高考数学典型题一题多解系列三
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第11题 一道根式函数题的6种解法
设t t =求的取值范围(江苏高考解答题中的一个小题)
解法一:(平方化为二次函数)对t =两边平方得22t =+
011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ ,
故t 的取值范围是⎤⎦
解法二:(三角换元法)注意到
))()211x +
=-≤≤,
可用三角换元法,如下:
2sin ,0,2πααα⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦
得 2sin 4t πααα⎛
⎫==+ ⎪⎝⎭
由
32sin 24
4
424π
π
ππαα⎛
⎫≤+
≤
≤+≤ ⎪⎝
⎭
t ∴的取值范围是⎤⎦
解法三:(三角换元法)[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令, 则有
cos sin cos sin 2222t θθ
θθ⎫⎫==+=+⎪⎪⎭⎭
以下解法同解法二,这两种换元法本质上是一样的,只不过是从不同角度看问
题的,
解法二,注意到了平方和为一个常数,解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手.
解法四:(双换元法),u v x ==消去得:
2
2
2u v +=,问题转化为方程组2
2
02
u v t
u v u v +=⎧≤≤≤≤⎨+=⎩在条件下有解时,
求t 的取值范围,即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时,
求t 的取值范围,以下用数形结合法解(略)。
解法五:(构造等差数列)由t =22
t
=⨯,
2t
成等差数列。
22
t t
d d =-=+,
消去x 得2
22222,442t d t d =+=-,由20d ≥知
22444t d =-≤,得2t ≤。
0。
222
d d ≤≤-
≤≤
221
444422
t d ∴=-≥-⨯=2t ≤≤
解法六:(构造向量法)设向量(1,1),(1p q x ==+,两向量的夹角为α,
则112cos 2t p q t αα=⋅=+=∴≤
由图像知:当点位于坐标轴上时,cos α取最小值。
01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思:上述六种解法一个共同特点,都是从函数式的结构特点出发,或变更形式,或巧妙换元,或数形结合,或构造向量,都是数学转化思想的有效应用,但对六种方法作一对比,不难看出,方法一最为简单,究其原因,仍是平方后的结构简洁的特点所致,因此,函数结构特征决定求解方法。
通过解一道高考题,探索其多种解法,体现了换元法、向量法、解析几何
法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值(值域)中的应用。 数学知识有机联系纵横交错,解题思路灵活多变,解题方法途径众多,但最终却能殊途同归,即使一次性解题合理正确,也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法,不能解完题就此罢手,应该进一步反思,探求一题多解,开拓思路,勾通知识,掌握规律,权衡解法优劣,培养学生发散思维能力;探求一题多变,做到举一反三,在更高层次更富有创造性地去学习,摸索总结,使自己的解题能力能更上一层楼。
第12题 特值压缩法求解参数取值范围
已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+。
(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值
(Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围. 解:(Ⅰ)由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====,
而()f x '=2x b +,()g x '=()x e cx d c ++,∴a =4,b =2,c =2,d =2;……4分 (Ⅱ)解法一:(按部就班分类讨论法) 由(Ⅰ)知,2()42f x x x =++,()2(1)x g x e x =+,
设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---(2x ≥-),
()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-,
有题设可得(0)F ≥0,即1k ≥, 令()F x '=0得,1x =ln k -,2x =-2,
(1)若21k e ≤<,则-2<1x ≤0,∴当1(2,)x x ∈-时,()F x <0,当1(,)x x ∈+∞时,()F x >0,即()F x 在1(2,)x -单调递减,在1(,)x +∞单调递增,故()F x 在x =
1x 取最小值1()F x ,
而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0, ∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立, (2)若2k e =,则()F x '=222(2)()x e x e e +-,
∴当x ≥-2时,()F x '≥0,∴()F x 在(-2,+∞)单调递增,而(2)F -=0, ∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立, (3)若2k e >,则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---<0, ∴当x ≥-2时,()f x ≤()kg x 不可能恒成立, 综上所述,k 的取值范围为[1,2e ].
解法二:特值法先压缩参数范围,可以大大减少讨论步骤,但是这是一个特殊方法,不被重视。当然不具备一般性。但对于一些题目可以减少讨论步骤。
设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---(2x ≥-),