《平方差公式》教学案例

数学教学案例（人教版八年级数学上册14.2.1）

案例名称：《平方差公式》

所属课程：数学

所属专业：初中数学

授课课时：一课时

《平方差公式》教学案例

一、教学内容与分析

1．内容

平方差公式——两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

2.内容分析

本节内容主要研究的是平方差公式的推导和应用。平方差公式是学生学习了整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在已经掌握了单项式乘法、多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为完全平方公式的学习提供了方法，同时也为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有承上启下的作用。

3．教学重点与难点

本节课的重点：理解平方差公式，掌握其结构特点，并能运用公式进行运算。

本节课的难点：①理解公式中字母的含义，即公式：2

2

=

a-

+中

b

-

a

)

)(

(b

b

a

的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。正确找准哪个数或式相当于公式中的a，b.②平方差公式的变式应用。

二、教学目标与解析

1.目标

（1）知识目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算。

（2）能力目标：在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象研究问题的方法；在验证平方差公式的过程中，感知数形结合的思想，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数学应用意识。

（3）情感目标：让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦，培养学生勇于探索、善于观察、大胆猜想的创新思维品质。

2.目标解析

（1）理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，加深学生对公式的理解。

（2）让学生经历具体——抽象的过程。从中发现、体会、理解公式，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、观察、归纳、猜想、推理能力，利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的思想。在运用

公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数学应用意识。

（3）通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，在解决问题过程中与他人合作交流的重要性，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。

三、学生情况分析

学生已经较熟练地掌握了多项式乘法，为学习本节知识做了知识准备；学生已经具备了小组合作能力、探究能力、归纳分析能力，能通过合作交流完成学习任务；通过创造问题情境，让学生探索相应问题，建立并运用公式，从而拓展学生知识技能成为可能。

四、教学问题诊断分析

学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的解。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解。

五、教学过程设计

（一）创设情境，引出新知

问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律（屏幕显示）

（1）=

(x

x .

1

)(

-

+)1

（2）=

(m

m .

2

-

+)2

)(

（3）=

2(x

1

x .

+)1

-

2

)(

师生活动：学生计算，三位同学在黑板上板书，师生共同分析结果。

【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式——平方差公式。

（二）探索新知，尝试发现

问题2：依照以上三道题的计算回答下列问题：（屏幕显示）

①式子的左边具有什么共同特征

②它们右边的结果有什么特征

③能不能用字母表示你的发现

④你能对发现的规律进行推导吗

师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：2

2

a-

=

-

+，由学生运用多项式乘法计算，验证了其公式的正确

b

a

)(

(b

a

)

b

性。

【设计意图】在学生已掌握的多项乘法法则的基础上，探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然合理。让学生经历具体——抽象的过程。即经历观察、比较、抽象、概括、推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法：“具体——抽象”。

（三）数形结合，几何说理

问题3：活动探究：将长为(a+b)，宽为(a-b)的长方形，剪下宽为b 的长方形条①，放在图中②处拼成有空缺的正方形，你能用等式表示剪拼前后的图形的面积关系吗（屏幕显示）

))((b a b a -+ = 22b a -

师生活动：小组合作，教师巡视指导，代表发言。

【设计意图】通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,让学生认识平方

差公式的几何意义，体会数形结合的思想。引导学生学会从多角度、多方面来思考问题，再次验证了平方差公式的正确性。

（四）归纳总结，发现新知

问题4：前面探究所得的式子2

2

b

a-

=

-

+，称为平方差公式，你

a

b

)(

)

(b

a

能用文字语言表述它吗（屏幕显示）

师生活动：学生回答，相互补充。

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，发展学生的数学语言表达能力加深对公式结构特征的理解。

（五）剖析公式，发现本质

问题5：在平方差公式2

2

a-

b

-

+中，认真观察其结构特征，你

a

=

)

)(

(b

b

a

能用自己的语言表述吗（屏幕显示）

师生活动：同桌讨论后回答，相互补充并总结如下：

左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即2

2b

a-。

师追问：以上三个算式中，哪些数或式子相当于公式中的a，b。

师生活动：独自思考，代表发言。

【设计意图】通过观察平方差公式，体验公式的简洁性,并通过分析公式的本质特征掌握公式。在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。

（六）巩固运用，内化新知

问题6：判断下列算式能否运用平方差公式计算：（屏幕显示）

（1）)

a

(b

b

a-

-

+

+（2）)

)(

3

2

x-

2(z

)(

y

3

x

（3）)

x

y

(z

z

+

-（4）)

-

-

x+

y

)(

3

)(

2

3

-

2

a-

(b

b

a

师生活动：分组讨论，代表发言，大家评判。

【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件。巩固平方差公式，进一步体会字母a，b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解。

例题1：运用平方差公式计算：（屏幕显示）

（1）)2

y

x

x-

(y

2

-

+

-

)(

)(

3

3(-

2

2

x；（2）)

+x

师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），学生板书（2）。在解答（1）的过程中，教师引导学生哪一个数或式相当于公式中的a、b，然后按照公式写出平方差，再计算出结果；在解答（2）的过程中，同样注意上述问题，并提议用不同方法解答，以体现学生的创造性。

分析：在（1）中，可以把3x 看成a ，2看成b ，即

)23(+x )23(-x = 492)3(222-=-x x

(a + b) (a- b) = a 2 - b 2

解：(1) )23)(23(-+x x (2) )2)(2(y x y x --+-

222)3(-=x 22)2()(y x --=

492-=x 224y x -=

【设计意图】让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式表示公式中的a, 哪个数或式表示公式中的b ，并运用公式进行计算。

练习1:下列计算对不对若不对，应怎样改正。（屏幕显示）

（1）2232)32)(32(b a b a b a -=+-.

（2）22)3()2()32)(32(y x y x y x -=---.

（3）6)3)(2(2-=-+m m m .

（4）22)3()2()32)(32(b a b a b a -=--.

（5）222))((z y x z y x z y x --=+--+.

师生活动：同桌讨论交流后，代表回答，老师引导学生订正答案。

【设计意图】对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式进行计算必须具备的条件。

问题7：从以上例题和练习中，你认为运用公式解决问题应注意什么（屏幕显示）

师生活动：学生回答问题，并相互补充。总结以下经验：1、在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特点；2、一定要找准哪个数或式相当于公式中的a, 哪个数或式相当于公式中的b；3、总结规律：a的符号相同，b的符号相反；4、公式中的字母a，可以是具体的数、单项式、多项式等；5、勿忘记写公式右边的“平方”。

【设计意图】引导学生深入分析平方差公式的结构特征，明确a、b的意义，在运用公式计算时一定要抓住关键——找准哪个数或式相当于“第一个数”a，哪个数或式相当于“第二个数”b，通过此过程，突破本节课的难点。（七）拓展深化，发展思维

例题2：计算：（屏幕显示）

（1）)5

-

+y

-

y（2）98×102

-

y

y

)(

(+

1

)2

(

2

)(

师生活动：师生共同分析，得出：（1）中的前两个多项式的积可以直接利用平方差公式，后两个多项式的积不具备平方差公式的结构特征，不能用此公式；必须用多项式的乘法计算，并把计算的结果放在括号里。（2）是两

个数乘积的简捷计算，这两个因数恰好可以分解成两个数（100与2）的和与这两个数的差，且这两个数的平方容易计算。问题（2）对一部分学生来说，有一定难度，教师要注意引导学生认真观察，并及时总结规律——第一个数是两个因数的平均数。

【设计意图】第（1）题是新旧知识的综合运用，此题要让学生深刻理解平方差公式的结构特征，明白只有符合公式结构特征的乘法才能运用公式简化运算；第（2）题是平方差公式在数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简捷计算问题，使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，即巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力。此题体现了转化的思想和数式通性。

练习2:看谁算得快。（屏幕显示）

（1）)

(b

3

)(

a

a+

-

-

-

3

b

3

)(

2

+（2）)

2(x

3

-

y

y+

x

（3）501×（-499）（4）)2

+

-

-

x

3(-

x

x

+x

3

)(

4

3

3

)(

)4

2(

师生活动：四名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视指导，完成后大家一起评判四名学生的解答。

【设计意图】通过同类型题的练习，帮助学生更好地理解平方差公式，较熟练地运用平方差公式进行有关计算。同时进行查漏补缺。

（八）小试牛刀，挑战自我

问题8:在下列括号中填上合适的多项式：（屏幕显示）

（1）)25(y x +( )= 22425y x -

（2）( )( )= 2481a -

师生活动：独立思考，代表发言，大家评判。

【设计意图】此题旨在从反方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为以后学习因式分解做了铺垫。第2个填空题，属开放设计型．目的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼学生的发散思维。

（九）畅所欲言，课时小结

大家一起回顾本节课所学内容，并请同学们回答下列问题：（屏幕显示）

（1）这节课你学习了哪些内容

（2）平方差公式的结构特点是什么

（3）应用平方差公式时要注意什么

师生活动：学生回答，相互补充。

【设计意图】从通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验。

（十）布置作业 （屏幕显示）

1.教课书习题第1题（写在作业本上）。

2.预习完全平方公式。

【设计意图】作业1目的是巩固所学知识，作业2主要培养学生良好的自学学习习惯为目的。

六、目标检测设计

1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（

） A. ))((b a b a +-- B. ))((b a b a ---

C. ))((c b a c b a +---+

D. ))((b a b a -+-

【设计意图】考查学生对平方差公式结构特征的理解。

2.填空题：

(1) )31(a +( )291a -=.

(2) =---)23)(32(y x x y .

(3) )34(a b -( )22169b a -=.

(4) 设6=+n m ，3=-n m ，则=-22n m .

(5) 已知2216))((y x ay x ay x -=+-，那么a= .

【设计意图】考查学生对平方差公式灵活运用的能力。

3.计算：

（1）)1)(1(-+xy xy （2）)1)(1)(1(2+-+x x x

（3）)23)(32(y x x y --- （4）)2)(2()1)(5(+---+y y y y

【设计意图】考查学生对平方差公式的理解及运用。

4.计算：

（1）1998×2002 （1）22014-2013×2015

【设计意图】考查学生对平方差公式的应用——两个数乘积的简捷计算的掌握。

5.解答题：

已知：两个正方形的周长之和等于32cm ，它们的面积之差为48cm 2，求这两个正方形的边长。

【设计意图】综合利用新旧知识解答实际生活中的问题，考查学生对知识综合运用的能力，同时激发学生学习数学的兴趣。

七、教学反思：

本节课在轻松愉快的环境中完成，取得了良好的教学效果。

1.引导学生亲自经历“观察——比较——抽象——概括——推理”这一知识的形成过程，得出了平方差公式，尝到了成功的喜悦，从中体会研究数学问题的基本方法“具体——抽象”。

2、结合本节课的教学内容，选择由浅入深的典型例题，进行知识内化，培养能力。

3、学生主体观体现较好。鼓励每一个学生动手、动口、动脑，并参与到学习当中。给学生提供了“主动参与、自主探究、合作交流”的空间。让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，充分发挥了学生的主体作用，培养了学生自我学习，合作探究的能力。