(完整word版)微分几何练习题库及参考答案(已修改)..

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限2

lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+r

r r ．

2．设f ()(sin )i j t t t =+r r r ，2

g()(1)i j t t t e =++r r ，求0

lim(()())t f t g t →?=r r 0 ．

3．已知{}4

r()d =1,2,3t t -?

r ， {}64

r()d =2,1,2t t -?r ，{}2,1,1a =r

，{}1,1,0b =-r ，则

()()a r t dt+b a r t dt=????

?r r r

r r {}3,9,5-.

4．已知()r t a '=r r （a r 为常向量），则()r t =r ta c +r r

． 5．已知()r t ta '=r r ，（a r 为常向量），则()r t =r 212

t a c +r r ．

6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____.

7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .

8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 .

10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .

11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠r

r r ，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.

12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++r r r ，()(sin )(cos )g t t i t j =-r r r ，0t >，则40

()d f g dt dt ?=?r r

4cos 62-．

13．曲线{}

3()2,,t r t t t e =r

在任意点的切向量为{}

22,3,t t e ．

14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =r

在0t =点的切向量为{}0,,a a ．

15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r

在0t =点的切向量为{}0,,a b ．

16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为

2111

-=--

=-z e

e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = .

22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-r ，其中2

,sin u t v t ==，则dr d t

{}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=r

，其中t =?，2t =θ，则

dr(,)

d t

?θ=r

{}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+． 24．设(,)r r u v =r r 为曲面的参数表示，如果0u v r r ?≠r r r ，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →r r

是一一对应的，则称曲面是简单曲面．

25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．

26．平面{}r(,),,0u v u v =r

的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．

27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =r

第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =

29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r

的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++．

30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-r

的第一基本形式是

2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．

31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r

的平均曲率为 0 ．

32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是

(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II r r

或．

34.λ是主曲率的充要条件是

0E L

F M

G N

λλλλ--=--．

35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是

d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M v

E F G F u G v M u N v

L M

-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则

n n dn k dr k =-r r

，其中是沿方向(d)的法曲率． 37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．

38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平

面∏上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．

40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为

d ds du ds

dv ds

θθθ???

??????． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 . 二、单项选择题

1．已知{}(),,t t r t e t e -=r

，则r (0)''r 为（ A ）．

A. {}1,0,1；

B. {}1,0,1-；

C. {}0,1,1；

D. {}1,0,1-.

2．已知()()r t r t λ'=r r ，λ为常数，则()r t r

为（ C ）．

A. ta λr ；

B. a λr

； C. t e a λr ； D. e a λr .

其中a r

为常向量． 3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．

A ．切线与固定方向成固定角；

B ．副法线与固定方向成固定角；

C ．主法线与固定方向垂直；

D ．副法线与固定方向垂直．

4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）

A ．至少有两个；

B ．只有一个；

C ．只有两个；

D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）

A ．测地线；

B ．曲率线；

C ．法截线；

D ．渐近线．.

6. 已知{}r(,),,x y x y xy =r ，求(1,2)dr r

为（ D ）．

A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；

B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；

C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；

D. {}d ,d ,2d d x y x y +.

7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =r

的切线与z 轴（ C ）.

A. 平行；

B. 垂直；

C. 有固定夹角

4π； D. 有固定夹角3

π. 8．设平面曲线:()C r r s =r r

，s 为自然参数，αβr r ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．

A. αr 为单位向量；

B. αα⊥r r &；

C. k αβ=-r r &；

D. k βατγ=-+r r r &.

9．直线的曲率为（ B ）．

A. -1；

B. 0；

C. 1；

D. 2.

10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =r r

不正确的是（ D ）．

A. ()()k s s α=r &；

B. ()()k s s ?=&，?为()s αr 的旋转角；

C. ()k s αβ=-?r &；

D. ()|()|k s r

s =r &. 11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．

A. 充分不必要条件；

B. 必要不充分条件；

C. 既不充分也不必要条件；

D. 充要条件.

12．下列论述不正确的是（ D ）．

A. ,αβγr r r ,均为单位向量；

B. αβ⊥r r ；

C. βγ⊥r r ；

D. αβr

r P . 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．

A. 充分不必要条件；

B. 必要不充分条件；

C. 既不充分也不必要条件；

D. 充要条件. 14．2sin

4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2

=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成

3π的角； D. 成4

的角. 15．椭球面222

2221x y z a b c

++=的参数表示为（ C ）．

A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ?θ?θ?=；

B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ?θ?θ?=；

C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ?θ?θ?=；

D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ?θ?θθ=. 16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-r

在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．

A. 2135200x y z +-+=；

B. 1834410x y z +--=；

C. 756180x y z +--=；

D. 1853160x y z +-+=.

17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =r

的第一基本形式为（ D ）．

A. 2222(d sin d )R u u v +；

B. 2222(d cosh d )R u u v +；

C. 2222(d sinh d )R u u v +；

D. 2222(d cos d )R u u v +.

18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =r

的第一基本形式为（ C ）．

A. 22d d u v +；

B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -. 19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的

弧长为（ B ）．

A ． 21cosh cosh v v -；

B ． 21sinh sinh v v -；

C ． 12cosh cosh v v -；

D ． 12sinh sinh v v -．

20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．

A ． 0E =；

B ． 0F =；

C ． 0G =；

D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．

A ．极小曲面；

B ．球面；

C ．常高斯曲率曲面；

D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．

A ． 0；

B ． 1；

C ．2；

D ． 3．

23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）． A ．

B ．

C ．

D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．

A ．直线；

B ．平面曲线；

C ．抛物线；

D ．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）

1. 向量函数()r r t =r r 具有固定长度，则()()r t r t '⊥r r

. √

2. 向量函数()r r t =r r 具有固定方向，则()()r t r t 'r r

P . √

3. 向量函数()r t r

关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t 'r . ×

4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×

5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √

6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=r

z -线是渐近线. √ 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √

10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√ 17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×

18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √

24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题

1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．

解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--r 的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-r

，则在π20≤≤t 一

段的弧长为：220

()d 8s r t t t a π

．

2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．

解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+r

，

{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+r

，

在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==r r

，

又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''?-?=='''''??r r r r r r r r r r r r r

，r r r r γ'''

?='''

?r r r r r ，

所以有αβγ===r r r . 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r

，

①求基本向量,,αβγr r r

； ②求曲率k 和挠率τ.

解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-r ，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--r

，

又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ'

'''''''''''?-??===''''''''

???r r r r r r r r r r r r r r r r

r r

}{

}}sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a αβγ∴=

-=--=-r

r r

②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''?='r r r 及挠率公式2(,,)

()r r r t r r τ''''''='''

?r r

有22a k a b =

+，2

2b a b +=

τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r

的切平面和法线方程．

解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r

，切平面方程为

cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u v

u v

---=-，

sin cos 0,b v x b u y uz buv ??-?+-=

法线方程为

cos sin sin cos x u v y u v z bv

b v b v u

---==

-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ?θ?θ?θ?=r

上任一点处的切平面与法线方程．

解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ??θ?θ?=--r

， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θ?θ?θ=-r ，

sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0

e e e r r a a a a a ?θ?θ

?θ??θ

?θ

?=---r r r r r

{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ??θ?θ?=---

∴ 球面上任意点的切平面方程为

{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ?θ?θ???θ?θ?---?---=

即cos cos cos sin sin 0x y z a θ??θ??+?+?-=，法线方程为

2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ?θ?θ?λ??θ?θ?---=?---

即

cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ?θ?θ?

?θ?θ?

---==．

6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-r (){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--r

所以曲线在原点的密切平面的方程为

00sin cos 10cos sin 0

x a y z a t a t =a t

a t

------，即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.

7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．

解参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+r ，{}1,0,2x r ax =r ，{}0,1,2y r ay =r

，

2214x x E r r a x =?=+r r

，24x y F r r a xy =?=r r ，2214y y G r r a y =?=+r r ，

2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．

8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r

的第一基本形式．

解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r

，

1u u E r r =?=r r ，0u v F r r =?=r r ，22v v G r r u b =?=+r r

，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．

9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r

的第一、第二基本量．

解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r

，

{}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r

，

{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k

r r v v b v b v u u v u v b

?==--r r r

r r

，

sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -?==

?r r

r r r ， 1u u E r r =?=r r ，0u v F r r =?=，22v v G r r u b =?=+r r

， 0uu L r n =?=

r r ，uv M r n =?=r r ，0vv N r n =?=r r

．

10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．

解设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+r

，则

{}1,0,2x r x =r ，{}0,1,2y r y =r ，{}0,0,2xx r =r ，{}0,0,0xy yx r r ==r r ，{}002yy r =r

，，，

{}1022,2,1012x y i j k

r r x x y y

?==--r r r r r

，

2,2,1||x y x y r r x y n r r ?--==

?r r r

r r 214x x E r r x =?=+r r

， 4x y F r r xy =?=r ， 214y y G r r y =?=+r r

， xx L r n =?=

r r ， 0xy M r n =?=r r

， yy N r n =?=

r r

，

2222222222

4441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，

2232

222

12442

2(441)GL FM EN x y H EG F

x y -+++=?=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r

的高斯曲率. 解直接计算知

1E =，0F =，22G u a =+，0L

=，M =，0N =，

2222

()

LN M a K EG F u a -∴==--+． 12. 求曲面2z xy =的渐近线.

解 2

z xy =，则2

z p y x

?==?，2z q xy y ?=

=?，220z r x ?==?，22z s y x y ?==??， 222z t x y ?==? 所以，L =0

， M =

N =

20=，

化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或渐近线为y=C 1，x 2y =C 2

13. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =r

上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-r r

2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===?===+r r r r

{}{}

u v

u v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u --?==

=?-r r

r r r {}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--r

r r

，L 0,M N 0===

曲率线的微分方程为:

22dv dudv du 10u b =00

-+ 或du b

u dv 2

1+±=

积分得两族曲率线方程

12v ln(u c v u)c .=+=+和

14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-r

在原点处沿任意方向的法曲率.

解 {1,0,2},{0,1,2}==-r r

u v r u r v ，

22214,4,14==+==-=+r r r

g u u v E r u F r r uv G v

2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰ

u v

u v 2u,2v,1r r n r r -?==

?r r

r r r

uu L n r ==

r r g uv M n r 0,==r r

g vv N n r ==

r r

=Ⅱ，

n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率.

解曲面方程即22{,,()},=+r

r x y a x y

{1,0,2},{0,1,2},==r r

x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,

{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===r r r

xx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,

代入主曲率公式，

2a k 000

2a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .

16. 求曲面22{,,}r u v u v =+r

在点(1,1)的主方向.

解 {}u r =,u r 1,02,{},v r ,v r

=01,2 2

14,4,14E u F uv G v =+==+

(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1=

0,L M N =

(1,1)(1,1),(1,1)0,3

L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,

即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.

17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+r

上的椭圆点，双曲点和抛物点．

解由23{,,},r u v u v =+r 得{}u r =,u r 1,02,{}2,v r ,v r

=01,3

{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v r r r

0,02,0,00,0,06,

0,L M N ===

224

1241

LN M .u +9v +-=

①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点.

18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+r

上的抛物点的轨迹方程．

解由32(,){,,},r u v v u u v =+r 得{}u r =u,r 0,21,{}2,v r v ,r

=30,1

{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,r r r

0,20,0,00,6,00,

20,L M N ===

令32

0LN M .-=

得u =0 或v =0

所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v r 30或{}0r=,u ,u r

19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =r

自然参数表示.

解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =r 得{sin ,cos ,}r a t a t b '=r

-，

()r t '=r

弧长0

(),t s t =

t =

曲线的自然参数表示为(){sin

r s a a =r

20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.

解设挠曲线为a a s r r

=(),则主法线曲面为：r=a s v s ,βr r r ()+()

则,a =a=α'r r r &,b ==-k βατγ'+r r r r &a b =k,''-r r g 2,22b =k +τ'r

所以腰曲线是222

a b k r=a s s =a s s k b ββτ'''

r r r r g r r r r ()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．

解因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，

由2

θ=

得

d 0d s θ

．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a

=+．五、证明题

1. 设曲线：(s),r r =r r 证明：2()k -;r ,r ,r =k .τα

γτ=?r r r r r &&&&&&&&⑴⑵ 证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβr r r r &&，两式作点积，得=-k =-k,α

γτββτ??r r r r && k =-.ταγ∴?r r &&

⑵r=r==k ,ααβr r r r r &&&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&

22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴r r r r r r r r r r r &&&&&&& 2. 设曲线：(s),r r =r r 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττr r r &

&&&&&&&&&& 证明由伏雷内公式，得

r==k αβr r r &&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&

323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγr r r r &&&&&&&&&

232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ?r r r r r r r r r r &&&&&&&&&&&&&&&g

3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγr r r r r &&&&&g

33432=-k k +k k +k τττ&&&3()=k k -k ττ&& 3. 曲线Γ:()r r s =r r 是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-?r r r

也是一般螺线（R 是曲线Γ的曲率半径）．

证明 1r R ds αβ=-?r r r

，

两边关于s 微商，得

11ds R R ds αααβ=+-r r r r &&1R R R αββ=+-r r r &R α=r &，

1αα∴r r P ，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.

4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ??=??r

是常数）是一般螺线．

证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ??'=r

(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ????''''=-r

2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ??????''''''=-+-r

，,

(r r a t ?''''?=r r 32()()r r r a b t ?'''''''=-r r r ,,，

322(),r r a

k t a b r ?'''?'==+'r r

r ()222

(),r r r b t a b r r τ?'''''''==-+'''

?r r r r r ,, k a

τ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．

证明测地曲率()g k k k n βεβα=?=??r r r r r (,,)k n k n αβγ==?r r r r r

sin k .θ=± (θ是主法向量βr 与法向量

n r

的夹角)

法曲率cos n k k n k βθ=?=r r

，

222n g k =k +k .∴

6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r

的切向量与曲线的位置向量成定角．

证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r

，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+r

，则有：

2cos 2t r r r r θ'?==='r r r r ，故夹角为4π

. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．

7．证明：若r 'r 和r ''r

对一切t 线性相关，则曲线是直线．

证明若r 'r 和r ''r

对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使

()()()()0f t r t g t r t '''+=r r r

，

则

,()()0, t r t r t '''??=r r r

又3()r r k t r '''

?='r r r ，故t ?有()0k t =.于是该曲线是直线．

8．证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．

证明由题意有 {}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--r r

，

由()()r r r r r r r r r

β''''''''

?-?=''''??r r r r r r r r r r

知{}cos ,sin ,0t t β=--r . 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =r ，而0a β?=r r ，故a β⊥r r

，即主法线与z 轴垂直． 9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．

证明由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-r

，则任意点的法平面为

0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上

述方程有

左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，故结论成立．

10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程.

证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-r

，{}34210,2r +t,t t '=-+-r ，

{}410,2r ,''=-r ，{}00,0r ,'''=r (,,)0r r r ,''''''=r r r

0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面

{}(0)32,0r ,'=-r ， {}(0)410,2r ,''=-r

密切平面方程为121

32004102

x y z -=-－－－，化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.

11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.

证明设曲线方程()r r s =r r

，定点的向径为0R v ，则

0()()r s R s λα-=r r r

两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+r r r r r &&&

(1())()0s s k λαλβ--=r r r & 由于,αβr r 线性无关，∴100k λλ?-??&＝＝

∴ k ＝0曲线是直线.

12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.

证明取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =r r

，

则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=r r r r

因任一点的密切平面过定点，所以

((),(),())0o r t r t r t '''-=r r r r , 即 ((),(),())0r t r t r t '''=r r r

所以 ()r r t =r r 平行于固定平面，所以 ()r r t =r r

是平面曲线.

13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ρ

，证明曲线是直线或平面曲线.

证明根据已知条件，得0.............e α?=r r

①，

①两边求导，得 0e α?=r r &，由伏雷内公式得 0k e β?=r r ，

ⅰ)0k =，则曲线是直线；

ⅱ)0e β?=r r 又有①可知 γr ‖e r

因e r

是常向量，所以γr 是常向量，

于是 ||||0,τγ==r

所以0τ= ，所以曲线为平面曲线. 14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平

行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.

证明 γγ±r

１２＝ , 2

ds ds γγ±g

g r r １２＝

由伏雷内公式得211

ds ds τβτβ±v v １２２＝12ββ∴±r r = 进而12αα=±r r

15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.

证明设挠曲线为()r r s =r r

，则挠率0τ≠，

其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+r r r 取(),()a r s b s β==r r r r

，则

(),()k a s b s αβατγ''===-g r r r r r r

＋

所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠r r

r r r r r r r r r r r ＋＋＝

所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.

16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.

证明设挠曲线为()r r s =r r

，则挠率0τ≠，

其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+r r

取(),()a r s b s γ==r r r r ，则(),()a s b s αγτβ''===-g r r r r r

所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠r r

r r r r ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.

证明设曲线r r(s),r r ＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s βr r r

=()

() ,s r v k vk v αατγατγ++r r r r r r =+（-）=(1-) ()v r =s βr

r ,

s v s v r r n=r r ??r r r r

r r r （1-）- 沿曲线（v ＝0）n=γr r ，

所以主法向量与曲面的法向量夹角,2

θ=

n cos 0,k k θ==

所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线. 18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=r

沿每一条直母线只有一个切平面.

证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθ?θ===+r r r

r au bu cu u a b c u 为直纹面

(0,(),()0?θ?θ'=r r r

）

, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.

也可以用高斯曲率K =0证明.

19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，

求证Γ是一平面曲线.

证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθr r

g 0ｎ

＝两边求微商，得 0γγg g r r r r

g g ｎ＋ｎ＝

由于曲线Γ是曲率线，所以αg r r

P ｎ，进而0γg r r g

ｎ＝，由伏雷内公式得0τβr r g －ｎ＝ ⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线

⑵n 0βv v g ＝，即n β⊥v

v ，n kcos =0k θ=，

又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=v v v 即n v

是常向量，所以Γ是平面曲线. 20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．

证明设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r

，则

{}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r

， {}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ??=?-=r r

，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．

21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k

*n 1in ππ

θθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）

1in cos k θθ=222s +k

所以*n n 12k k k k +=+＝常数.

22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.

证明因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±r r

从而(),κατγ=±-+r r r &n

又因为曲线是平面曲线，所以0,τ= 进一步n κα=±r r &.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.

证明曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+r

x =常数,y =常数是两族坐标曲线.

{1,0,}x r f '=r

,{0,1,}y r g '=r . {0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''===r r r

因为0xy r r M r ?==r r r

,所以坐标曲线构成共轭网，

即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.

24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．

证明参数表示为{}(,),,r x y x y xy =r

，则

{}1,0,x r y =r ，{}0,1,y r x =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,1xy r =r ，{}0,0,0yy r =r

，

{},,1x y r r y x ?=--r r

，

,,1||x y x y r r y x n r r ?--==

?r r r r r 0xx L r n =?=r

r ， xy M r n =?=

r r

，0yy N r n =?=r r

，

2222211

00011

LN M x y x y ∴-=?-

=-<++++，

故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．

25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即

(d ,d )

u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲

面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明设球面的参数表示为 {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =r

，则 {}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-r ，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--r

， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--r ，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-r r

，

{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---r

，

22cos u u E r r R v =?=r r ，0u v F r r =?=r r ，2v v G r r R =?=r r

，

cos L R v ==-r r r

，0M ==r r r

，N R ==-r r r ，

(,,)(,,)L M N E F G R

∴=-

，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．

证明设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =r

，则 {}1,0,0x r =r ，{}0,1,0y r =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,0xy r =r ，{}0,0,0yy r =r

，

1x x E r r =?=r r ，0x y F r r =?=r r ，1y y G r r =?=r r

，

0xx L r n =?=r r ，0xy M r n =?=r r ，0yy N r n =?=r r

(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．

27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．

证明曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+r

，则

{}2/313

1,0,()x r x y -=+r ， {}

2/3130,1,()y r x y -=+r ， {}5/323

0,0,()xx r x y -=-+r ，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+r ， {}

5/32

90,0,()yy r x y -=-+r ， {}

2/32/311

(),(),1x y r r x y x y --?=-+-+r r ， ||x y x y r r n r r ?=?r r r r r ， {}5/32

90,0,()xx L r n x y n -=?=-+?r r r ，{}

5/329

0,0,()xy M r n x y n -=?=-+?r r r ， {}5/32

90,0,()yy N r n x y n -=?=-+?r r r 20LN M ?-=，

∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．

28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r

是极小曲面．

证明 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-r

， {}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r

，

{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k

r r v v a v a v u u v u v a ?==--r r r

r r

，

sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r -?==

?r r

r r ， 1u u E r r =?=r r ，0u v F r r =?=，22v v G r r a u =?=+r r

，

0uu L r n =?=

r r ，uv M r n =?=r r 0vv N r n =?=r r

，

1210,22EN FM GL H EG F -+∴=?==-故正螺面是极小曲面．

29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =r

上的纬线是测地线．

证明由{cos ,sin ,},r a u a u v =r

{sin ,cos ,0}u r -a u a u =r ，{0,0,1}v r =r

，

2,0, 1.E a F G ==

=g d k ds θ

θθ=

，

纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．

30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明 12

k k H +=

=Q ， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=?=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点；当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．

31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；

(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.

证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ，曲线又是渐近线，所以，0=n k ，

而222

=+n g k k k ，

所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1

因曲线是测地线，所以沿此曲线有βr r P n ，所以βr r &P dn ，

又曲线是曲率线，所以αr

r r P P dn dr ，

所以(k )ατγα-+r r r

P ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.

证法2

因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n

βαv r r v &P P 而γαβ=?r r r ，所以,n γα=±?r r r 从而()(0)0n n k n γααβ=±?+?=±-?+=r r r r r r r r r &&&，

又γτβ=-r r

&，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.

微分几何试题库

微分几何一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率

《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第五章

1.导致欧洲中世纪黑暗时期出现的主要原因是什么? 因为中世纪时期是欧洲最为混乱的时期,也是其经济、政治、文化、军事等全面停滞发展的时期,当时的欧洲居民生活在水深火热之中,所以被称为黑暗时期. 1、政治的黑暗、政权的分散：自罗马帝国衰亡后,中欧、西欧被来自东欧的日耳曼民族统治,日耳曼民族又有很多种族,因此相互征伐不断,如法兰克帝国、神圣罗马帝国、英格兰王国、教皇国等等,这些国家相互征伐、动乱不已,而且中世纪时期虽然是欧洲的封建时期,但却不集权、不统一,类似分封制的封建制度导致封建国家缺乏强有力的基础,例如神圣罗马帝国、皇帝仅仅是一个称号而已.而封建地主又对百姓盘剥,加之战乱不断、瘟疫横行,民不聊生. 2、宗教的干涉：这一时期的基督教对各国的干扰极强,甚至对政权的建立、稳定都十分重要.宗教严格的控制文化教育、人们的生活：一方面他们严格要求中下层教士及普通百姓,另一方面,上层教士又和封建势力相勾结,腐败没落,压榨百姓和人民,中世纪的宗教裁判所又有极大的权力,可以处死他们所认为的异端分子,由于思想、科学被严格控制,这一时期的欧洲思想、文化、科学鲜有成就. 3、经济的没落,由于盘剥严重、科技落后,这一时期的经济几乎没有发展,没有进步就代表了落后； 4、瘟疫盛行：宗教的干涉,科技的落后,医学的不发达,导致瘟疫的盛行,540年~590年查士丁尼瘟疫导致东地中海约2500万人死亡；1346

年到1350的鼠疫导致欧洲约2500万人死亡,灾难极大地打击的了欧洲的经济、政治甚至人口的发展. 简而言之,这一时期的欧洲百姓生活在一种暗无天日,毫无希望的生活里,所以被称为黑暗时期. 2、在欧洲中世纪黑暗时期曾经出现过那些知名的数学家，他们在当时那样的背景下各自做了哪些数学工作？答：罗马人博伊西斯（罗马贵族），曾不顾禁令用拉丁文从古希腊著作的片段中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，他把这些内容称为“四大科”，其中的数学著作还被教会学校作为标准课本使用了近千年之久，但博伊西斯本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。 7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。当时，对耶稣复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。培根是英格兰人（贵族），曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所有的知识感兴趣，号称“万能博士”。他提倡科学，重视现实，反抗权威（应为不惧权威）。他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与自然规律相一致的。在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的形成中被反映出来，即用数量和尺规刻画的。培根认为：“寻找和发

微分几何期终试题

《微分几何》期终考试题（A）班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(<

二、单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的【】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是【】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的【】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是【】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是【】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是【】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是【】 k g k n k

微分几何试题库

微分几何一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，

γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:

数学史练习题及答案

《数学史论约》复习题参考及答案本科一、填空（22分） 1、数学史的研究对象是（数学这门学科产生、发展的历史），既要研究其历史进程，还要研究其（一般规律）； 2、数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（数学学科自身的研究对象、内容结构、知识领域的演进）来分期，其一是根据（数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁）来分期； 3、17世纪产生了影响深远的数学分支学科，它们分别是（解析几何）、（微积分）、（射影几何）、（概率论）、（数论）； 4、18世纪数学的发展以（微积分的深入发展）为主线； 5、整数458 用古埃及记数法可以表示为（）。 6、研究巴比伦数学的主要历史资料是（契形文字泥板），而莱因特纸草书和莫斯科纸草书是研究古代（埃及数学）的主要历史资料； 7、古希腊数学发展历经1200多年，可以分为（古典）时期和（亚历山大里亚）时期； 8、17世纪创立的几门影响深远的数学分支学科，分别是笛卡儿和（费马）创立了解析几何，牛顿和（莱布尼茨）创立了微积分，（笛沙格）和帕斯卡创立了射影几何，（帕斯卡）和费马创立了概率论，费马创立了数论； 9、19世纪数学发展的特征是（创造）精神和（严格）精神都高度发扬； 10、整数458 用巴比伦的记数法可以表示为（）。 11、数学史的研究内容，从宏观上可以分为两部分，其一是内史，即（数学内在学科因素促使其发展），其一是外史，即（数学外在的似乎因素影响其发展）； 12、19世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）分析基础严密化和（复变函数论创立），（2）（非欧几里得几何学问世）和射影几何的完善，（3）群论和（非交换代数诞生）； 13、20世纪数学发展“日新月异，突飞猛进”，其显著趋势是：数学基础公理化，数学发展整体化，（电子计算机）的挑战，应用数学异军突起，数学传播与（研究）的社会化协作，（新理论）的导向； 14、《九章算术》的内容分九章，全书共（246）问，魏晋时期的数学家（刘徽）曾为它作注； 15、整数458 用玛雅记数法可以表示为（）。 16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史，既要研究其（历史进程），还要研究其（一般规律）； 17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、（毕达哥拉斯学派）、（厄利亚学派）、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和（亚里士多德学派）； 18、阿拉伯数学家（阿尔-花拉子模）在他的著作（《代数学》）中，系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法； 19、19世纪数学发展的特点，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）（分析基础严密化）和复变函数论的创立；（2）非欧几里得几何学问世和（射影几何的完善）；（3）在代数学领域（群论）与非交换代数的诞生。 20、整数458 用古印度记数法可以表示为（）。二、选择题 1、数学史的研究对象是（C）；

微分几何期末复习题

微分几何复习题一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量为。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为。 8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面是曲线在P 点的。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方程是。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方程是。 11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线方程是。 14. 曲线的主法向量的正向总是指向。 15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是。 19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是。 20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为。

微分几何试题库

二.单项选择题 1.0()P t 就是曲线r r =()r t r 上一点,1P 就是曲线上P 点附近的一点,S ?为弧?1PP 的长,??为曲线在P 点与1P 点的切向量的夹角,k(s) 就是曲线在P 点的曲率。则下面不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2.曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率 k(s),挠率为()s τ,则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则γr &= 、 ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4、曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则下式不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ α r &βr ④ γr &βr 6.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。则下式不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr

江西科技师范大学数学史复习题

数学史复习题一、1.对于数学史的分期，1820’—现在属于 1.A.数学的起源与早期发展 B.初等数学时期 C.近代数学时期 D.现代数学时期是希腊演绎几何的最高成就。 A.《原本》 B.《方法》 C.《圆锥曲线论》 D.《大成》 2.______的《数学汇编》被认为是古希腊数学的安魂曲。 3.A.海伦 B.托勒玫 C.丢番图 D.帕波斯 4.“百鸡问题”是“算经十书”中的______卷下的最后一题。 A.《孙子算经》 B.《张邱建算经》 C.《缉古算经》 D.《海岛算经》 5.关于一次同余组求解的剩余定理被称为“______”。 A.中国剩余定理 B.孙子定理 C.秦九韶定理 D.杨辉定理 6.“我思故我在”是______的名言。 A.柏拉图 B.毕达哥拉斯 C.笛卡儿 D.莱布尼茨 7.______是历史上第一篇系统的微积分文献。 8.A.《流数简论》 B.《运用无限多项方程的分析》 C.《流数法与无穷级数》 D.《曲线求积术》 8.“每个偶数是两个素数和；每个奇数是三个素数之和。”这就是着名的 9.A.费马小定理 B.费马大定理 C.哥德巴赫猜想 D.华林问题世纪数学家们在对几何学作统一处理的观点下进行探索，在所有这些努力中，______ 在《几何基础》中使用的公理化方法最为成功。 A.希尔伯特 B.庞加莱 C.罗巴切夫斯基 D.黎曼 10.英国生物学家和统计学家______在现代数理统计的建立上起了重要作用。他在19世纪末、20世纪初发展了他老师高尔顿首先提出的“相关”与“回归”的理论，成功地创立了生物统计学。 A.贝叶斯 B.皮尔逊 C.费希尔 D.克拉默 11.电子计算机的发明与发展再一次表明，人类计算机工具的改进是离不开数学与数学家的贡献的。电子计算机都是以______的设计思想为基础的。 A.帕斯卡 B.巴贝奇 C.冯·诺依曼 D.图灵 12.费马大定理是1994年由英国数学家______完成的。 A.库默尔 B.谷山丰 C.弗雷 D.维尔斯 13．古典数学名着《圆锥曲线论》的作者是阿波罗尼奥斯。 2.“宋元数学四大家”是秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰。

12-13(二)微分几何期末复习题

一，填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是圆柱螺线。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。

大学数学史题库附答案

选择题（每题2分） 1.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( A ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 2.对古代巴比伦数学成就的了解主要来源于( C ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 3.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( B ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 4.《九章算术》中的“壍堵”是指一种特殊的( A ) A.三棱柱 B.三棱锥 C.四棱台 D.楔形体 5.射影几何产生于文艺复兴时期的( C ) A.音乐演奏 B.服装设计 C.绘画艺术 D.雕刻艺术 6.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( A )。 A.斐波那契 B.卡尔丹 C.塔塔利亚 D.费罗 7.被称作“第一位数学家和论证几何学的鼻祖”的数学家是( B ) A.欧几里得 B.泰勒斯 C.毕达哥拉斯 D.阿波罗尼奥斯 8.被称作“非欧几何之父”的数学家是( D ) A.波利亚 B.高斯 C.魏尔斯特拉斯 D.罗巴切夫斯基 9.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( C ) A.伽利略 B.哥白尼 C.开普勒 D.牛顿 10.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( C ) A.不可公度数 B.化圆为方 C.倍立方体 D.三等分角 11.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( C ) A.阿耶波多 B.婆罗摩笈多 C.马哈维拉 D.婆什迦罗 12.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( A ) A.康托尔 B.欧拉 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 13.下列哪一位数学家不属于“悉檀多”时期的印度数学家？( C ) A.阿耶波多 B.马哈维拉 C.奥马.海亚姆 D.婆罗摩笈多 14.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是( A ) - 1 - / 9

2013微分几何试卷

济南大学2012～2013学年第二学期课程考试试卷（A 卷）课程微分几何授课教师滕厚山考试时间 2013.6.26 考试班级数学10级班学号姓名一、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“╳”。每小题2分，共10分) 1. 空间曲线的切向量α 总是指向曲线的参数增值方向.（） 2. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状.（） 3. 曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线.（） 4. 因为高斯曲率2 2 F E G M LN K --=与第二类基本量有关，所以它不是内蕴量.( ) 5. 等距等价的两个曲面在对应点具有相同的高斯曲率.( ) 二、填空题（将答案填在题中横线上，每小题2分，共10分） 1. 向量函数{ }3 23 13 1 , sin , cos = )(t t t r 关于t 的旋转速度等于_______. 2. 向量函数)(t r 有固定长的充要条件是___________. 3. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是_______________. 4. 曲面)(S 的u --坐标曲线族的正交轨线族的微分方程是_________________. 5. 直纹面(,)()()r u v a u vb u =+的导线()a a u =是腰曲线的充分必要条件是_____________. 三、选择题（将正确答案的代号填入该题后面的括号内，每小题2分，共10分） 1. 向量函数)(t r r =有固定方向的充分必要条件是（） .A 0='?r r .B 0 ='?r r .C 0),,(='''r r r .D 0 =''?'r r 2. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是（） .A 平面曲线 .B 直线 .C 圆 .D 圆柱螺线 3. 下列曲面不是可展曲面的是（） .A {}(,)cos ,sin ,r u v v u v u au b =+； .B 曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =的切线面； .C 高斯曲率恒为零的无平点曲面； .D 与平面等距等价的曲面。 4. 曲面上曲线的曲率k ，法曲率n k ，测地曲率g k 之间的关系是（） .A g n k k k =+ .B g n k k k =+ .C 222 g n k k k =+ .D 222g n k k k =+ 5. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的是（） .A 非脐点处，主方向垂直 .B 脐点处，任何方向都是主方向 .C 非脐点处，有且仅有两个主方向 .D 脐点处，无主方向四、（本题15分）已知圆柱螺线},sin ,cos {:)(bt t a t a r C = ，求（1）曲线)(C 的自然参数方程；（2）曲线)(C 在任意一点的基本向量γβα ,,；（3）曲线)(C 在任意一点的曲率和挠率. …………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………… ……………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线………………

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明：设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数），其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ，其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。证明易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -，而1sin cos dv ds a u θθ ==，故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-，并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。证明设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题本科第一部分:练习题库及答案一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

微分几何试卷6

西北师范大学数信学院数学与应用数学专业《微分几何》考试题（A）（2008/07）班级：学号：姓名：成绩：得分评卷教师一、填空题（每空2分，共20分） 1．曲线为平面曲线的充分必要条件是__________________. 2．距离单位球面球心距离为d(0d<1)<的平面与球面的交线的曲率为 ________________，法曲率为_________________. 3．曲面的第二基本形式为z xy = ______________. 4．全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是____________ 和______________. 5．法曲率的最大值或最小值正好是曲面的____________曲率，使法曲率达到最大值或最小值的方向是曲面的____________方向. 6．如果参数曲面r r(u,v)=的坐标网是半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可以写成 . 7．在正交坐标网下，v—曲线的测地曲率= v g k _. 得分评卷教师二、单项选择题（每题2分，共16分） 1.曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 ( )

① F=0； ② M=0； ③ F=M=0； ④ L=N=0. 2. 若曲面上一点处的两个主曲率为2，12 ，则这点是曲面的 ( ) ① 椭圆点； ② 双曲点； ③ 抛物点； ④ 脐点. 3. 下列曲面中，不一定是可展曲面的是 ( ) ① 锥面；② 曲线的切线曲面；③ 柱面；④ 曲线的主法线曲面. 4. 曲面上使n g k k 0==的曲线不一定是 ( ) ① 直线； ② 渐近线； ③ 曲率线； ④ 测地线. 5. 曲面在每一点处的主方向 ( ) ① 只有一个； ② 至少有两个； ③ 只有两个；④ 也可能没有. 6. 球面上的大圆不可能是球面上的 ( ) ① 测地线； ② 曲率线； ③ 法截线； ④ 渐近线. 7. 在球面上，测地三角形的三内角之和 ( ) ① 等于π；② 大于或等于π；③ 大于π；④ 小于等于π. 8. 下列不是曲面的内蕴量的是 ( ) ① 曲面的高斯曲率K； ② 曲面沿某方向的法曲率； n k ③ 曲面上曲线的测地曲率； ④ 曲面的克氏记号. g k k ij Γ 得分评卷教师三、计算题（每题10分，共30分） 1. 求曲线{})0(),cos 1(),sin 1()(>??=a bt t a t a t r 的曲率函数、挠率函数.

微分几何试题库(选择题)

二．单项选择题 1．0()P t 是曲线r r =()r t r 上一点， 1P 是曲线上P 点附近的一点，S ?为弧?1PP 的长，??为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。则下面不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2．曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ，βr ，γr 。在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γr &= . ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4. 曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ αr &βr ④ γr &βr 6．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。则下式不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr 7．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。

1数学史试题及答案

填空 1．世界上第一个把π计算到＜π＜的数学家是祖冲之 2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是(朱世杰 3．就微分学与积分学的起源而言(积分学早于微分学) 4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是(《周髀算经》 5．发现著名公式e iθ=cosθ+isinθ的是( 欧拉 6．中国古典数学发展的顶峰时期是(宋元时期)。 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是(.莱布尼茨)。 8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是(波尔查诺)。9．古埃及的数学知识常常记载在（纸草书上）。 10．大数学家欧拉出生于（瑞士） 11．首先获得四次方程一般解法的数学家是(费拉利。 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（开方术）。 13．最早采用位值制记数的国家或民族是(美索不达米亚)。 14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、__完备性__、独立性 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为__杨辉__三角，而数学史学者常常称它为_贾宪__三角。

17．欧几里得《几何原本》全书共分13 卷，包括有_5_条公理、_5条公设。 18．两千年来有关欧几里得《几何原本》第五公设的争议，导致了《非欧几何》的诞生。1 9.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法，并用__几何__方法对这一解法给出了证明。 20．在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽，如开普勒的旋转体体积计算、巴罗的微分三角形方法以及瓦里士的曲线弧长的计算等。语言的数学家是维尔斯特拉斯。 21．1882 年德国数学家林德曼证明了数的超越性。 22．数学家们为研究古希腊三大尺规作图难题花费了两千年的时间， 23．罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点，至少有两条年德国数学家林德曼证明了数直线与已知直线平行，而且在该几何体系中，三角形内角和__小于___两直角。 24．被称为“现代分析之父”的数学家是柯西，被称为“数学之王”的数学家是高斯 25．第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家帕斯卡于1642 年发明的。 26．1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出了_23__ 个尚未解决的数学问题，在整个二十世纪，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。 27．首先将三次方程一般解法公开的是意大利数学家_卡当__，首先获得四次方程一般解法的数学家是__费拉利。 28．欧氏几何、罗巴契夫斯基几何都是三维空间中黎曼几何的特例，其中欧氏几何对应的情形是曲率恒等于零，罗巴契夫斯基几何对应的情形是曲率为负常数。 29．中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《九章算术》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的__赵爽__。 30．世界上讲述方程最早的著作是(中国的《九章算术》) 31．《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为(.帕波斯)。