二项式定理教案

【教学三维目标】

1、知识与技能

（1）能用计数原理证明二项式定理；

（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

2、过程与方法

（1）运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；

（2）借助计数原理与组合知识证明二项式定理．

3、情感态度与价值观

（1）体验归纳思想、化归思想，提高探究、研讨、综合自学应用能力；（2）通过学习提高观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；（3）发挥自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．提高从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．

【教学重点和难点】

1．教学重点

用计数原理分析(a＋b)4的展开式，类比得到二项式定理

2．教学难点

（用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

【教学方法和手段】

本节课采用“三步五环节”教学模式，采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究从(a+b)4这一特例入手，利用从特殊到一般的归纳思想，得到一类探索性问题的求解方法，培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。

【集体备课记要】

二项式定理是代数乘法公式的推广，这节课的内容安排在计数原理之后进行学习，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面是由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处．再者，二项式定理也为学习随机变量及其分布作准备，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙．运用二项式定理还可以解决如整除、近似计算、不等式证明等数学问题．总之，二项式定理是综合性较强、具有联系不同内容作用的知识．课标要求：，1、能利用计数原理证明二项式定理，理解并掌握二项式定理；2、会用二项式定理解决有关问题。那么作为《二项式定理》第一课时的教学目标是“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，在听取了韩校长、数学教研室孙主任和备课组老师

们的意见后，认为后者重要。于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究二项式定理的形成过程。学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生借助探究二项式定理的形成过程来记忆？“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。于是，我围绕二项式定理的所反映的规律——即通项的规律进行了一系列的问题设计，让学生亲自体验二项式定理的发现和创造历程，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美．

【教学反思】

二项式定理教学反思

我于5月10日执教了“1751”工程观摩课——《二项式定理》，现就这节课的教学做反思如下：

我是按照“教什么、怎么教”的思路进行设计的。

一、教什么

二项式定理是代数乘法公式的推广，这节课的内容安排在计数原理之后进行学习，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面是由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处．再者，二项式定理也为学习随机变量及其分布作准备，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙．运用二项式定理还可以解决如整除、近似计算、不等式证明等数学问题．总之，二项式定理是综合性较强、具有联系不同内容作用的知识．课标要求：，1、能利用计数原理证明二项式定理，理解并掌握二项式定理；2、会用二项式定理解决有关问题。那么作为《二项式定理》第一课时的教学目标是“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，在听取了韩校长、数学教研室孙主任和备课组老师们的意见后，认为后者重要。于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究二项式定理的形成过程。学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生借助探究二项式定理的形成过程来记忆？“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。于是，我围绕二项式定理的所反映的规律——即通项的规律进行了一系列的问题设计，让学生亲自体验二项式定理的发现和创造历程，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美．

二、怎么教

本节课教学我采用了“三步五环节”教学模式，同时注意了以下问题

二项式定理这节课的教学目标是利用计数原理证明二项式定理，理解并掌握二项式定理，教学的落脚点放在探究二项式定理的形成过程上，设计时，从(a+b)4这一特例入手，利用从特殊到一般的归纳思想，得到一类探索性问题的求解方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。这一节是求解探索性问题的课型，这就决定了本节课应该是调动学生积极性，充分讨论，积极思考，集思广益，探索方法和结论的过程。所以在教学设计上蕴含了另一条主线“情境—问题”，使情境、问题形成锁链，相互孕育，有序展开。

一、注重问题的情境创设，设疑问引悬念

思维永远是从问题开始的，教学过程是一个提出问题和解决问题的持续不断的活动。黄河清特级数学教师说：“数学课堂应让学生带着问题、带着兴趣走进教室，带着更多问题、更大的追求走出教室、走出校门、走向生活，‘问题’成为动力，‘解决问题’唤起学生探索的激情。”只要教师有意识地设计出悬念，就能从“悬”中激发学生的求知欲，吸引学生的注意力。

二项式定理课堂实录

问题2：在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3

对于(a+b)4＝(a+b)3(a+b) =……，(a+b)5＝(a+b)4(a+b) =……可以利用多项式乘法逐项展开，(a+b)100又怎么办？ (a+b)n(n∈N+)呢？

师：我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性,如何着手研究它的规律呢？它的规律又是什么？这就是我们这节课的学习目标。

非常具有挑战性问题的引入能使学生产生新奇感，激发了学生的学习兴趣和积极性．二、以“问题链”组织课堂教学，有效开展探究性学习

一堂课,无论课型如何,无论上什么内容,无论用何种教学媒体,要使课堂生动,关键是看教师如何设计课堂提问.可以说,问题设计是一堂课的"灵魂",因为问题设计决定着教学的方向、顺序,问题设计关系到学生思维活动开展的深度和广度,问题设计直接影响着教师本节课教学的效果

设计好的“问题串”是关键，好的问题串能搭建起“适脚”的“脚手架”，有利于突破核心思想、教学的难点，“有意义”“适度”的问题串，能够引导学生自主探究，并在过程中形成思想。

二项式定理这节课就非常适合以问题串来引领学生做好自主探究和合作探究。以小问题带动大问题，环环相扣，不仅上活了课，而且更主要的是充分而有效地训练了学生的思维。以下我仅以难点突破为例来探讨问题串的设计。

本节课的难点在于确定二项展开式中，每一项的二项式系数，对于一般学生来说，真正能独立归纳出来，有一定的困难，教师在此时的设置问题一步步引导启发，就显得尤为重要．课堂实录：

探究研究规律的方法：

自学问题1:由多项式乘法的法则可以知道：(a+b)n的二项展开式是多项式，这个多项式是由单项式（即多项式的项）的和构成的，因此研究二项展开式的规律需要研究

自学问题2: 由于二项式(a+b)n项的指数n是一个变量，研究展开式的规律比较困难，为了找到问题的突破口，我们可以先研究

设计意图：引导学生寻找探究问题的目标和方法

探究1：探究(a+b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)的展开式

问题1：请在多项式中圈出能得到(a+b)4展开式中的项a4 b0的单项式a

(a+b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

展示分享成果1：探究发现：(a+b)4展开式中的项a4 b0项是通过得到的

问题2：请在多项式中用不同颜色的笔标出得到(a+b)4展开式中的项a3 b的单项式a和b (a+b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

(a+b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

(a+b)4 ＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

展示分享成果2：和问题你是如何做到标注时不重复无遗漏的？

构成(a+b)4展开式中的项a3b的单项式a和b有种取法，由此得项a3b的系数是

设计意图：以上两个问题由浅入深，由简单到复杂，引导学生体验(a+b)4展开式中的特殊项得来的过程，通过学生自己用笔动手圈注和问题“你是如何做到标注时不重复无遗漏的？”的引导，让学生自己体验的到这些特殊的项需要两个步骤：先取b再取a，进而可以轻而易举的把对特殊项的探究的方法转移到计数原理上来。

展示分享成果3：你能把上面探究项a3b的问题转化为用组合的观点来解决的问题吗？

问题3：请你用组合的观点来探究(a+b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)展开式中的项a2 b2的系数

设计意图：通过“展示分享成果3”共同体讨论的解决，使学生的思维发生了质的飞跃，把

对特殊项的探究的方法转移到计数原理上来，通过“问题3”的进一步实践，形成了科学的探究方法——计数原理。

问题4：类比以上探究项a 4b 0和a 3b 及a 2b 2构成规律的方法， 请你写出 (a+b)4 二项展开式的每一项（把展开式按照a 的降幂,b 的升幂进行排列）

(a+b)4 ＝

展示分享成果4：

写出能代表(a+b)4展开式每一项的代数式 （提示：观察项中的哪些量在变化哪些不变）

它是展开式的第 项

写出能代表(a+b)5展开式每一项的代数式 它是展开式的第 项

……

能代表(a+b)n 展开式每一项的代数式你也能写出是吗？ 你太棒啦！

它是展开式的第 项

设计意图：前面对(a+b)4特殊项研究已经很成功，急需进一步把这一研究方法推广到展开式的每一项，从而得到(a+b)4二项展开式，为此设计了问题4，“展示分享成果4：”又把这一问题往前推进了一步，引导学生找出展开式的通项，进而推广到一般情形。

【精讲点拨】

探究2：探究(a+b)n 二项展开式规律

类比以上展开方法展开()n a b +（把展开式按照a 的降幂,b 的升幂进行排列）

()n a b +＝ （n ∈N+）

展示分享成果5：你认为可以从哪些方面引导自己记忆上述展开式的规律？

设计意图：有了前面对(a+b)4二项展开式的这一特例的探究过程，学生写出()n a b +的二项展

开式是水到渠成的事，“展示分享成果5：你认为可以从哪些方面引导自己记忆上述展开式的规律？”,这是一个非常开放的问题，有了前面的探究基础，学生会很容易总结出从项数、二次项的系数、指数、和通项公式进行找规律进行记忆。在这里我特别要提出的是，在第一次备课时在这里的处理大不相同，第一次备课时我自己把结构特点总结出来了，设置了几个小问题让学生思考填空，这一做法被同事们否决了。从课堂反映来看，学生是完全有能力自己

探究出公式的所有形式上的特点和规律的，并且还出现了0()n n

r n r r n r a b C a b -=+=∑这种简约形式，

引起老师和同学们的赞许。我想我们的数学课堂上老师提问题学生回答和学生自己找出问题然后解决的效果是大相径庭的。所以我们课堂上应适时引导、鼓励学生提问题。“一般的老师会叙述，好老师会解释，优秀教师会演示，伟大的教师会启迪”。所以课堂上我们老师不但设计问题串要合理，符合学生的认知结构和思维能力，我们也应该适当尝试改变老师讲学生听，老师问学生答这种方式，充分调动学生的主动性和积极性，改变被动学习局面，引导鼓励学生提出问题无疑是一种很好的方法。

三、实施有效的课堂训练策略

注重对题目的选择，难度切合学生实际，使学生做有效题。强调学生的训练有效，掌握课堂教学内容，在内容领悟、知识掌握、过程规范、运算能力和思维能力上有效提高。

四、水到渠成的课堂小结

课堂小结顺其自然地引导学生从知识、技能、方法、思路等方面进行反思，然后

学生有感而发，而不是追求形式、表面化的迎合老师需要的所谓的体会和小结；

要把握知识之间的内在本质联系，引导学生用扩展、深化等方式提出新问题，并

用问题链引向课外或后续课程。

感受问题情境，激发探究兴趣

你知道吗？

问题1：多项式乘法的再认识： 展开1122()()a b a b ++＝

探究：展开式的每一项是如何得来的？

问题2：在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a 3+3a 2b+3ab 2+b 3

对于(a+b)4＝(a+b)3(a+b) =……，(a+b)5＝(a+b)4(a+b) =…… 可以利用多项式乘法逐项展开，(a+b)100又怎么办？ (a+b)n

(n ∈N +)呢？ 设计意图：以上两个问题的设计既铺垫了学习新课必备的知识，又激发了学生的学习欲望

自 学

【定标自学】

探究研究规律的方法：

自学问题1:由多项式乘法的法则可以知道：(a+b)n

的二项展开式是多项式，这个多项式是由单项式（即多项式的项）的和构成的，因此研究二项展开式的规律需要研究

自学问题2: 由于二项式(a+b)n 项的指数n 是一个变量，研究展开式的规律比较困难，为了找到问题的突破口，我们可以先研究 设计意图：引导学生寻找探究问题的目标和方法

对 话

【合作探究·展示分享】

探究1：探究(a+b)4 ＝(a ＋b)(a ＋b)(a ＋b) (a ＋b)的展开式

问题1：请在多项式中圈出能得到(a+b)4展开式中的项a 4 b 0的单项式a

(a+b)4 ＝(a ＋b)(a ＋b)(a ＋b) (a ＋b)

展示分享成果1：探究发现：(a+b)4展开式中的项a 4 b 0项是通过 得到的

＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

(a+b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

(a+b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

(a+b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)

展示分享成果2：你是如何做到标注时不重复无遗漏的？

构成(a+b)4展开式中的项a3b的单项式a和b有种取法，由此得项a3b的系数是

设计意图：以上两个问题由浅入深，由简单到复杂，引导学生体验(a+b)4展开式中的特殊项得来的过程，通过学生自己用笔动手圈注和问题“你是如何做到标注时不重复无遗漏的？”的引导，让学生自己体验的到这些特殊的项需要两个步骤：先取b再取a，进而可以轻而易举的把对特殊项的探究的方法转移到计数原理上来。

展示分享成果3：你能把上面探究项a3b的问题转化为用组合的观点来解决的问题吗？

问题3：请你用组合的观点来探究(a+b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b) (a＋b)展开式中的项a2 b2的系数

设计意图：通过“展示分享成果3”共同体讨论的解决，使学生的思维发生了质的飞跃，把对特殊项的探究的方法转移到计数原理上来，通过“问题3”的进一步实践，形成了科学的探究方法——计数原理。

问题4：类比以上探究项a4b0和a3b及a2b2构成规律的方法，请你写出(a+b)4二项展开式的每一项（把展开式按照a的降幂,b的升幂进行排列）

(a+b)4＝

展示分享成果4：

写出能代表(a+b)4展开式每一项的代数式（提示：观察项中的哪些量在变化哪些不变）

它是展开式的第项

写出能代表(a+b)5展开式每一项的代数式它是展开式的第项

……

能代表(a+b)n展开式每一项的代数式你也能写出是吗？你太棒啦！

它是展开式的第项

设计意图：前面对(a+b)4特殊项研究已经很成功，急需进一步把这一研究方法推广到展开式的每一项，从而得到(a+b)4二项展开式，为此设计了问题4，“展示分享成果4：”又把这一

问题往前推进了一步，引导学生找出展开式的通项，进而推广到一般情形。

【精讲点拨】

探究2：探究(a+b)n 二项展开式规律

类比以上展开方法展开()n a b +（把展开式按照a 的降幂,b 的升幂进行排列）

()n a b +＝ （n ∈N +）

展示分享成果5：你认为可以从哪些方面引导自己记忆上述展开式的规律？

设计意图：有了前面对(a+b)4二项展开式的这一特例的探究过程，学生写出()n a b +的二项展开式是水到渠成的事，“展示分享成果5：你认为可以从哪些方面引导自己记忆上述展开式的规律？”,这是一个非常开放的问题，有了前面的探究基础，学生会很容易总结出从项数、二次项的系数、指数、和通项公式进行找规律进行记忆。

尝试应用

例1、展开二项式：(1)n x +=

例2、展开二项式：()n

a b -

例3：求二项式6(12)x +展开式的第四项的二项式系数和系数

评 价

【课堂评价】

1、写出7

()p q +的展开式

2、(12)x - 展开式的第四项的二项式系数是：

【课堂小结】:本节课的学习你学到了哪些知识？哪些方法？你还有哪些学习心得？

目标达成练习

【基础过关】

1、展开二项式6(12)x -

【能力提升】

2、写出6)12(x x -

展开式的通项

3、展开二项式6)12(x x -

【拓展提高】

4、下节课预习导引

①求6(12)x -展开式中含3

x 的项。

②：若今天是星期一，再过８n （ｎ∈Ｎ*）天后是星期几？怎么算？

③ 求证：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，