高二数学寒假必做大题100道

高二数学寒假必做大题100道

1．在

ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，不等式

23

c o s 2s i n 02

x C x C ++≥对一切实数x 恒成立.

(1)求cos C 的取值范围；

(2)当C ∠取最大值，且ABC 的周长为9时，求ABC 面积的最大值，并指出面积取最大值时ABC 的形状.

2．已知向量()c o s 2,m x a =，

()

,2n a x

=+，且函数

()5(,0)

f x m n a R a =

?-∈>. （Ⅰ）当函数()f x 在0,

2π??

????

上的最大值为3时，求a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =， (),x t t b ∈+的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]

0,b 上的单调递减区间.

3．设函数()()

()2

2

sin cos f x x x x x R =--∈.

（1）求()f x 的单调递增区间；

（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移

3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求3g π??

- ???

的值. 4．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， (

)

3,m a b =， ()cos ,sin n B A =.

（1）若?3m n c =，求角A ；

（2）若向量m 与向量()1,1g =共线， 2c =，且ABC ?a 的值.

5．在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =， 2sin B A =． （Ⅰ）求cos B 的值；

（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．

6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 面积为，

5b c -=， 1cos 4

A =-

. (1)求a 的值；

(2)求cos 26A π??

-

??

?

的值. 7．已知,A B 是直线0y =与函数()22cos cos 1(0)23x

f x x ωπωω?

?=++-> ???

图象的两个相邻交点，且2

AB π

=.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）在锐角ABC ?中， ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()3

,3,2

f A c A B C =-

=?

的面积为a 的值. 8．已知向量(

)

()23sin ,cos ,cos ,1,(0)m tx tx n tx t =

-=> ，把函数()12

f x m n =?+

化简为()()sin f x A x B ωφ=++的形式后，利用“五点法”画()y f x =在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：

（1）请直接写出

处应填的值，并求的值及函数()y f x =在区间ππ,26??

-

???

? 上的单增区间、单减区间；

（2）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知

π

1,2,26A f c a ??

+=== ???

求BA BC ? 9．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足c o s 2c o s 2

A

B - 2cos cos 66A A ππ????

=-+ ? ?????．

（Ⅰ）求角B 的值；

（Ⅱ）若b =b a ≤，求

的取值范围．

10．已知向量(

)

()3sin ,sin ,cos ,sin m x x n x x =

=．

（Ⅰ）若//m n 且0,2x π??

∈????

，求角x ；

（Ⅱ）若()f x m n =?，求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．

11．设ABC ?中的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知11,2,cos 4

a b C ===

． （Ⅰ）求ABC ?的周长； （Ⅱ）求()cos A C -．

12．已知函数()442sin cos f x x x x x =+. （1）当0,

2x π??

∈????

时，求()f x 的最大值、最小值以及取得最值时的x 值； （2）设()32cos 2(0)6g x m m x m π?

?

=-+-

> ??

?，若对于任意10,4x π??

∈????

，都存在20,4x π??

∈????

，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围.

13．已知函数的最大值为2.

（Ⅰ）求函数在上的单调递减区间； （Ⅱ）

中，角

，

，

所对的边分别是，，，且

，

，若

，求的面积.

14．在ABC 中，角A ， B ， C 所对应的边分别为a ， b ， c ， cos a b b C -=.

（1）求证： sin tan C B =；

（2）若1a =， C 为锐角，求c 的取值范围.

15．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足1

cos 2

b C

c a +=. (1)求ABC 的内角B 的大小；

(2)若ABC 的面积2

S =

，试判断ABC 的形状.

16．已知函数()cos 2cos 3f x x x x π??

=-

- ??

?

. （1）求()f x 的最小值正周期、最大值及取得最大值时x 的值； （2）讨论()f x 在区间[]

0,π上的单调性.

17．已知()()sin f x A x ω?=+（0A >， 0ω>， 2

π

?<）的图象的一个对称中

心及其相邻的最高点的坐标为()0,0x 和0,22x π

??

+

??

?

.若将函数()f x 的图象向左平移

3

π

个单位后所得的图象关于原点对称. （1）求函数()f x 的解析式；

（2）若函数()()1g x f kx =+（0k >）的最小正周期为

23π，且当0,3x π??

∈????

时方程()g x m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.

18．在ABC ?中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且sin cos b A B . （1）求角B 的大小；

（2）若3b =， sin 2sin C A =，求a c 、的值及ABC ?的面积

19．已知函数()2

2sin 2sin cos f x a x x x a =+-，（

a 为常数）的图象过点(0,.

（1）求函数()f x 的值域；

（2）若将函数()y f x =的图象向右平移1

2

m 个单位后（作长度最短的平移），其图象关于y 轴对称，求出m 的值.

20．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2

2

2

sin .B a b c =+- （1）求角C 的大小；

（2）若()sin cos ,b A a B π-=且b =

ABC ?的面积；

21．已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足

()()22

2c o s c o s s i n s i n s i n ,s i n c o

s .

B C A A B A B A B --

=-

-=+ （1）求角,,A B C ；

（2）若a =

ABC 的边长b 的值及三角形ABC 的面积.

22．已知()

()2cos ,1,cos ,m x x n x y =+=-，且m n ⊥. （I ）将y 表示为x 的函数，若记此函数为

，求

的单调递增区间；

（Ⅱ）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 对应的边长，若32A f ??

=

???

，且2,4a b c =+=，求ABC 的面积.

23．已知函数，.

（Ⅰ）若，有两个不同的根，求

的取值范围；

（Ⅱ）已知的内角、、的对边分别为、、，若

，，

且

、

、

成等差数列，求

的面积.

24．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量

()()c o s 2c o s ,2,

c o s ,

m A C c a

n B b =--=

平行

. （1）求

sin sin C

A

的值； （2）若cos cos 1,b C c B ABC +=?周长为5，求b 的长. 25．在

ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，

且

(

)c o s 23c o s

C b c

A =

. （1）求角A 的大小；

（2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1sin 1a A =，且2a ， 4a ， 8a 成等比数列，求14n n a a +?

?

????

的前n 项和n S .

26

．

在

ABC

?中，角,,A B C 所对的边分别

为

sin sin sin a,b,c.sin a A b B c C C a B +-=且满足

.

（1）求角C ；

（2）若ABC ?的中线CD 的长为1，求ABC ?的面积的最大值. 27．已知函数(

)2

26sin cos 2cos 1,4f x x x x x x R π??

=++-+∈ ??

?

． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间0,

2π??

????

上的最大值和最小值． 28．已知函数(

)22cos f x x x m =++在0,2x π??

∈????

上的最大值是6. （1）求m 的值以及函数()f x 的单调增区间；

（2）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， ()5,4,f A a ==且ABC ?的面

b c + 的值.