计算机算法设计与分析练习题

计算机算法设计与分析练习题

一． 最大子段和问题：给定整数序列 n a a a ,,,21 ，求该序列形如 j

i k k a 的子

段和的最大值：

j i k k n j i a 1max ,0max 1. 一个简单算法如下：

int Maxsum(int n,int a,int& besti,int& bestj)

{

int sum = 0;

for (int i=1;i<=n;i++){

int suma = 0;

for (int j=i;j<=n;j++){

suma + = a[j];

if (suma > sum){

sum = suma;

besti = i;

bestj = j;

}

}

}

return sum;

}

试分析该算法的时间复杂性。

2. 试用分治算法解最大子段和问题，并分析算法的时间复杂性。

3. 试说明最大子段和问题具有最优子结构性质，并设计一个动态规划算法解最大子段和问题。分析算法的时间复杂度。

二．设n x x x ,,,21

是n 个互不相同的元素，每个元素i x 有一个正实数权值i w ，且满足11

n i i w 。n 个元素n x x x ,,,21 的带权)1(n i w i 的中位数是

满足下面不等式的元素k x ：

k

i k i x x i x x i w w 2121 (1) 1). 证明n x x x ,,,21 的（不带权的）中位数是带权n w i /1 （,2,1 i n , ）的带权中位数（不带权的中位数是指按照大小排在中间位置的数，如果有两个，则取小者）。

2). 说明如何通过排序，在最坏情况下用)log (n n O 时间求出n 个元素的带权中位数。

3). 说明如何利用一个线性时间选择算法，在最坏情况下用)(n O 时间求出n 个元素的带权中位数。

4). 邮局位置问题是：已知n 个点n p p p ,,,21 以及与它们相联系的权

n w w w ,,,21 ，要求确定一点p （未必是输入的点），使和式 n

i i i p p d w 1

),(达到最

小，其中),(b a d 表示a 与b 之间的距离。试论证带权的中位数是一维邮局问题的最优解，此时),(b a d ||b a 。

三．设n p p p ,,,21 是准备存放到长为L 的磁带上的n 个程序，程序i p 需要的带长为i a 。设L a n

i i 1，要求选取一个能放在带上的程序的最大子集合（即其中

含有最多个数的程序）Q 。构造Q 的一种贪心策略是按i a 的非降次序将程序计入集合。

1). 证明这一策略总能找到最大子集Q ，使得 Q

p i i L a 。

2). 设Q 是使用上述贪心算法得到的子集合，磁带的利用率

Q p i i L a /可以小到

何种程度？

3). 试说明1)中提到的设计策略不一定得到使 Q

p i i L a /取最大值的子集合。

四．电路布线问题：在一块电路板的上、下两段分别有n 个接线柱，如下 图。根据电路设计，要求用导线))(,(i i 将上端接线柱i 与下端接线柱)(i 相连，

导线))(,(i i 称为电路板上的第i 条连线。对于任何,1n j i 连线j i ,相交的充分必要条件是)()(j i 。在制作电路板时，要求将这n 条连线分布到若干个绝缘层上，使得在同一层上的连线不相交。电路布线问题就是要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。该问题等价于确定布线集 n i i i Nets 1)),(,( 的最大不相交子集。

如果记 j t i t Nets t t t j i N )(,,))(,(|),( ，),(j i N 的最大不相交子集为),(j i Mns ，试证明电路布线问题具有最优子结构性质。构造一个动态规划算法解电路布线问题（写出算法的基本步骤即可），并说明你的算法的时间复杂度。

五．给定n 件物品和一个背包，物品i 的重量是i w ，体积是i v ，价值是i p ； 背包的容量为C ，容积为D 。一件物品只能整个放进背包中或不放进背包中，也不允许重复放入。试设计一个求解此问题的算法，并计算其时间复杂度。

六．设计一个)(2n O 时间的算法，找出n 个数组成的序列的最长单调递增子 序列。

七． 字符h a ~出现的频率恰好是前8个Fibonacci 数，它们的Huffman 编码是什么？将结果推广到n 个字符的频率恰好是前n 个Fibonacci 数的情形。Fibonacci 数的定义为：1,1,11210 n if F F F F F n n n 。

八． （双机调度问题）用两台处理机A 和B 处理n 个作业。设第i 个作业交给机器A 处理时所需要的时间是i a ，若由机器B 来处理，则所需要的时间是i b 。现在要求每个作业只能由一台机器处理，每台机器都不能同时处理两个作业。设计一个动态规划算法，使得这两台机器处理完这n 个作业的时间最短（从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总的时间）。以下面的例子说明你的算法：

)4,3,11,4,8,3(),,,,,(),2,5,10,7,5,2(),,,,,(,6654321654321 b b b b b b a a a a a a n

九．考虑下面特殊的整数线性规划问题

10

1 2 6 5 4 3 8 9 7

n i x b x

a x c i n i i

i n

i i

i 1},2,1,0{,max 11 试设计一个解此问题的动态规划算法，并分析算法的时间复杂度。

十．考虑下列问题

i. 在一个由元素组成的表中，出现次数最多的元素称为众数。试写出一个 求众数的算法，并分析其时间复杂性。

ii. 主元素问题：数组]:1[n T 中的元素x 称为该数组的主元素，如果该数组

中有多于一半的元素等于x ，即 2

1,][|n n i x i T i 。主元素问题是确定已知数组中是否存在主元素。设计一个线性时间算法求解主元素问题。 十一． 分派问题一般陈述为：给n 个人分派n 件工作，把工作j 分派给第i 个人的成本为),(j i Cost 。设计一个回溯算法，在给每个人分派一件不同工作的情况下，使得总成本最小。

十二． 已知一个无向连通图),(E V G 用它的邻接矩阵]:1,:1[n n T 表示，试设计一个回溯算法HamiltonCycle ，判定该图是否有Hanmilton 圈，如果有将所有不同的Hanmilton 圈都打印出来。

十三． 设)20,18,15,12,10,7,5( W 和35 M ，使用求定和子集问题的回溯算法找出W 中所有和数为M 的子集，并画出所生成的部分状态空间树。

十四． 画出优先队列式算法对于下列0/1背包问题实例所生成的部分状态 空间树：

15),9,8,5,4,4(),,,,(),,,,(,512),2,4,3,6,4(),,,,(),4,8,6,15,10(),,,,(,554321543215432154321 M w w w w w p p p p p n M w w w w w p p p p p n 十五．栈式分枝限界法将活结点表以后进先出(LIFO)的方式存储于一个栈中。试设计一个解0/1背包问题的栈式分枝限界算法，并说明栈式分枝限界算法与回溯法的区别。

部分问题提示：

问题一．1.3个for 循环，时间复杂度为)(3n O ;

2. 将序列]:1[n a 分成两部分：]2/:1[n a 和]:12/[n n a ，此时有三种可能情

况：

(1) ]:1[n a 的最大子段和与]2/:1[n a 的最大子段和相同；

(2) ]:1[n a 的最大子段和与]:12/[n n a 的最大子段和相同；

(3) ]:1[n a 的最大子段和为 j

i k k a ，其中n j n n i 12/,2/1；

注意到上述三种情况，就可以设计出求最大子段和问题的分治算法。该算法的时间复杂度函数)(n T 满足如下递推关系式

c n n O n T c n O n T ),()2/(2),1()( 其中c 是一个固定正整数。直接推得可得时间复杂度为)log ()(n n O n T 。

3．若记n j k a j b j i k j i

1,][max ][1，所求的最大子段和为 ][max ][max max ][max 1111j b k a k a n j j

i k j i n j j i k n j i 注意到

][],1[][max 0],1[,,][,][max ][][],1[][,,][][,][][max ][,][,,][,][max ][12111211121j a j b j a j a k a k a j a j a j a j a k a j a k a j a j a k a k a k a j b j k j k j k j k j j k j k j k

可以证明最大子段和问题具有最优子结构性质，并且设计出求解该问题的动态规划算法。该算法的时间复杂度为)(n O 。

问题二 3.对线性选择算法进行改进：首先同线性选择算法一样找到划分子程序（Partition ）所用的“标竿”j x （即用来作为标尺的数，比该数大的数向后移，比该数小的向前移，通过交换完成），在Partition 程序中加一句：计算比j x 的元素的权和)(j x s ；在线性选择算法的递归过程中，将判断?k j 改为?2

1)( j x s ，这样就构造出线性时间的求带权中位数算法。

4．因为1维的邮局问题，所有的点都可以表示在一个实数轴上，假设i p 的坐标为i x ，n i ,,2,1 。不妨假定11 n i i w （不然，可以令 n i i i

i w w w 1'），此

时可以认为i w 是i x 的权。注意到

i

i i i i i x x if x x x x if x x x x p p d ,,||),( 其中，x 代表点p 的坐标。于是

x x i i x x i i n

i i i n i i i i i x x w x x w x x w p p d w p m )()(||),()(11 (1)

如果k x 是带权中位数，则

k i k i x x k i i x x i k i n i i k i n i i k i k x x w x x w x x w p p d w p m )()(||),()(11 (2)

直接推导可知)()(p m p m k ，从而证明断言。

问题四．记|),(|),(j i Mns j i Size ，对于固定的)2( i i ，分两种情况讨论（画图）：情况1，)(i j ，此时),1(),(j i Size j i Size ；

情况2，)(i j ，此时 11)(,1),,1(m ax ),( i i Size j i Size j i Size ；

对于1 i 有 )

(,1)(,0),(i j i j j i Size ，由此，可以说明电路布线问题具有最优子结构性质，并设计出求该问题的动态规划算法。其时间复杂度为)(2n O 。

问题五．设计动态规划算法时，注意淹没规则，因为此时不仅有容量约束还有容积约束。设 111,,V W v 和 222,,V W v 是两个点偶，当21v v 而且2121,V V W W 时，称点耦 111,,V W v 淹没点耦 222,,V W v 。其它部分同0/1背包问题的动态规划算法。设计回溯算法和分枝限界算法时，同时注意到两个约束即可。其余略。 问题六． 用][j b 记序列]:1[j a 中最长单调递增子序列的长度，][j s 为序列]:1[j a 中所有长度为][j b 的单调递增子序列中最后元素最小的子序列的最后元素。则

]

[]1[,1][][]1[],[]1[j s j a if j b j s j a if j b j b 根据此递推关系式，可以设计一个求最长单调递增子序列的动态规划算法，该算法时间复杂度为)(2n O 。

问题八：假定n 个作业的集合为 n S n ,,2,1 。则双机处理作业问题相当于确定n S 的子集J ，使得J 中的作业在机器A 上处理、其余作业在机器B 上处理的

安排是最省时的安排。此时所用时间为 J S j j J

j j b a \,max ，即最优安排所用时间

应为

J S j j J j j S J b a n \,max min 。若记 1,,2,11 n S n ，则有如下递推关系：

J S j j n J j j S J J S j j J j j n S J I S j j I j j S I b b a b a a b a n n n \\\,max min ,,max min min ,max min 11－－ (4.1)

令),,(B A t t S m 表示机器A 需等待时间A t ，且机器B 需等待时间B t 情况下安排作业集合S 在两台机器A 、B 上处理所需的最短时间，则对于任意作业S i ，

),},{\(),,},{\(m in ),,(B i A B A i B A t b t i S m t t a i S m t t S m (4.2) n 个作业的双机处理问题满足：

),0,(),0,,(m in )0,0,(11n n n n n b S m a S m S m (4.3)

(4.2)说明双机调度问题具有最优子结构性质，可以采用动态规划算法。在(4.3)中，如果),0,()0,,(11n n n n b S m a S m ，则作业n 安排在机器A 上处理，否则安排在机器B 上处理。若用1 i x 表示第i 件作业在机器A 上处理，0 i x 表示第i 件作业在机器B 上处理，则不等式),0,()0,,(11n n n n b S m a S m 就决定了n x 的取值。根据以上分析不难给出双机调度问题的动态规划算法。

注：此种方法能否推广求解多机调度问题，比如求解3机调度问题？ 问题九：将每件物品用两个和它完全一样的物品来替代，构造一个具有n 2件物品的0/1背包问题。为写出数学模型，可以把用于表示物品i 装包情况的变量i x 用两个变量21,i i x x 表示其被装入背包的可能情况：021 i i x x 表示物品i 没有被装进背包；0,11,02121 i i i i x x or x x 则表示两件物品i 有一件装进背包，而

1,121 i i x x 则表示两件物品i 都被装进了背包。因而21i i i x x x 。

注：这种将整数规划问题转化成0/1规划问题求解方法使得问题的规模增加过大，你能否设计一个较好的方法，使问题规模的增大小些？

第二部分：分析比较

1．试比较复杂性函数的渐进性态与 函数的区别和联系。

2．假定复杂性函数都是定义在正整数集合上的正函数，那么关于渐进上界符

号O ，如下运算性质那些成立、那些不成立。成立则给出证明、不成立则举出反例。

(1) )),(max()()(g f O g O f O ；

(2) )()()(fg O g O f O ;

(3) )/()(/)(g f O g O f O ;

(4) ))(())((n f O n cf O ,其中c 是一个正的常数；

(5) )()()(f f f O .

3．何谓递归算法？就k 2阶矩阵相乘B A 分别设计递归算法和迭代算法，并比

较两个算法的时间和空间复杂度。

4．归并排序和快速排序各自都强调了那方面的进程？

5．试分析求最有生成树的Prim 算法和Kruskal 算法的时间复杂性，看它们在

何种情况下表现各自的优越性。

6．贪心算法和动态规划算法有什么共同点和区别？

7．试比较回溯法与分枝限界算法，分别谈谈这两个算法比较适合的问题？

8．确定性图灵机模型与非确定性图灵机模型的主要区别在那里？确定性图灵

机模型下算法的时间复杂度和空间复杂度指的是什么？

9．什么是多项式时间算法？什么是NP 类问题？

10．已经知道如何通过已知的NPC 问题去证明另一个NP-问题也是NPC 问题的

方法，能否给出一个通过已知的P-问题证明另一个判定问题是P-问题？

11． NP-困难问题与NPC 问题是一类问题吗？就旅行商最优问题和旅行商判

定问题谈你的看法。

12． 下列问题那些是P-问题、那些是NPC-问题？那些是NP-困难问题？

(1) 最优生成树的判定问题；

例：给定一个赋权（权为正整数）连通图),(E V G ，一个正整数R 。 问：是否存在G 的生成树T ，其权值不超过R ？

(2) 二维匹配问题

例：给定一个二部图||||),(2121V V E V V G ，

，， 问：是否存在G 的完备匹配，即存在E 的子集1E 满足：1E 中任何两条边

没有公共顶点，而且1E 的端点集为21V V ？

(3) 二元可满足性问题

例：给定逻辑语句l C C C C 21，其子句定义在布尔变量 n x x x X ,,,21 上，而且每个子句的均由两个文字构成i i i z y C ，l i ,,2,1 。

问：是否存在布尔变量的一个真值分配，使得语句取真值？

(4) 三元可满足性问题3SAT(3-Satisfiability)

例：给定布尔变量的一个有限集合},,,{21n u u u U 及定义于其上的逻辑语句m C C C C 21，其中，3|| i C ，m i ,,2,1 。

问：是否存在U 的一个真赋值，使得C 为真？

(5) 图的独立集问题

例：对于给定的无向图),(E V G 和正整数)||(V k

问：G 是否包含一个k －独立集'V ，即是否存在一个子集

k V V V |'|,'，使得'V 中的任何两个顶点在图中G 都不相邻。

提示：考虑独立集和团的关系：如果'V 是图G 的团，则'V 是G 的补图G ~的

独立集；反之亦然。

(6) 二部图的独立集问题

例：给定一个二部图二部图),(21E V V G ， ，正整数||21V V k

问：G 是否含有一个不小于k 的独立集？

(7) 团问题（CLIQUE ）

例：给定一个无向图),(E V G 和一个正整数k 。

问：G 是否包含一个k 团？即是否存在k V V V |'|'，

，且对任意',V v u ，有E v u ),(

(8) 顶点覆盖问题VERTEX-COVER

例：给定无向图),(E V G 和一个正整数k

问：G 是否有k 覆盖，即是否存在k V V V |'|,'，使得对任意E v u ),(，

有''V v or V u 。

(9) 定和子集问题DSS

例：给定非负整数集合S ，正整数M

问：是否存在子集S C ,使得M c C

c

(10)精确覆盖问题XC

例：已知有限集合S 的子集族C

问：C 是否包含一个精确覆盖，即是否存在C C '，使得'C 中元素互不相

交，且S c C c '

(11) 划分问题PARTS

例：已知一个有限集合A ，及对每个A a 赋予的权值 Z a s )(

问：是否存在一个子集A A '，使得

'\')()(A A s A s a s a s

(12) 0/1背包判定问题 KPS

例：给定一个有限集合U ，对于每个U a ，对应一个值 Z a w )(和另一

个值 Z a v )(。另外给定一个约束值 Z B 和目标

Z K

问：是否存在U 的一个子集U U '，使得B a w U a ')(，而且K a v U a ')(

(13) 0/1背包最优问题

(14) 旅行商判定问题

例：待访问城市的集合 m n C C C C ,,,1 ，每对城市C C C j i ,之间的距

离

Z C C d j i ,，以及一个界 Z B 。

问：在C 存在一个总长不超过B 的、通过所有城市的旅行路线吗？

(15) 旅行商最优问题

(16)有向图的有向Hamilton 圈问题

例：给定有向图),(E V G

问：G 是否有一个有向Hamilton 圈，即长度为||V n ，而且恰好经过每个顶点一次，然后回到起始顶点

(17) 无向图的Hamilton 圈问题

例：给定无向图),(E V G

问：G 是否有一个Hamilton 圈，即长度为||V n ，而且恰好经过每个顶点一次，然后回到起始顶点的圈。

提示：

将有向图的（有向）Hamilton 圈问题实例变换成无向图的Hamilton 问题实例：把已知有向图D 的每个顶点u 换成欲构造的无向图G 的三个顶点：o m i u u u ,,，并将顶点m u 与顶点o i u u ,分别相连。如果在有向图D 中有从顶点u 到顶点v 的有向边（弧），则在无向图G 中将顶点o u 与顶点i v 连接一条边。

(18) 区间排序问题（Sequencing within intervals ）

例：给定任务的有限集合W ，对于每个任务W w ，相应有一个开始时间)(w r 和终止时间)(w d 以及工作时间)(w l ，其中}0{)( Z w r ， Z w l w d )(),( 问：是否存在任务集的一个可行时间排序表，即是否存在函数}0{: Z W ，满足下面两个条件：

（1） 对每个W w ，有),()(w r w 且)()()(w d w l w ；

（2） 若w w W w ','，则)()'()'(w w l w 或)()()'(w l w w

(19) 三元精确覆盖问题X3C

例：给定有限集合X,|X|=3q ,以及X 的三元子集族C 。

问：C 含有X 的一个精确覆盖吗？即是否存在一个子族C C '，使得X 的每个元素恰好只出现'C 的一个三元子集中。

(20) Steiner 树判定问题

例：给定图),(E V G ，对其每条边E e 都有相应的权 Z e w )(，另外有G 的顶点子集V R ，某个界 Z B 。

问：是否存在G 的一颗子树),(11E V T ，使E E V V R 11,，而且

B e w E e 1)(？