初中数学代数知识大全

初中数学代数知识大全

一、有理数的运算

1、 相反数：::0:0a a

a a --的相反数为的相反数为的相反数为

2、 绝对值：

3、 倒数：1ab =，.a b 和互为倒数 或 1a b

=

4、 有理数的加法：(||||)a b a b ++=++ ()(||||)a b a b -+-=-+

(||||)a b a b -+=-- ()(||||)(||||)a b a b a b +-=+->

5、 有理数的减法：()a b a b -=+-

6、 有理数的乘法：||||a b a b ?=+? ||||a b a b -?=-? (0,0)a b ≥≥

7、 有理数的除法：||||a b a b ÷=+÷ ||||a b a b -÷=-÷ (0,0)a b ≥≥

8、 有理数的乘方：

()n

a a a a n a a

=??

??个

22()

n

n

a a =-

21

21

()

n n a a

++=-- (0)a ≥

二、整式的运算

1、 整式的加减：

（1） 非同类项的整式相加减：ab mn ab mn ±=±（不能合并！）

（2） 同类项的整式相加减：()ab an b n a ±=±（合并同类项，只把系数相加减） 2、 整式的乘除：

（1） 幂的八种计算

（a ） 同底数幂相乘：m

n m n

a a a

+?=

（b ） 同底数幂相除：(0)m

n

m n

a a

a a

-÷=≠

（c ） 零指数：0

1(0)a a

=≠

（d ） 负指数：

1

(0)p

p

a a

a

-=

≠

（e ） 积的乘方：

()

m

m

m

ab a b =?

（f ） 幂的乘方：

()

n

mn

m

a a =

（g ） 同指数的幂相乘：

()m

m

m

ab a

b ?=

（h ） 同指数的幂相除：(0)()m

m

m

b a a b b

÷=≠

（2） 整式的乘法：

（a ） 单项式乘单项式：ma nb mnab ?=

（b ） 单项式乘多项式：()m a b c ma mb mc ++=++ （c ） 多项式乘多项式：()()a b m n am an bm bn ++=+++ （3） 乘法公式：

（a ） 平方差公式：2

2

()()a b a b a

b +-=-

（b ） 完全平方公式：

2

2

2

2()

ab a b a b =+±±

（c ） 三数和的完全平方公式：2

2222()()ab bc ac a b c a b c =+++++++ （d ） 立方和公式：2

233

()()a b ab a

b a b +-+=+ （e ） 立方差公式：2233

()()a b ab a

b a b -++=-

（f ） 完全立方公式：

3

3223

33()

b a a b a a b b =±+±±

（g ） 三数和的完全立方公式：3

3333()()abc a b c a b c a b c =+++++++ （4） 整式的除法：

（a ） 单项式除以单项式：(

)()m

ma nb a b n

÷=÷ （b ） 多项式除以单项式：()ma mb mc m ma m mb m mc m a b c ++÷=÷+÷+÷=++

三、因式分解的运算

1、 提取公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++

2、 公式法：

2

2

()()a b a b a

b -=+-

2

2

2

2()ab a b a

b ±+=±

3、 十字相乘法：2

()()()m n a mn a m a n a

+++=++

四、分式的运算

1、 分式的通分：

(0,0)m mb a b a ab

=≠≠ 2、 分式的化简（约分）：(0,0)mb mb b m

a b ab ab b a

÷==≠≠÷

3、 分式的加减：

（1） 同分母的分式相加减：(0)m n m n a a a a ±±=≠ （2） 异分母的分式相加减：(0,0)m n mb na

a b a b ab

±±=≠≠

4、 分式的乘除：

（1） 分式的乘法：

(0,0)m n mn a b a b ab

?=≠≠ （2） 分式的除法：(0,0,0)m n m b mb

a b n a b a n an

÷=?=≠≠≠

五、根式的运算

1、

根式的加减：(m n =± （同类根式才能相加减） 2、

根式的乘除：(mn =

(

(0,0)m n b n =≠≠ （同次根式才能相乘除）

3、

根式的乘方：2

(0)a a =≥

4、

2

(0)m a a ==>

2

)()m a mb

a b a b

==- 六、方程的运算

1、 一元一次方程

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1。

注意：移项时，此项前的符号要变号；去括号时，括号前是“－”时，括号的每一项都要变号。 2、 关于x 的一元一次方程ax b =的解的三种情况

（1） 0a =，0b ≠，方程无解

（2） 0a =，0b =，方程无数多个解 （3） 0a ≠，方程只有一个解 3、 二次一次方程（组）

（1） 二元一次方程的正整数解（不定方程）

（a ） 不定方程的概念：一个方程，两个未知数。

（b ） 不定方程的解：有无数组解，这些解有一定的规律。一般只讨论正整数解。

（c ） 不定方程的一般解法 （选学容******） 对于不定方程3490x y +=来说：

解法步骤为：（1）整理：用一个未知数表示另一个未知数。9044

3033

y x y -==- （2）求解：令1,2,3,4y =，求出x 的整数解。

（3）设参数：∵4

303

x y =-

，且x 为整数。 ∴

4

3

y 显然是3的倍数。 故3(1,2,3,4)y k k ==

所以符合要求的解集为：

（2） 二元一次方程组的解法 （a ）代入消元法

要点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，代入方程求解。 （b ）加减消元法

要点：通过加减消去一个未知数，求出另一个未知数，代入方程再求出消去的未知数。 （3） 三元一次方程组的解法 主要是加减消元法

要点：先用①式与②式消成二元一次方程，再用②式与③式消成二元一次方程，然后组成新的二元一次方程组再求解。 4、 分式方程

（1） 步骤：方程两边同时乘最简公分母，去分母，化为整式方程求解，检验。 （2） 要点：增根的检验很必要，不然方程中分母为0，无意义！

（3） 增根的检验：代入原方程的分母，看分母是否为0。为0则是增根，不为0则是原

方程的根

（4） 拓展提高：已知增根，求分式方程中的参数的值。先公为整式方程，代入增根的值，

即可求出原方程中的参数的值。（注意，不能先代入，否则分母为0，无法计算。）

5、 一元二次方程

（1） 三种解法

（a ） 配方法

步骤：一化（化二次项的系数为1）

二移（把常数项移到方程右边）

三配（方程两边同时加上一次项系数一半的平方） 四整理（写成完全平方式，两边开方）

五写根（通过开方的两个答案，写出两个根） （b ） 公式法

步骤： 一、找系数

二、算2

4ac b

?=

-的值

三、代公式2b x a

-=

四、写出两根

（c ） 因式分解法

步骤：一整理（方程整理成右边=0的形式）

二分解（把方程左边分解成两个整式之积） 三求根（根据每一个整式为0，求出两根）

（2） 求根公式的理解x =

（a ） a 不能为0。因为0a =，分母=0。式子无意义

（b ） 0b =，x ==

1x =

2x = 两根互为相反数。

（c ） 0c =，222b b b b

x a a a

-±-±-±===

102b b a x -+=

=，22b b b a a

x --==- 两根之中至少有一个根为0。 （3） 根的判别式 2

4ac b

?=

-

（a ） 当2

40ac b ?=->时，方程有两个不相等的实数根。 （b ） 当2

40ac b ?=-=时，方程有两个相等的实数根。 （c ） 当2

40ac b ?=-<时，方程元实数根。 （d ） 当2

40ac b

?=

-≥时，方程有两个实数根。

（e ） a 、c 异号时，方程必有实数根。

（4） 方程的特殊解与系数的关系

（a ） 当方程有一个根为0时，0c =，另一根为b a

-

（b ） 当方程有一个根为1时，0a b c ++=，另一根为

c a （c ） 当方程有一个根为1-时，0a b c -+=，另一根为c a

- （5） 根与系数的关系（韦达定理）

2

0a bx c x ++=的两个根为1x 和2x ，则1x 和2x 满足以下关系：

1

x ＋2

x

=b

a

- ，1x 2

x

=c a

根据以上规律还可以得到以下关系：

2

22

2

2

2

22

1

2

22221212()()ac c c a a b b b x x x x x x a a

a

-+=-=-?=-=+-

12

1

2

1

2

1

1

b

b

a c c a x x

x x

x x

-

+

=

==-+ 2

2

2

2

2

211

2

1

2

2212ac

ac

c

ac

a

b

x x x x a

b

x x

x x

-+-+==

=

12||x x -==

=

=

==

=

2

4

4

222221212

12()x x x x x x +=-+ 2

3

2

2

1ac

b

x

x a

-+

的分析如下：

∵

2

22112)()021

(b c b

a b c a a x x x x x a

+

+?+++= 即：2

3

2222120112b c b bc

a a a

b x x x x x a a

+++++=

2

3

2222122()()112ac b c bc a a b x x x x x x a a -=++++++

22

3

22

223

2

33

3

2

3

22

3

3

2

3

2

2()()121201ac ac b c b bc

a a a abc

ac

abc

abc

ac abc b b x x a a a

b

b

x x a

a a a

b b x x a a

--=++-++--=+-

++

--=++=

∴

2

3

3

2

3

2

21ac

abc b

b

x

x a

a

--+

=

七、不等式（组）的运算

1、 不等式的三条性质

（1） 若,a b a m b m >±>±则

（不等式两边同时加减相同的代数式，不等号方向不变） （2） 若,0,a b a b m am bm m m >>>>则或

（不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变） （3） 若,0,a b a b m am bm m m

><<<则或

（不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号方向改变）

2、 不等式的解法

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为1。 注意：移项要变符号，两边同时乘或除以一个负数，不等号要改变。 3、 不等式的解集在数轴上表示 （1） “><和”，用空心圆圈 （2） “≥≤和”，用实心圆圈 4、 求符合不等式解集的特殊解

（1） 正整数解 （2） 非负数解

（3） 与一元二次方程的判别式相结合的求解集。(分0,0,0,0?>?=?

（1） 两个都是大于：大大取较大。

,()x a x b a b >>> 解集为：x a >

（2） 两个都是小于：小小取较小。

,()x a x b a b <<> 解集为：x b <

（3） 大于小的，小于大的：大小小大中间找。

,()x a x b a b ><< 解集为：a x b << （a 、b 之间）

（4） 大于大的，小于小的：大大小小没法找。

,()x a x b a b ><> 解集为：无解

6、 用图像解不等式

（1） 一次函数

分kx b +>0和<0两种，即横轴之上与横轴之下两种图象来考虑。 刚好在x 轴上 ，即kx b +=0。

分三种情况来考虑：

① 图象与x 轴的交点：kx b +=0

② 图象在x 轴之上的部分：kx b +>0

③ 图象在x 轴之下的部分：kx b +<0

（2） 一次函数与反比例函数

分k kx b x +>

k kx b x += k

kx b x

+< 三种情况考虑 如图：交点坐标很重要。

每种情况都要分几个区域来考虑。

①直线在曲线之上：一次函数大于反比例函数

②直线在曲线之下：一次函数小于反比例函数

③直线与曲线的交点：一次函数等于于反比例函数

（3） 二次函数

2

0a bx c x ++>

从开口方向、图象与x 轴交点坐标、图象在x 轴之上、与在x 轴之下几个因素来考虑

① 图象在x 轴上方的部分：2

0a bx c x

++>

② 图象在x 轴下方的部分：2

0a bx c x

++<

③ 图象与x 轴的相交处：2

0a

bx c x

++=

④ 无交点时，整个图象在上与在下两种。

八、直角三角形边角关系（三角函数）的运算

1、 四种三角函数的（直角三角形）定义

（1） 正弦：（对边比斜边）sin a A c = （2） 余弦：（邻边比斜边）s b

co A c =

（3） 正切：（对边比邻边）tan a

A b =

（4） 余切：（邻边比对边）cot b

A a

=

2、 四种三角函数的（直角坐标）定义