(完整版)高二抛物线基础测试题
高二抛物线基础测试题
一、 选择题：
1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是( )
A ．y 2＝20x
B ．x 2
＝20y
C ．y 2＝120x
D ．x 2
＝120
y
2．抛物线y ＝－x 2
的焦点坐标为( )
A.? ????0，14
B.?
????0，－14 C.? ????14，0 D.? ??
??－14，0
3．抛物线y ＝ax 2
的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( )
A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8
4．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2
－6x －7＝0相切，则p 的值为( )
A.12 B ．1 C ．2 D ．4
5．(2010年高考湖南卷)设抛物线y 2
＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
6．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )
A ．y 2＝－16x
B ．y 2
＝－32x
C ．y 2＝16x
D ．y 2
＝16x 或y ＝0(x <0)
7．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2
＝－8x
C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x
D ．x 2＝8y 或x 2
＝－8y
8．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )
A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|
B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2
C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|
D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2
9．抛物线y 2
＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( )
A.15 B ．215
C.152
D ．15.
10．以抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为( )
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．不确定
11．过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB ，抛物线的准线交x 轴于点M ，则∠AMB 是( )
A ．锐角
B ．直角
C．钝角D．锐角或钝角
12．(2010年高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
二．填空题
13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
14．抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________．
15．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________. 16．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
18．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．19．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．
高二抛物线基础测试题参考答案
一.选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
B
B
C
B
C
C
C
A
C
B
B
1．解析：选B.由p
2
＝5得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故x 2
＝20y .
2．解析：选B.x 2
＝－y ，∴2p ＝1，p ＝12，∴焦点坐标为? ????0，－14.
3．解析：选B.由y ＝ax 2，得x 2
＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.
4．解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p
2
.
由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2
＝16.
∵准线与圆相切，∴3＋p
2
＝4，∴p ＝2.
5解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.
6．解析：选C.∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，
开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2
＝16x . 7．解析：选C.通径2p ＝8且焦点在x 轴上，故选C. 8．解析：选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p
2
，
|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p
2
，
∴|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|，故选C.
9．解析：选A.令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
由?
????
y ＝2x ＋1y 2
＝12x 得4x 2
－8x ＋1＝0，
∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14
，
∴|AB |＝1＋22
x 1－x 22
＝5[x 1＋x 22
－4x 1x 2]＝15.
10． 解析：选C.|PF |＝x P ＋p 2，∴|PF |2＝x P 2＋p
4
，即为PF 的中点到y 轴的距离．故该圆与y 轴相切．
11． 解析：选B.由题意可得|AB |＝2p .
又焦点到准线距离|FM |＝p ，F 为AB 中点，
∴|FM |＝1
2
|AB |，
∴△AMB 为直角三角形且∠AMB ＝90°.
12．解析：选B.∵y 2
＝2px (p >0)的焦点坐标为? ??
??p
2，0，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p
2
，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2
－2py
－p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22
＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2
＝4x ，其准线方程
为x ＝－1. 二． 填空题
13解析：由?????
x －y －1＝0y ＝ax
2
，得ax 2
－x ＋1＝0， 由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 答案：1
4
14．
解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，∴x 0＝4， ∴y 2
0＝16，∴y 0＝±4. 答案：(4，±4) 15．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|FA |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.
又?
????
y 2＝4x 2x ＋y －4＝0?x 2－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7. 答案：7 16．
解析：焦点在x 轴正半轴上时，设方程为y 2
＝2px (p >0)代入点(32，12)得p ＝312
，
焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2
＝－2px (p >0)，
∴p ＝－3
12
.
综上，所求方程为y 2
＝±36
x . 答案：y 2
＝±
36
x 三、解答题
17．若抛物线y 2
＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．
解：由抛物线定义知焦点为F (－p 2，0)，准线为x ＝p
2
，
由题意设M 到准线的距离为|MN |， 则|MN |＝|MF |＝10，
即p
2
－(－9)＝10， ∴p ＝2.
故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2
＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．
18．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．
解：设所求抛物线的标准方程为： y 2＝ax (a ≠0)，A (m ，－3)．
则由抛物线的定义得5＝|AF |＝|m ＋a
4
|，
又(－3)2
＝am .
所以，a ＝±2或a ＝±18.
故所求抛物线的方程为y 2＝±2x 或y 2
＝±18x .
19．已知抛物线y 2
＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．
(1)求证：OA ⊥OB ；
(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．
解：(1)证明：联立?
????
y 2＝－x
y ＝k x ＋1，
消去x ，得ky 2
＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－1k
，y 1·y 2＝－1.
因为y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，所以(y 1·y 2)2
＝x 1·x 2，所以x 1·x 2＝1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，所以OA ⊥OB .
(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1,0)，
所以S △AOB ＝1
2
|ON |·|y 1－y 2|
＝1
2×|ON |×y 1＋y 22－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k 2
＋4＝10， 解得k 2
＝136，所以k ＝±16
.