高考数学二轮复习解析几何综合问题学案(全国通用)

高考冲刺：解析几何综合问题

【高考展望】

1.坐标法、曲线的方程与方程的曲线是解析几何的学科基础，应在理解的基础上会应用；

2.点、直线、圆、圆锥曲线是解析几何重点研究的基本图形，其方程、几何性质是高中解析几何重点研究的内容，也是高考考查的重点；

3.几何性质与方程的对应关系是正确理解解析几何问题的关键，也是正确解决解析几何问题的关键；

4.数形结合的数学思想方法是解决解析几何的根本方法，是解决解析几何综合问题的基本思路. 【知识升华】

知识点一：曲线的方程和方程的曲线的关系

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.

那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 知识点二：求曲线的方程

1.坐标法的定义：

在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

2.坐标法求曲线方程的步骤：

建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）

3．求轨迹方程的常用方法：

直接法、定义法、代入法、参数法等。

解析几何综合问题369357 知识要点】

知识点三：有关圆锥曲线综合题类型 (1)求圆锥曲线方程

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤： 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在

哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2

=1(m ＞0,n ＞0)

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。此处注意n 个未知数，列够n 个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。

要点诠释：

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们

熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法

(2)求取值范围或最值

①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。 ②方程与不等式组----n 个未知数，列够n 个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法：

③利用几何性质求参数范围；

④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同．

知识点四：解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：

解析几何图形结构、问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往最具运算量、最为繁难复杂．因此，有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要．解决运算问题，可以有以下措施：

(1)不断提高运算和恒等变形能力。注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，避免思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略；加强训练运算基本功，不断提高恒等变形的能力．

(2)善于运用平面几何性质来解题问题。解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，若考虑问题的几何特征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重要．

(3)注意解析法与各种数学方法结合。当所求点的坐标直接解决有困难时，往往引进参数或参数方程起到解决问题的桥梁作用，引进合适的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何中是普遍的，但应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略． 【典型例题】

类型一：解析几何中最值问题

例1.设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=

e .已知点)2

3

,

0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标.

【解析】设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x , ),(y x M 为椭圆上的点,

由

2

3

=a c 得b a 2= )(,34)2

1(3)23(22222

b y b b y y x AM ≤≤-+++-=-+=

若21

AM 最大,即7)3

3(2=--b ,

2

1

237>-=∴b ,故矛盾.

若21≥b 时,2

1-=y 时7342=+b , 12

=b

所求方程为 14

22

=+y x

把12y =-

代入，求得M 的坐标是(─3,─21)或(3,─2

1). 举一反三：

【变式1】定长为3的线段AB ，其两端点在抛物线2

y x =上移动，设AB 中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时M 点的坐标.

【解析一】作准线l :1

2

x =-， 过A 、B 、M 分别作AA l '⊥,BB l '⊥、MM l '⊥,垂足A '、B '、M '，

且MM '交y 轴于N ， 连结AF 、BF .

111

||||(||||)424

MN MM AA BB '''=-=+-

11115(||||)(||)24244

AF BF AB =+-≥-= ∴当线段AB 过焦点F 时，min 5||4MN =，此时5

4

M x =.

此时设过焦点F 的直线AB 的方程为1

()4

y k x =-（0k ≠），

则由21()4y k x y x

?

=-???=?消去y 得222

1(1)0216k k x x -++=

2

122

111

2||||||322

k AB AF BF x x k +=+=++=+= 即22

21

322

k k ++= 解得22k =± ∴22

1)22M M y x =±

-=± 故当52(,4

2M ±

时，点M 到y 轴最短距离为4

5. 【解析二】设11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)M x y ，则

??????

?=+=+==)4.........(2)3(..........

2)2(..........

)

1...(. (21)

2122

2121y y y x x x x y x y

(1)+(2)得22

1212y y x x +=+，

由(3)有22

122y y x += …………(5) (3)2

-(5)得2

122y y y x =- (6)

∵||3AB =，∴22

1212()()9x x y y -+-= 即2222

1212()()9y y y y -+-=

221212()[()1]9y y y y -++=

22121212[()4][()1]9y y y y y y +-++=

∴2

2

2

[(2)4(2)][(2)1]9y y x y --+=

∴ 222

2294(41)191()14(41)44

16()4

y y x y y y ++==++-++

15

44

≥=

（当且仅当

22

9

1

1416()

4

y y =++

即2y =±

时，min 54d =

且5(,42M ±）. 例2.(2018 山东高考)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22

221

x y a b

+=（0a b >>

）的离心率为

2

，左、右焦点分别为F 1,F 2,以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程.

(2)设椭圆E ：22

22144x y a b

+=,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A,B

两点,射线PO 交椭圆E 于点Q. (ⅰ)求

||

||

OQ OP 的值; (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.

【思路点拨】(1)由离心率e 和2a=r 1+r 2可求a,b,c.

(2)将直线y=kx+m 与椭圆E 和椭圆C 联立消y,再根据二次方程根与系数的关系求解面积的最大值.

【解析】(1)因为两圆的公共点在椭圆C 上,所以2a=3+1=4,a=2. 又因为椭圆C

的离心率为c e a =

=,

所以222 1.c b a c ==-= 即椭圆C 的方程为2

214

x y +=.. (2)(ⅰ) 椭圆E ：

22

1164

x y +=. 设00(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22

0044x y +=.直线OP ：0

y y x x =

与椭圆E ：221164x y +=联立消y 得22222

000222000

416(1)16,44y x x x x x x y +===+，所以00(2,2)Q x y --.即

00

22OQ x OP

x -=

=.

(ⅱ) 因为点00(,)P x y 在直线y kx m =+上，所以00y kx m =+，点00(2,2)Q x y --到直线y kx m =+

的距离为d =

=

将y kx m =+与

22

1164

x y +=联立消y 得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0?>可得2

2

416m k <+. ①

设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222

8416

,1414km m x x x x k k -+=-=++，所以12x x -

=

直线y=kx+m 与y 轴交点为(0,m),所以△OAB 面积

121||2OAB

x x S m ?-==

=，令2214m t k =+

，则OAB S ?==.

将y kx m =+与2

214

x y +=联立消y 得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0?≥可得2

2

14m k ≤+. ②

由①②可知01t <≤，

因此OAB S ?≤=1t =即2

2

14m k =+时取得最大值），注意到3ABQ OAB S S ??=，

所以3ABQ OAB S S ??=

≤即ABQ ?

的面积的最大值为举一反三：

【变式1】(2018 天津高考)(本小题满分14分)已知椭圆22

221x y a b += (a>b>0)的左焦点为

F(-c,0),

点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2+y 2

=2

b 4

错误!未找到引

用源。截得的线段的长为

c,|FM|=

3

错误!未找到引用源。. (1)求直线FM 的斜率. (2)求椭圆的方程.

(3)设动点P 在椭圆上,若直线FP 的斜率大于错误!未找到引用源。,求直线OP(O 为原点)的斜率的取值范围.

【解析】(1)由已知有2

2c a

=错误!未找到引用源。,又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=3c 2,b 2=2c 2.

设直线FM 的斜率为k(k>0),则直线FM 的方程为y=k(x+c).

由已知,

有2

??+2222c b ????= ? ?

??

??,解得k=错误!未找到引用源。. (2)由(1)得椭圆方程为22

22

132x y c c +=,直线FM

的方程为)3y x c =+两个方程联立,消去

y,整理得3x 2+2cx-5c 2=0,解得x=-错误!未找到引用源。c,或x=c.

因为点M 在第一象限,可得M 的坐标为(c,错误!未找到引用源。c).

有3FM ==

解得c=1,

所以椭圆的方程为22

132x y +=.

(3)设点P 的坐标为(x,y),直线FP 的斜率为t,得t=错误!未找到引用源。,即y=t(x+1)(x≠-1),

与椭圆方程联立22

(1),

1,32y t x x y =+???+=??消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=.又由已知，得2

2

6223(1)x t x -=>+，

解得-错误!未找到引用源。3

2

x

,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m 2=错误!未找到引

用源。-错误!未找到引用源。.

①当x ∈(-错误!未找到引用源。,-1)时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是222

3

x -得m ∈(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。).

②当x ∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-错误!未找到引用源。,得m ∈(-∞,-错误!未找到引用源。).

综上,直线OP 的斜率的取值范围是(-∞,-错误!未找到引用源。)∪(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。).

类型二：有关对称的问题

例 3.已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若点

(1,0)A -、(0,8)B 关于直线l 的对称点都在C 上.求直线l 与抛物线C 的方程.

【解析】设l : y kx =(0k >且1k ≠),C :2

2y px =(0p >) 又设(1,0)A -关于l 的对称点(,)A a b '，

则由???????-?=-=?+21211a k b k a b

得???

???

?+-=+-=1211222k k b k k a

∴222221

()211

k k p k k --=++，即2421k p k =- (1)

又设(0,8)B 关于l 的对称点 (,)B c d ',

则由????????=+-=?-22818c k d k c d 得???

????+-=+=1)1(81

1622

2k k d k k c ∴22228(1)16[]211

k k

p k k -=++，即2222(1)(1)k p k k -=+ (2)

由(1),(2)知：??????

?=+=552251p k ， 故直线l

：12y x +=,抛物线C

：2y =. 举一反三：

【变式1】已知抛物线2

12y x =上永远有关于直线4y x m =+对称的相异两点，求实数

m 的取值范围.

【解析一】令相异两点为11(,)A x y 、22(,)B x y ,（12x x ≠），令线段AB 的中点为

00(,)P x y ,

则1202x x x +=

，12

02

y y y +=，2

12114y y x x -=--，004y x m =+ 由2

11222

1212y x y x ?=??=?? ，相减得 120482422y y y +-=

==-，00644

y m m

x -==--. ∵ 点00(,)P x y 在抛物线2

12y x =开口内，

∴20012y x <即)4

6(12)24(2

m --<-

故216m <-.

【解析二】设关于直线4y x m =+对称的两点为11(,)A x y 、22(,)B x y 12()x x ≠， 直线:40AB x y n ++=， 由???==++x

y n y x 12042 ，消去x 有： 248120y y n ++=.

∴1248y y +=-，1212y y n = 令线段AB 的中点为00(,)P x y ,

则12

0242

y y y +=

=-，00496x y n n =--=-， ∵点00(,)P x y 在直线4y x m =+上 ∴0044084m x y n =--=-+

又∵2

48480n ?=->, ∴ 48n <,

∴408448216m <-+?=-， 故216m <-.

【变式2】试确定m 的取值范围，使得椭圆22

143

x y +=上有不同两点关于直线

4y x m =+对称

【解析】设椭圆22

143

x y +=上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线4y x m =+对称，

且中点00(,)M x y 为椭圆22

143

x y +=内的点 从而有1201202,2x x x y y y +=+=

由22112

2

22(1)3412

(2)

3412

x y x y ?+=?+=?

(1)-(2)得2222

12124()3()y y x x -=--

∴012121212033()

4()4AA x y y x x k x x y y y '-+=

=-=--+

由0000311

3444

AA x k y x y '=-

?-=-?= 由00(,)M x y 在直线4y x m =+上00,3(,3)x m y m M m m ?=-=-?--

从而有222()(3)42132131(4313m m m m --+

解析几何综合问题369357 例4】

例4 .在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1

3

-

. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

【解析】（I ）因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y 由题意得

111

113

y y x x -+=-+-g 化简得 2234(1)x y x +=≠±. 故动点P 的轨迹方程为2

2

34(1)x y x +=≠±

（II ）若存在点P 使得PAB V 与PMN V 的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则

11

||||sin ||||sin 22

PA PB APB PM PN MPN ∠=∠g g . 因为sin sin APB MPN ∠=∠,所以

||||

||||

PA PN PM PB =

所以

000|1||3||3||1|x x x x +-=--即 22

00(3)|1|x x -=-，解得0x 53

=

因为22

0034x y +=，所以033

9

y =±

故存在点PS 使得PAB V 与PMN V 的面积相等，

此时点P 的坐标为533(,3. 举一反三：

【变式1】 已知定点A(2，0)和圆x 2

+y 2

=1上的动点Q ，∠AOQ 的平分线交AQ 于P 点(O 为坐标原点)，求动点P 的轨迹方程.

【解析】(如图)由三角形内角平分线定义：

|AP ||OA |2

2,|PQ ||OQ |1

λ=

=== 设P(x ，y)，Q(x 1，y 1)

则???????=-=???

????+=++=23y

y 22x 3x ,21y 2y 21x 22x 1111即 ∵点Q 在圆上，1)23y ()22-3x (2

2=+∴ 化简得：)3

40,(x ,94y )32-(x 2

2≠=+即为P

点的轨迹方程.

例5. 已知定点A （0，1），B （0，-1），C （1，0）．动点P 满足：2||k =?. （1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；

（2）当2k =时，求|2|AP BP +u u u r u u u r

的最大、最小值．

【解析】（1）设动点坐标为(,)P x y ，

则(,1)AP x y =-u u u r ，(,1)BP x y =+u u u r ，(1,)PC x y =-u u u r

．

因为2||k =?，

所以2

2

2

2

1[(1)]x y k x y +-=-+．2

2

(1)(1)210k x k y kx k -+-+--=． 若1k =，则方程为1x =，表示过点（1，0）且平行于y 轴的直线． 若1k ≠，则方程化为222

1()()11k x y k k

++=--． 表示以(

,0)1

k

k -为圆心，以

1|1|k - 为半径的圆． （2）当2k =时，方程化为2

2

(2)1x y -+=，

因为2(3,31)AP BP x y +=-u u u r u u u r ，所以|2|AP BP +=u u u r u u u r

又2

2

43x y x +=-，所以|2|AP BP +u u u r u u u r

因为22

(2)1x y -+=，所以令2cos ,sin x y θθ=+=，

则36626)46[4646x y θ?--=++∈-+．

所以

|2|AP BP +u u u r u u u r 3=

3=．

【总结升华】求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最

便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.

举一反三：

【变式1】设椭圆22

221(>0)x y a b a b

+=>的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是椭圆上的一

点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为11

||3

OF

(Ⅰ)证明a =

(Ⅱ)设Q 1,Q 2为 椭圆上的两个动点，OQ 1⊥OQ 2，过原点O 作直线Q 1Q 2的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程.

【解析】

(Ⅰ)证法一：

由题设AF 2⊥F 1F 2及F 1(-c,0),F 2(c,0)，不妨设点A(c,y)，其中y>0，

由于点A 在椭圆上，有22222

222

2-11c y a b y a b a b +=+=，即 解得2

b y a =，从而得到2,b A

c a ?? ???

直线AF 1的方程为2

()2b y x c ac

=+，整理得b 2x-2acy+b 2c=0

由题设，原点O 到直线AF 1的距离为214221||334c OF b a c

=+，即

将c 2=a 2-b 2代入上式并化简得a 2=2b 2

，即2a b =

证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2

(,)b c a

过点O 作OB ⊥AF 1，垂足为B ，易知△F 1BO ∽△F 1F 2A ， 故

211||

||||||

F A BO OF F A = 由椭圆定义得1211

||||2,||||3

AF AF a BO OF +==又 所以

2212||

||13||2-||

F A F A F A a F A == 解得2222||||222

a b b a

F A F A a b a a ==

==，而，得，即

(Ⅱ)设点D 的坐标为(x 0，y 0)

当y 0≠0时，由OD ⊥Q 1Q 2知，直线Q 1Q 2的斜率为0

-x y ， 所以直线Q 1Q 2的方程为

2

000

000000

-(-)-x x x y x x y y kx m k m y y y y =+=+==+

，或，其中， 点Q 1(x 1,y 1),Q 2(x 2,y 2)的坐标满足方程组222

, (1)

22 (2)y kx m x y b =+??+=?

将(1)式代入(2)式，得x 2+2(kx+m)2=2b 2

整理得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-2b 2

=0

于是22

121222

42-2-,1212km m b x x x x k k +==++ （3）

由(1)式得y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2

x 1x 2+km(x 1+x 2)+k 2

222222

2

22

2-2-4-2121212m b km m b k k km m k k k =?+?+=+++ （4）

由OQ 1⊥OQ 2知x 1x 2+y 1y 2=0，将(3)式和(4)式代入得2222

2

3-2-2012m b b k k

=+ 3m 2=2b 2(1+k 2

)

将2

00000

-,x x k m y y y ==+

代入上式，整理得22

20023x y b +=

当y 0=0时，直线Q 1Q 2的程为x=x 0，Q 1(x 1,y 1)，Q 2(x 2,y 2)的坐标满足方程组0

222

22x x x y b

=??+=?

所以1201,2,x x x y ===由OQ 1⊥OQ 2知x 1x 2+y 1y 2=0，即222

002-02

b x x -

= 解得22023x b =,这时，点D 的坐标仍满足22

20023

x y b +=

综上，点D 的轨迹方程为22

223

x y b +=