西北师大附中高三第五次诊断考试

西北师大附中2016届高三第五次诊断考试

数学（理科）

第Ⅰ卷

一.选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在

答题卡上）

1.已知R

是实数集，{21,M x

N y y x ??

=<==????

，则R N C M ?= A.()1,2

B.[]0,2

C.?

D.[]1,2

2.“1m =”是“复数21z m mi =+-为纯虚数”的

A ．充分但不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 3.在等差数列{}n a 中，已知n S 是其前n 项和，且14812152a a a a a ---+=，则15S = A ．30-B ．30C ．15-D ．15 4.给出下列四个命题：

111:(0,),23x

x

p x ????

?∈+∞< ? ?????；21123:(0,1),log log p x x x ?∈>；

311:(0,),23x

x

p x ????

?∈+∞< ? ?????；413

11:(0,),log 32x

p x x ???< ???.

2

21

1侧视图

正视图第5题图

其中真命题是

A.1p ，3p

B.1p ，4p

C.2p ，3p

D.2p ，4p

5.某几何体的三视图如图所示，则其侧面的直角三角形的个数为 A.1B.2C.3D.4

6.已知图象不间断函数()f x 是区间[],a b 上的单调函数，且在区间(,)a b 上 存在零点.下图是用二分法求方程()0f x =近似解的程序框图， 判断框内可以填写的内容有如下四个选择：

①()()0;f a f m <②()()0;f a f m >③()()0;f b f m <④()()0;f b f m > 其中能够正确求出近似解的是

A.②④

B.②③

C.①③

D.①④

7.已知过定点()0,2的直线与抛物线y x =2相交于()()2211,,,y x B y x A 两点，若21,x x 是方程

0cos sin 2=-+ααx x 的两个不相等实数根，则αtan 的值是

A.

2

1

B.21-

C.2

D.-2

8.若函数()sin(2)()2

f x x π

??=+<

的图像关于直线12

x π

=

对称，且当

12,(,)63

x x ππ

∈-

， 12x x ≠时，12()()f x f x =，则12()f x x +=

A.

12

B.22

C.32

D.1

9.已知圆2

2

:210C x y x +--=，直线:34120l x y -+=，圆C 上任意一点P 到直线l 的距离小于2的概率为

A ．

16B ．13C ．12D ．1

4

10.已知在△ABC 中，AB=1，BC=6，AC=2，点O 为△ABC 的外心，若AO sAB t AC =+u u u r u u u r u u u r

，则有序实数对(s,t )

为 A.43(

,)55 B.34(,)55

C.（45，35）

D.(35，4

5)

第6题图

11.如图，1F 、2F 是双曲线)0>,0>(1=2

2

2

2

b a b y a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ΔABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为

A ．3

B ．4

C ．

3

3

2D ．7 12.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对于任意的实数x ，都有2()'()2f x xf x +<恒成立， 则使得2

2

()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为 A.{}

1x x ≠± B.()(),11,-∞-?+∞ C.()1,1- D.()()1,00,1-?

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上）

13.已知实数x ，y 满足??????

?≥≤≥+-≥+-0

00

30

42y x y x y x ，则目标函数32z y x =-的最大值为 ． 14.已知10

2

202

3552x a x dx ax x ???=- ? ????，则的展开式中有理项的个数为 . 15.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是线段A 1C 1上的动点，则四棱锥P-ABCD 的外接球半径R 的取值范围是 .

16△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，则

B

B B

cos sin 2sin 1++的取值范围 .

三、解答题（本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分） 已知首项为

1

2

的等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项和为n S ，且11S a +，22S a +，33S a +成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若2log n n n b a a =?，数列{}n b 的前n 项和n T ，求满足不等式22n T n ++≥1

16

的最大n 值． 18.（本小题满分12分）

已知三棱柱111C B A ABC -中，∠BCA=90°，AC AA =12==BC ,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D .

（1）求证：11BA AC ⊥；（2）求C B A A --1的余玄值.

19.（本小题满分12分）

某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取50名文科学生， 调查对选做题倾向得下表：

(Ⅰ)从表中三种选题倾向中，选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种，作为选题倾向变量的取值，分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.（只需要做出其中的一种情况） (Ⅱ)按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.

(ⅰ)分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；

(ⅱ)若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求

ξ的分布列及数学期望ξE

.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3，且点2

(2,)在C 上.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线l 经过点(1,0)P ，且与椭圆C 有两个交点A 、B ，是否存在直线l 0：x =x 0（其中x 0>2）， 使得A 、B 到l 0的距离d A 、d B 满足||

||

A B d PA d PB =恒成立？若存在，求x 0的值；若不存在，请说明理由。 21.（本小题满分12分）

已知函数2

()x f x e ax =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值； （3）证明：当0x >时，(1)ln 10x

e e x x x +---≥.

E

C

F

D

B

A

O

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是O e 的直径，C 、F 是O e 上的两点，OC AB ⊥，过点F 作O e 的切线FD 交AB 的延长线于点D ，连接CF 交AB 于点E .

(Ⅰ)求证：2DE BD DA =g ；(Ⅱ)若2,4DB DF ==，试求CE 的长. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8y =，圆C 的参数

方程是2cos 22sin x y ??=??=+?

（φ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标

系.

（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线OM ：θα=（其中02

π

α<<

）与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：

2

π

θα=+

与圆C 交于O 、Q 点，与直线l 交于点N ，求

||||

||||

OP OQ OM ON ?

的最大值. 24.（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数2

2

2

()23f x x a x a =-++

- （1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；

（2）若对于任意非零实数a 以及任意实数x ，不等式2

()f x b x a >--恒成立，求实数b 的取值范围.

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数学（理科）答题卡

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分） 13. .14. .

15. .16. .

三.解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分12分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效

18．（本小题满分12分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效

选做题（本题满分10分，请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22.（选作第22题用图）

23.

24.

、

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数学（理科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

9.解:圆C ：2

2

(1)2x y -+=，圆心(10)，，半径r =3，所以圆上到直线距离小于2的点

构成的弧所对弦的弦心距是1，设此弧所对圆心角为α，则cos

2

α

=

=

π

24

α=，

即π2α=，α所对的弧长为π2=14

=，故选D ． 12.解：令22()()g x x f x x =-，则[]2'()2()'()22()'()2g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-

当0x

>时，'()0g x <，()g x 单调递减，又()f x 是偶函数，

则2222()()()()g x x f x x x f x x g x -=--=-=，即()g x 是偶函数.

不等式2

2()(1)1x

f x f x -<-可变形为22()(1)1x f x x f -<-，即()(1)

g x g <，

所以()(1)g x g <，1x >，解得1x <-或1x >，故选B.

二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 9 .14. 6 .

15. 3

4????

.16.

( . 三、解答题（本大题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分） 已知首项为

1

2

的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若

2log n n n b a a =?，数列{b n }的前n 项和T n ，求满足不等式22n T n ++≥1

16

的最大n 值．

解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ，由题知a 1=1

2

，

又∵S 1+a 1，S 2+a 2，S 3+a 3成等差数列， ∴2(S 2+a 2)=S 1+a 1+S 3+a 3，

∴32 q =12 +q 2

，解得q =1或q=12 ，…………………………………………4分 又由{a n }为递减数列，于是q=12 ，

∴a n =a 11

-n q

=(12

)n ．……………………………………………………6分 （Ⅱ）由于b n =a n log 2a n =-n ?(12

)n

，

∴()211111[1+2++1]2222

n n n T n n -=-??-?+?L （）（）（）， 于是()21

1

111[1++1]2222

n n n T n n +=-?-?+?L （）（）（），

两式相减得：21

11111[()++()]22222n n n T n +=--?L +()111

[1()]122=12

12

n n n +?--+?-()，

∴()12()22

n n T n =+?-． ∴

21()22n n T n +=+≥1

16

，解得n ≤4， ∴n 的最大值为4．…………………………………………………………12分 18.（本小题满分12分）已知三棱柱

111C B A ABC -中，∠BCA=90°，

AC AA =12==BC ,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D .

（I ）求证：11BA AC ⊥；（II ）求C B A A --1的余玄值.

19.（本小题满分12分）

某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取50名文科学生，调查对选做题倾向得下表：

(Ⅰ)从表中三种选题倾向中，选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种，作为选题倾向变量的取值，分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.（只需要做出其中的一种情况）

(Ⅱ)按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.

(ⅰ)分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；

(ⅱ)若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数

E.

学期望ξ

解：（Ⅰ）可直观判断：倾

向“坐标系与参数方程”或

倾向“不等式选讲”，与性

别无关；倾向“坐标系与参

数方程”或倾向“平面几何

选讲”，与性别有关；倾向

“平面几何选讲”或倾向

“不等式选讲”，与性别有

关.

出与性别有关即给1分）…………1分

选择一：

2×2列联表：

…………2分

由上表，可直观判断：

因为2

32(16844) 6.969 6.63520122012

k ??-?=≈>???，…………4分

所以可以有99%以上的把握，认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”.…………

6分

选择二：选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量Y 的值.作出如下2×2列联表：

…………2分

因为2

38(161264)10.8810.82820182216

k ??-?=≈>???，………4分

所以可以有99.9%以上的把握，认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”.

………………6分

（Ⅱ）（ⅰ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20：12＝5：3， 所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3.…7分 （ⅱ）依题意，得3,1,1,3ξ

=--，…8分

33381

(3)56C P C ξ=-==，12533

815(1)56

C C P C ξ=-==， 21533830

(1)56C C P C ξ===，

30533810(3)56

C C P C ξ===.…………10分 故ξ的分布列如下:

所以1

3(1)135********

E ξ=-?+-?+?+?=.…………12分

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且点在C

上.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线l 经过点(1,0)P ，且与椭圆C 有两个交点A 、B ，是否存在直线l 0：x =x 0（其中x 0>2）， 使得A 、B 到l 0的距离d

A 、d

B 满足||

||

A B d PA d PB =

恒成立？若存在，求x 0的值；若不存在，请说明理由。 解：

（Ⅰ）由题意得22222,

122 1.a b c c

a

a b

??

?=+?

?=???

?+=??解得 2.1,a b c ?=?=??=?所以C 的方程为2214x y +=.…….4分 （Ⅱ）存在0x .当0

4x =时符合题意.

当直线l 斜率不存在时，0x 可以为任意值.

设直线l 的方程为(1)y k x =-,点A ,B 满足：22

(1),1.4

y k x x y =-??

?+=??

所以A x ,B x 满足2

224(1)4x

k x +-=,即2222(41)8440k x k x k +-+-=.

所以222222

22

(8)4(41)(44)0,8,4144

.41A B A B k k k k x x k k x x k ?

??=-++>?

?

+=?+?

?-=?+?

………8分 不妨设1A

x >>B x ，

因为||||A B d PB d PA ?-?=

00||1||||1|]A B B A x x x x x x -?---?-

00(1)()2]0A B A B x x x x x x =-+++=

从而2200228(1)8(1)

204141

x k k x k k +--+=++.整理得0280x -=，即04x =.

综上，0

4=x 时符合题意.…….12分

21.（本小题12分） 已知函数

2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+.

（1）求a ，b 的值；

（2）求函数()f x 在[0,1]上的最大值； （3）证明：当0x >时，(1)ln 10x e e x x x +---≥.

解：（1）

'()2x f x e ax =-，由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+，

解得，1a =，2b e =-．…….2分 （2）法1：由（Ⅰ）知，[]2(),'()21210,0,1x x f x e x f x e x x x x x =-∴=-≥+-=-≥∈，

故

()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-．

法2：由（Ⅰ）知，

2(),'()2,''()2x x x f x e x f x e x f x e =-∴=-=-，

'()f x ∴在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，

所以，

'()'(ln 2)22ln 20f x f ≥=->，

所以，

()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-．…….6分

（3）因为

(0)1f =，又由（Ⅱ）知，()f x 过点(1,1)e -，且()y f x =在1x =处的切线方程为(2)1y e x =-+，

故可猜测：当0,1x x >≠时，()f x 的图象恒在切线(2)1y e x =-+的上方． 下证：当0x

>时，()(2)1f x e x ≥-+．

设()

()(2)1,0g x f x e x x =--->，则'()2(2),''()2x x g x e x e g x e =---=-，

由（Ⅱ）知，'()g x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，

又'(0)

30,'(1)0,0ln 21,'(ln 2)0g e g g =->=<<∴<，

所以，存在()00,1x ∈

，使得'()0g x =，

所以，当()()00,1,x x ∈

+∞U 时，'()0g x >；当0(,1)x x ∈，'()0g x <，

故()g x 在

()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增．

又2(0)

(1)0,()(2)10x g g g x e x e x ==∴=----≥，当且仅当1x =时取等号．

故

(2)1

,0x e e x x x x

+--≥>． 由（Ⅱ）知，1x

e

x ≥+，故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，当且仅当1x =时取等号．

所以，

(2)1

ln 1x e e x x x x

+--≥≥+． 即

(2)1

ln 1x e e x x x

+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+， 即(1)ln 0x

e e x x x +--≥成立，当1x =时等号成立．…….12分

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，

AB 是O e 的直径，C 、F 是O e 上的两点，OC AB ⊥，过点F 作

O e 的切线FD 交AB 的延长线于点D ，连接CF 交AB 于点E .

(Ⅰ)求证：2

DE BD DA =g ；

(Ⅱ)若2,4DB

DF ==，试求CE 的长.

解：(Ⅰ)证明：连接OF .

DF Q 切O e 于F ，90OFD ∴∠=?,

90.OFC CFD ∴∠+∠=?

,OC OF OCF OFC =∴∠=∠Q .CO AB ⊥Q 于O ，90OCF CEO ∴∠+∠=?.

,.CFD CEO DEF DF DE ∴∠=∠=∠∴=DF Q 是O e 的切线，2DF DB DA ∴=g . 2.DE DB DA ∴=g ……………5分

(Ⅱ)2,2,4DF DB DA DB DF ===Q

g ,8DA =，从而6AB =,则3OC =.

又由(Ⅰ)可知，4,2,1DE

DF BE OE ==∴==,

从而在Rt COE ?

中，CE =……10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y =8，圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ?

?=??

=+?

（φ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半

轴为极轴建立极坐标系。

（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）射线OM ：θ=α（其中02

a π

<<

）与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：2

π

θα=+

与圆C 交于O 、Q

两点，与直线l 交于点N ，求||||

||||

OP OQ OM ON ?的最大值。

解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ.

圆C 的普通方程分别是2

2(2)4x

y +-=，

所以圆C 的极坐标方程分别是

θ

ρsin 4=.…….5分

（Ⅱ）依题意得，点M P ,的极坐标分别为???==,,sin 4αθαρ和?

??==.,

8sin αθαρ

所以αsin 4||=OP ，α

sin 8

||=

OM

，

从而2

||4sin sin 8||2sin OP OM ααα

==，同理，

2sin ()

||2||2OQ ON π

α+=.

所以||||||||

OP OQ OM ON ?

22

2sin ()

sin sin (2)22216π

ααα+=?=， 故当4

π

α=

时，

||||||||OP OQ OM ON ?

的值最大，该最大值是16

1

.…10分

24.（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数

222

()23f x x a x a

=-++

- （1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；

（2）若对于任意非零实数a 以及任意实数x ，不等式2()f x b x a >--恒成立，求实数b 的取值范围.

【解析】

（1）当1a =时，

32,1(),1134,1x x f x x x x x -??

=-<

≥≤，

所以不等式

()2f x >的解集为4

(,2)(,).3

-∞-+∞U ……5分

（2）2()f x b x a >--Q

,222

222123,2()3x a x b x a x a x b a a

∴-++

->--∴-++->，（7分）

又因为2

222112()32()331x a x a a a -++

-+-=≥≥， 所以1b <，故实数b 的取值范围(,1)-∞.……10分