高考数学易错题解题方法(4) 共7套 完整

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高考数学易错题解题方法大全（4）(共7套)

一.选择题

【范例1】掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为（ ）

A ．6

1 B ．2

1 C ．3

2 D ．6

5

答案：D

【错解分析】此题主要考查用枚举法计算古典概型。容易错在不细心而漏解。

【解题指导】求古典概型的概率常采用用枚举法，细心列举即可。 【练习1】矩形ABCD 中,7,6==CD AB ,在矩形内任取一点P ,则π2APB ∠>的概率为（ ）

A ．28

31π- B ．28

3π C ．14

3π D ．14

31π-

【范例2】将锐角为060=∠BAD 且边长是2的菱形ABCD ，沿它的对角线BD

折成60°的二面角，则（ ）

①异面直线AC 与BD 所成角的大小是 . ②点C 到平面ABD 的距离是 .

A ．90°，2

3 B ．90°，2 C ．60°，2

3 D ．60°，

2

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答案：A

【错解分析】此题容易错选为C ，错误原因是对空间图形不能很好的吃透。。

【解题指导】设BD 中点为O ，则有AOC BD 平面⊥，则AC BD ⊥.及平面

AOC

ABD 平面⊥.且AOC ?是边长为

3

的正三角形，作AO CE ⊥，则

ABD CE 面⊥，于是异面直线AC BD 与所成的角是

90°，点C 到平面ABD 的

距离是2

3=CE .

【练习2】长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=1，E 为CC 1的中点，则异面

直线BC 1与AE 所成角的余弦值为（ ）

A ．

10

10

B ．

10

30 C ．

10

60 D ．10

103

【范例3】已知P 为抛物线22

1x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)2

17,6(，则PM PA +的最小值是（ ）

A 8

B 2

19 C 10 D 2

21

答案：B

【错解分析】此题容易错选为C ，在解决抛物线的问题时经常需要把

A

B

C

D

A 1 D 1

C 1 B 1

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到焦点的距离和到准线的距离互相转化。

【解题指导】抛物线y x 22=的焦点为??

? ?

?-21,0F ，点P 到准线的距离为d 。

则

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2

1

21-+=-

+=+PF PA d PA PM PA ，所以当P ，A ，F 三点共线时最小为

2

19

21=-

AF . 【练习3】已知定点)4,3(A ，点P 为抛物线x y 42=上一动点，点P 到直线

1-=x 的距离为d ，则|PA|+d

的最小值为（ ）

A ．4

B ．52

C ．6

D ．32

8-

【范例4】函数]2,0[,sin 2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）

A ．{}31<<-k k

B ．{}31≤≤k k

C ．{}31<

D ．{}31<≤k k 答案：C

【错解分析】此题容易错选为A ，错误原因是对函数)(x f 不能合理的化为3sin ,[0,]()sin 2sin sin ,(,2]

x x f x x x x x ∈π?=+=?

-∈ππ?。

【解题指导】作函数)(x f 和直线k y =的草图，借助数形结合，可得，

31<

【练习4】函数x x f sin )(=在区间[]b a ,上是增函数，且,1)(,1)(=-=b f a f 则cos 2

b a +的值为（ ）

A. 0

B.

2

2

C. 1

D. －1

【范例5】平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成)(n f 块区域，有(1)2,(2)4,(3)8,(4)14f f f f ====，则)(n f 的

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表达式为（ ）

A 、n 2

B 、22+-n n

C 、)3)(2)(1(2----n n n n

D 、

410523-+-n n n

答案：B

【错解分析】此题容易错选为A ，错误原因是在作归纳猜想时没有认真审题只看到(1)2,(2)4,(3)8,f f f ===导致结论太片面且不合理。

【解题指导】由(2)(1)2,(3)(2)4,(4)(3)6,f f f f f f -=-=-=，(1)()2f n f n n +-=猜想 利用累加法，得2)(2+-=n n n f .

【练习5】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为（ ） A. 20 B. 29 C. 30 D. 59

【范例6】函数f （x ）=3x

（x≤2）的反函数的定义域是（ ） A ．(,9]-∞ B ．[9,)+∞ C ．(0,9] D ．(0,)+∞ 答案：C

【错解分析】此题容易错选为D ，错误原因是对原函数与反函数理解不透。

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【解题指导】反函数的定义域即为原函数的值域，所以求原函数的值域即可。

【练习6】若函数f(x)的反函数),0(1)(21<+=-x x x f 则)2(f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．5 二.填空题

【范例7】若}1log |{},822|{2>∈=≤≤∈=x R x B Z x A x ，则B A ?= . 答案：{}3

【错解分析】此题容易错填为(]13，，错误原因是没有看清楚A 中的元素要是整数。

【解题指导】{}{}2,3,2,1>==x x B A 【练习7】已知集合?

??

?

??∈-∈=N x N x A 68|

，集合A 的子集共有 个. 【范例8】给出下列命题

① 向量 a b 、

满足a b a b ==-，则与a a b +的夹角为030；

② ?＞0，是 a b 、

的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =1-x 的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x ；

④ 若)(→

-→-+AC AB 0)(=-??→

-→

-AC AB ，则ABC ?为等腰三角形；

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以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 答案：③④

【错解分析】此题容易错选为①②，错误原因是对一些特殊情况考虑不周到。

【解题指导】利用向量的有关概念，逐个进行判断切入，

对于 ① 取特值零向量错误，若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确；

对②取特值夹角为直角错，认识数量积和夹角的关系，命题应为

a ?

b ＞0，是 a b 、的夹角为锐角的必要条件；

对于③，注意按向量平移的意义，就是图象向左移1个单位，结论正确；

对于④；向量的数量积满足分配率运算，结论正确.

【练习8】已

知1(,2a =-，(1,

3)

b =，则||()a tb t R +∈的最小值等

于 .

【范例9】已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，

双曲线12

2

=-a

y x 的左顶点为

A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，

则实数=a .

答案：1

4

【错解分析】此题容易错在抛物线不能求对，下面就无法解决了。

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【解题指导】抛物线为x y 162=，1±=m ，渐进线为x a y ±=.

【练习9】一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是

)200(22≤≤=y y x . 在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则

玻璃的半径r 的范围为 .

【范例10】若n x

x )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数

项为 . 答案：20

【错解分析】此题容易错在找不对第几项是常数项，对二项展开式的基本性质还要掌握好。

【解题指导】36264,6,20n n C ===常数项为. 【练习10】

若(n

x 的展开式中第三项系数等于6，则n 等

于 .

【范例11】如果复数)2)(1(i ai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于 . 答案：3

1

【错解分析】此题容易错写1，切记：21i =。 【解题指导】i a a i ai )21()2()2)(1(++-=++.

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【练习11】设R b a bi a z ∈+=,,z a bi =+，将一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a ，第二次得到的点数为b ，则使复数2z 为纯虚数的概率为 ．

【范例12】已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为____． 答案：12

m ≥。

【错解分析】此题容易错填12

m >等，错误原因是对利用'0f >求解。

【解题指导】注意区别不等式有解与恒成立：

max ()()a f x a f x >?>恒成立； min ()()a f x a f x

min ()()a f x a f x >?>有解； max ()()a f x a f x

()0212/≥-+

=x mx x f 在()+∞,0上恒成立，,1212x x

m +-≥所以max 2)1

21(x x m +-≥

所以12

m ≥.

【练习12】已知函数()f x 的导函数'()29f x x =-，且(0)f 的值为整数，当

(,1]x n n ∈+*()

n N ∈时，

()

f x 的值为整数的个数有且只有1个，则

n = .

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三.解答题

【范例13】设数列}{n a 的前n 项和为22n S n

=， }{n b 为等比数列，且

.)(,112211b a a b b a =-=

（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n

n n

b a

c =，求数列}{n c 的前n 项和n T 。

【错解分析】（1）求数列{}n a 的通项公式时，容易遗忘对n=1情况的检验。

（2）错位相减法虽然是一种常见方法，但同时也是容易出错的地方，一定要仔细。

解：（1）当111,2;n a S ===时

,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当

故}{n a 的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.

设}{n b 的通项公式为.4

1,4,,11=∴==q d b qd b q 则

故.4

2}{,4

121

1

11---=

?

-=n n n n n n

b b q b b

的通项公式为即

（2）,4)12(422

411

---=-==

n n n

n n

n n b a c

]

4)12(4

)32(454341[4],4)12(45431[1

3

2

12121n

n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴--

两式相减得：

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A B

C

A 1

B

C 1

O

].

54)56[(9

1

]

54)56[(31

4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T

【练习13】设等比数列{n a }的前n 项和

n

S ，首项11a =，公比

()(1,0)1q f λ

λλλ

==

≠-+.

(1)证明：(1)n n S a λλ=+-；

(2)若数列{n b }满足112

b =，

*1()(,2)n n b f b n N n -=∈≥，求数列{n b }的通项公式；

(3)若1λ=，记1

(1)n n n

c a b =-，数列{n c }的前项和为n T ，求证：当2n ≥时，

24n T ≤<.

【范例14】已知斜三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2， 侧棱1BB 与底面

ABC 所成角为

3

π

， 且侧面⊥11A ABB 底面ABC .

（1）证明：点1B 在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点；

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A

B C

A 1

B C 1 O H

M N （2）求二面角B AB C

--1的大小 ；

（3）求点1C 到平面A CB 1的距离.

【错解分析】对于立体几何的角和距离，一定要很好的理解“作，证，”三个字。 你做到了吗？

解：（1）证明：过B 1点作B 1O ⊥BA 。∵侧面ABB 1A 1⊥底面ABC

∴A 1O ⊥面ABC ∴∠B 1BA 是侧面BB 1与底面ABC 倾斜角∴∠

B 1BO=3

π 在Rt △B 1OB 中，BB 1=2，∴BO=2

1

BB 1=1

又∵BB 1=AB ，∴BO=2

1AB ∴O 是AB 的中点， 即点B 1在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点.

（2）连接AB 1过点O 作OM ⊥AB 1，连线CM ，OC ，

∵OC ⊥AB ，平面ABC ⊥平面AA 1BB 1 ∴OC ⊥平面AABB.∴OM 是斜线CM 在平面AA 1B 1B 的射影 ∵OM ⊥AB 1∴AB 1⊥CM ∴∠OMC 是二面角C —AB 1—B 的平面角 在Rt △OCM 中，OC=

3，OM=

2tan ,23==∠∴OM

OC

OMC ∴∠OMC=.2arctan ∴二面角C —AB 1—B 的大小为.2arctan

（3）过点O 作ON ⊥CM ，∵AB 1⊥平面OCM ，∴AB 1⊥ON

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∴ON ⊥平面AB 1C 。∴ON 是O 点到平面AB 1C 的距离

515

2

1523

32

8433.23,3,=?

=

?=

∴=+=∴=

=?CM

OC

OM ON CM OM OC OMC Rt 中在

连接BC 1与B 1C 相交于点H ，则H 是BC 1的中点,∴B 与C 1到平面ACB 1

的相导。

又∵O 是AB 的中点 ∴B 到平面AB 1C 的距离是O 到平面AB 1C 距离的2倍

∴点1C 到平面AB 1C 距离为.5

15

2

【练习14】如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.

（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离；

（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4

π.

【范例15】设函数()

ln 1f x x px

（1）求函数()

f x的极值点；

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（2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；

（3）证明：).2,()1(21

2ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<

+++n N n n n n n

n 【错解分析】（1）对于p 的正负的讨论是容易出错的地方。 （2）恒成立问题的解决要灵活应用

（3）放缩法在数列中的应用是此题的难点 解：（1）),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f ，

x

px

p x x f -=

-=

'11)(当),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p 上无极值点 当p>0时，令x x f x f p

x x f 随、，

)()(),,0(1

0)('+∞∈=∴='的变化情况如下表： － ↘从上表可以看出：当p>0 时，()f x 有唯一的极大值点p

x 1= （2）当p>0时在1x=p

处取得极大值11

()

ln

f p

p

，此极大值也是最大值，

要使()

0f x 恒成立，只需1

1()

ln 0f p

p

， ∴1p

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∴p 的取值范围为[1，+∞)

（3）令p=1，由（2）知，2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ， ∴1ln 22-≤n n ，

∴22222111

ln n

n n n n -=-≤

∴)

11()311()211(ln 33ln 22ln 22222

2222n

n n -++-+-≤+++

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)13121(

)1(2

22n n +++--= ))

1(1

431321(

)1(+++?+?--

1

141313121()1(+-++-+---=n n n

)

1(21

2)1121()1(2+--=+---=n n n n n

∴结论成立

【练习15】设).442(3

1)(2a ax x e x f x ++=-

（1）求a 的值，使)(x f 的极小值为0；

（2）证明：当且仅当a=3时，)(x f 的极大值为4。

练习题参考答案：

1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．B 7．8 8．2

9．10≤

10. 12 11. 6

1 12. 4

13. 解 (1)111[1()]

(1)1(1)[1()](1)()11111n n

n n n a a q S q λ

λλλλλλλλλλ

---+===+-=+--++-

+

而111(

)()11n n n a a λλ

λλ

--==++所以(1)n n S a λλ=+- (2)()1f λ

λλ

=

+,111

11

,11n n n n n b b b b b ---∴=

∴=++,

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1{}n b ∴是首项为1

1

2b =,公差为1的等差数列,所以1

2(1)1n

n n b =+-=+,即

1

1

n b n =

+. (3) 1λ=时,11()2

n n a -=, 11

1

(1)()2

n n n n c a n b -∴=-= 21111

12()3()()222

n n T n -∴=++++

23111112()3()()22222

n n T n ∴=++++ 相减得21111111

1()()()()2[1]()222222

n n n n

n T n n -∴=++++-=--1（）2

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2111

4()()422

n n n T n --∴=--<,

又因为11()02

n n c n -=>,n T ∴单调递增, 22,n T T ∴≥=

故当2n ≥时, 24n T ≤<. 14．（1）证明：连1AD ，

在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，1AD 为1D E 在平面1AD 的射影， 而AD=AA 1=1，则四边形11ADD A 是正方形11A D AD ?⊥， 由三垂线定理得D 1E ⊥A 1D

（2）解：以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立如图所示的直角坐标系。则(1,0,0)A

(1,1,0)E 、(1,2,0)B 、(0,2,0)C 、1(0,0,1)D 则(0,1,0)AE =，(1,1,0)EC =-，

1

(0,2,1)DC =-，设平面1D EC 的法向量为1(,,)n x y z = ∴1

110

::1:1:2200n EC x y x y z y z n D C ?

?=-+=????=?

?-=?=?

??，记1(1,1,2)n =

∴点A 到面ECD 1

的距离1

1||||

AE n d n ?==

= （3）解：设0(1,,0)E y 则0(1,2,0)EC y =--，设平面1D EC 的法向量为1(,,)n x y z =

∴1

00110

(2)0

::(2):1:220

0n EC x y y x y z y y z n D C ?

?=-+-=????=-?

?-=?=???，记10((2),1,2)n y =-

而平面ECD 的法向量2(0,0,1)n =，则二面角D 1—EC —D 的平面角

12,4

n n π

θ=<>=