高等代数北大版习题参考答案

第六章 线性空间

1.设,N M ?证明：,M

N M M

N N ==。

证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N

M ∈。又因

,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论

哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M

N N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若

)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此

.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N

L ∈，得

),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ?

于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N

L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M

L ∈且，x M

N ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N M

N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以

（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）

即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量

乘法；

3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：

k a a =；

8） 全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：

a b ab ⊕=，k k a a =；

解 1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 523n n

x x ++--=（）（）。

2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为

f （x ）+

g （x ）=

h （x ），kf （x ）=d （x ） 所以

f （A ）+

g （A ）=

h （A ），kf （A ）=d （A ）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有

'''（A+B ）

=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。 KA KA K A KA ''==-=-（）（）（）

，所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2

a -

b ）。对于数乘：

即),(),(),()(b a l b a k b a l k ⊕=+。

＝)])(2

)

1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-+

+++， ＝)2)1(,()2)1(,(2

2222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+

＝)2

)1(2)1(,(2122

2221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++

＝)2)1(2)1()(),((212122

221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++

＝))(2

)1()(),((2

2221212121a a k k a a b b k a a k +-++++，

即=⊕),(),(2211b a b a k ),()(221,1b a k b a k ⊕，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为.01αα≠= 。

7）否，因为)()()(,2,)(αααααααααα l k l k l k l k +≠+=+=+=+所以， 所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足 所以，所给集合+

R 构成线性空间。

4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。

证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。

2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。

5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。

证 因为1cos 22cos 2

-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2

式线性相关的。

6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互

素，那么他们线性无关。

证 若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，

不妨设,01≠k 则)()()(31

3212

1x f k k x f k k x f --

=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以

)(),(),(321x f x f x f 线性无关。

7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。设

1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε；

2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。

解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则????

???=+--=-+-=--+=+++1

121

d c b a d c b a d c b a d c b a ，

可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为4

1

,41,41,45-=-===

d c b a 。

2）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则????

???=-+=-=+++=++1

03002d b a d b d c b a c b a ，

可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为0,1,0,1=-===d c b a 。

8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P 上的空间P n n ?；2）P n n ?中全体对称（反对

称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A 的全

体实系数多项式组成的空间,其中A=,00000012?

???

?

??ωω231i

+-=ω。

解 1)n

n P

?的基是{

),,...,2,1,}(n j i E ij =且2dim()n n

P

n ?=。

2) i)令?????

??

?

?

?

???=...

............1............1.........

...

ij F ，即,1==ji

ij a a 其余元素均为零,则

{}nn n n F F F F F ,...,,...,,...,222,111 是对称矩阵所成线性空间n M 的一组基,所以n M 是

2

)

1(+n n 维的。 ii)令?????

??

?

?

?-???=...

............1............1.........

...

ij G ，即),(,1j i a a ji

ij ≠=-=其余元素均为零,则

{}n n n n G G G G G ,1223,112,...,,...,,...,-是反对称矩阵所成线性空间n S 的一组基, 所以它是

2

)

1(-n n 维的。 iii) {}nn

n n E E E E E ,...,,...,,...,222,111是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是2

)

1(+n n 维的。

3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a ,可经2线性表出，即.2)(log 2 a a =,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。

4)因为231i +-=ω,13=ω,所以?????+=+===2

3,13,3,12q n q n q

n n

ωωω，

于是E A A =????? ??=????? ?

?=111,1322

ωω， 而??

???+=+===23,13,3,2q n A q n A q n E A n

。

9.在4P 中,求由基,1ε，,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基下的坐标。设

)()()()()?????????????

?====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,114

32

1

εεεε，()()

()()?

????

??===-=3,1,6,61,2,3,50,1,3,01,1,1,24321ηηηη，

()4321,,,x x x x =ξ在4321,,,ηηηη下的坐标； )()()()()??????????????--=-=-=-=1,0,1,11,1,2,11,1,1,110,2,12432

1εεεε，()()()()

???????=-==-=2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,243

21ηηηη，

()0,0,0,1=ξ在,1ε,,,432εεε下的坐标； )()()()()??????????????--=--=--==1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,13432

1εεεε，()

()()()

???????--====1,1,1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,143

21ηηηη，

()1,0,0,1-=ξ在4321,,,ηηηη下的坐标；

解 )1（4321,,,ηηηη）=（,1ε,,,432εεε）??

??

?

?

?

?

?-310112116331

6502

=（,1ε432,,εεε）A 这里A 即为所求由基,1ε,,,432εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵，将上式两边右乘得1

-A ， 得 （,1ε432,,εεε）=（4321,,,ηηηη）1

-A ，

于是

=ξ（,1ε432,,εεε）??????? ??4321x x x x =（4321,,,ηηηη）1-A ????

??

? ??4321x x x x ，

所以在基下的坐标为

1-A ????

??

?

??4321x x x x ，

这里1-A =?

?

??

???????

??------

-2726319127

732003

1

272331942719111

3194。

)2令)1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(4321====e e e e 则 （,1ε432,,εεε）=(43,21,,e e e e )????

??? ??-----11100

11112121111

=(43,21,,e e e e )A ， （4321,,,ηηηη）=(43,21,,e e e e )??

??

?

?

?

?

?-222111203111

1202=(43,21,,e e e e )B ， 将(43,21,,e e e e )=（,1ε432,,εεε）1

-A 代入上式,得

（4321,,,ηηηη）=（,1ε432,,εεε）1

-A B ，

这里

1-A =?

????

??????

??-----

--138********

3131134133132134133131135135136133133

,1-A B=??

?

?

?

?

?

??0100111010111001，

且B A 1-即为所求由基,1ε,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵，进而有

()0,0,0,1=ξ=(43,21,,e e e e )??????? ??0001=（,1ε432,,εεε）1-A ??????

?

??0001 =（,1ε432,,εεε）???

???

????

? ??--133132135133，

所以ξ在,1ε432,,εεε下的坐标为???

??--133,132,13

5,133。

)343,21,,e e e e 同)2，同理可得

A=,1111111111111111???

???? ??------B=???

?

??

?

??-10111030111

101

2

1

1-A =41,11111

1111111111

1????

??

? ??------ 则所求由,1ε432,,εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵为

1-A B=??????????

? ??------410

4

14141043414321414141214743。 再令1ηξa =+b 2η+c 3η+d 4η，即

()()()??

?

?

?

?

?

??--=?

?????

? ??=11100011131210

1

1,,,,,,0,0,0,14321d c b a d c b a ηηηη，

由上式可解得ξ在下的坐标为4321,,,ηηηη下的坐标为 ()=d c b a ,,,??

?

??

---

-23,421,21ηξa =。 10．继第9题1）求一非零向量ξ，它在基,1ε432,,εεε与4321,,,ηηηη下有相同的坐标。

解 设ξ在两基下的坐标为()

4,321,,x x x x ，则

ξ=（,1ε432,,εεε）??????? ??4321x x x x =（4321,,,ηηηη）????

??

?

??4321x x x x 。

又因为

（4321,,,ηηηη）=（,1ε432,,εεε）??

?

?

?

?

?

?

?-310112116331

6502

=（,1ε432,,εεε）A ，

所以

??????? ??4321x x x x =A ??????? ??4321x x x x ?（A - E ）????

??

?

??4321x x x x =0。

又

01

01

111321,02

101

1

11163216501

≠-=-=

-且E A ，

于是只要令就有,4c x -=

??

?

??=+=++-=++c

x x c x x x c x x x 263231321321，

解此方程组得

()

4,321,,x x x x =()c c c c -,,, (c 为任意非零常数)， 取c 为某个非零常数0c ，则所求ξ为

40302010εεεεξc c c c -++=。

11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第3题8）中的空间同构。

证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。

12.设12,V V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，证明：如果1V 的维数与2V 的维数相等，那么12V V =。

证 设dim(1V )=r ，则由基的扩充定理，可找到1V 的一组基,,.....,21r a a a ，因21V V ?，且它们的唯数相等，故,,.....,21r a a a ，也是2V 的一组基，所以1V =2V 。

13．n

n P

A ?∈。

1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C （A ）； 2）当A=E 时，求C （A ）；

3）当A=????

?

?

?

??n ......

....................21时，求C （A ）的维数和一组基。 证 1）设与A 可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D 属于C(A)，可得

A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A ， 故 B+D ∈C(A)。若k 是一数，B )(A C ∈，可得 A （kB ）=k(AB)=k(BA)=(kB)A ， 所以kB ∈C(A)。故C(A)构成n

n P

?子空间。

2）当A=E 时，C （A ）=n n P ?。

3）设与A 可交换的矩阵为B=（ij b ），则B 只能是对角矩阵，故维数为n,nn

E E E ,...,2211即为它的一组基。

14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。 解 若记

A=S E +=???

?? ??+????? ??113000000100010001，

并设B=???

??

??22

2

111

c b a c b a c b a 与A 可交换，即AB=BA ，则SB=BS 。且由 SB==????? ??????? ??22

2111

113000000c b a c b a c b a

????

?

??++++++212

12

1333000

00

c c c b b b a a a ， BS=????

? ??22

2

111

c b a c b a c b a ????? ??113000000=????

?

??22

2111333c c c c c c c c c

， 可是01==c c ，

又 ?

??=++=++2212

21333c b b b c a a a ，

即??

?++=--=+-2

122

12333b b b c a a a c ，

该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,2c ，并 令b=1，其余为0，得2c =3,a=3; 令1a =1，其余为0，得2c =3,a=3

1-; 令1b =1，其余为0，得2c =1,a=1; 令2a =1，其余为0，得2c =0,a=3

1-; 令2b =1，其余为0，得2c =1,a=1; 则与A 可交换的矩阵为

B=????

?

??22

2

11

00c b a b a b a ， 其中,a,2c 可经b,2121,,,b b a a 表示,所求子空间的一组基为

?????

??300000013, ??????

?

??-0000010031 ,?????

?

?100010001, ??????

?

??-0010000031 , ????

?

??110000001， 且维数为5。

15．如果 ,0321=++γβc c a c 且031≠c c ，证明：L ()β,a =L ()γβ,。 证 由031≠c c ，知,01≠c 所以a 可

γβ,经线性表出，即βα,可经γβ,线性表出，

同理，γβ,也可经βα,线性表出。故L ()β,a =L ()γβ,。

16．在4P 中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设

1）()

???????=--===)1,1,1,1()0,3,1,1()1,0,2,1(1,3,1,24321a a a a ，

()

??????

?-=-=--=-=)

1,3,5,1()1,3,5,4()1,3,1,1(1,3,1,2432

1a a a a 。 解 1）4321,,,a a a a 的一个极大线性无关组421,,a a a ，因此421,,a a a 为L ()4321,,,a a a a 的一组基，且的维数是3。

2）4321,,,a a a a 的一个极大线性无关组为21,a a ，故21,a a 是L ()4321,,,a a a a 的一组基，且维数为2。 17．在4

P 中，由齐次方程组

确定的解空间的基与维数。

解 对系数矩阵作行初等变换，有 所以解空间的维数是2，它的一组基为 ??? ??-

=0,1,38,911a ，??

?

??=1,0,37,922a 。 18.求由向量12,αα生成的子空间与由向量12,ββ生成的子空间的交的基与维数，设 1）()

()??

?-==1,1,1,10,1,2,121a a

()

()

??

?-=-=7,3,1,11,0,1,221ββ；

2）()

()??

?==1,1,0,10,0,1,121a a

()

()??

?==0,1,1,01,1,0,021ββ； 3）()

???

??--==--=)1,1,0,1()1,1,1,3(2,1,2,13

21a a a

()

()??

?--=--=3,7,2,15,6,5,22

1ββ。 解 1）设所求交向量 1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β， 则有 1k 1α2k +2α1l -1β2l +2β0=，

即 ??????

?=--=-+=+++=---0

70302022122212

1212121l l k l k k l l k k l l k k ，

可算得7

11

3

11111212

11------=

D 0=， 且0

11

112

2

11--0≠ ， 因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解(,,21k k ,1l )2l ＝

)1,3.,4,1(--，得一组基 )4,3,2,5(421-=+-=ααγ，

所以它们的交L )(γ是一维的，γ就是其一组基。 2）设所求交向量 1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β，

则有 ???????=-=--=-=+0

000122122

121l k l l k l k k k ，

因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即,02121====l l k k 从而 交的维数为0。

3）设所求交向量为 1k =γ1α2k +2α1l =1β2l +2β，

即 ???????=-+-+-=++++-=--+=+--+0

352076025202321321213212

12121321l l k k k l l k k k l l k k l l k k k ，

由

03

1127

1

1

1201

2

1131

≠------ 知解空间是一维的，因此交的维数是1。令,11=l ，可

得02=l ，因此交向量12211βββγ=+=l l 就是一组基。

19． 设1V 与2V 分别是齐次方程组n n n x x x x x x x =====+++-12121...,0...的解空间，

证明：.21V V P n

⊕=

证 由于0...21=+++n x x x 的解空间是你

n －1维的，其基为

)1,...,0,0,1(),...,0,...,1,0,1(),0,...,0,1,1(121-=-=-=-n ααα而由 n n x x x x ====-121...

知其解空间是1维的，令,1=n x 则其基为).1,...,1,1(=β且βααα,,...,,121-n 即为n P 的一组

基，从而.21V V P n +=又)dim ()dim ()dim (21V V P n

+=，故 .21V V P n ⊕=。

20． 证明：如果,,1211121V V V V V V ⊕=+=那么 21211V V V V ⊕⊕=。 证 由题设知,21211V V V V ++= 因为 ,21V V V ⊕=所以

)dim ()dim ()dim (21V V V +=， 又因为,12111V V V ⊕= 所以 故)dim ()dim ()dim ()dim (21211V V V V ++=，

即证21211V V V V ⊕⊕=。

21. 证明：每一个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的直和。

证 设n ααα,...,,21是n 维线性空间V 的一组基。显然)(),...,(),(21n L L L ααα都是V

的一维子空间，且 ),...,,()(...)()(2121n n L L L L αααααα=+++＝V ，又因为 )dim ())(dim (...))(dim ())(dim (21V L L L n =+++ααα， 故 )(...)()(21n L L L V ααα⊕⊕⊕=。 22．证明：和

∑=s

i i

V

1

是直和的充分必要条件是∑-=1

1

i j j

i V

V

{0}(2,...,)i s ==。

证 必要性是显然的。这是因为}0{1

1

1

=?∑∑≠-=j j i i j j

i V V V

V

，所以

∑-=1

1

i j j

i V

V

}0{=。

充分性 设

∑=s

i i

V

1

不是直和，那么0向量还有一个分解s ααα+++=...021，

其中(1,2,...,)j j V j s α∈=。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是),(s k k ≤α 则k k αααα++++=-121...0 ，即 k k αααα-=+++-121...， 因此,1

1

,k k k j j

k V V

∈∈

∑-=αα，这与}0{1

1

=∑-=k j j k V V 矛盾，充分性得证。

23. 再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成

一个三维线性空间R 3。

1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间

2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间,,,321L L L

问32121,L L L L L +++能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;

3）就用该三维空间的例子来说明，若U,V ,X,Y 是子空间，满足U+V ＝X ，X ?Y ，是否一定有Y Y U Y V =+。 解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在

不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。

2)21L L + ；

（1）直线1l 与2l 重合时，是21L L +一维子空间； （2）1l 与2l 不重合时，时21L L +二维子空间。

321L L L ++ ：

（1） ,1l 32,l l 重合时，321L L L ++构成一维子空间； （2） ,1l 32,l l 在同一平面上时，321L L L ++构成二维子空间； （3） ,1l 32,l l 不在同一平面上时，321L L L ++构成三维子空间。

3） 令过原点的两条不同直线1l ，2l 分别构成一维子空间U 和V ，X ＝U ＋V 是二维子

空间，在1l ，2l 决定的平面上，过原点的另一条不与1l ，2l 相同的直线3l 构成一维子空间Y ，显然},0{},0{,==?V Y U Y X Y 因此}0{)()(=⊕V Y U Y ， 故)()(V Y U Y Y ⊕= 并不成立。

二．补充题参考解答

1．1）证明：在P[x]n 中，多项式))...()()...((111n i i i x x x x f αααα----=+- （i ＝1，2，…，n ）是一组基，其中n ααα,...,,21是互不相同的数；

2)在1）中，取n ααα,...,,21是全体n 次单位根，求由基1，1

,...,-n x x 到基n

f f f ,...,,21的过渡矩阵。

证 1）设 0...2211=+++n n f k f k f k ，将1α=x 代入上式 ，得 0)(,0)(...)()(1111312≠====ααααf f f f n ， 于是1k ＝0。同理，将n x x αα==,...,2分别代入，可得

0...32====n k k k ，

所以n f f f ,...,,21线性无关。而P[x]n 是n 维的，故n f f f ,...,,21是P[x]n 的一组基。

2）取n ααα,...,,21为全体单位根,,...,.,11

2

-n ε

εε则

121 (11)

1

-++++=--=

n n x x x x x f ， 1223212 (1)

-----+++++=--=

n n n n n n x x x x x x f εεεεε

， ...........................................................

12121

...1----++++=--=n n n n n n x x x x x f εεεε

， 故所求过渡矩阵为?

?

??

?

??

?

??------1 (1)

11

...1.........

...

......1 (112)

2

42

21n n n n n n εεεεεεεεε。 2．设n ααα,...,,21是n 维线性空间V 的一组基，A 是一个n ×s 矩阵，且

A n s ),...,,(),...,,(2121αααβββ=，

证明：),...,,(21s L βββ的维数等于A 的秩。

证 只需证s βββ,...,,21的极大线性无关组所含向量的个数等于A 的秩。设

???????

?

??=ns nr n s r a a a

a a a A ..............

.......

......11111，

且≤=r r A rank ,)(min(,)n s 。不失一般性，可设A 的前r 列是极大线性无关组，由条

件得?????

????+++=+++=+++=n

ns s s s n nr r r r n

n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ.....................................................................................................2211221112211111，

可证r βββ,...,,21构成r βββ,...,,21，s r ββ,...,1+的一个极大线性方程组。事实上，设

0...2211=+++r r k k k βββ，

于是得0)...(...)...()...(1112221111111=+++++++++n r r n r r r r a k a k a k a k a k a k ααα，

因为n ααα,...,,21线性无关，所以???

??=+++=+++0

.............................................

(221)

11212111r nr n n r r k a k a k a k a k a k a ， 该方程组的系数矩阵秩为,r 故方程组只有零解0...21====r k k k ，于是r βββ,...,,21 线性无关。

其次可证：任意添一个向量j β后，向量组r βββ,...,,21，j β一定线性相关。事实上，

设0...2211=++++j j r r k k k k ββββ，于是???

??=++++=++++0

.............................................0 (221)

111212111j nj r nr n n j j r r k a k a k a k a k a k a k a k a ， 其系数矩阵的秩为r

3. 设f ),...,,(21n x x x 是一秩为n 的二次型，证明：有n

R 的一个

)(2

1

s n -维子空间1V （其中为符号差），使对任一),...,,(21n x x x 1V ∈，有f ),...,,(21n x x x ＝0。

证 设f ),...,,(21n x x x 的正惯性指数为p ，负惯性指数为q ，则p+q=n 。于是存在可逆矩阵，

C ，Y ＝CX ，使f ),...,,(21n x x x 2

21221......q p p p y y y y ++---++＝，

由

)(21s n -＝)(21

q p n --＝??

?≥<时

当时当q p q q p p ,,。 下面仅对 p

将Y=CX 展开，有方程组???????????=++=++=++=++++++++q

p n n q p q p p n n p p p

n pn p n n y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c ,11,1,11

1,1111

1111...............................................................................，

任取???????===''21)0,...,0,1,...,

0,1,0,...,0(.................................)0,...,1,0,0,...,1,0()'

0,...,0,1,0,...,0,1(p εεε，

则p εεε,...,,21线性无关，将p εεε,...,,21分别代入方程组，可解得p ααα,...,,21，使得

211,αεαC C =p p C εαε==,...,2，且p ααα,...,,21线性无关。

下面证明p 维子空间L （p ααα,...,,21）即为所要求得1V 。事实上，对任意

L X ∈0（p ααα,...,,21），设p p k k k X ααα+++=...22110，代入Y CX =得

'

21212211221100)0,...,0,,...,,,,...,(......p p p p p p k k k k k k k k k C k C k C k CX Y =+++=+++==εεεααα故 0 (2)

2

12

2

1'

00=---++==p p k k k k AX X f 即证1V =L （p ααα,...,,21）。 4. 设1V ，2V 是线性空间V 的两个非平凡的子空间，证明：在V 中存在α，使

21,V V ∈∈

αα同时成立。 证 因为1V ，2V 非平凡的子空间，故存在1V ∈

α，如果2V ∈α，则命题已证。设2V ∈α 则一定存在2V ∈

β，若1V ∈β，则命题也得证。下设1V ∈β，于是有21,V V ∈∈αα及 1V ∈β，2V ∈

β， 因而必有21,V V ∈+∈+βαβα。事实上，若1V ∈+βα，又 1V ∈β，则由1V 是子空间，必有1V ∈α，这与假设矛盾，即证∈+βα1V ，同理可证 2V ∈+βα，证毕。

5． 设s V V V ,...,,21是线性空间V 的s 个非平凡的子空间，证明V 中至少有一向量α不属

于s V V V ,...,,21中的任何一个。

证 采用数学归纳法。当n=2时，由上题已证命题成立。

现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V 中至少存在一个向量不属于 121,...,,-s V V V 中任意一个，如果s V ∈α，则命题已证。

若s V ∈α，对,P ∈?向量s V k ∈+βα，且对P 中s 不同的数,,...,,21s k k k 对应的s 个

向量)....2.1(s i k =+βα中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间

).1....2.1(-=s i V i 换句话说，上述S 个向量)....2.1(s i k =+βα中至少有一个向量不

属于任意一个非平凡子空间( 1.2....1)i V i s =-，记为00i k γαβ=+，易见0γ也不属于

s V 。即证命题对s 个非平凡的子空间也成立。即证。