饮酒驾车的数学模型(1)
目录
摘要 (1)
一. 问题重述………………………………………………………
二.问题分析…………………………………………………………
三. 模型假设…………………………………………………………
四.符号说明…………………………………………………………
五.模型的建立与求解………………………………………………
5.1 快速饮酒的模型……………………………………………
5.2 慢速饮酒的模型……………………………………………
5.3 多次饮酒模型………………………………………………
六.模型的评价与改造…………………………………………………
6.1 解释题目中大李遇到的问题…………………………………
6.2 喝了三瓶酒或半斤底度白酒后多久才能驾车………………
6.3 估计血液中酒精含量在何时最高……………………………
6.4 天天喝酒,能否开车……………………………………………
6.5 给司机的忠告……………………………………………………
七.模型评价…………………………………………………………………
八.模型推广…………………………………………………………………
九.参考文献…………………………………………………………………
十.附录………………………………………………………………………
一、问题重述
关键词：微分方程、模型。
本问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，血液中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论问题：
1. 对大李碰到的情况做出解释；
2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
1）酒是在很短时间内喝的；
2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。
3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
参考数据
1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
二、模型假设
1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。
2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。
3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失，且不考虑误差。
三、符号说明
:酒精从体外进入胃的速率；
k
f
(t):酒精从胃转移到体液的速率；
1
(t):酒精从体液转移到体外的速率；
f
2
X(t):胃里的酒精含量；
Y(t)：体液中酒精含量；
V 0:体液的容积；
K 1:酒精从胃转移到体液的速率系数；
K 2:酒精从体液转移到体外的速率系数；
C(t):体液中的酒精浓度。
0D ：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。
T ：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。
四、模型的分析与建立
（一）、模型分析：
假设酒精先以速率0k 进入胃中，然后以速率)(1t f 从胃进入体液，再以速率f 2(t)从体液中排到体外。
（二）模型建立：找到C(t)与t 的关系
用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的
浓度。根据前面的假设可知：
)()(11t x k t f =
)()(22t y k t f =
1.对胃建立方程： dx(t)=k 0dt-f 1(t)dt
)()(10t f k dt
t dx -= 可得：
01)()(k t x k dt
t dx =+ 利用一阶线性常微分方程求解，可以得到；
???????==+=+=-01110111)0()(1x x A c k k A A e c t x t k 又因为)()(11t x k t f = ，联合式可得：
111111)(A k e c k t f t K +=-
0111k e c k t k +=-
00011)(k e
k x k t k +-=-
2又对中心室可建立方程组如下； ?????=-=0
21)0()()()(y y t f t f dt t dy 同理：
)()()(21t y k t f dt
t dy -= 因为000111)()(k e k x k t f t k +-=-，将其代入上式可得到：
000121)()()(k e k x k t y k dt
t dy t k +-=+- 利用微分求解：
t k t k t k t k e B A e c e k k k x k k k e c t y 121222212001202)(----++=--++= 又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，0)()(v t y t c =
，即： t k t k e B A e c t c 12333)(--++=
（其中 023v c c =，0203v k k A =，0
120013)(v k k k x k B --=，0333)0(c c C B A ==++）。 （三）模型的讨论：
情况一 1当酒是在较短时间内喝时
此时有00)0(x D x ==，00=k ，00=c 。
由上可得：03=A ，012013)(v k k D k B -=
，33B c -= 因此有：
]333121212[)
()(t k t k t k t k t
k t k e e A e e B e B e B t c -------=--=+-= （其中 0
21013)(v k k D k B A -=-=） 设K1>K2,因此可认为：t k Ae t c 2)(-≈t
K A t c 2ln )(ln -=?
利用数表一：（喝下两瓶啤酒 取0.25小时以后）
通过Matlab 进行曲线拟合可得：
>> t=[ 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16];
y1=[82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4];
y2=log(y1);
polyfit(t,y2,1);
ans =
-0.1940 4.7753
5459.118=A ，1940.02=k
根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml ，密度为810mg/ml 酒精浓度不超过
4.5%，所以两瓶啤酒的酒精总量mg D 46656%
5.481064020=???=
由于体重为70kg,体重的65%左右，体液密度为1.05mg/ml 33.43310005.110%65703
0=???=v 毫克/百毫升。
由0
2101)(v k k D k A -=可求得：114.21=k 。 可得短时间内喝下两瓶啤酒时关系式如下；
][5459.118)(114.21940.0t t e e t c ---=
用Matlab 软件画出图形为：
情况二
1当酒是在较长时间内喝时
我们可将其进行分段讨论。当t ](，T
0∈时，同样可以得到：T 为喝酒总用时，取2小时。此时T D k 00=
，x （0）=0，y （0）=0
因为：
t k t k e B A e c t c 12333)(--++=
可知
)()1()()(12223313333t k t k t k t
k t k e e B e A e B A e B A t c --------=+++-=
由上式可以求得：
A 3=277.50259
B 3=28.0386772
所以可得 :
T k T k T k T k T k t k Be e e B e e B e A T c 212122]
[)
()1()(33------=-=---=
2当t T >时，则此时血液中的浓度与时间关系式如下： )(2)(1)(20
211)(][)()()(T t k T t k T t k e T C e e v k k T x k t c ------+-?-= 其中]1[1)(11
0011001T k T k e k k k k e k k x k T x ---=+-= ][)
(]1[)(212102020T k T k T k e e k k k e y k k T c -----+-= 综上所述，可得，当T t ≥时
?????
??????--+-=-=+-?-=----------][]1[)(]1[)()(][)()()(212121*********)()()(0211T k T k t k T k T t k T t k T t k e e k k k e y k k T c e k k T x e T C e e v k k T x k t c 五、问题的解答
问一：
假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，符合情况一
][27295.59)(114.21940.0t t e e t c ---=（一瓶啤酒）
当6=t 时，可以求得百毫升/2778.18)(mg t c =，小于200mg/百毫升，所以第一次检查时不是饮酒驾驶。
紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车。第一次喝完6小时后残余18.2778mg/百毫升，又过8小时残余 3.92mg/百毫升，因此晚六点喝酒不是短时间喝完，因此可知，18.2778+3.92=22.1978＞20。因此为饮酒驾车。
问二
（1）当酒是在较短时间内喝时，符合情况一
所以：三瓶啤酒时 ][81885.177)(114.21940.0t t e e t c ---=
当百毫升毫克/20)(=t c 时，可求得小时261.11=t 。
所以当驾驶员在较短时间内喝下三瓶啤酒时，必须经过11.261小时后开车才不会被认为是饮酒驾车。
（2）当酒是在较长时间内喝时，符合情况二
t k t k e B A e c t c 12333)(--++=
当百毫升毫克/20)(=t c 时，可以求出407.13=t 小时，所以当驾驶员在较长时间（T 为二小时）喝下三瓶啤酒后，必须经过13.407小时后开车才不被认为是饮酒驾车。 问三：
（1） 短时间内喝酒时，符合情况一 ][)()(1202101t k t k e e V K K D k t c ----=
当)(t c 的导数等于0时，可解得：23.12
12ln 1ln =--=k k k k T 所以当t=1.23时，)(t c 取得最大值。
（2）、当酒是在较长时间内喝时，符合情况二
在第二小时时含量最高。
问四:
假设天天喝酒,每次喝酒为短时间喝完。
C （t ）=2122
k t k t n n Ae Ae ---＜20，可知n ＜2 即每天喝小于两瓶符合。
给司机朋友的忠告
司机朋友，适量饮酒有益健康，过多地饮酒对身体的不利影响很大，特别是肝，容易患酒精肝，对心脏也不好。所以建议你喝酒时不要空腹，适量吃些小菜，下酒菜吸收酒精，这样有助于保护你的胃。在你感觉身体不舒服时,不能喝酒。每次喝酒最好一瓶，对车辆的驾驶人员,出车前不能饮酒。司机喝完酒后最好6小时后出车。
有些司机朋友可能会问，为什么喝完酒后不能驾车﹖科学家曾做过实验，一个人喝完酒后的反应速度大大降低，这样就加大了交通隐患，这样既不利于您自身的安全，而且也对周围的交通和社会造成了威胁。
掌握好饮酒时间,这不仅对您身体和健康有利，也是对他人生命的负责。希望广大的司机朋友们看了这篇文章后能有所启示，适量的饮酒。
参考文献
[1]李南南吴清曹辉林 MATLAB简明教程北京：清华大学出版社，2006
[2] 朱道元主编数学建模案例精选北京：科学出版社，2003
[3] 赫孝良等[选编] 数学建模竞赛赛题简析与论文点评西安：西安交通大学出
版社，2002
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）