上其他单独的三角形有10个，那么题中的图形的三角形个数为：541030

?+=（个）。

【例23】下图中共有几个三角形？

图1-5-2 图1-5-3

【分析】首先为图形编号，如图153

--,定义编号的三角形为基本图形。

由一个基本图形构成的三角形有：(1)(2)(4)(5)(6)共5个；

由两个基本图形构成的三角形有：(12)(24)(23)(45)(35)(56)

++++++共6个；

由三个基本图形构成的三角形有：(124)(456)

++++共2个；

由四个基本图形构成的三角形有：(2345)

+++共1个。

所以共有三角形562114

+++=个。

一课一练

【练习1】数一数下图一共有多少条线段？

【分析】五角星的每条边上有3216

?=条线段，加上外部的五边形，

++=条线段，那么整个五角星有6530

此图形共有线段30535

+=（条）。

【练习2】数一数下图一共有多少条线段？

【分析】此图形由四个大小不一的正五边形套成，由内向外数第一个五边形包含的线段数为5（条），第二个、第三个和第四个包含的线段数相同，总数为35345

??=（条），由此可知图中线段总数为：+=条。

54550

【练习3】下图中有多少个长方形？

【分析】图中长方形个数为(322)(872)84

?÷??÷=（个）。

【练习4】下图中，大大小小的长方形共有多少个？

【分析】由图可知总的长方形个数应该等于长方形ABDE包含的长方形个数与长方形CDFG中包含的长方形个数的和，再减去长方形CDEH中被重复计算的长方形个数。

在长方形ABDE共有长方形：762

（）（542）=210（个）

?÷??÷

在长方形CDFG共有长方形：432

（）（762）=126（个）

?÷??÷

在长方形CDEH被重复计算的长方形有：432

?÷??÷

（）（542）=60（个）

由此可得图中共有长方形21012660276

+-=（个）。

【练习5】下图中有多少个正方形？

【分析】定义其中最小的正方形边长为1，那么按照正方形的边长大小分类计数：边长为1的正方形个数为

?+=个；边长为3的正方形个数为224 44420

?+=个；边长为2的正方形个数为33211

?=个；

边长为4的正方形个数为111

+++=个。

?=个；综上可得，图中正方形总数为20114136

【练习6】下面图中有多少个正方形？

【分析】定义其中最小的正方形边长为1，那么按照正方形的边长大小分类计数：边长为1的正方形个数为

?+=个；边长为3的正方形个数为236

?=个；

45424

?+=个；边长为2的正方形个数为34214

边长为4的正方形个数为122

+++=个。

?=个；综上可得，图中正方形总数为24146246

【练习7】数一数下面图形中有多少个三角形？

【分析】图(1)有2(432)12

??÷=(个)三角形；

图(2)比图(1)多了3个三角形，那么图(2)有12315

+=（个）三角形。

【练习8】数一数下图共有多少个三角形？

【分析】上图可以分成两部分来看，以最上面一点作为公共顶点的三角形包含在图1和图2中，个数为?÷+?÷=（个），以右边一点作为公共顶点同时不含有最上面一点的三角形如图3所54243216

示，个数为3（个），所以原图中共有三角形个数为16319

+=（个）

补充题库

【补充1】数一数，图154

--中共有多少个锐角?你能用两种方法解答这个问题么？

图1-5-4 图1-5-5

【分析】法1：我们规定：由相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：

由1个基本角构成的角有：AOB

∠、BOC

∠共5个．

∠、EOF

∠、COD

∠、DOE

由2个基本角构成的角有：AOC

∠共4个．

∠、BOD

∠、DOF

∠、COE

由3个基本角构成的角有：AOD

∠共3个．

∠、COF

∠、BOE

由4个基本角构成的角有：AOE

∠共2个．

∠、BOF

由5个基本角构成的角有：AOF

∠共1个．

因此，角总数为：5432115

++++=(个)．

法2：以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：

以OA边为公共边的角有：AOB

∠、AOF

∠共5个．

∠、AOE

∠、AOD

∠、AOC

以OB边为公共边的角有：BOC

∠共4个．

∠、BOD

∠、BOE

∠、BOF

以OC边为公共边的角有：COD

∠、COF

∠共3个．

∠、COE

以OD边为公共边的角有：DOE

∠、DOF

∠共2个．

以OE边为公共边的角有：EOF

∠只1个．

因此，角总数为：5432115

++++=(个)．

法3：在图中添加一条线，如图155

--所示，此时以O为顶点的三角形有多少个，就有多少个角，所以角的个数为1234515

++++=（个）。

【小结】两条共端点的射线确定一个角（大于0?小于180?），假设由某点引出n条射线，那么这n条射线可以确定的角（大于0?小于180?）的个数为(1)2

n n-÷个。

【补充2】下图中共有几个三角形？

【分析】如右上图所示为图形标号，定义标号的三角形为基本三角形。可知：

由一个基本三角形构成的三角形有12个；

由两个基本三角形构成的三角形有12个；

由三个基本三角形构成的三角形有6个；

由四个基本三角形构成的三角形有9个；

由五个基本三角形构成的三角形有0个；

由六个基本三角形构成的三角形有7个；

由七到十一个基本三角形构成的三角形均为0个；

由十二个基本三角形构成的三角形有1个；

由此可知，此图形共有三角形1212697147

+++++=（个）。

【补充3】数一数下图中梯形有_________个。

【分析】类似于网格状图形中长方形的数量的求法，题中梯形数量为相邻两条边上的线段数的乘积：（）（432）=60（个）。

?÷??÷

542

【补充4】数一数下图一共有多少个三角形？

图a

【分析】法1：原图可以拆成两部分来看，第一部分如图a，三角形个数有(762)242

?÷?=（个）；第二

部分为添加,

DF EF之后新增出来的三角形个数为9213325

?+++=（个），那么原图中总的三角形个数为422567

+=（个）。

法2：由整体到局部观察图形可得：以点C为公共顶点的三角形个数为

（个）；分别以点,A B为公共顶点且不包含C点的三角形共?÷?+?÷?=

(762)2(432)

有336

A B C三点中的任意一点的三角形总数

+=个，分别以点,D E为公共顶点且不包含,,

为3317

++=（个）。

++=（个），那么图中三角形总数为546767