西北师大附中高三第五次诊断考试
西北师大附中2016届高三第五次诊断考试
数学(理科)
第Ⅰ卷
一.选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在
答题卡上)
1.已知R
是实数集,{21,M x
N y y x ??
=<==????
,则R N C M ?= A.()1,2
B.[]0,2
C.?
D.[]1,2
2.“1m =”是“复数21z m mi =+-为纯虚数”的
A .充分但不必要条件
B .必要但不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 3.在等差数列{}n a 中,已知n S 是其前n 项和,且14812152a a a a a ---+=,则15S = A .30-B .30C .15-D .15 4.给出下列四个命题:
111:(0,),23x
x
p x ????
?∈+∞< ? ?????;21123:(0,1),log log p x x x ?∈>;
311:(0,),23x
x
p x ????
?∈+∞< ? ?????;413
11:(0,),log 32x
p x x ???< ???.
2
21
1侧视图
正视图第5题图
其中真命题是
A.1p ,3p
B.1p ,4p
C.2p ,3p
D.2p ,4p
5.某几何体的三视图如图所示,则其侧面的直角三角形的个数为 A.1B.2C.3D.4
6.已知图象不间断函数()f x 是区间[],a b 上的单调函数,且在区间(,)a b 上 存在零点.下图是用二分法求方程()0f x =近似解的程序框图, 判断框内可以填写的内容有如下四个选择:
①()()0;f a f m <②()()0;f a f m >③()()0;f b f m <④()()0;f b f m > 其中能够正确求出近似解的是
A.②④
B.②③
C.①③
D.①④
7.已知过定点()0,2的直线与抛物线y x =2相交于()()2211,,,y x B y x A 两点,若21,x x 是方程
0cos sin 2=-+ααx x 的两个不相等实数根,则αtan 的值是
A.
2
1
B.21-
C.2
D.-2
8.若函数()sin(2)()2
f x x π
??=+<
的图像关于直线12
x π
=
对称,且当
12,(,)63
x x ππ
∈-
, 12x x ≠时,12()()f x f x =,则12()f x x +=
A.
12
B.22
C.32
D.1
9.已知圆2
2
:210C x y x +--=,直线:34120l x y -+=,圆C 上任意一点P 到直线l 的距离小于2的概率为
A .
16B .13C .12D .1
4
10.已知在△ABC 中,AB=1,BC=6,AC=2,点O 为△ABC 的外心,若AO sAB t AC =+u u u r u u u r u u u r
,则有序实数对(s,t )
为 A.43(
,)55 B.34(,)55
C.(45,35)
D.(35,4
5)
第6题图
11.如图,1F 、2F 是双曲线)0>,0>(1=2
2
2
2
b a b y a x 的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ΔABF 为等边三角形,则双曲线的离心率为
A .3
B .4
C .
3
3
2D .7 12.定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ,若对于任意的实数x ,都有2()'()2f x xf x +<恒成立, 则使得2
2
()(1)1x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为 A.{}
1x x ≠± B.()(),11,-∞-?+∞ C.()1,1- D.()()1,00,1-?
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上)
13.已知实数x ,y 满足??????
?≥≤≥+-≥+-0
00
30
42y x y x y x ,则目标函数32z y x =-的最大值为 . 14.已知10
2
202
3552x a x dx ax x ???=- ? ????,则的展开式中有理项的个数为 . 15.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 是线段A 1C 1上的动点,则四棱锥P-ABCD 的外接球半径R 的取值范围是 .
16△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,依次成等比数列,则
B
B B
cos sin 2sin 1++的取值范围 .
三、解答题(本大题包括6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分) 已知首项为
1
2
的等比数列{}n a 是递减数列,其前n 项和为n S ,且11S a +,22S a +,33S a +成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若2log n n n b a a =?,数列{}n b 的前n 项和n T ,求满足不等式22n T n ++≥1
16
的最大n 值. 18.(本小题满分12分)
已知三棱柱111C B A ABC -中,∠BCA=90°,AC AA =12==BC ,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D .
(1)求证:11BA AC ⊥;(2)求C B A A --1的余玄值.
19.(本小题满分12分)
某校在规划课程设置方案的调研中,随机抽取50名文科学生, 调查对选做题倾向得下表:
(Ⅰ)从表中三种选题倾向中,选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种,作为选题倾向变量的取值,分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.(只需要做出其中的一种情况) (Ⅱ)按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.
(ⅰ)分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数;
(ⅱ)若从这8人中任选3人,记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ,求
ξ的分布列及数学期望ξE
.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>3,且点2
(2,)在C 上.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)直线l 经过点(1,0)P ,且与椭圆C 有两个交点A 、B ,是否存在直线l 0:x =x 0(其中x 0>2), 使得A 、B 到l 0的距离d A 、d B 满足||
||
A B d PA d PB =恒成立?若存在,求x 0的值;若不存在,请说明理由。 21.(本小题满分12分)
已知函数2
()x f x e ax =-,曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+. (1)求a ,b 的值;(2)求函数()f x 在[0,1]上的最大值; (3)证明:当0x >时,(1)ln 10x
e e x x x +---≥.
E
C
F
D
B
A
O
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB 是O e 的直径,C 、F 是O e 上的两点,OC AB ⊥,过点F 作O e 的切线FD 交AB 的延长线于点D ,连接CF 交AB 于点E .
(Ⅰ)求证:2DE BD DA =g ;(Ⅱ)若2,4DB DF ==,试求CE 的长. 23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是8y =,圆C 的参数
方程是2cos 22sin x y ??=??=+?
(φ为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标
系.
(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程; (2)射线OM :θα=(其中02
π
α<<
)与圆C 交于O 、P 两点,与直线l 交于点M ,射线ON :
2
π
θα=+
与圆C 交于O 、Q 点,与直线l 交于点N ,求
||||
||||
OP OQ OM ON ?
的最大值. 24.(10分)选修4—5不等式选讲 已知函数2
2
2
()23f x x a x a =-++
- (1)当1a =时,求不等式()2f x >的解集;
(2)若对于任意非零实数a 以及任意实数x ,不等式2
()f x b x a >--恒成立,求实数b 的取值范围.
西北师大附中2016届高三第五次诊断考试
数学(理科)答题卡
一、选择题(每小题5分,共60分)
二、填空题(每小题5分,共20分) 13. .14. .
15. .16. .
三.解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效
18.(本小题满分12分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效
选做题(本题满分10分,请考生在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分)
22.(选作第22题用图)
23.
24.
、
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数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
9.解:圆C :2
2
(1)2x y -+=,圆心(10),,半径r =3,所以圆上到直线距离小于2的点
构成的弧所对弦的弦心距是1,设此弧所对圆心角为α,则cos
2
α
=
=
π
24
α=,
即π2α=,α所对的弧长为π2=14
=,故选D . 12.解:令22()()g x x f x x =-,则[]2'()2()'()22()'()2g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-
当0x
>时,'()0g x <,()g x 单调递减,又()f x 是偶函数,
则2222()()()()g x x f x x x f x x g x -=--=-=,即()g x 是偶函数.
不等式2
2()(1)1x
f x f x -<-可变形为22()(1)1x f x x f -<-,即()(1)
g x g <,
所以()(1)g x g <,1x >,解得1x <-或1x >,故选B.
二、填空题(每小题5分,共20分) 13. 9 .14. 6 .
15. 3
4????
.16.
( . 三、解答题(本大题包括6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分) 已知首项为
1
2
的等比数列{a n }是递减数列,其前n 项和为S n ,且S 1+a 1,S 2+a 2,S 3+a 3成等差数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若
2log n n n b a a =?,数列{b n }的前n 项和T n ,求满足不等式22n T n ++≥1
16
的最大n 值.
解:(I )设等比数列{a n }的公比为q ,由题知a 1=1
2
,
又∵S 1+a 1,S 2+a 2,S 3+a 3成等差数列, ∴2(S 2+a 2)=S 1+a 1+S 3+a 3,
∴32 q =12 +q 2
,解得q =1或q=12 ,…………………………………………4分 又由{a n }为递减数列,于是q=12 ,
∴a n =a 11
-n q
=(12
)n .……………………………………………………6分 (Ⅱ)由于b n =a n log 2a n =-n ?(12
)n
,
∴()211111[1+2++1]2222
n n n T n n -=-??-?+?L ()()(), 于是()21
1
111[1++1]2222
n n n T n n +=-?-?+?L ()()(),
两式相减得:21
11111[()++()]22222n n n T n +=--?L +()111
[1()]122=12
12
n n n +?--+?-(),
∴()12()22
n n T n =+?-. ∴
21()22n n T n +=+≥1
16
,解得n ≤4, ∴n 的最大值为4.…………………………………………………………12分 18.(本小题满分12分)已知三棱柱
111C B A ABC -中,∠BCA=90°,
AC AA =12==BC ,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D .
(I )求证:11BA AC ⊥;(II )求C B A A --1的余玄值.
19.(本小题满分12分)
某校在规划课程设置方案的调研中,随机抽取50名文科学生,调查对选做题倾向得下表:
(Ⅰ)从表中三种选题倾向中,选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种,作为选题倾向变量的取值,分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.(只需要做出其中的一种情况)
(Ⅱ)按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.
(ⅰ)分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数;
(ⅱ)若从这8人中任选3人,记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ,求ξ的分布列及数
E.
学期望ξ
解:(Ⅰ)可直观判断:倾
向“坐标系与参数方程”或
倾向“不等式选讲”,与性
别无关;倾向“坐标系与参
数方程”或倾向“平面几何
选讲”,与性别有关;倾向
“平面几何选讲”或倾向
“不等式选讲”,与性别有
关.
出与性别有关即给1分)…………1分
选择一:
2×2列联表:
…………2分
由上表,可直观判断:
因为2
32(16844) 6.969 6.63520122012
k ??-?=≈>???,…………4分
所以可以有99%以上的把握,认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”.…………
6分
选择二:选择倾向“平面几何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量Y 的值.作出如下2×2列联表:
…………2分
因为2
38(161264)10.8810.82820182216
k ??-?=≈>???,………4分
所以可以有99.9%以上的把握,认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’这两种选题倾向与性别有关”.
………………6分
(Ⅱ)(ⅰ)倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20:12=5:3, 所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5,倾向“坐标系与参数方程”的人数为3.…7分 (ⅱ)依题意,得3,1,1,3ξ
=--,…8分
33381
(3)56C P C ξ=-==,12533
815(1)56
C C P C ξ=-==, 21533830
(1)56C C P C ξ===,
30533810(3)56
C C P C ξ===.…………10分 故ξ的分布列如下:
所以1
3(1)135********
E ξ=-?+-?+?+?=.…………12分
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>,且点在C
上.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)直线l 经过点(1,0)P ,且与椭圆C 有两个交点A 、B ,是否存在直线l 0:x =x 0(其中x 0>2), 使得A 、B 到l 0的距离d
A 、d
B 满足||
||
A B d PA d PB =
恒成立?若存在,求x 0的值;若不存在,请说明理由。 解:
(Ⅰ)由题意得22222,
122 1.a b c c
a
a b
??
?=+?
?=???
?+=??解得 2.1,a b c ?=?=??=?所以C 的方程为2214x y +=.…….4分 (Ⅱ)存在0x .当0
4x =时符合题意.
当直线l 斜率不存在时,0x 可以为任意值.
设直线l 的方程为(1)y k x =-,点A ,B 满足:22
(1),1.4
y k x x y =-??
?+=??
所以A x ,B x 满足2
224(1)4x
k x +-=,即2222(41)8440k x k x k +-+-=.
所以222222
22
(8)4(41)(44)0,8,4144
.41A B A B k k k k x x k k x x k ?
??=-++>?
?
+=?+?
?-=?+?
………8分 不妨设1A
x >>B x ,
因为||||A B d PB d PA ?-?=
00||1||||1|]A B B A x x x x x x -?---?-
00(1)()2]0A B A B x x x x x x =-+++=
从而2200228(1)8(1)
204141
x k k x k k +--+=++.整理得0280x -=,即04x =.
综上,0
4=x 时符合题意.…….12分
21.(本小题12分) 已知函数
2()x f x e ax =-,曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+.
(1)求a ,b 的值;
(2)求函数()f x 在[0,1]上的最大值; (3)证明:当0x >时,(1)ln 10x e e x x x +---≥.
解:(1)
'()2x f x e ax =-,由题设得,'(1)2f e a b =-=,(1)1f e a b =-=+,
解得,1a =,2b e =-.…….2分 (2)法1:由(Ⅰ)知,[]2(),'()21210,0,1x x f x e x f x e x x x x x =-∴=-≥+-=-≥∈,
故
()f x 在[]0,1上单调递增,所以,max ()(1)1f x f e ==-.
法2:由(Ⅰ)知,
2(),'()2,''()2x x x f x e x f x e x f x e =-∴=-=-,
'()f x ∴在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增,
所以,
'()'(ln 2)22ln 20f x f ≥=->,
所以,
()f x 在[]0,1上单调递增,所以,max ()(1)1f x f e ==-.…….6分
(3)因为
(0)1f =,又由(Ⅱ)知,()f x 过点(1,1)e -,且()y f x =在1x =处的切线方程为(2)1y e x =-+,
故可猜测:当0,1x x >≠时,()f x 的图象恒在切线(2)1y e x =-+的上方. 下证:当0x
>时,()(2)1f x e x ≥-+.
设()
()(2)1,0g x f x e x x =--->,则'()2(2),''()2x x g x e x e g x e =---=-,
由(Ⅱ)知,'()g x 在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增,
又'(0)
30,'(1)0,0ln 21,'(ln 2)0g e g g =->=<<∴<,
所以,存在()00,1x ∈
,使得'()0g x =,
所以,当()()00,1,x x ∈
+∞U 时,'()0g x >;当0(,1)x x ∈,'()0g x <,
故()g x 在
()00,x 上单调递增,在()0,1x 上单调递减,在()1,+∞上单调递增.
又2(0)
(1)0,()(2)10x g g g x e x e x ==∴=----≥,当且仅当1x =时取等号.
故
(2)1
,0x e e x x x x
+--≥>. 由(Ⅱ)知,1x
e
x ≥+,故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥,当且仅当1x =时取等号.
所以,
(2)1
ln 1x e e x x x x
+--≥≥+. 即
(2)1
ln 1x e e x x x
+--≥+.所以,(2)1ln x e e x x x x +--≥+, 即(1)ln 0x
e e x x x +--≥成立,当1x =时等号成立.…….12分
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,
AB 是O e 的直径,C 、F 是O e 上的两点,OC AB ⊥,过点F 作
O e 的切线FD 交AB 的延长线于点D ,连接CF 交AB 于点E .
(Ⅰ)求证:2
DE BD DA =g ;
(Ⅱ)若2,4DB
DF ==,试求CE 的长.
解:(Ⅰ)证明:连接OF .
DF Q 切O e 于F ,90OFD ∴∠=?,
90.OFC CFD ∴∠+∠=?
,OC OF OCF OFC =∴∠=∠Q .CO AB ⊥Q 于O ,90OCF CEO ∴∠+∠=?.
,.CFD CEO DEF DF DE ∴∠=∠=∠∴=DF Q 是O e 的切线,2DF DB DA ∴=g . 2.DE DB DA ∴=g ……………5分
(Ⅱ)2,2,4DF DB DA DB DF ===Q
g ,8DA =,从而6AB =,则3OC =.
又由(Ⅰ)可知,4,2,1DE
DF BE OE ==∴==,
从而在Rt COE ?
中,CE =……10分
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是y =8,圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ?
?=??
=+?
(φ为参数).以O 为极点,x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系。
(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程; (2)射线OM :θ=α(其中02
a π
<<
)与圆C 交于O 、P 两点,与直线l 交于点M ,射线ON :2
π
θα=+
与圆C 交于O 、Q
两点,与直线l 交于点N ,求||||
||||
OP OQ OM ON ?的最大值。
解:(Ⅰ)直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ.
圆C 的普通方程分别是2
2(2)4x
y +-=,
所以圆C 的极坐标方程分别是
θ
ρsin 4=.…….5分
(Ⅱ)依题意得,点M P ,的极坐标分别为???==,,sin 4αθαρ和?
??==.,
8sin αθαρ
所以αsin 4||=OP ,α
sin 8
||=
OM
,
从而2
||4sin sin 8||2sin OP OM ααα
==,同理,
2sin ()
||2||2OQ ON π
α+=.
所以||||||||
OP OQ OM ON ?
22
2sin ()
sin sin (2)22216π
ααα+=?=, 故当4
π
α=
时,
||||||||OP OQ OM ON ?
的值最大,该最大值是16
1
.…10分
24.(10分)选修4—5不等式选讲 已知函数
222
()23f x x a x a
=-++
- (1)当1a =时,求不等式()2f x >的解集;
(2)若对于任意非零实数a 以及任意实数x ,不等式2()f x b x a >--恒成立,求实数b 的取值范围.
【解析】
(1)当1a =时,
32,1(),1134,1x x f x x x x x -??
=-<?---?
≥≤,
所以不等式
()2f x >的解集为4
(,2)(,).3
-∞-+∞U ……5分
(2)2()f x b x a >--Q
,222
222123,2()3x a x b x a x a x b a a
∴-++
->--∴-++->,(7分)
又因为2
222112()32()331x a x a a a -++
-+-=≥≥, 所以1b <,故实数b 的取值范围(,1)-∞.……10分