高考数学典型题一题多解系列三

第11题一道根式函数题的6种解法

设t t =求的取值范围（江苏高考解答题中的一个小题）

解法一：（平方化为二次函数）对t =两边平方得22t =+

011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ ，

故t 的取值范围是??

解法二：（三角换元法）注意到

))()211x +

=-≤≤，

可用三角换元法，如下：

2sin ,0,2πααα??==∈????

得 2sin 4t πααα?

?==+ ???

由

32sin 24

424π

ππαα?

?≤+

≤

≤+≤ ??

t ∴的取值范围是??

解法三：（三角换元法）[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令，则有

cos sin cos sin 2222t θθ

θθ??==+=+????

以下解法同解法二，这两种换元法本质上是一样的，只不过是从不同角度看问

题的，

解法二，注意到了平方和为一个常数，解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手．

解法四：（双换元法）,u v x ==消去得：

2u v +=，问题转化为方程组2

u v t

u v u v +=?≤≤≤≤?+=?在条件下有解时，

求t 的取值范围，即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时，

求t 的取值范围，以下用数形结合法解（略）。

解法五：（构造等差数列）由t =22

=?，

成等差数列。

t t

d d =-=+，

消去x 得2

22222,442t d t d =+=-，由20d ≥知

22444t d =-≤，得2t ≤。

0。

222

d d ≤≤-

≤≤

221

444422

t d ∴=-≥-?=2t ≤≤

解法六：（构造向量法）设向量(1,1),(1p q x ==+，两向量的夹角为α，

则112cos 2t p q t αα=?=+=∴≤

由图像知：当点位于坐标轴上时，cos α取最小值。

01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思：上述六种解法一个共同特点，都是从函数式的结构特点出发，或变更形式，或巧妙换元，或数形结合，或构造向量，都是数学转化思想的有效应用，但对六种方法作一对比，不难看出，方法一最为简单，究其原因，仍是平方后的结构简洁的特点所致，因此，函数结构特征决定求解方法。

通过解一道高考题，探索其多种解法，体现了换元法、向量法、解析几何

法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值（值域）中的应用。数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径众多，但最终却能殊途同归，即使一次性解题合理正确，也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法，不能解完题就此罢手，应该进一步反思，探求一题多解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，培养学生发散思维能力；探求一题多变，做到举一反三，在更高层次更富有创造性地去学习，摸索总结，使自己的解题能力能更上一层楼。

第12题特值压缩法求解参数取值范围

已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+。

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值

（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，

而()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分（Ⅱ）解法一：（按部就班分类讨论法）由（Ⅰ）知，2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，

设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），

()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，

有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥，令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2，

（1）若21k e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =

1x 取最小值1()F x ，

而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (2)若2k e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，

∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (3)若2k e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0， ∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立，综上所述，k 的取值范围为[1,2e ].

解法二：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视。当然不具备一般性。但对于一些题目可以减少讨论步骤。

设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），

由2202

(2)2(21)(2)4(2)20(0)2(01)04020F ke F ke -?-=-+---?--≥?=+--?-≥?得 2220

220

ke k -?-+≥?

-≥?得21k e ≤≤， ()2[(1)]242(2)(1)x x x F x k e x e x x ke '=++--=+-，

当21k e ≤≤时，由()2(2)(1)0x

F x x ke '=+-=得211

[,1]ln [2,0]x e e x k k

∈?=∈-，

当2k e =时，显然当2x ≥-时，()0F x '≥，()f x 为增函数，从而()(2)0F x f ≥-=，当21k e ≤<时，则1

(2,0]k

∈-，所以当1

(2,ln )x k ∈-时，()0F x '<，()F x 为减函数，

当1

(ln ,)x k

∈+∞时，()0F x '<，()F x 为增函数，

所以()F x 的最小值为1ln 21111

(ln )2(ln 1)(ln )4(ln )2k F ke k k k k

=+---

2211111

2(ln

1)(ln )4(ln )2(ln )2ln k k k k k =+---=-- 2211

(ln )2ln (ln )2ln (2ln )(ln )0k k k k k k

=--=-+=-≥，

所以求k 的取值范围是21k e ≤≤.

第13题分离ln x 解题

已知函数ln ()1a x b

f x x x

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

+-，求k 的取值范围．解：（Ⅰ）22

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x

α+-=

由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,

1'(1),2

f f =??

?=-??即

1,1,22

b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =．

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知ln 1

()1x f x x x

++，所以

ln 1(1)(1)

()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--．考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)

k x x --(0)x >，则22

(1)(1)2'()k x x h x x -++=． (i)设0k ≤，由22

(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <．

而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得

()01h x x

>-；当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得211

x - h （x ）>0

从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x k

（ii ）设0

-11

）时，（k-1）（x 2 +1）+2x>0,故()0h x '>,

而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2

-h （x ）<0,与题设矛盾．

（iii ）设k ≥1.此时h ’ （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，+∞）时，

h （x ）>0，

可得

- h （x ）<0,与题设矛盾．综合得，k 的取值范围为（-∞，0]．解法二：

ln ()(

)1x k

f x x x -+=- 2ln ln 111121

()()ln ln 11111x x k k k x x x x x x x x x x x ------=--=-

+-+--

222

1111[2ln (1)][2ln (1)()]11k x x x k x x x x x

--?-=------

（这一步的目的是提取因式211x -，分离出ln x ，由于21

x -的符号不确定，所以分类讨论如下）

令设1

()2ln (1)()g x x k x x

=----，于是原题等价于

()0,(1,)

()0,(0,1)g x x g x x >?∈+∞??

221

()(1)(1)g x k x x

'=---+，若是通分，分子是一个关于x 的二次函数，讨论比

较复杂，

不如再次提取21

(1)x

+，分离参数k ，这样会转化为对号函数，可谓一举两得：于是

222

21121

()(1)(1)(1)[(1)]1

1g x k k x x x x x '=---+=+-?--+

221212(1)[(1)](1)(1)11k k x x x x x x ??

??=+---=+---

????++?? 令2

()1h x x x

=+，由对号函数的单调性，()h x 在(1,)+∞单调递减，

当1x >时，1

2x x

+>，从而()(0,1)h x ∈，所以当(1)1k --≥，

即0k ≤时，()0g x '≥恒成立，从而()g x 为增函数，所以()(1)0g x g >=恒成立；当0k >时，(1)1k --<，所以存在01x >，使得当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 为减函数，所以()(1)0g x g <=，不合题意. 同理可讨论当01x <<时，

仍然是0k ≤时，()0g x '≥恒成立，从而()g x 为增函数，所以()(1)0g x g <=恒成立；

当0k >时，(1)1k --<，所以存在0(0,1)x ∈，使得当

0(,1)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 为减函数，

所以()(1)0g x g >=，不合题意. 综上，0k ≤．

第14题一道含有lnx 的高考题的3种解法

已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.

（1）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；（2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围. 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞. 当4=a 时，

()(1)ln 4(1),()ln 3,

f x x x x f x x x

'=+--=+- 又(1)2,(1)0.'=-=f f

所以曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= （2）解法一：分离ln x 法

当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)