《MATLAB及应用》实验报告2

核科学技术学院

实验报告

实验项目名称MATLAB符号计算

所属课程名称MATLAB及应用

实验类型上机实验

实验日期12月日

指导教师谢芹

班级

学号

姓名

成绩

一、实验名称

MATLAB符号计算

二、实验目的

（1）掌握定义符号对象的方法

（2）掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算

（3）掌握求符号函数极限及导数的方法

（4）掌握求符号函数定积分和不定积分的方法

三、实验原理

1. 函数极限及导数的方法

（1）函数极限：limit(F,x,a) 求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。

（2）limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。

（3）limit(f,x,a,'right')：求符号函数f的极限值。'right'表示变量x从右边趋近于a。

（4）limit(f,x,a,‘left’)：求符号函数f的极限值。‘left’表示变量x从左边趋近于a。

2. 微分：

diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。

diff(s,'v')：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。

diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。

diff(s,'v',n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。

3. 函数定积分和不定积分的方法：

int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。

int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。

int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。

梯形法：trapz(x,y)：x为分割点构成的向量，y为被积函数在分割点上的函数值构成的向量；

抛物线法：quad(f,a,b,tol)，f是被积函数，[a,b]是积分区间，tol是精度。

4. 求和及泰勒级数展开的方法：

（1）求和symsum(s,v,n,m) 其中s 表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v 是求和变量，v 省略时使用系统的默认变量。n 和m 是求和的开始项和末项。

（2）泰勒级数展开 taylor(f,v,n,a) 该函数将函数f 按变量v 展开为泰勒级数，展开到第n 项(即变量v 的n-1次幂)为止，n 的缺省值为6。v 的缺省值与diff 函数相同。参数a 指定将函数f 在自变量v=a 处展开，a 的缺省值是0。

四、实验内容

1. 求下列极限： 求极限前先定义符号变量

（1） 10arctan lim x x F x

→= （2）1201lim()1x x x F x →+=- （3）320ln(1)lim

sin x x x F x →+= （4）43111lim()11x F x x

→=--- （5）552lim(1)x x t F ax →∞=+ 2. 求下列函数的导数：

（1） 3

cos cos3y x x =- （2）1sin ln y x x x = （3）21sin x xe y x

-= （4）3cos x y e x = （5） 2

sin y x x = （6） 3cos ln x ae t x f t x x ??=????，求df dx ，22d f dt ，2d f dtdx 3. 求下列函数的积分

（1） sin sin sin ax bx cxdx ? （2）(53)4x x x dx +-

? （3）120(1)x xe dx x +? （4）[0,1][0,1]1D

x dxdy D xy =?+?? （5） V zdxdydz ??? 由曲面22y x

z +=，1=z ，2=z 所围成

（6） 21

cos x bx dx x e x ????????

? 4. 解下列方程组。

（1）123123123257543232615x x x x x x x x x -+-=-??+-=??++=?

（2）1122125sin 4cos 05cos 4sin 0x x x x x x --=??-+=? （3）()5()()()()5()dx t x t y t dt dy t y t x t dt

?=-+????=-+?? 5. 求下列级数的和

（1） 11212n n n I ∞

=-=∑ （2）211(21)n I n n ∞==+∑ 6. 泰勒级数展开

将函数21()53

f x x x =

+-展开成2-x 的幂级数 五、实验过程及结果（含源代码）

（此处按题号顺序写上所写的程序语句内容以及matlab 中出现的程序运行结果） 1.

syms x;

f1='arctan(x)/x'

F1=limit(f1,x,0)

f2='((1+x)/(1-x))^(1/x)'

F2=limit(f2,x,0)

f3='(x*ln(1+x))/(sin(x^2))'

F3=limit(f3,x,0)

f4='(1/(1-x))-(1/(1-x^3))'

F4=limit(f4,x,1)

f5='(1+((2*t)/(a*x)))^(5*x)'

F5=limit(f5,x,inf)

f1 =

arctan(x)/x

F1 =

1

f2 =

((1+x)/(1-x))^(1/x)

F2 =

exp(2)

f3 =

(x*ln(1+x))/(sin(x^2))

F3 =

1

f4 =

(1/(1-x))-(1/(1-x^3))

F4 =

NaN

f5 =

(1+((2*t)/(a*x)))^(5*x)

F5 =

exp((10*t)/a)

2.

syms x ln(x) cos(x) sin(x) t a; y1=(cos(x))^3-cos(3*x)

Y1=diff(y1)

y2=x*sin(x)*ln(x)

Y2=diff(y2)

y3=(x*exp(x)-1)/sin(x)

Y3=diff(y3)

y4=exp(x)*cos(x)

Y4=diff(y4)

y5=(x^2)*sin(x)

Y5=diff(y5)

y6=[a*exp(x) (t^3)*x;t*cos(x) ln(x) ]

Y6=diff(x)

Y7=diff(x,2)

y1 =

cos(x)^3 - cos(3*x)

Y1 =

3*cos(x)^2*diff(cos(x), x) - 3*D(cos)(3*x)

y2 =

x*ln(x)*sin(x)

Y2 =

ln(x)*sin(x) + x*ln(x)*diff(sin(x), x) + x*sin(x)*diff(ln(x), x)

y3 =

(x*exp(x) - 1)/sin(x)

Y3 =

(exp(x) + x*exp(x))/sin(x) - ((x*exp(x) - 1)*diff(sin(x), x))/sin(x)^2 y4 =

exp(x)*cos(x)

Y4 =

exp(x)*cos(x) + exp(x)*diff(cos(x), x)

y5 =

x^2*sin(x)

Y5 =

2*x*sin(x) + x^2*diff(sin(x), x)

y6 =

[ a*exp(x), t^3*x]

[ t*cos(x), ln(x)]

Y6 =

1

Y7 =

3.

syms x y z ;

f1='sin(a*x)*sin(b*x)*sin(c*x)';

f2='x^5+x^3-(x^(1/2))/4';

f3='x*(exp(x))/(1+x^2)';

f4='x/(1+x*y)';

f='x^2+y^2';

f6=sym('[1/x,b*x^2;exp(x),cos(x)]'); int(f1,x)

int(f2,x)

int(f3,x,0,1)

int(int(f4,x,0,1),y,0,1)

int(int(int(f,x),y),z,1,2)

int(f6,x)

ans =

(a*b^2*cos(a*x)*sin(b*x)*sin(c*x) - b^3*cos(b*x)*sin(a*x)*sin(c*x) - c^3*cos(c*x)*sin(a*x)*sin(b*x) - a^3*cos(a*x)*sin(b*x)*sin(c*x) +

a^2*b*cos(b*x)*sin(a*x)*sin(c*x) + a*c^2*cos(a*x)*sin(b*x)*sin(c*x) + a^2*c*cos(c*x)*sin(a*x)*sin(b*x) + b*c^2*cos(b*x)*sin(a*x)*sin(c*x) + b^2*c*cos(c*x)*sin(a*x)*sin(b*x) +

2*a*b*c*cos(a*x)*cos(b*x)*cos(c*x))/(a^4 - 2*a^2*b^2 - 2*a^2*c^2 + b^4 - 2*b^2*c^2 + c^4)

ans =

x^4/4 - x^(3/2)/6 + x^6/6

ans =

- (ei(-i)*exp(i))/2 - (ei(i)*exp(-i))/2 + (ei(1 - i)*exp(i))/2 + (ei(1 + i)*exp(-i))/2

ans =

log(4) - 1

ans =

(x*y*(x^2 + y^2))/3

ans =

[ log(x), (b*x^3)/3]

[ exp(x), sin(x)]

4.

[x,y,z]=solve('-2*x+5*y-7*z=5','4*x+5*y-2*z=3','2*x+y+6*z=15') [x,y]=solve('x-5*sin(x)-4*cos(y)=0','y-5*cos(x)+4*sin(y)=0') [x,y]=dsolve('Dx=-5*x+y','Dy=-y+5*x')

x =

-212/81

y =

307/81

z =

74/27

x =

1.8207539129496562592168622750749

y =

-3.8552617061181725539710730412911

x =

C2/5 - C1*exp(-6*t)

y =

C2 + C1*exp(-6*t)

5.syms n

f1='(2*n-1)/2^n';

f2='1/(n*(2*n+1))';

I1=symsum(f1,n,1,inf)

I2=symsum(f2,n,1,inf)

I1 =

3

I2 =

2 - 2*log(2)

6.

syms x

taylor('1/(x^2+5*x-3)',x,2)

ans =

(70*(x - 2)^2)/1331 - (9*x)/121 - (531*(x - 2)^3)/14641 + (4009*(x - 2)^4)/161051 - (30240*(x - 2)^5)/1771561 + 29/121

六、实验总结

通过本次的matlab上机实验，使我了解了符号对象定义的方法，可以较为熟练地运用计算法则以及对符号助阵的求解。掌握了符号函数的求极限以及求解导数的方法，运用求和以及泰勒展开求极限的方法。较为熟练地求解函数的定积分与不定积分的值。