高中数学 函数的奇偶性
当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分
高考 要求
内容 要求层次 具体要求
A B C 奇偶性
√
结合具体函数，了解奇偶性的含义．
北京 高考 解读 2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年(新课标) 第2题 5分 第13题 5分
第3题5分 第13题5分
第6题 5分 第14题 5分
第6题 5分 第8题 5分 第13题 5分
第14题5分
今天我们再学一个新的函数性质——奇偶性，我们按照从直观到数学表达的顺序进行讲解．因为奇偶性的判定比较容易，所以常见函数的奇偶性以及复合函数的奇偶性都直接结合例题适当拓展总结即可，不再单独作为考点给出．
奇偶性的引入（直观）
直观：特殊的对称性．初中学过中心对称和轴对称，奇偶性正是反映这两个对称的问题的．
有些函数关于y 轴对称：
①2y x = ②y x =- ③21
y x
=
O
x
y
x
y
O
y O x
像这样的关于y 轴对称的函数叫做偶函数．
4.1函数奇偶性的定义与判别
新课标剖析
函数的奇偶性
还有一类函数呈现标准的中心对称，即关于原点的中心对称：
①y x
=：②
1
y
x
=③3
y x
=
④y
象这样的关于原点中心对称的函数叫做奇函数．
例：根据图象判断以下函数的奇偶性：
①②③④⑤
注意③不是偶函数，偶函数中y轴相当于一个镜子．对着镜子照，发现你有钮扣，镜子里没有；或者你带着手表，一照镜子，镜子里没有，像这种情况只有在《大家来找茬》里才有．
下面我们要从直观中寻找数学表达，先通过一些例子来总结总结规律．
例：直观判断下列函数的奇偶性（可以利用图象，或取值代入等方式）
⑴()4
f x x
=；⑵()1
f x
x
=；⑶(
)3
f x=；⑷()0
f x=；⑸()
f x=⑹()2
f x
x
=-．
答案：⑴偶；⑵偶；⑶偶；⑷既奇又偶；⑸非奇非偶；⑹奇．
先看偶函数的数学表达：
总结：可以用数字验证，取一对相反数，若它们的值总是一样的，大概猜它是一个偶函数，这就是我们总结出来的规律．那么怎么判断一个函数是偶函数呢？换言之，我们看什么情况下这个函数是偶函数？
任取x，在它对称的地方取x
-，看它们函数值是否相等，若相等就是偶函数，
从而得到偶函数的数学表达：()
y f x
=定义域为D，
①D关于原点对称（?任意x D
∈，有x D
-∈）；（如上面的图形③对应的函数就不可能是偶函数）②任意x D
∈，()()
f x f x
=-，称()
f x为偶函数．
再看奇函数的数学表达：
任取一点x，存在另x
-，使()
f x与()
f x
-互为相反数．（这就是关于原点中心对称）
∴对于奇函数有()()
f x f x
-=-．
如果()()
f x f x
≠-，()()
f x f x
-≠-，则是非奇非偶函数．
考点1：函数奇偶性的定义与判定
1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；
2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．
3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，
反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．
练习1：⑴证明：()42
11f x x x =+
+是偶函数．⑵证明：3
1()g x x x
=+是奇函数． 答案：⑴先看定义域：定义域为()()00-∞+∞，，， ()()()
()4
42
2
1
1
11f x x x f x x x -=-+
+=+
+=-，∴()f x 为偶函数． ⑵先看定义域：定义域为()()00-∞+∞，，，
3311()()()g x x x g x x x ?
?-=-+
=-+=- ?-?
?．∴()g x 为奇函数．
<教师备案> 判断一个函数的奇偶性先看定义域是否对称，定义域[10)(01]-，，，R 都是对称的定义
域；而[0)+∞，，[11)-，就不是对称的定义域，这样的函数一定是非奇非偶的．
在一个函数的定义域是对称的基础上考查每个x ，看()f x 与()f x -是否相等或互为相反
数．函数的奇偶性是整体性，这与单调性截然不同．
【铺垫】判断下列函数的奇偶性：
①()3f x x =；②()31f x x =-；③4()1f x x =+；
④1
()f x x x
=-；⑤2()1f x x x =-+；⑥2()1f x x x =-+．
【解析】 ①奇；②非奇非偶；③偶；④奇；⑤非奇非偶；⑥偶．
【例1】 将下列函数按照奇偶性分类：
①(]2()11f x x x =∈-，，
；②()()011f x x =∈-，，；③1
()1
f x x =-； ④()11f x x x =-+-；⑤22()11f x x x =-+-； ⑥32()1x x
f x x +=
-；
⑦()21x f x -=； ⑧1()(1)1x
f x x x +=
?--； 经典精讲
知识点睛
⑨10()10x f x x ?=?-
()10x x f x x x ->?=?+
，，．
⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________； ⑵ 是偶函数但不是奇函数的有___________________； ⑶ 既不是奇函数也不是偶函数的有__________________；
⑷ 既是奇函数又是偶函数的有 （填相应函数的序号）．
【解析】 ⑴⑦⑩；⑵⑥；⑶①③④⑧⑨；⑷②⑤．
看函数先看定义域，定义域不对称的一定是非奇非偶函数，如①，③，④，⑧． ④与⑦的定义域比较隐蔽，如果不注意定义域，直接化简，就会掉到坑里．
如⑧：定义域101x
x
+-≥，()()110x x +-≥且1x ≠，∴[)11x ∈-，
，非奇非偶．如果直接化简
得到()f x =就会误以为是偶函数，掉到坑里．
（这里学生化简可能会遇到困难，遇到0a <，有=
对⑦：()f x =[)(]1001-，∪，，()f x ===.
是奇函数．
对⑨，⑩：通过图象直接得到奇偶性是比较明智的，也可以取特殊点看．
从这里可以引申出三个结论：
结论一：如果一个奇函数，在0x =处有定义，则一定有()00f =．
因为在0x =处，要关于()00，对称，又不可能同一个x 对应两个y ，∴只能是()00f =． 也可以根据()()f x f x -=-，有()()()0000f f f -=-?=． 当然，奇函数可能在0x =处无定义，如1
()f x x
=，这样的就不用管，只要有定义，一定有()00f =．
对于偶函数有这样的结论吗？没有．如偶函数2()1f x x =+．
结论二：既奇又偶的函数有穷多个，这些函数的值域都为{0}．
请别忘记，定义域不同的函数就是不同的函数．如()0f x =，x ∈R ；()0f x =，()11x ∈-，；()0f x =，[]11x ∈-，；()0f x =，0x =．图象为一个点它也是既奇又偶的函数．
结论三：已知5432()f x ax bx cx dx ex f =+++++，系数a b c d e f ∈R ，，，，，为常数．
⑴若()f x 是奇函数，则系数满足0b d f ===；⑵若()f x 是偶函数，则系数满足0a c e ===． 对于一个多项式函数来说，若它是奇函数，则一定只有奇次项，若它是偶函数，则一定只有
偶次项．一般情况下认为，偶函数与x 、2x 、4x 、21
x
、常数a 相关，由以上东西加加减减
得到的多为偶函数；若是与x 、1
x
、3x 、5x 相关基本上会觉得是奇函数．若都有，如1x +，
21x x ++，就是非奇非偶函数．讲完结论三，就可以秒例2了．
【拓展】函数y =的图象关于（ ）
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．原点对称
D ．直线0x y -=对称
【解析】 B
【例2】 ⑴
若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ．
⑵已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m = ，n = 时，()f x 是奇函数．
【解析】 ⑴ [0)+∞，；
⑵ 当12m n =±=-，时，()f x 是奇函数．
【例3】 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且
23()()1f x g x x x -=--，则()g x 的解析式为（ ）
A ．21x -
B ．222x -
C ．21x -
D ．222x -
【解析】 C
本题可以推广到任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和．我们在秋季再展开讲．
【例4】 ⑴已知()()f x g x ，都是定义在R 上的函数，下列说法正确的是（ ）
A ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x ?为奇函数
B ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x +为奇函数
C ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则[()]f g x 为偶函数
D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]f g x 为奇函数 ⑵设函数3()(1)()f x x x x a =++是奇函数，则a =_______．
【解析】 ⑴B ．
⑵1-；
拓展：
复合函数的奇偶性也会由每一层的奇偶性决定，一个函数是奇的还是偶的，到底产生了什么样的变化，换言之，要判断函数是奇还是偶，把x 取x -，看结果前是否有负号． 如：要判断()()()
y f g h r x ??=??
的奇偶性．
x 相当于小人，r ，h ，g ，f 相当于4个守关boss ，来看一下每个boss 的属性．
偶：()()f x f x -=对于“-”的态度是坚决消灭，也就是“-”闯不过偶函数这一关． 奇：()()f x f x -=-，对“-”可以闯过去．
令x x =-，看小人x -闯关，逐层分析，“-”能否过关取决于是否有偶函数．如果每层函数都具有奇偶性，则只要某层为偶函数，复合后一定为偶函数．只有所有层都为奇函数的情况下，复合后才是奇函数．如果某层出现非奇非偶函数，则没有固定的结论．
例：判断函数()()2
2
3
1f x x
+
答案：偶函数．最内层21u x =+为偶函数→即可判定()f x 为偶．
不需要再考虑2v u =与3y v =
函数运算之后的奇偶性也可以直接通过定义去验证，奇函数的和（或差）仍为奇函数，偶函数的和（或差）仍为偶函数，奇函数与偶函数的积，考虑奇函数的个数，有奇数个奇函数则为奇函数，有偶数个奇函数则为偶函数．
考点2：函数奇偶性的简单应用
与奇偶性相关的几个问题：
奇偶性在图象范围是一种对称性的体现：如果告诉你一个函数是偶函数，已知右半边的图象，你能否画出左边的？（可以随手给个图形为例）．若已知一个函数是奇函数，给出左边图象，能否画右边的？（可以随手给个图形为例）．
那这个过程能解决什么问题？若一个函数是奇/偶函数，且告诉你它在一半区间上的特点，就能反推到另一半特点，比如已知左边单调性、与x 轴交点、最大值、最小值，你就能知道另一半什么样，就好有一个镜子，你照一半，就知道另一半什么样．如：已知()f x 是偶函数，且()13f =，则(1)3f -=；若()f x 是奇函数，其它条件不变，则有()13f -=-．再比如已知()f x 是奇/偶函数，给出()f x 在0x >（或0x <）的解析式，就可以得到另一半的解析式．
练习2：()f x 是偶函数，且在[)0+∞，上，()21f x x =+，则在()0-∞，上，()f x =_______． 答案：()21f x x =-+（可以通过图象的对称性得到，或者通过两点得到）
【例5】 ⑴
()f x 是偶函数，在[)0+∞，上，()243f x x x =-+，则在()0-∞，上()f x =________．
⑵
()f x 是偶函数，在()0+∞，上，()31
f x x x
=+，则在()0-∞，上，()f x = ．
⑶已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21
()f x x x
=-．求函数()f x 的解析式．
【解析】 ⑴()243f x x x =++（画图解决）．
可以画出图象的问题，知一半求一半可以直接通过图形得到．
当给出的一半的解析式不能画图时怎么办？有什么统一的方法？ 统一方法：
以⑴为例：设()0x ∈-∞，
，()0x -∈+∞，，()()243f x x x f x -=++= 目的求()f x ，（x 在左边取），而()f x 要由对称的点求，即()()f x f x -=，先求()f x -． 用此方法可以求出⑵⑶的解析式．
⑵31
()f x x x =--；
⑶ 2210()001
x x x f x x x x x ?+
==???->?
，，，．
经典精讲
知识点睛
所有跟奇偶性相关的问题实质上就是一个问题：告诉你一半区间上的性质，让你去求另一半性质．
单调性：若一个偶函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递减；
若一个奇函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递增．
说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同．
奇函数与偶函数的单调性可以通过单调性的定义去证明．由此可以得到奇（或偶）函数的值域与最值的一些相关结论，如偶函数在()0+∞，上的值域与它在()0-∞，上的值域相同．而奇函数在
()0+∞，上的值域若为()34，，则它在()0-∞，上的值域为()43--，．偶函数在()0+∞，上的最值与它在()0-∞，上的最值相同；奇函数在()0+∞，上的最大值的相反数是它在()0-∞，上的最小值．奇函数在()0+∞，上的最小值的相反数是它在()0-∞，上的最大值．这些通过图象都很容易得到．
练习3：已知()1
f x x x
=+
，它是奇函数，已知它在()01，
上单调递减，在()1+∞，上单调递增，那么可以得到它在(0)-∞，上的单调情况为______________．
答案：在()10-，上单调递减，在()1-∞-，上单调递增．
【例6】 ⑴
定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0)+∞，上单调递增，则（ ） A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<< D ．(3)(1)(2)f f f <<-
⑵设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)-∞，上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+（a ∈R ）的大小关系是__________． ⑶()f x 是偶函数，在[)0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式(
)220f x -<．
⑷
()f x 是奇函数，在()0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()2
20f x
-<．
【解析】 ⑴Ｂ；
⑵2(23)(1)f a a f -+<-；
⑶()()31
13--，，．
⑷()()(
)
321123-
-
-，，，；
注意：知道一个奇函数在(0)+∞，上单调增，只能得到它在(0)-∞，上也单调增，不能得到它在R 上单调增，即使在0x =有定义．但如果已知奇函数在[0)+∞，上单调增，则可以得到它在R 上单调增．
4.2单调性与奇偶性综合
经典精讲
知识点睛
【拓展】已知定义在R 上的奇函数()f x 是一个减函数，且120x x +<，230x x +<，310x x +<，则
()()()123f x f x f x ++的值（ ）
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．以上均有可能
【解析】 A ．
已知定义在[22]-，上的奇函数()f x 是增函数，求使(21)(1)0f a f a -+->成立的实数a 的取值范围．
【解析】
302?
?
???，；
【演练1】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()0f x ≠，则2()1()F x x f x =--?（ ）
A ．是奇函数但非偶函数
B ．是偶函数但非奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．为非奇非偶函数
【解析】 A ．
【演练2】⑴
在[0)+∞，上，()4321f x x x x x =-+-+，()f x 在定义域上为偶函数．求在()0-∞，上， ()f x = ．
⑵
()f x 是奇函数，当(0)x ∈+∞，时，()22
1
1f x x x x =+++，则在()0-∞，上， ()f x = ．
【解析】 ⑴4321x x x x ++++；
⑵()221
1f x x x x
=--+-；
【演练3】函数()23f x ax bx a b =+++的图象关于y 轴对称，它的定义域为[]32a a -，，则函数()f x 的值域为 ． 【解析】 []37，；
【演练4】
已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，若1
()()1
f x
g x x +=
-，则()f x 的解析式为_______． 实战演练
【解析】 ()21
1
f x x =-；
【演练5】
已知函数1()f x x x
=+
． ⑴求证：函数()f x 为奇函数； ⑵用定义证明：函数()f x 在(1)-∞-，上是增函数．
【解析】 ⑴1
()f x x x
=+的定义域为}{|0x x ≠关于原点对称；
11()()f x x x f x x x ?
?-=-+=-+=- ?-?
?．
所以函数()f x 为奇函数． ⑵ 任取()121x x ∈-∞-，
，，且12x x <，则 12121211
()()f x f x x x x x -=+
--211212()x x x x x x -=-+12
1212
1()x x x x x x -=-， 由()121x x ∈-∞-，
，，且12x x <，可知12x x <，1210x x ->． 所以12()()f x f x <．所以函数()f x 在()1-∞-，上是增函数．
1．奇函数与偶函数的定义域都关于_____对称，
奇函数满足____________，且奇函数的图象关于_____________对称； 偶函数满足____________，且偶函数的图象关于_____________对称．
2．奇函数在对称区间上的单调性_______，偶函数在对称区间上的单调性________． 3．如果一个奇函数在原点有定义，则一定有(0)f =______．
答案：
1．原点；()()f x f x -=-，原点（中心对称）；()()f x f x -=，y 轴； 2．相同；相反；3．0．
概念要点回顾