武汉市武昌区2019届高三期末调研考试数学(理)试题及答案

武汉市武昌区2019届高三期末调研考试数学（理）试题及答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数312?? ? ???（i 为虚数单位）的值是

（ ）

A ．-1

B ．1

C ．-i

D ．i

2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 （ ）

A ．所有奇数的立方都不是奇数

B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数

C ．存在一个奇数，它的立方是偶数

D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数

3．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天（0时~ 24时）体温的变化情况的图是 （ ）

4．已知数列{a n }是等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是 （ ）

A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

5．某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是 （ ）

A ．312

cm

B ．23

cm 3 C ．56

cm 3 D ．78 cm 3 6．已知a>b ，二次三项式ax 2

+2x +b ≥0对于一切实数x 恒成立．又o x R ?∈，使220o o ax x b ++=成立，则22

a b a b

+-的最小值为 （ ）

A ．1

B C ．2 D ．7．过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小

值是 （ ）

A ．2

B

C ．4

D ．

8．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤??+≥??-≤?

，则z=3|x| +y 的取值范围为

（ ）

A ．[-1,5]

B ．[1, 11]

C ．[5, 11]

D ．[ -7, 11] 9．函数f （x ）=234

20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ???

cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为 （ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

10．O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，给出下列命题： ———}-}———} ①0OA OB OC ++=；

②0OD OE OF ++=；

③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC;

④R λ?∈，使得()||||AB AC AD AB SINB AC SINC

λ=+。 以上命题正确的个数是 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4；

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错

位置，书写不清棱两可均不得分．

11．已知sin α－3cos α=0，则22sin 2cos sin ααα

=- 。 12．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 ．

13．已知a=42

0cos(2)6

x dx π

π+?，则二项式（x 2+a x ）5的 展开式中x 的系数为 ．

14．已知直线⊥平面α，直线m ?平面β，有下列命题：

①α∥β?⊥m ； ②α⊥β?∥m；

③∥m ?α⊥β； ④⊥m ?α∥β．

其中正确命题的序号是 。

15．给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是l ，2，3，…，2018，从第二行起

每一个数都等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数f （x ）= cos( 2x+3

π)+sin 2x ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足

2AC ·CB

1,()2c f A ==， 求△ABC 的面积S ．

17．（本小题满分12分）

某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，

16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；

（Ⅱ）求这50名男生身高在172 cm 以上（含172 cm ）的人数；

（Ⅲ）在这50名男生身高在172 cm 以上（含172 cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名

（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

参考数据：

若2()N ξμσ-+．则

()p μσξμσ-<≤+=0.2018，

(22)p μσξμσ-<≤+=0.2018, (33)p μσξμσ-<≤+=0.2018.

18．（本小题满分12分）

已知数列{ a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n －l ；数列{b n }满足b n －1=b n =b n b n －1（n ≥2，n ∈N *）b 1=1．

（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；

（Ⅱ）求数列n n a b ??????

的前n 项和T ．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；

（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值，

20．（本题满分13分）

设点P是圆x2 +y2 =4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P o，且

3

O O MP PP

=．

（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线：y=kx+m(m≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．

（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；

（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线过定点(Q点除外)，并

求出该定点的坐标．

21．（本题满分14分）

已知函数f（x）=lnx+1

1 x

-

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在x o∈[1，e]，使得不等式ma － (x o)<0成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）证明：ln2 l+ 1n22,+…+ln2 n>

4

*

3

(1)

(2,)

4

n

n n N

n

-

≥∈∈N*）．

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