反证法在证明题中的应用-高考数学解题模板
【高考地位】 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.
【方法点评】
类型一 证明“至多”或“至少”问题 使用情景：证明“至多”或“至少”问题． 解题模板：第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例1. 若,x y ∈{正整数}，且2x y +>。求证：12x y +<或12y x
+<中至少有一个成立。
【变式演练1】若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2
＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。则实数a 的取值范围为________。
类型二 证明“不可能”问题
使用情景：证明“不可能”问题．
解题模板：第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例2.给定实数0a a ≠，，且1a ≠，设函数11()1x y x x ax a -=
∈≠-R ，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．
【变式演练2】如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点。求证：AC 与平面SOB 不垂直。
类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题
使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题．
解题模板：第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例3.求证：方程512x
=的解是唯一的．
【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（）
A ．自然数c b a ,,都是奇数
B ．自然数c b a ,,都是偶数
C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数
D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数
【高考再现】
1. 【2016高考山东文数】观察下列等式：
22π2π4(sin )(sin )12333
--+=??； 2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553
----+++=??； 2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773
----+++???+=??； 2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993
----+++???+=??； …… 照此规律，2222π2π3π2π(sin
)(sin )(sin )(sin )21212121
n n n n n ----+++???+=++++_________．
2. 【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）
A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
3.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A.方程02=++b ax x 没有实根
B.方程02=++b ax x 至多有一个实根
C.方程02=++b ax x 至多有两个实根
D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根
4. 【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n n a a a a a +?=?->?，≤，，()12n =，，
…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．
（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；
（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．
【反馈练习】
1．【2015-2016学年陕西延川县中学高二下学期期末数学（文）试卷】用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）
A ．有两个内角是钝角
B ．有三个内角是钝角
C ．至少有两个内角是钝角
D ．没有一个内角是钝角
2．【2016-2017学年江西南昌市高三新课标一轮复习一数学试卷】
用反证法证明命题“设3
()3||()f x x x a a R =+-∈为实数，则方程()0f x =至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A ．方程()f x 没有实根
B ．方程()0f x =至多有一个实根
C ．方程()0f x =至多有两个实根
D ．方程()0f x =恰好有两个实根
3．【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】 在用反证法证明命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()()222a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证时假设正确的是（ ）
A ．假设()()()222a b b c c a ---、、都小于1
B ．假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1
C ．假设()()()222a b b c c a ---、、都不大于1
D ．以上都不对
4．【2015-2016学年山东枣庄三中高二6月调查数学（理）试卷】
用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）
A. 假设三内角都不大于60度
B. 假设三内角都大于60度
C. 假设三内角至多有一个大于60度
D. 假设三内角至多有两个大于60度
5．【2015-2016学年福建晋江平山中学高二下学期期中数学（文）试卷】
用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为
A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
6．【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】
已知二次函数()()20f x ax bx c a =++>的图象与x 轴有两个不同的交点，若()0f c =，且0x c <<时，()0f x >．
（1）证明：
1a
是()0f x =的一个根； （2）试比较1a 与c 的大小； （3）证明：21b -<<-．
7．【2015-2016学年山东曲阜师大附中高二下学期期中数学（理）试卷】
（1>（2）110,0,2,.b a a b a b a b ++>>+>已知且求证：和中至少有一个小于2
高中数学答题模板
一、选择填空题 1.易错点归纳 九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。 针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。 2.答题方法 选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法。 填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。 二、解答题 专题一、三角变换与三角函数的性质问题 1.解题路线图 ①不同角化同角②降幂扩角 ③化f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h④结合性质求解。 2.构建答题模板 ①化简：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。 ②整体代换：将ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x，y＝cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx＋φ的范围求条件解得函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的性质，写出结果。 ④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。 专题二、解三角形问题 1.解题路线图 (1) ①化简变形；②用余弦定理转化为边的关系；③变形证明。 (2) ①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范围；③确定角的取值范围。 2.构建答题模板 ①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。 ②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。 ③求结果。 ④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。 专题三、数列的通项、求和问题 1.解题路线图 ①先求某一项，或者找到数列的关系式。 ②求通项公式。③求数列和通式。
高考推理与证明真题汇编理科数学(解析版)
2012高考真题分类汇编：推理与证明 1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察 下 列 各 式 ： 221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即 21++=+n n n a a a ，所以可推出12310=a ，选C. 2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝ 7 3 .动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 3.【2012高考真题湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159L 判断，下列近似公式中最精确的一个是 11.d ≈ B ．d C ．d D ．d ≈ 【答案】D 【解析】 346b 69()d ,===3.37532b 16 616157611 ==3==3.14,==3.142857230021 d a V A a B D πππππππ?==???由，得设选项中常数为则；中代入得， 中代入得，C 中代入得中代入得，由于D 中值最接近的真实值，故选择D 。 4.【2012高考真题陕西理11】 观察下列不等式 213122+ < 231151233++<，
高中数学专题讲义-直接证明与间接证明
题型一：综合法 【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b a a b +> Ｄ．a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。 （A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或 【例4】下列四个命题：①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8；④ 若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()4 1 1≤ -a a ；③2≥+a b b a ；④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； 典例分析 板块二.直接证明与 间接证明
③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 【例7】已知c b a ,,均大于1，且4log log =?c b c a ，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是 （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+，sin sin b αβ=+，则a 、b 之间关系为 （ ） A ．a b > B ．b a > C ．a b = D ．不确定 【例10】设M 是ABC ?内一点，且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?，定义()(,,)f M m n p =， 其中m 、n 、p 分别是MBC ?，MCA ?，MAB ?的面积，若1 ()(,,)2 f P x y =，则14x y + 的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)4 3(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ） 的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若 【例13】函数()y f x =在（0，2）上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ，向量b a ρρ与的 夹角为0 120，则a b a ρρρ．)2(-=
反证法证明题简单
反证法证明题简单 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
反证法证明题 例1.已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ?内角. 求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o . 证明：假设ABC ?的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ， 即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ， 所以O 180A B C ∠+∠+∠<， 与三角形内角和等于180o 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例2.已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a = . 假设方程ax b =至少存在两个根， 不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠， 则12,ax b ax b ==， 所以12ax ax =， 所以12()0a x x -=. 因为12x x ≠，所以120x x -≠， 所以0a =，与已知0a ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例3.已知332,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-， 所以33(2)a b >-即3238126a b b b >-+-，
所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为26(1)22b -+≥ 所以332a b +>，与已知332a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例4.设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和. 求证：{}n S 不是等比数列. 证明：假设是{}n S 等比数列，则2213S S S =?， 即222111(1)(1)a q a a q q +=?++. 因为等比数列10a ≠， 所以22(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例5.是无理数. 是有理数，则存在互为质数的整数m ，n m n =. 所以m =即222m n =， 所以2m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设*2()m k k N =∈， 从而有2242k n =即222n k =. 所以2n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾. 是无理数成立. 例6.已知直线,a b 和平面，如果,a b αα??，且//a b ，求证//a α。
历年高考数学真题精选46 推理与证明
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题46 推理与证明（学生版） 一．选择题（共9小题） 1．（2019?新课标Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为() A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙2．（2019?新课标Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是5151 (0.618 -- ≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此 外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51 - ．若某人满足上述两 个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( ) A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm 3．（2017?新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2016?新课标Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15C ?，B点表示
四月的平均最低气温约为5C ?，下面叙述不正确的是( ) A ．各月的平均最低气温都在0C ?以上 B ．七月的平均温差比一月的平均温差大 C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均最高气温高于20C ?的月份有5个 5．（2016?北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每 次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 6．（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有( ) A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人 7．（2013?广东）设整数4n ，集合{1X =，2，3，?，}n ．令集合{(S x =，y ，)|z x ，y ， z X ∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}．若(x ，y ，)z 和(z ，w ，)x 都在S 中，则下列选项正确的是( )
全国卷高考数学答题卡模板(文理通用)
重庆两江育才中学高2020级高一（上）第一次月考 数学试题答题卡 座号 ________________________ 准考证号 考生禁填： 缺考考生由监考员填涂右 边的缺考标记． 填 涂 样 例 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码； 2．选择题必须用2B 铅笔填涂，解答题必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚； 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 正确填涂 错误填涂 √ × ○ ● 一、选择题（每小题5分，共60分） A B C D 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A C D B 7 A C D B 8 A C D B 9 A C D B 10 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 13、______ ___ __ ___ 14、_______ _______ 15、______ __ ______ 16、 二、填空题（每小题5分，共20分） 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） A C D B 11 A C D B 12 考 生 条 形 码 粘 贴 处 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18、（本小题满分12分） 19、（本小题满分12分） 17、（本小题满分12分） 班级 姓名 考场号 座位号 …………………………………………密…………………………………封…………………………………………请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
高中数学答题卡模板版
试题 数学（文）答题卡 座位号：一、选择题（每小题5分，共60分）13、 14、15、 16、二、填空题（每小题5分，共20分）三、解答题（70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18、（本小题满分12分）19、（本小题满分12分）17、（本小题满分12分）班级姓名考号………………………………… ………密………… … ……………………封…… … ………………………………… 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20、（本小题满分12分）21、（本小题满分12分）22、（本小题满分10分）（从22题、23题中任选一题作答，若两 题都做解，按第一题给分） 请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22题23题
2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练
1 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：
反证法证明题(简单)(可编辑修改word版)
反证法证明题 例1. 已知∠A ，∠B ，∠C 为?ABC 内角. 求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个不小于60o. 证明：假设?ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 都小于60o，即∠A <60o，∠B <60o，∠C <60o， 所以∠A +∠B +∠C < 180O， 与三角形内角和等于180o矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例2. 已知a ≠ 0 ，证明x 的方程ax =b 有且只有一个根. 证明：由于a ≠ 0 ，因此方程ax =b 至少有一个根x =b . a 假设方程ax = b 至少存在两个根， 不妨设两根分别为x1 , x2 且x1 ≠x2 ， 则ax1=b, ax2=b ， 所以ax1=ax2， 所以a(x1-x2 ) = 0 . 因为x1 ≠x2 ，所以x1 -x2 ≠ 0 ， 所以a = 0 ，与已知a ≠ 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例3. 已知a3+b3= 2, 求证a +b ≤ 2 . 证明：假设a +b > 2 ，则有a > 2 -b ， 所以a3> (2 -b)3即a3> 8 -12b + 6b2-b3， 所以a3> 8 -12b + 6b2-b3= 6(b -1)2+ 2 . 因为6(b -1)2+ 2 ≥ 2 所以a3+b3> 2 ，与已知a3+b3= 2 矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例4. 设{a n}是公比为的等比数列，S n为它的前n 项和. 求证：{S n}不是等比数列. 证明：假设是{S }等比数列，则S 2=S ?S ， n 2 1 3
2 2 2 2 1 1 1 即 a 2 (1+ q )2 = a ? a (1+ q + q 2 ) . 因为等比数列 a 1 ≠ 0 ， 所以(1+ q )2 = 1+ q + q 2 即 q = 0 ，与等比数列 q ≠ 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例 5. 证明 是无理数. m 证明：假设 是有理数，则存在互为质数的整数 m ，n 使得 = . n 所以 m = 2n 即 m 2 = 2n 2 ， 所以 m 2 为偶数，所以m 为偶数. 所以设 m = 2k (k ∈ N *) ， 从而有4k 2 = 2n 2 即 n 2 = 2k 2 . 所以n 2 也为偶数，所以 n 为偶数. 与 m ，n 互为质数矛盾. 所以假设不成立，所求证 是无理数成立. 例 6. 已知直线 a , b 和平面，如果 a ? , b ?，且 a / /b ，求证a / /。 证明：因为 a / /b , 所以经过直线 a , b 确定一个平面。 因为 a ? ，而 a ? ， 所以 与是两个不同的平面． 因为b ?，且b ? ， 所以 = b . 下面用反证法证明直线 a 与平面没有公共点．假设 直线 a 与平面 有公共点 P ，则 P ∈ = b ， 即点 P 是直线 a 与 b 的公共点， 这与 a / /b 矛盾．所以 a / /. 例 7．已知 0 < a , b , c < 2，求证：(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 不可能同时大于 1 证明：假设(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 都大于 1， 即 (2 - a )c>1, (2 - b )a>1, (2 - c )b>1，
反证法证明题
反证法证明题 例1. 已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ?内角. 求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o . 证明：假设ABC ?的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ， 即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ， 所以O 180A B C ∠+∠+∠<， 与三角形内角和等于180o 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例2. 已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a =. 假设方程ax b =至少存在两个根， 不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠， 则12,ax b ax b ==， 所以12ax ax =， 所以12()0a x x -=. 因为12x x ≠，所以120x x -≠， 所以0a =，与已知0a ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例3. 已知3 3 2,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-， 所以3 3 (2)a b >-即323 8126a b b b >-+-， 所以3 2 3 2 81266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为2 6(1)22b -+≥ 所以332a b +>，与已知33 2a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例4. 设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和. 求证：{}n S 不是等比数列. 证明：假设是{}n S 等比数列，则2 213S S S =?，
即222 111(1)(1)a q a a q q +=?++. 因为等比数列10a ≠， 所以2 2 (1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例5. 证明2是无理数. 证明：假设2是有理数，则存在互为质数的整数m ，n 使得2m n =. 所以2m n = 即222m n =， 所以2 m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设* 2()m k k N =∈， 从而有2 2 42k n =即2 2 2n k =. 所以2 n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾. 所以假设不成立，所求证2是无理数成立. 例6. 已知直线,a b 和平面，如果,a b αα??，且//a b ，求证//a α。 证明：因为//a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。 因为a α?，而a β?， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α?，且b β?， 所以b αβ=I . 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假 设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=I ， 即点P 是直线 a 与b 的公共点， 这与//a b 矛盾．所以 //a α. 例7．已知0 < a , b , c < 2，求证：(2 a )c ， (2 b )a ，(2 c )b 不可能同时大于1 证明：假设(2 a )c ， (2 b )a ，(2 c )b 都大于1，
试卷答题卡模板
1 xxxx- xxxx 学年上学期试卷 答题卡 第I 卷(请用2B 铅笔填涂) 第II 卷(非选择题) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、判断题：本题包括10小题，共10分。对的打“√”，错的打“×”。 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 三、填空题：每空1分，共10分。 36．__________________ __________________ 37．__________________ 38．__________________ __________________ __________________ 39．__________________ __________________ 40．__________________ __________________ 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 13.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 19.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 20.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 21.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 22.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 23.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 24.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 25.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项
2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练
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用反证法证明几何问题
65yttrgoi 用反证法证明几何专题 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 一、反证法的概念： （又称归谬法、背理法）是一种论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 二、反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 三、反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 四、适用范围 “反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。 五、反证法在平面几何中的应用 例1．已知：AB 、CD 是⊙O 内非直径的两弦（如图1），求证AB 与CD 不能互相平分。 （1） 证明：假设AB 与CD 互相平分于点M 、则由已知条件AB 、CD 均非⊙O 直径， 可判定M 不是圆心O ，连结OA 、OB 、OM 。 ∵OA ＝OB ，M 是AB 中点 ∴OM ⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得：OM ⊥CD ，从而过点M 有两条直线AB 、CD 都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。故AB 与CD 不能互相平分。 归缪法 穷举法
高考复习数学直接证明与间接证明专项练习(附解析)
2019高考复习数学直接证明与间接证明专 项练习（附解析） 直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。以下是直接证明与间接证明专项练习，请考生认真练习。 1.(2019山东，文4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是() A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 2.要证:a2+b2-1-a2b2≤0，只要证明() A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0 C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 3.设a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+() A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 4.(2019天津模拟)p=，q=(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为() A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定 5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1+x2>0，则f(x1)+f(x2)的值()
A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 6.(2019福建三明模拟)命题“如果数列{an}的前n项和 Sn=2n2-3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立() A.不成立 B.成立 C.不能断定 D.与n取值有关 7.用反证法证明“如果a>b，那么”假设内容应是. 8.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足. 9.已知a>0，求证:≥a+-2. 10.已知在数列{an}中，a1=5，且an=2an-1+2n-1(n≥2，且nN*). (1)证明:数列为等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 能力提升组 11.已知m>1，a=，b=，则以下结论正确的是() A.a>b B.aa+b，那么a，b应满足的条件是. 13.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明:≥1. 14.△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c. 求证:. 15.(2019福建宁德模拟)设函数f(x)定义在(0，+∞)上，f(1)=0，导函数f'(x)=，g(x)=f(x)+f'(x).
用反证法证明是无理数
据说最初发现 p q ，这里p和q是无公约数的正整数 传说毕达哥拉斯太珍惜这个发现，不打算公开这个结果。他的学生之一为了好奇，悄悄走进老师的家里偷文件，这方法才被公开出来。 我们下面介绍五个用反证法证明这结果，大家可以学习这种证明。 p q =，p，q是无公约数的整数。 (1)毕达哥拉斯方法： p q =两边平方得22 2 p q =，所以2p是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k ＋1的平方后是4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1仍旧是奇数）。所以我们可以设p是2a的样子，代入上式得(2a)2＝2q2，即4a2=2q2两边同时消掉2可得2a2＝q2，即q也是偶数。 由于p，q都是偶数，它们有一个公约数2，这和我们最初假设p， q (2)利用整数的个位数性质：我们知道任何整数平方其最后一位数是等于原数最后一位数的平方后的最后一位数。例如（12）2＝144，最后一位数4=（2）2。而（17）2=289，（7）2=49，最后一位数是一样。 最后一位数可能出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。 因此任何数的平方最后一位数只可能是0，1，4，5，6，9。 因此2q2的最后一位数只可能是0，2或8。 由于p2的最后一位数可能是0，1，4，5，6，9。而且由P2=2q2，故必须有2q2最后一位数是0，因此推到q2的最后一位数是0或5。 可是如果P2的最后一位数是0，而q2的最后一位数是0或5的话，则P的最后一位数是0，q的最后一位数是0或5，这样5就能整除p和q，这和p，q无公约数的假定矛盾。 (3)利用素因子的性质： p q =得22 2 p q =，这里q要大于1，如果是等于1 ＝p，这是个整数，明显是不合理的。现在我们可以得到2 2 p q p ?? =? ? ?? ，我们知道： （一）任何整数不是素数就是合数。
高考数学推理与证明
第十二章推理与证明 考纲解读 分析解读 本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.
五年高考 考点一合情推理与演绎推理 1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 答案 B 2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;
②该小组人数的最小值为. 答案①6 ②12 3.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 答案1和3 4.(2016山东,12,5分)观察下列等式: π- +π - =×1×2; π- +π - +π - +π - =×2×3; π- +π - +π - +…+π - =×3×4; π- +π - +π - +…+π - =×4×5; …… 照此规律, π- +π - +π - +…+π - = . 答案 5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-= 1-+-=+ 1-+-+-=++ …… 据此规律,第n个等式可为. 答案1-+-+…+ - -=++…+ 6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》经典测试题附答案解析
【高中数学】数学《推理与证明》期末复习知识要点 一、选择题 1．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ） A ． 3 B ． 23 C ． 6513 D ． 5 【答案】D 【解析】 【分析】 如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】 对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ， 1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D . 在直角三角形ABO 中，2AB =，1022 32 BO -?==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠= =，又因为22 sin sin 3 r AOB OCD OC OC ∠=∠===，
所以3a OC ==. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得 c ==， 所以c e a = = ， 故选：D. 【点睛】 此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题. 2．已知点(10,3)P 在椭圆22 2:199 x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则 圆M 过点N 的切线方程为2 00x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为 （ ） A ．13311x y += B ． 111099 x y += C ． 11133 x y += D ． 199110 x y += 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】 因为点(10,3)P 在椭圆22 2:199 x y C a +=上， 故可得 21009 199 a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为： 103111099 x y +=，整理可得11133x y + =. 故选：C. 【点睛】 本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题. 3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”， 意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程1 0110n n n n a x a x a x a --++???++=，其中 0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或 在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.