4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.
(2)商数关系：sin α
cos α＝tan α????α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式
概念方法微思考
1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．
2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示 所有诱导公式均可看作k ·π
2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k
是奇数还是偶数．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin α
cos α
恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1
3.( × )
题组二 教材改编
2．若sin α＝55，π
2
<α<π，则tan α＝ . 答案 －1
2
解析 ∵π
2
<α<π，
∴cos α＝－1－sin 2α＝－25
5，
∴tan α＝sin αcos α＝－1
2
.
3．已知tan α＝2，则sin α＋cos α
sin α－cos α的值为 ．
答案 3
解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋1
2－1
＝3.
4．化简cos ???
?α－π2sin ???
?5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
答案 －sin 2α
解析 原式＝sin α
cos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.
题组三 易错自纠
5．已知sin θ＋cos θ＝4
3
，θ∈????0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －
2
3
解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝7
18
.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝2
9
，θ∈????0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－
2
3
. 6．若sin(π＋α)＝－1
2，则sin(7π－α)＝ ；cos ????α＋3π2＝ . 答案 12 1
2
解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝1
2，
则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝1
2，
cos ????α＋3π2＝cos ????α＋3π2－2π＝cos ????α－π2 ＝cos ????π2－α＝sin α＝12
.
同角三角函数基本关系式的应用
1．已知α是第四象限角，sin α＝－12
13
，则tan α等于( )
A ．－513 B.513 C ．－125 D.125
答案 C
解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，
所以cos α＝1－sin 2α＝5
13，
故tan α＝
sin αcos α＝－12
5
. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－1
3
，则sin α＋cos α的值为 ．
答案 －
105
解析 由tan α＝－13，得sin α＝－1
3cos α，
将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得
109
cos 2
α＝1， 所以cos 2α＝9
10，易知cos α<0，
所以cos α＝－31010，sin α＝10
10
，
故sin α＋cos α＝－
10
5
. 3．若角α的终边落在第三象限，则
cos α1－sin 2α＋2sin α
1－cos 2
α
的值为 ． 答案 －3
解析 由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，
故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α
－sin α
＝－1－2＝－3.
4．已知sin θ＋cos θ＝7
13，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案 －12
5
解析 方法一 由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60
169，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝17
13
，
联立???
sin θ＋cos θ＝7
13
，
sin θ－cos θ＝17
13
，解得???
sin θ＝1213
，
cos θ＝－5
13
，
所以tan θ＝－125
.
方法二 因为sin θ＋cos θ＝713
， 所以sin θcos θ＝－60
169
，
由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－5
13.
又sin θcos θ＝－60
169<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－5
13.
所以tan θ＝sin θcos θ＝－12
5
.
方法三 由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60
169，
所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ
＝－60
169.
齐次化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60
169，
即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－5
12.
又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝
713>0，sin θcos θ＝－60
169
<0， 所以θ∈????π2，3π4，所以tan θ＝－12
5.
思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用sin α
cos α
＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.
诱导公式的应用
例1 (1)已知θ是第四象限角，且sin ????θ＋π4＝35，则tan ????θ－π
4＝ . 答案 －4
3
解析 因为θ是第四象限角，且sin ????θ＋π4＝35， 所以θ＋π
4为第一象限角，
所以cos ????θ＋π4＝45
， 所以tan ????θ－π
4＝sin ???
?θ－π
4cos ????θ－π4＝－cos ????π
2＋????θ－π4sin ???
?π2＋????θ－π4
＝－cos ????θ＋π4sin ???
?θ＋π4＝－4
3.
(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)
cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )
A ．{1，－1,2，－2}
B ．{－1,1}
C ．{2，－2}
D ．{1，－1,0,2，－2}
答案 C
解析 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α
cos α＝2；
当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos α
cos α＝－2.
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
跟踪训练1 (1)已知sin ????α＋π3＝1213，则cos ????π
6－α等于( ) A.513 B.1213 C ．－513 D ．－12
13 答案 B
解析 因为sin ????α＋π3＝12
13， 所以cos ????π6－α＝sin ???
?π2－?
???π
6－α ＝sin ????α＋π3＝1213
.
(2)(2019·扬州四校联考)已知角α是第二象限角，且满足sin ????
5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)等于( ) A. 3
B ．－3
C ．－3
3
D ．－1
答案 B
解析 由sin ????
5π2＋α＋3cos(α－π)＝1， 得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12
，
∵角α是第二象限角，∴sin α＝
32
， ∴tan(π＋α)＝tan α＝sin α
cos α
＝－ 3.
同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例2 (1)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－22，则sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ等于( )
A ．－
26 B.26 C ．－23 D.23
答案 D
解析 由tan 2θ＝－22可得tan 2θ＝2tan θ
1－tan 2θ＝－22，
即2tan 2θ－tan θ－2＝0，
解得tan θ＝2或tan θ＝－
22
. 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝2， 故sin 2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ
＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1
＝(2)2＋2－2(2)2＋1
＝2
3.
(2)已知－π 1－tan x 的值． 解 由已知，得sin x ＋cos x ＝1 5 ， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1 25， 整理得2sin x cos x ＝－24 25 . ∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝49 25， 由－π 25<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－7 5 . sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x ) 1－ sin x cos x ＝ 2sin x cos x (cos x ＋sin x ) cos x －sin x ＝－2425×1575 ＝－24175. 本例(2)中若将条件“－π 解 若0 25， ∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x －cos x >0，故sin x －cos x ＝7 5 . 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响． 跟踪训练2 (1)已知sin α＝ 25 5，则tan(α＋π)＋sin ??? ?5π2＋αcos ??? ?5π2－α＝ . 答案 52或－5 2 解析 因为sin α＝25 5>0， 所以α为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋sin ??? ?5π2＋αcos ??? ?5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1 sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝ 5 5 ， 原式＝ 1sin αcos α＝5 2 . ②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－ 5 5 ， 原式＝ 1sin αcos α＝－5 2 . 综合①②知，原式＝52或－5 2 . (2)若tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α) sin (－α)－cos (π＋α) 的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案 A 解析 ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m . 原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝m ＋1m －1 . 1．若sin α＝－5 13，且α为第三象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 答案 C 解析 因为sin α＝－5 13，且α为第三象限角， 所以cos α＝－1213，所以tan α＝5 12 . 2．已知α是第四象限角，tan α＝－8 15，则sin α等于( ) A.1517 B ．－1517 C.817 D ．－817 答案 D 解析 因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815， 所以cos α＝－15 8 sin α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64 289 ， 又α是第四象限角，所以sin α＝－8 17 . 3．已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值为( ) A.1－a 2a B.1－a 2 C.a 2－1a D ．－1－a 2 答案 B 解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2. 4．已知tan(α－π)＝3 4，且α∈????π2，3π2，则sin ????α＋π2等于( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－3 5 答案 B 解析 由tan(α－π)＝34?tan α＝34 . 又因为α∈???? π2，3π2，所以α为第三象限角， sin ????α＋π2＝cos α＝－4 5 . 5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于( ) A ．2 B.12 C ．－2 D ．－1 2 答案 A 解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝1 2 ， ∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos α sin α ＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝11 2 ＝2. 6．(2019·沧州七校联考)已知 sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－2 5 C ．－2 D ．2 答案 A 解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5， 即tan α＝2. 所以sin 2α－sin αcos α ＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1 ＝2 5. 7．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin x B ．sin ???? 3π2－x ＝cos x C ．cos ???? π2＋x ＝－sin x D ．cos(x －π)＝－cos x 答案 CD 解析 sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立； sin ????3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立； cos ????π2＋x ＝－sin x ，故C 成立； cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立． 8．(多选)若sin α＝4 5，且α为锐角，则下列选项中正确的有( ) A ．tan α＝4 3 B ．cos α＝3 5 C ．sin α＋cos α＝8 5 D ．sin α－cos α＝－1 5 答案 AB 解析 ∵sin α＝4 5 ，且α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－????452＝35，故B 正确， ∴tan α＝sin αcos α＝4 535＝4 3 ，故A 正确， ∴sin α＋cos α＝45＋35＝75≠8 5，故C 错误， ∴sin α－cos α＝45－35＝15≠－1 5，故D 错误． 9．sin 4π3·cos 5π 6·tan ????－4π3的值是 ． 答案 －33 4 解析 原式＝sin ????π＋π3·cos ????π－π6·tan ????－π－π3 ＝????－sin π3·????－cos π6·????－tan π 3 ＝? ???－ 32×??? ?－3 2×(－3)＝－334. 10．(2019·沧州七校联考)已知sin(3π＋α)＝2sin ????3π2＋α，则sin α－4cos α 5sin α＋2cos α＝ ；sin 2α＋sin 2α＝ . 答案 －16 8 5 解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ???? 3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α. sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－1 6. ∵sin α＝2cos α，∴tan α＝2， ∴sin 2α＋sin 2α＝ sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝4＋44＋1＝8 5 . 11．已知－π 2<α<0，且函数f (α)＝cos ????3π2＋α－sin α·1＋cos α 1－cos α －1. (1)化简f (α)； (2)若f (α)＝1 5 ，求sin αcos α和sin α－cos α的值． 解 (1)f (α)＝sin α－sin α· (1＋cos α)21－cos 2α －1＝sin α＋sin α·1＋cos α sin α－1＝sin α＋cos α. (2)方法一 由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－24 25. ∴sin α·cos α＝－12 25 . 又－π 2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0， ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝49 25， ∴sin α－cos α＝－7 5 . 方法二 联立方程????? sin α＋cos α＝15， sin 2α＋cos 2α＝1， 解得 ??? sin α＝－35 ， cos α＝45 或??? sin α＝45 ， cos α＝－3 5 . ∵－π 2<α<0，∴??? sin α＝－3 5， cos α＝4 5 ， ∴sin αcos α＝－1225，sin α－cos α＝－7 5 . 12．已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α] sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α). 解 当k ＝2n (n ∈Z )时， 原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α) ＝ sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α) －sin α·cos α ＝－1； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时， 原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α] ＝ sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos α sin α(－cos α) ＝－1. 综上，原式＝－1. 13．(2019·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ????π4＋α＝3 4，则sin ????π4－α＝ ，cos ??? ?α－π4＝ . 答案 － 74 3 4 解析 sin ????π4－α＝cos ????π2－????π 4－α＝cos ????π4＋α， ∵α为钝角，∴3π4<π4＋α<5π 4.∴cos ????π4＋α<0. ∴cos ????π4＋α＝－ 1－????342＝－7 4 . cos ????α－π4＝sin ????π2＋? ???α－π4＝sin ????π4＋α＝3 4. 14．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，则2sin αcos α－cos α＋11－tan α 的值为 ． 答案 5－95 解析 因为cos α－sin α＝－ 5 5 ，① 所以1－2sin αcos α＝15，即2sin αcos α＝4 5. 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝9 5. 又0<α<π 2，所以sin α＋cos α>0. 所以sin α＋cos α＝35 5 .② 由①②得sin α＝255，cos α＝5 5，tan α＝2， 所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α ＝5－9 5. 15．已知A ，B 为△ABC 的两个内角，若sin(2π＋A )＝－2·sin(2π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则B ＝ . 答案 π 6 解析 由已知得??? sin A ＝2sin B ， 3cos A ＝2cos B ， 化简得2cos 2A ＝1，即cos A ＝± 2 2 . 当cos A ＝ 22时，cos B ＝32 ， 又A ，B 是三角形内角，∴B ＝π 6 ； 当cos A ＝－ 22时，cos B ＝－32 ， 又A ，B 是三角形内角， ∴A ＝3π4，B ＝5π 6，不合题意，舍去， 综上可知B ＝π6 . 16．已知sin α＝1－sin ????π2＋β，求sin 2α＋sin ????π 2－β＋1的取值范围． 解 因为sin α＝1－sin ???? π2＋β＝1－cos β， 所以cos β＝1－sin α. 因为－1≤cos β≤1， 所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2， 又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]． 所以sin 2α＋sin ????π2－β＋1＝sin 2α＋cos β＋1＝sin 2α－sin α＋2＝? ???sin α－122＋7 4.(*) 又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝12时，(*)式取得最小值7 4；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故 所求范围为???? 74，2. 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：α α αcos sin tan = ， 平方关系：1cos sin 22=+αα， 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值，等于α的异名函数值， 前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α α α2 tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a （） 其中：角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同， 2 2sin b a b += ?，2 2cos b a a += ?，a b = ?tan 。 八、正弦定理 习题精炼 一、选择题 1、下列各式不正确的是 （ ） A ． sin （α＋180°）=－sin α B ．cos （－α＋β）=－cos （α－β） C ． sin （－α－360°）=－sin α D ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3 2 m 3、?? ? ??- π619sin 的值等于（ ） A ． 2 1 B ． 2 1- C ． 2 3 D ． 2 3- 4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是 （ C ） A ．)(] 22 , 22 [Z k k k ∈++-ππ ππ B ．)()22 3 ,22( Z k k k ∈++ππππ C ．)(]22 3 ,22[ Z k k k ∈++ππππ D ．)() 2,2(Z k k k ∈++-ππππ 5．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ） A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 6、sin 34π·cos 6 25π·tan 45π的值是 A ．－43 B ．4 3 C ．－43 D ． 4 3 7．设,1234tan a =?那么)206cos()206sin(?-+?-的值为 （ ） A ． 2 11a a ++ B ．－ 2 11a a ++ C ． 2 11a a +- D ． 2 11a a +- 8．若)cos()2 sin(απαπ -=+，则α的取值集合为 （ ） A ．}4 2|{Z k k ∈+=π παα B ．}4 2|{Z k k ∈-=π παα C ．}|{Z k k ∈=π αα D ．}2 |{Z k k ∈+ =π παα 二、填空题 1、求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）= ． 同角三角函数基本关系 1，平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； 2，商数关系：tan α＝α αcos sin 3，同角三角函数的关系式的基本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式． 题型一，同角间的计算 利用基本关系计算，开方时注意正负 1，若sin α＝45 ，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 2，化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 3，若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________ 4，若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513 5，若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 6，计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240° ＝________。 7，已知8 1cos sin =?αα，则ααsin cos -的值等于（ ） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－2 3 8，已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ，求θθcos sin ?的值。 9，已知sin α·cos α＝ 81，且24παπ<<，则cos α－sin α的值是多少? 10，已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π)，求值： （1）tan θ； （2）sin θ-cos θ；（3）sin 3θ+cos 3θ。 11，求证： ()x x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 三角函数的诱导公式(第1课时)（学案） 一.教学目标 1．知识与技能 （1）能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。 （2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2．过程与方法 （1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。 （2）通过对诱导公式的探求和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3．情感、态度、价值观 （1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 （2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。 二.教学重点与难点 教学重点:探求π－α的诱导公式。π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。 教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。 三.教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件 四.教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？ （一）情境创设及问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数 求值问题。 【情境创设】摩天轮旋转一周（比如如图30°角的位置）后又会 回到原位，你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是 “回到原位”？摩天轮旋转一周后，发生变化和没有变化的量分别 是什么？它们之间有何关系？从中你能得到什么结论？ 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三 角函数值__________，三角函数看重的就是终边位置关系。即有： （二）尝试推导 如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。 【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？ 角与角α的终边关于y轴对称,有: 三角函数有关诱导公式一览表 公式 ) ( tan ) 2 tan( cos ) 2 cos( sin ) 2 sin( .1Z k k k k ∈ ? ? ? ? ? = + = + = + α α π α α π α α π ? ? ? ? ? = + - = + - = + α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .2 ? ? ? ? ? - = - = - - = - α α α α α α tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .3 ? ? ? ? ? - = - - = - = - α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .4 ? ? ? ? ? = - = - α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .5 ? ? ? ? ? - = + = + α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .6 ? ? ? ? ? - = - - = - α α π α α π sin ) 2 3 cos( cos ) 2 3 ( sin .7 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看先象限 图形 简记结合图形，7组公式可用口诀概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 说明①公式的推导思路：前面4组通过找角的终边位置关系—坐标关系—三角函数关系而得出（后面3组通过角的变换，进而借助前面的有关公式转化得到）②各组诱导公式都可用含角度的形式 ③在应用诱导公式解题时，基本思路是：“负化正，大化小，化成锐角再求值”。 一定要记清特殊角的三角函数值，根据问题做到准确应用，正确求解。 第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式 最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α ＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2± α，π±α的正弦、余弦、正 切的诱导公式. 知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)sin α cos α ＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 [常用结论与微点提醒] 1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2.同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(2018·成都诊断)已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5，所以cos(π＋α)＝－cos α ＝－3 5，故选A. 答案 A 3.已知sin ? ????5π2＋α ＝1 5，那么cos α＝( ) A.－25 B.－15 C.15 D.25 解析 ∵sin ? ????5π2＋α＝sin ? ???? π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.故选C. 答案 C 4.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则 sin α＋cos α sin α－cos α 的值为________. 解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋1 2－1 ＝3. 答案 3 5.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈? ? ???0，π4，则sin θ－cos θ的值为________. 解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝7 18. 1.2.三角函数诱导公式学案（一） 预习案（限时20分钟） 学习目标： （1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式； （2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题 学习重点： 用联系的观点发现并证明诱导公式,体会把未知问题化归为已知问题的思想方法 学习难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法． 预习指导：请根据任务提纲认真预习课本P23-25 ? 任务一：探究三角函数诱导公式（二） （三）（四） 思考： （1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切） （2）任意角的三角函数的定义是什么？ （3）公式一的内容与作用是什么？ 探究一：任意角α与(π＋α)三角函数值的关系. ①α与 (π＋α)角的终边关系如何？ ②设α与(π＋α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2，则点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，那么点P 2的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π＋α)，cos α与cos(π＋α)，tan α与tan(π＋α)的关系如何？ 利用三角函数定义，自己探索，归纳成公式（二） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=+=+=+απαπαπ 探究二：任意角α与(-α)三角函数值的关系. ①α与(－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(－α)，cos α与cos(－α) ，tan α与tan(－α)关系如何？ 利用三角函数定义，经过探索，归纳成公式（三） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=-=-=-ααα 探究三：α与(π－α)的三角函数值的关系． ①α与(π－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(π－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π－α)，cos α与cos(π－α) ，tan α与tan(π－α)关系如何？ 经过探索，归纳成公式（四） _______)tan(_______)cos( _______)sin(=-=-=-απαπαπ 预习检测 1.cos 225?=_________ 2.)45sin(ο-=_________ 3.)150tan(ο =________ _______)180tan()cos()180sin(.4=--?+οοααα 5.若,31)tan(=+απ则=αtan __________________ 三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（） A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D． 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 1.3 三角函数的诱导公式 （名师:杨峻峰） 一、教学目标 （一）核心素养 从对称性出发，获得一些三角函数的性质.会选择合适的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (二)学习目标 １. 牢固掌握五组诱导公式. 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明． 3. 通过诱导公式的推导,培养学生的观察能力、分析归纳能力. ４.渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想. （三）学习重点 熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明. (四)学习难点 相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识,诱导公式的推导、记忆及符号判断. 二、教学设计 （一)课前设计 1． 阅读教材第23页至第27页,填空: (1)如图，πα+的终边与角α的终边关于 原点 对称; （２)如图,α-的终边与角α的终边关于 ｘ轴 对称； (３)如图，πα-的终边与角α的终边关于 y 轴 对称; （４)如图, 2 π α-的终边与角α的终边关于 直线y ＝x 对称; (5)诱导公式: 公式二：()sin πα+=sin α-，()cos πα+=cos α-，()tan πα+=tan α； 公式三：()sin α-=sin α-，()cos α-=cos α,()tan α-=tan α-; 公式四：()sin πα-=sin α,()cos πα-=cos α-,()tan πα-=tan α-; 公式五：sin 2πα??-= ???cos α，cos 2πα?? -= ???sin α； 公式六:sin 2πα??+= ???cos α，cos 2πα?? += ??? sin α-． 2.预习自测 1.下列选项错误的是( ） A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数.? Ｂ.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数. ? C. sin cos 2παα? ?+=- ?? ?． ? ? ? D ．若α为第四象限角,则sin cos 2παα? ?-=- ???．? ? ? 答案：Ｃ． （二）课堂设计 １．知识回顾 三角函数定义及诱导公式练习题 1．代数式sin120cos210o o 的值为（ ） A.34 - C.32- D.14 2．tan120?=（ ） A B ． ． 3．已知角α的终边经过点(3a ，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( ) A.51 B.57 C ．51 - D ．－57 4．已知扇形的面积为2cm 2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为( ) (A)2cm (B)4cm (C)6cm (D)8cm 5．已知3cos()sin()22()cos()tan() f ππ +α-αα=-π-απ-α，则25()3f -π的值为（ ） A ． 12 B ．－12 C ．2 D ． －2 6．已知3tan()4απ-= ，且3(,)22ππα∈，则sin()2 π α+=（ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35- 7．若角α的终边过点(sin 30,cos30)?-?，则sin α=_______. 8．已知(0,)2 πα∈，4cos 5 α=，则sin()πα-=_____________. 9．已知tan α=3，则 224sin 3sin cos 4cos sin cos ααα ααα+=- . 10．(14分)已知tan α＝1 2 ，求证： (1) sin cos sin cos a a a a -3+=－5 3 ； (2)sin 2α＋sin αcos α＝3 5 ． 11．已知.2tan =α （1）求 ααα αcos sin cos 2sin 3-+的值； （2）求) cos()sin()3sin() 23sin()2cos( )cos(αππααππααπ απ+-+- +-的值； （3）若α是第三象限角，求αcos 的值. 12．已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，求 52322sin cos sin sin παπαπαα?? ??? （－）＋（－） －－（－） 的值． 高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 三角函数的诱导公式(第1课时) 南京师范大学附属中学刘洪璐 教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书(必修4)·数学》第1.2.3节 一.教学目标 1．知识与技能 （1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。 （2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2．过程与方法 （1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。 （2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3．情感、态度、价值观 （1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 （2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。 二.教学重点与难点 教学重点:探求π－α的诱导公式。π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。 教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。 三.教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件 四.教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。 （一）问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。 【问题1】求390°角的正弦、余弦值. 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系。即有：sin(α+k·360°) = sinα， cos(α+k·360°) = cosα，(k∈Z) tan(α+k·360°) = tanα。 这组公式用弧度制可以表示成sin(α+2kπ) = sinα， cos(α+2kπ) = co sα，(k∈Z) (公式一) tan(α+2kπ) = ta nα。 §4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式 1． 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α ＝tan α. 2． 下列各角的终边与角α的终边的关系 3. 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． ( × ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角． ( × ) (3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1 3 . ( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π 2，π]，则m <－5或m ≥3. ( × ) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－3 3 . ( × ) (6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α 的值是－1 3. ( √ ) 2． 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π 2，0)，则tan(2π－α)的值为 ( ) A ．－25 5 B.255 C ．±25 5 D. 52 答案 B 解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－2 3， 又α∈(－π 2，0)， 得cos α＝1－sin 2α＝ 53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝25 5. 3． 若tan α＝2，则2sin α－cos α sin α＋2cos α 的值为________． 答案 34 高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半) 正弦定理：在△ABC 中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式 2019-2020学年高中数学 三角函数诱导公式学案2 新人教A 版必 修 4 二、重点、难点 重点: 借助于单位圆，推导出正弦、余弦相互转化的诱导公式。 难点: 利用诱导公式解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。 三、教学过程 引入新课 1函数名称 )(2Z k k ∈+πα α- απ- απ+ αsin αcos αtan 2．（1）=6 sin π _____；=3 cos π _____。 （2）=4 sin π _____；=4 cos π _____。 （3）=0sin _____；=2 cos π _____。 那么能否将锐角推广到任意角呢？ 猜测公式五： 。 3．角6π与3 π 的终边有何关系？利用单位圆，画出三角函数线，证明你的结论。 4．（1）=65sin π_____；=3cos π_____。（2）=43sin π_____；=4cos π_____。 （3）=65cos π_____；=3sin π_____。（4）=43cos π_____；=4 sin π_____。 x y O 知识链接：初中学习过，任意锐角的正弦 值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值 等于它的角的正弦值。 由2π βα= +得απ β-= 2 ， )2cos(sin απα-=，)2 sin(cos απ α-= 猜测公式六： 。 5．你能否用公式二和五证明你猜测的公式六？ 例题剖析 例1．求证：（1）ααπcos )2 3sin(-=+ （2）ααπsin )2 3cos(=+ 例2．已知3 1)75cos(=+α ，且?-< 三角函数 公式大全 姓名： 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 1. 3.2三角函数诱导公式（二） 【教材分析】 《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。这节是诱导公式（二）的推导，在诱导公式（一）的推导中用到了一次对称变换，这节是利用两次对称变换推导到的诱导公式，充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性；综合诱导公式（一）、（二）总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。 【教学目标】 1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 3. 培养学生的化归思想，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径. 【教学重点难点】 教学重点：掌握 απ±2角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路 教学难点：απ ±2角的正弦、余弦诱导公式的推导. 【学情分析】 学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯，对于两次对称变换思想的应用是上一节课的深化；学生对高中数学知识有了一定了解和掌握，也形成了自己的学习方法和习惯，对学习高中数学有了一定兴趣和信心，且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。但由于诱导公式多，学生记忆困难，应用时易错，应该渗透归纳总结的学习方法，让学生找规律，体现自主探究、共同参与的新课改理念。 【教学方法】 1．学案导学：见后面的学案。 2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1．学生的学习准备：预习“三角函数的诱导公式”，完成预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 3.教学手段：利用计算机多媒体辅助教学. 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑高中数学_三角函数公式大全全部覆盖
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