函数单调性判断方法(五)-导数法

函数单调性判断方法（五）-导数法

函数在区间上连续，在内可导，且在内

① 如果

，那么函数在区间上单调增加 ② 如果

，那么函数

在区间

上单调减少

由此得到确定单调区间的方法 ① 确定函数的定义域

② 求导数

③ 令

解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为

④ 确定区间

内导数符号

⑤ 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这

区间内递减。

例1：（2011安徽）设()1x

e f x ax

=+，其中a 为正实数

（Ⅰ）当a 4

3

=

时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

解析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

解：对)(x f 求导得.)

1(1)(2

22ax ax

ax e x f x

+-+=' ① （I ）当34=

a ，若.21,23,0384,0)(212

===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知

所以,231=

x 是极小值点,2

1

2=x 是极大值点.

x

)2

1,(-∞

2

1 )2

3,21( 2

3 ),2

3

(∞ )(x f ' + 0 － 0 + )(x f

↗

极大值

↘

极小值

↗

（II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知

0122≥+-ax ax

在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤

例2：（2011北京）已知函数k

x e k x x f 2)()(-=.

(1)求)(x f 的单调区间；（2）略

解：(1)/

22

1()()x

k f x x k e k

=-，令/()0f x =得x k =±

当0k >时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增

例3：（2011广东） 设0>a ,讨论函数 x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）

221212122(1)2(1)1'(),

1

12(1)2(1)1012(1)()

3

1

0,'()23

(1)(31)(1)(31)11

0,,

22(1)22(1)0'()0,()(0,)(,)a a x a x f x x

a a a x a x a a a f x a a a a x x a a a a a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=?=------=->=+--<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点

且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)1

10,'()0,()(0,)3

1

1'()0(0),()(0,)(1)(31)(1)(31)11

10,0,0,'()22(1)22(1)x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x x

a a a a a x x f x a a a a a a <<<≤>+∞---->?>=->=+<--；当时，在(内为减函数

当时，在内为增函数；

当时，在内为增函数；

当时，所以在定义域内有唯一零点

②③④11110'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；

综上所述，f(x)的单调区间如下表：

103a <<

1

13

a ≤≤ 1a >

1(0,)x

12(,)x x

2(,)x +∞

(0,)+∞

1(0,)x

1(,)x +∞

（其中

12(1)(31)(1)(31)11,22(1)22(1)a a a a x x a a a a a a ----=

-=+--）

例4：（2011湖南）设函数1

()ln ().f x x a x a R x

=--∈ (I)讨论()f x 的单调性； （I ）()f x 的定义域为(0,).+∞

222

11'()1a x ax f x x x x -+=+-=

令2()1,g x x ax =-+其判别式2

4.a =-

(1) 当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增．

(2) 当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故

()(0,)f x +∞在上单调递增．

(3) 当2a >时,>0,g(x)=0的两根为221244

,22

a a a a x x --+-==

， 当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减．