改后第四章概率论习题_奇数答案1汇编
第四章概率论习题__奇数.doc
1 某批产品共有M 件,其中正品N 件(0N M ≤≤)。从整批产品中随机的进行有放回抽样,每次抽取一件,记录产品是正品还是次品后放回,抽取了n 次(1n ≥)。试求这n 次中抽到正品的平均次数。 解 每次抽到正品的概率为:
N M ,放回抽取,抽取n 次,抽到正品的平均次数为:N n M
3设随机变量X 的概率密度为()()
21,1f x x R x π=∈+ ,这时称X 服从标准柯西分布。试证X 的数学期望不存在。 解 由于:
202
1()2ln(1)|(1)x x f x dx dx x x ππ
+∞
+∞
+∞
-∞
==+=+∞+?
?
所以X 的数学期望不存在。
5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位,若每次移动是相互独立的,并且向右移动的概率为p (01p <<)。n η表示到时刻n 为止质点向右移动的次数,n S 表示在时刻n 时质点的位置,1n ≥。求n η与n S 的期望。
解 每次向右移动的概率为p ,到时刻n 为止质点向右移动的平均次数,即n η的期望为:
()n E np η=
时刻n 质点的位置n S 的期望为:()(1)(21)n E S np n p n p =--=- 7 某信号时间长短T (以秒计)满足:{}()112
t
t P T t e e -->=
+,0t ≥。用两种方法求出()E T 。
解 方法 1:由于(0)1P T ≥=,所以T 为非负随机变量。于是有:
13()(1())()(1)24
t t E T F t dt P T t dt e e dt +∞+∞
+∞
--=-=>=+=??
?
方法二:由于(0)1P T ≥=,所以,可以求出T 的概率函数:
0,0
()1(12),02
t t
t f t e e t --?=?+≥?? 于是0
3
()()()4
E t t f t dt tf t dt +∞
+∞
-∞
=
==
?
? 9已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q ,现随机的将此棍子截成两段。
(1)求包含Q 点的那一段棍子的平均长度(若截点刚好在Q 点,则认为Q 包含在较短的一截内);
(2)当Q位于棍子何处时,包含Q点的棍子平均长度达到最大?
解 设棍子上的点是在[0,1]之间的,Q 点的位置距离端点0的长度为q 。设棍子是在t 点处跌断,t 服从[0,1]的均匀分布。于是:包含Q 点的棍子长度为T ,则:
,11,0min(,1),t q t T t t q q q t q <?
=-≤?-=?
,1q t ≤≤
于是包Q 点的那一段棍子的平均长度为:
11
20
1
()(1)2
q q
E T Tdx t dt tdt q q ==-+=
+-??? 11、为诊断500人是否有人患有某种疾病,抽血化验。可用两种方法:(I)每个人化验一次;(II )分成k人一组(共500/k组,假设
500
k
为正整数,1k >)。将每组k人的血样集中起来一起检验,如果化验结果为阴性,则说明组内的每人都是阴性,就无需分别化验。若检验结果为阳性,则说明这k人中至少有一人患病,那么就对该组内的k人再单独化验。如果此病的得病率为30%,试问哪种方法的检验次数相对少些? 解 (I)每个人化验一次,需要化验500次 (II )分成k 组,对每一组进行化验一共化验
500k
次,每组化验为阳性的概率为:10.7k
-,若该组检验为阳性的话,需对每个人进行化验需要k 次,于是该方法需要化验的次数为:
500
(1(10.7))k k k
+-。 将(II )的次数减去(I )的次数,得:5001
(1(10.7))500500(0.7)k k k k k
+--=- 于是:
当
10.70k k -<时,第二种方法检验的次数少一些;当1
0.70k k
->时,第一种方法检验的次数少一些;当10.70k
k
-=时,二种方法检验的次数一样多。
13、某电子监视器的圆形屏幕半径为r (0r >),若目标出现的位置点A服从均匀分布。设
A的平面直角坐标为(),X Y 。(1)求()E X 与()E Y ;(2)求点A与屏幕中心位置()0,0的平均距离。 解 由题意知:
2
1,,(,)0x y f x y r π??=???在圆内,其他值,2,()0X r x r f x r π?-<=???,其他值,2
,()0Y r y r
f x r π?-<=???,其他值
(1) 计算可得2
()()0r
r
E X E Y x
dx r
π-==
=?
(2) A 的位置是(),x y ,距中心位置(0,0
离为:
2
22
23
x y r r
E +≤=
=??
15、接第13
题,求当横坐标为
2
r 时,纵坐标Y 的条件期望。 解
|1,(,)(|)2()0Y X X y f x y f y x r
f x ?<==??
?,其他值
|1(
,),(|2220(2
Y X X r r
f y y f y r ?-<==???,其他值
于是:
221
(|)022r
r E Y X ydy r
-===?
17、某技术考试,成绩必为0,1,…,10这11个数之一,而且考生取得每个成绩的可能性
相同。第一次考试,若考生成绩为X ,然后需继续参加下一次考试,直到他获得的成绩Y 不低于第一次考试为止。记第一次考试后,又进行了Z 次才通过第二次考试。由于每次考题都是在题库中随机抽取的,所以所有考试均相互独立。 (1)求最终的平均成绩()E Y ;(2)求()E Z 。 解:由题意知 1
()11
P X k ==
,其中0,1,2,10k =。于是 (,)0,1,
,11P Y k X i i k ====+
11(,)()(|),0,1,,1111P Y k X i P X i P Y k X i i k i
=======
?=-
从而0
11()(,)1111k
k
i i P Y k P Y k X i i ====
===?-∑∑
于是:10
001
()7.511k
k i E Y k
i
===
=-∑∑ 又1
10
1
1
(11)()11k k i i i P Z k --=-==∑ 从而10
1
1
1
()() 3.02(11)k i E Z P Z k k i ∞===
===-∑∑
19、随机变量X 服从Gamma 分布,概率密度函数为()()
1x
f x x e ααλλα--=Γ,0x >,其
中,0α>称为“形状参数”,0λ>称为“尺度参数”。求()
k E X (1k ≥)和()D X 。 解 10
()
(),(1)()()
a k
k
x k k E X x x e dx k αλλααλα∞
--Γ+=
=≥ΓΓ?
2
1122220
0(2)(1)()[][]()()()()a a x x D X x x e dx x x e dx αλαλλλαααααλαλαλ
∞
∞----Γ+Γ+=-=-=ΓΓΓΓ?
?
21、机器处于不同状态时制造产品的质量有所差异。如果机器运作正常,则产品的正品率为
98%;如果机器老化,则产品的正品率为90%;如果机器处于需要维修的状态,则产品的正品率为74%。机器正常运作的概率为0.7,老化的概率为0.2,需要维修的概率为0.1.先随机抽取了100件产品(假设生产这些产品的机器的状态相互独立),求 (1)产品中非正品数的期望与方差;
(2)在已知这些产品都是正常机器制造出来的条件下,求正品数的期望和方差。 解 (1)设p 表示从产品取到非正品的概率,于是有:
(198%)*0.70.2*(190%)0.1*(174%)0.06p =-+-+-=,
用X 表示产品中非正品数,X 服从二项分布B(100,0.06),有:
100
()()1000.066k E X kP X k ====?=∑
()100(1) 5.64D X p p =-=(参考77页的例4.2.5)
(3) 用Y 表示在该条件下正品数,Y 服从二项分布B(100,0.98),于是
()1000.9898E Y =?=
()1000.98(10.98) 1.96D X =??-=
23、设随机变量X 和Y 独立,且方差存在,证明:
22()()()(())()(())()D XY D X D Y E X D Y E Y D X =?+?+?
解 证明:
222222222
2
2
2
22()(())(())()(())()()(()())(,()())((())()()
()()(())()(())()
D XY
E XY E XY E X Y E XY E X E Y E X E Y X Y D X E X D Y E Y E X E Y D X D Y E X D Y E Y D X =-=-=-+?+-=?+?+?由于相互独立)=(
25、接第20题,(1)求X 与X 的相关系数,并判断两者是否相关; (2)判断X 与X 是否独立?
解(1)由相关系数的定义,得:
X X ρ=
,其中(,)()()()Cov X X E X X E X E X =-
通过计算得(,)0Cov X X =,即0X X ρ=,从而说明,X X 是不相关的。 (2)很显然,X X 与不是相互独立的。
27、随机三角形ABC ,角A 与角B 独立同分布,其分布律均为
A /3π /4π /6π
P λ θ 1λθ--
其中0λ>,0θ>,且满足1λθ+<。已知()1
sin (cos )8
E A E A ==。
(1)写出(),A B 的联合分布律; (2)求()sin E C ;
(3)求角A 与角C 的相关系数,并由此判断它们的相关性(若相关,要求说明是正相关还是负相关)。
解(1)由题意得:
()(1)3
4
6
6
6
12
E A π
πππππλθλθλθ=
++--=--
(sin )sin
sin
sin
6
6
12
E A π
π
π
λθ=--,(cos )cos
cos
cos
6
6
12
E A π
π
π
λθ=--
结合已知条件,可求出:14λ=
,12
θ= 由于A 和B 是独立同分布的,于是(A,B )的联合分布律为: A B 3π 4π 6
π
P(A=i)
3π
1/16 1/8 1/16 1/4 4π
1/8 1/4 1/8 1/2 6
π
1/16 1/8 1/16 1/4
(2)