数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学号
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
学院名称：数学与信息科学学院
专业名称：数学与应用数学
年级班别：
姓名：
指导教师：
2012年5月
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。
关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.
Several series and Function of series and the judgment of their
convergence
Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method.
Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method
前 言
在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。
1 正项级数及其收敛性
一系列无穷多个数123,,,,,
n u u u u 写成和式
123n u u u u +++
+
就称为无穷级数，记为1
n n u ∞
=∑。如果()0,1,2,3,
n u n ≥=，那么无穷级数1
n n u ∞
=∑,就称为正项
级数。
若级数1
n n u ∞
=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即
1
lim lim ,
n
n k n n k S u S →∞
→∞
===∑
则称级数1n n u ∞
=∑收敛，记为
1
,
n
n u
S ∞
==∑
并称此值S 为级数的和数。若部分和数列n S 发散，则称级数1
n n u ∞
=∑发散。当级数收敛时，
又称
1231
n n k
n n n k n r S S u
u u u ∞
+++=+=-=
=+++
∑
为级数的余和。 1.1 几种不同的判别法
1.11 正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，有 例1 =112(1+)(1+)(1+) n n n a a a a ∞ ∑ … 分析：本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断。 所以级数收敛. 定理1.12 柯西收敛原理[1] 级数1n n u ∞ =∑收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε，总存在N ，使得当n N >时，对于任 意的正整数1,2,3,p =，都成立的 12. n n n p u u u ε++++++< 对于正项级数1 n n u ∞ =∑，由于0n u >，因此，只要12n n n p u u u ε+++++ +<即 定理1.13 比较判别法 设1 n n u ∞ =∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N 都有n n u v ≤，那么 （1）若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞ =∑也收敛； （2）若级数1 n n u ∞ =∑发散，则级数1 n n v ∞ =∑也发散； 即1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散；。 比较判别法的极限形式 ： 设1 n n u ∞ =∑和1 n n v ∞ =∑是两个正项级数。若lim n n n u v →∞=l ，则 （1）当0 （2）当l =0且级数n 收敛时， n 也收敛； （3）当且n 发散时， n 也发散。 例2 1!2!+n (2)! n u n ++= …！ 分析：本题无法使用根式判别法和比式判别法，因此选择比较判别法进行判断 所以级数收敛 定理1.14 比式判别法 n +1 0i=1(1)n>N ,,n n n u q u u ≤∑若对一切成立不等式则级数收敛 n +1 0i=1 (2)n>N ,1,n n n u u u ≥∑若对一切成立不等式则级数发散 比式判别法的极限形式： 若1n n u ∞ =∑为正项级数，则 例 3 [3] (1) 12(1)1n 211 lim lim 22lim lim 20n n n n n n n n n u u ---→∞→∞-+-+→∞→∞ ===∑级数收敛不可使用比式判别法 无法判断敛散性因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于时，我们可以选用比式判别法或根式判别法。 定理1.14 根式判别法 根式判别法的极限形式： 设 是正项级数，且n l ，则 （1）当l <1时，级数1 n n u ∞ =∑收敛； （2）当l >1时，级数1 n n u ∞ =∑发散。 定理1.15 积分判别法 设()f x 为[1,)∞上非负递减函数，那么正项级数()f n ∑与反常积分1 ()f x dx +∞ ?同时收敛或 同时发散。 定理1.16 拉贝判别法 设1n n u ∞ =∑是正项级数，且存在自然数0N 及常数r ， 拉贝判别法的极限形式： （1）当 r 时，级数1n n u ∞ =∑收敛； （2）当时，级数1 n n u ∞=∑发散。 （3）当 时，拉贝判别法无法判断 定理1.17 阿贝尔判别法 若数列0n a >，0n b >，且{}n a 为单调有界数列，级数1 n n b ∞ =∑收敛，则级数1 n n n a b ∞ =∑收敛。 例4 ]4] 113135224246p p p ?????????+++ ? ? ?????????? 分析：本题中的通项 (21)!! (2)!!n n u n -= 含有阶层，但不能使用根式判别法和比式判别法进行判 定，因此选用拉贝尔判别法。 12221p n n u n u n ++??= ?+?? 12,. 2p p ∴>>当，即级数收敛1221111()12121lim 1lim lim 11p p n n n n n n u n n n n u n n ο→∞→∞→∞++??-++- ???+??+-== ??? = 2 p 定理1.18 狄利克雷判别法 若数列0n a >，0n b >，且数列{}n a 单调递减，lim 0n n a →∞ =，又级数1 n n b ∞ =∑的部分和数列有界， 则级数1 n n n a b ∞ =∑收敛。 例5 sin(∑ [5] . 分析：本题型如sin()n u ∑，n u 为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。 因此，级数收敛 定理1.19 伯尔特昂（Bertrand ）判别法 设1n n u ∞ =∑是正项级数，且 ，若lim n n B B →∞ =，则 （1）当B>1时，级数1n n u ∞ =∑收敛； （2）当B<1时，级数1 n n u ∞ =∑发散。 定理2.20 对数判别法 1.2级数收敛的新方法——导数判定法 我们知道,若任意项无穷级数 12n a a a ++++ (1) 的每一项的绝对值所成的正项级数 12||||||n a a a ++++ (2) 的收敛的，则称原级数（1）绝对收敛。 对于任意项级数（1）是否绝对收敛，可以利用正项级数的诸种判别法来对（2）进行考察.例如可以应用比较法及其极限形式，比值判别法以及根值判别法等等.本人试图提供一种新的任意项级数绝对收敛的判别法即导数判别法，它给出了任意项级数绝对收敛的一个充分必要条件，这个判别法对于判别某些任意级数是否绝对收敛非常方便。 1.21 导数判别法定理及推论 定理(导数判别法)设1 n n u ∞ =∑为实数项的任意项级.令f(x)是一个是函数，对所有的正整数n 使得()n b f a a n +=,22(,b 0d y a b dx ≠为常数且）且在n 1 n x a a ∞ ==∑出存在，那么级数绝对收敛的充 分必要条件是'()()0f a f a ==. 证明:此判别法的证明依赖于罗必塔法则和比较判别法原则 因为由定理 的假设条件知在x a =处2 2d y dx 存在，所以在x a =的某个领域内是可导的(显然 ' ()f x 在x=a 处也连续)。 又由假设条件知对所有的正整数n ，f(x)必须满足11 ().n n n b a f a n ∞∞ ===+∑∑ 先证必要性： 设任意级数1n n a ∞ =∑是绝对收敛的，则由()f x 在x=a 处连续知， lim lim ()lim ()() n n n x n b a f a f n f a n →∞→∞→=+==， 从而()0f a =。再假设'()0f a k =≠，由洛比达法则得， 从而就证明了' ()()f a f a ==0是任意项级数1n n a ∞ =∑绝对收敛，则必有'()f a 0≠. 从而就证明了'0 () lim lim ()(0)x a x f x f a k x a →→==≠- 既有：|| lim ||(0)||n n a k b n →∞=≠ 因为调和级数1|| n b n ∞ =∑(0)b ≠也是发散的，因此油比较判别法的极限形式知级数1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则必有' ()0f a =，从而就证明了' ()()0f a f a ==是任意级数1 n n a ∞ =∑绝对收敛的必要条 件。 再证充分性： 假设'()()0,01f a f a p ==<<令并讨论下列极限： ''11()1()()lim lim ()()1p p x a x a f x f x f a x a x a p x a ++-+→→-=?--+- =''11()()lim lim()01p n a x a f x f a x a p x a ++-→→-??-=+- 从而1|| lim 0||()n n p a b n →∞+=. 证明完毕，特殊的，在定理中a=0，b=1时有： 推 论 设1 n n a ∞ =∑为是实数项的任意项级数，令()f x 为一实函数，对所有的正整数n 使得 1()n f a n =，且22d y dx 在x=0处存在，那么任意项级数1 n n a ∞ =∑绝对收敛的充分必要条件是'()()0f a f a == 1.22特殊例子 例6判断下列级数是否绝对收敛[6] . 2 13ln(2)n n n ∞ =+∑ 解：（1）令22 3 ln(2) 13(=2)ln ,(2)9n n f x x x f a n n +-+==）（从而，因为 2'(2)ln 29f =,(2)'(2)0f f ==.由导数判别法知级数2 1 3 ln(2) n n n ∞ =+∑是绝对收敛的。 2.1函数项级数定义 定义 设(){}n u x 是定义在数集E 上的一个函数列表达式: ()()()12......n u x u x u x ++++ x E ∈ (1) 称为定义在E 上的函数项级数,简称为函数级数.记作为1 ()n n u x ∞ =∑或()n u x ∑. 1 ()()n n k k S x u x ==∑称为函数项级数(1)的部分和函数列. 若x E ∈函数项级数: ()()12...n u x u x u ++++…… (2) 收敛,即部分和001 ()()n n k k S x u x ==∑, 当n →∞时,极限存在,则称级数(1)在点0x 收敛,0x 称为收敛点. 级数(1)在D 上的每一点x 与其所对应的数项级数(2)的和()S x 构成一个定义在D 上的函数称为级数（1）的和函数，即lim ()()n n S x S x →∞ =. 判别法1 (函数项级数一致收敛的定义) 设函数级数()1n n u x ∞ =∑在区间D 收敛于和函数()S x ，若0,,,N N n N x D ε+?>?∈?>?∈有: ()()()n n S x S x R x ε-=< 则称函数级数()1 n n u x ∞ =∑在区间D 上一致收敛或一致收于和函数 () S x . 定理2.11 确界判别法 函数项级数()1n n u x ∞ =∑在数集D 上一致收敛于()S x 充要条件： limsup ()limsup ()()0 n n n n x D x D R x S x S x →∞→∞∈∈=-=. 证明 (?) 已知函数项级数 () 1 n n u x ∞ =∑在区间D 一致收敛于()S x .即 0,,,N N n N x D ε+?>?∈?>?∈有: ()()'n S x S x ε-<. 从而()()'sup n x D S x S x ε∈-≤,即''limsup ()()0n n x D S x S x →∞∈-=. (?)已''limsup ()()0n n x D S x S x →∞∈-=即0,,,N N n N x D ε+?>?∈?>?∈有()()'sup n x D S x S x ε∈-≤. 从而x D ?∈有()()' ' n S x S x ε-<.即函数项级数()1 n n u x ∞ =∑在区间D 上一致收敛于()'S x . 定理2.12 柯西一致收敛准则 函数级数()1n n u x ∞ =∑在区间I 一致收敛 0,,,,N N n N p N x I ε++??>?∈?>?∈?∈有： ()()()12...n n n p u x u x u x ε++++++<. 证明 必要性()?已知函数级数1 ()n n u x ∞ =∑在区间I 一致收敛. 设其和函数是'()S x ，即0,,,, N N n N p N x I ε++?>?∈?>?∈?∈有()()''n S x S x ε-<也有()()''n p S x S x ε+-<.于是 ()()()() 12()n n n p n p n u x u x u x S x S x ++++++ +=- ()()()() n p n S x S x S x S x +=-+- ()()()()2n p n S x S x S x S x εεε +≤-+-<+=. 充分性()?：已知0,,,,N N n N p N x I ε++?>?∈?>?∈?∈，有: ()()()()12()n n n p n p n u x u x u x S x S x ε +++++++=- 所以当P →+∞时上述不等式有: ()()()n n S x S x R x ε -=≤ 即函数项级数1 ()n n u x ∞ =∑在区间I 一致收敛. 例7 讨论函数项级数111n n n x x n n +∞ =??- ? +??∑在区间[]1,1-的一致收敛性[7]. 解 应用柯西一致收敛准则 []1,1x ?∈-即1,0x ε≤?>，要使不等式 ()()12231223n n n n n p n x x x x S x S x n n n n +++++???? -=-+- ? ? ++++???? 11n p n p x x n p n p ++-?? ++- ? ++-??L 1 1 11 1212n n p n n p x x x x n n n n ++++++=-≤+++++ 112 111n n p n ε≤ +<<++++ 成立，从不等式 21n ε<+解得21n ε>-取21N ε?? =-????于是0,ε?>21,N ε?? ?=-???? [],,1,1n N p N x +?>?∈?∈-，有()() n p n S x S x ε+-<，即函数级数111n n n x x n n +∞ =?? - ?+??∑在区间 [-1，1]一致收敛. 所以函数级数111n n n x x n n +∞ =?? - ?+?? ∑在区间[]1,1-一致收敛. 定理2.13 M 判别法 有函数项级数1 ()n n u x ∞ =∑，I 是区间，若存在收敛的正项级数1 ,,n n a n N ∞ +=?∈∑ x I ?∈，有 ()n n u x a ≤，则函数级数()1 n n u x ∞ =∑在区间I 一致收敛. 证明 正项级数 1 n n a ∞ =∑收敛根据柯西一致收敛准则，即 0,,N N n N ε +?>?∈?>p N +?∈，有12n n n p a a a ε+++++< 由已知条件，x I ?∈，有 ()()() 12n n n p u x u x u x +++++ + ()()() 12n n n p u x u x u x +++≤+++ 12n n n p a a a ε +++≤++ +< 即函数级数()1 n n u x ∞ =∑在区间I 一致收敛. 例8 判断函数项级数1(1)! n n x n ∞ =-∑在[],x r r ∈-上是否一致收敛[8]. 解 ?[],x r r ∈-,有(1)!(1)!n n x r n n ≤ --. 令(1)!n n r a n =-,则11(1)!lim lim lim 0!n n n n n n n a r n r a n r n ++→∞→∞→∞-===. 所以(1)!n r n -∑是收敛.由M 判别法函数项级数(1)! n r n -∑在[],x r r ∈-上一致收敛. 定理2.14 狄利克雷判别法 若级数()()1n n n a x b x ∞ =∑满足如下条件： (1)函数列(){}n a x 对每个x I ∈是单调的且在区间I 一致收敛于0. (2)函数级数 ()1 n n b x ∞ =∑的部分和函数列(){}n B x 在区间I 一致有界，则函数级数 ()()1 n n n a x b x ∞ =∑在I 一致收敛. 证明 已知函数列(){}n a x 一致收敛于0即0,N N ε+?>?∈，n N ?>，x I ?∈有1n a ε+<. 又已知函数级数()1n n b x ∞ =∑的部分和函数列(){}n B x 在区间I 一致有界。 即0,,M n N x I +?>?∈?∈，有()n B x M ≤，从而有 ()()()()121()()...()2n n n p n n n p n b x b x b x B x B x B x B x M ++++++++=-≤+≤ 根据阿贝尔变换，x I ?∈有 ()()()()()()() 112212n n n n n p n p n a x b x a x b x a x b x Ma x ++++++++++≤L 于是0,,,,N N n N p N x I ε++?>?∈?>?∈?∈，有 ()()()()()()11222n n n n n p n p a x b x a x b x a x b x M ε +++++++++ 即函数级数()()1 n n n a x b x ∞ =∑在区间I 一致收敛. 例9 证明 函数级数1 cos n nx n ∞ =∑ 在区间[],2δπδ-()0δπ<<一致收敛. 证 [],2,x n N δπδ+?∈-?∈ 1 1 1cos 2cos sin 22sin 2 n n k k x kx kx x === ∑∑Q 11 11sin sin 222sin 2n k k x k x x =??????= ++- ? ?????????∑ 1 315311(sin sin )(sin sin )...(sin()sin()2222222sin 2x x x n x n x x ??= -+-++--???? 11sin sin 222sin 2x n x x ? ?-+ ?? ?= 1111sin sin 22M x δ≤≤= 即函数级数1 cos n nx ∞ =∑的部分和函数列在[],2δπδ-一致有界，而数列1n ?? ????单调减少趋近于 0。(当然在[],2δπδ-也是一致收敛于0) 根据狄利克雷判别法，函数级数1 sin n nx n ∞ =∑在区间[],2δπδ-一致收敛. 定理2.15 比式判别法 定理1 设()n u x 为定义在数集D 上正的函数列，记1()()() n n n u x q x u x += ，存在正整数,q M ，使得：()1,()n n n q x q u x M ≤<≤对任意,,n N x D >∈成立，则函数项级数1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛. 证明 易见 1112()()() ()...()()()() n n N n N n n u x u x u x u x u x u x u x u x -+--= ??=112()()()()n N n n N N q x q x q x u x q M -+--?????≤ 而等比级数n n N n N q Mq ∞ -=?∑当公比11q -<<时收敛，从而由函数项级数一致收敛型的优级判 别法，1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛. 定理 设{}()n u x 为定义在数集D 上正的函数列，记1`() ()()n n n u x q x u x +=，若： l i m ()()()0n n x q x q x q →∞ = ≤<，且()n u x 在D 上一致有界，则函数项级数1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛. 定理2.16 根式判别法 设1()n n u x ∞ =∑为定义在数集D 上的函数列，若存在在整数N (01)q q ≤≤<,使得 ,n N x D ?>∈成立，则函数项级数1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛. 证明 由定理条件，()n n u x q ≤对n N ?∈，x D ∈成立，而几何级数n q ∑收敛，由优级数 判别法知，函数项级数 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上一致收敛. 例10 证明函数项级数0 n n x ∞=∑在区间 []1,1δδ-+- (其中01δ<<)一致收敛. 证明 ?()0,1x ∈有0 1()1k n n n k x S x x x =-==-∑. 1 ()lim ()1n n S x S x x →∞ == -. 11()()()1111n n n n n x x x S x S x R x x x x x -∴-==-== ---- . 对?[]1,1x δδ∈-+-,对?0ε>要使不等式 (1)()()()1n n n n x S x S x R x x δε δ --==≤<- 成立. 从而要不等式 (1)n δεδ -<解得ln ln(1)n εδ δ> -.取ln ln(1)N εδδ??=??-?? .于是?0ε>,存在ln ln(1)N N εδδ+?? =∈?? -?? ,?n N >?[]1,1x δδ∈-+-有: ()()()n n S x S x R x ε-=<成立. 参考文献 [1] 欧阳光中，朱学炎等，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2007 [2]夏学启. 贝努利数的简明表达法 [J] . 芜湖职业技术学院学报，2006，2. [3]胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法 [M] 北京：科学出版社，2008. [4]张雅平，关于正项级数敛散性的两种判别方法，大同职业技术学院学报，2005.6. [5]Harp,positive series convergence of scattered discriminant act,Hetao University press [6] 杨钟玄，关于正项级数敛散性判别法及其联系，天水师专学报，1999年第3期. [7] 刘羽，正项级数敛散性的判别法研究，网络财富，2009.12. [8] 陈金梅. 幂级数求和法例谈 [J] . 石家庄职业技术学院报，2005.9. 致谢 我在**师范大学教育下经过四年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高和锻炼。 在***老师的热心帮助和耐心的指导下我的毕业论文已经顺利通过，她帮我批阅了很多次，并且提供了这方面的多种资料和很好的意见，我也学会了写作毕业论文的三个步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。 我非常感谢*老师的热心和细心的帮助，也非常感谢我系的帮助过我的各位尊敬的老师，在他们的教育下，是我在各方面得到了很大的成就，为以后的工作和生存打下了良好的基础。 *** 2012年5月与**师范大学 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 第三节 函数项级数的一致收敛性 本节将讨论函数项级数有关性质。 定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为 )(1x u +)(2x u +……+)(x u n +…… 为E 上的函数项级数，简记为∑∞ =1 )(n n x u 。其中)(x u n 称为第n 项. )(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞ =k n n x u )(. 记号中n 可以用其它字母 代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设∑∞ =1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记 ∑==n i i n x u x S 1 )()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ， 它称为级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列。 如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数 的收敛点。 如果|)(|1 ∑∞ =n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点绝对收敛。非常容易证 明绝对收敛一定收敛。 {})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。如果{})(x S n 在0x 点不收敛， 我们说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点发散。 如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上点态收敛于 )(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前 n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列. 如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛于 )(x S ， 或∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上内闭一致收敛. 用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞ =1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。 若对任意ε>0，总存 在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有 ε<-∑=|)()(|1x S x u n i i ， 则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛. 例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数） ΛΛΛΛ+++++=∑∞ =-n n n x x x x 21 1 1 的部分和函数是x x x S n n --=11)( .显然当|x |<1时 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 数项级数及其收敛性 无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零）的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数231 111 41 (44443) n 的和；关于无穷级数，数学史上有个著名的芝诺悖论。"两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可 穷尽的过程，运动永远不可能开始的。'庄子亦说'一尺之棰，日取其半，万世不竭。''但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。'要解决这个悖论，需要引进极限方法。研究无穷级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用. 一、级数基本概念 定义1设给定一个数列，，，，，n u u u u 321，则表达式 n u u u 21称为无穷级数，简称级数，记作 1n n u ，即n n n u u u u 2 11， 其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数，则级数1n n u 称为常数项级数，如果是函数，则级数1n n u 称为函数项级数． 其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等 比数列:2,,............(1)n a aq aq aq q ,各项的和 2............1n a a aq aq aq q ；另外，无限循环小数也是无穷级数，比如：1 0.33 1033.0，2103 03.0，n 103 030.0，所以有 函数列与函数项级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n = i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx = + (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑸ 22 33(),1n n x f x n x =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x =++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n n n x f x x =+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞> ⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈ ⑽ ()ln ,n x x f x n n = (0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞ ⑿ 2 ()(),x n n f x e --= i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()]()n nf x f x n = (1,2,)n =???. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时， (),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =??? 在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10lim ()n n f x dx ->∞?可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =???在闭区间[0,1]上收敛，但 1 1 00lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠?? 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又 [,]n x a b ∈(1,2,)n =???，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞ = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1), [0,1];n n x x x ∞=-∈∑ ⑵ 12 21(1), (,)(1) n n n x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =???在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证： ()n f x 在[,]a b 上一致有界. 8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且 1()[()()],n f x n f x f x n =+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列 函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件） 班级：数学091 姓名：韩海飞 数项级数收敛性的判别 摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路. 关键词：判别方法归纳总结数项级数敛散性解题思路 引言：在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下. 一、定义 定义1：设有数列 表达式 （1） 称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或 一般项。 定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列 称为它的部分和数列。 定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。记 为： 。若 是发散数列，则称级数（1）发散。 余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞ =1 n n u 收敛，则称级数∑∞ =1 n n u 绝对收敛 条件收敛：若∑∞=1 n n u 发散，则称级数∑∞ =1 n n u 条件收敛 二、性质定理 定理12.2 若级数1 n n u ∞=∑与1 n n v ∞ =∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数 1 1 1 ()n n n n n n n cu dv c u d v ∞ ∞∞ ===+=+∑∑∑也收敛. 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收 +++u u u n 21 ,,,:}{21u u u u n n ∑∞ =1 n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞ →lim S u n n =∑∞ =1}{S n S S r n n -= 2016考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结 数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型，而且是考试的难点，为了便于同学们解题，文都考研高端数学老师帮大家总结了此种题型的解题思路和常用结论，希望对大家的学习有帮助。 1.解题思路 若有两个收敛，则第三个收敛; 若其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散; 若有两个发散，则第三个敛散性不确定; 若有两个绝对收敛，则第三个绝对收敛; 若其中一个绝对收敛，另一个条件收敛，则第三个条件收敛; 若有两个条件收敛，则第三个收敛，但不能判断它是绝对收敛还是条件收敛。 1.林黛玉：三生石畔，灵河岸边，甘露延未绝，得汝日日倾泽。离恨天外，芙蓉潇湘，稿焚情不断，报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗：原以为金玉良缘已成，只待良辰，奈何君只念木石前盟，纵然艳冠群芳牡丹姿，一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春：贤孝才德，雍容大度，一朝宫墙春不再，一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息，红颜无罪，到底无常。 4.贾探春：虽为女流，大将之风，文采诗华，见之荡俗。诗社杏花蕉下客，末世悲剧挽狂澜，抱负未展已远嫁。 5.史湘云：醉酒卧石，坦荡若英豪，私情若风絮，嫁与夫婿博长安，终是烟销和云散，海棠花眠乐中悲。 6.妙玉：剔透玲珑心，奈何落泥淖，青灯古佛苦修行，高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云，玉碎冰裂，不瓦全。 7.贾迎春：沉默良善，见之可亲，深宅冷暖，累遭人欺，腹中无诗情风骚，膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名，可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春：高墙白曼陀，冷水伴空门。孤寒寂立一如霜，如何能得自全法？狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋，海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤：毒酒甘醇，罂粟灿艳，锦绣华衣桃花眼，眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心，只惜冷硬霜凝集。千机算尽，反误性命。 比较几种判定正项级数收敛性的方法 【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析， 找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径. 【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题 一：比较判别法. 1:定义 若从某一项起11n n n n n n a b a kb a b ++≤≤（或者） （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑的收敛性可推出1 n n a ∞ =∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n n a b a b ++≥ 或者 （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑发散可推出1 n n a ∞ =∑发散. 2：比较判别法的极限形势 设lim n n n a b →∞ =λ（+λ∞为有限数或）则： （i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同. （ii ）：1 1 =0b n n n n a λ∞ ∞ ==∑∑时，由收敛可推出收敛. （iii ）：1 1 b n n n n a λ∞ ∞ ===+∞∑∑时,由发散课推出发散. 3:例题 (1):证明：若级数1 n n a ∞ =∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级 数1 n n A ∞ =∑其中 1 1 n n p n i i p A a -+==∑ （11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举 出例子. 证 设级数1 n n A ∞ =∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则 函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数. 数项级数的敛散性的练习题及解析 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1n n U ∞=∑（ D ） A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛 解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n ∞=∑收敛 选D 2．设 1n n U ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） A ． 1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞ =+∑ D ．11n u U ∞=∑ 解： ()12008n n U ∞=∑＝20081n n U ∞=∑ 1 n n U ∞=∑收敛∴由性质()12008n n U ∞ =∑收敛 3．下列级数中一定收敛的是…( A ) A ．21014n n ∞ =-∑ B ．10244n n n n ∞=-∑ C ．101n n n n ∞=?? ?+?? ∑ D +… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim 1n n n U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ） A ．11n n n ∞=+∑n （－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．1n n ∞=- D ．()1312n n n ∞=??- ???∑ 解：（ 1 ）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（ 2）1 1n n ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C 5．级数() 1 11cos n n k n ∞=??-- ???∑ （k>0）…（ B ） A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与K 相关 解：11(1)(1cos )1cos n n n k k n n ∞ ∞-=??--=- ???∑∑ 学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年5月 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。 关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言 在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性 一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项 级数。 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S （2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 漫谈正项级数的收敛性及收敛速度 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记 n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞ =1 n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛 散性来定义。显然，级数∑∞=1 n n a 时，有0lim =∞ →n n a 。因此，0lim ≠→∞ n n a 时，必有级数∑∞ =1 n n a 发散。但是 0lim =∞ →n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞ =1 n n a 才收敛。可以证明： 几何级数∑∞ =1 n n q ，当1|| 函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳 一 定义 引言 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有 ()()ε<-x f x f n 则称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作 ()()x f x f n →→ ()∞→n ，D x ∈ 设()x u n 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 ()()(),21 ++++x u x u x u n E x ∈ ) 1(称为定义在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞ =1 或()x u n ∑；称 ()()x u x S n k k n ∑==1 , E x ∈, ,2,1=n )2( 为函数项级数)1(的部分和函数列． 设数集D 为函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的收敛域，则对每个D x ∈，记∑∞ ==1 )()(n n x u x S ，即 D x x S x S n n ∈=∞ →),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的和函数，称) ()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项． 定义1]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，若{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛． 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一 函数项级数一致收敛性有关问题的讨论 函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用． 1 函数项级数一致收敛的相关定义 定义1.1 []1(31) P 设函数列{})(x S n 是函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列，若,0>?ε 存在正 整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式 ∑=-n k k x S x u 1 )()(=)()(x S x S n -<ε 对I 上一切x 都成立，则称 ∑∞ =1 )(n n x u 在I 上一致收敛于()S x ． 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 定义1.1[]2(67) ' P 函数列{})(x S n (或 ∑∞ =1 )(n n x u )在I 上一致收敛于()S x ?∞ →n lim I x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的余项． 定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x ?00>?ε，0>?N ，N n >?0，I x ∈?0，使得)()(000x S x S n -≥0ε． 定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛． 2 一致收敛函数项级数的性质[] 3(417430) P - 定理2.1（逐项取极限） 设级数 ∑∞ =1)(n n x u 在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内 一致收敛，0 lim x x →()n n u x c =．则 ∑∞ =1 n n c 收敛，且 漫谈正项级数的收敛性及收 敛速度(总4页) 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 漫谈正项级数的收敛性及收敛速度 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记 n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞ =1 n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛 散性来定义。显然，级数∑∞=1 n n a 时，有0lim =∞→n n a 。因此，0lim ≠→∞ n n a 时，必有级数∑∞ =1 n n a 发散。但 是0lim =∞ →n n a 未必有∑∞=1 n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞ =1 n n a 才收敛。可以证 明：几何级数∑∞ =1 n n q ，当1|| 十五. 任意项级数收敛性判别法 判断∑a n 收敛性的线索: 1°a n 是否→0; 2°是否绝对收敛; 3°是否条件收敛. 绝对收敛判别方法: 对∑| a n | 用正项级数判别法. 注意∑|a n |发散时一般不能得到 ∑a n 发散, 但|n n a a 1+|或n n a ||≥1时∑| a n |和∑a n 都发散. a n 为连乘积时用检比法,和Raabe 法, a n 为n 次幂时考虑检根法和检比法, a n 单调时考虑积分法. 以上方法困难时考虑比较法(找a n 的阶或比较级数)、级数运算、收敛原理、定义、Cauchy 准则. Leibniz 判别法 若a n ↓0, 则交错级数∑(-1)n +1a n 收敛, 其和s < a 1, 余项| R n | < a n +1. 证 s 2n = (a 1 - a 2 ) + (a 3 - a 4 ) + … + (a 2n -1 - a 2n ), s 2n +1 = a 1 - (a 2 - a 3 ) - … - (a 2n - a 2n +1) = s 2n + a 2n +1, 故s 2n ↑, s 2n +1↓, 且0 < s 2n < s 2n +1< a 1 , lim s 2n 与lim s 2n +1存在, lim (s 2n +1- s 2n ) = 0. 因此?s = lim s n , 且s < a 1. 又, | R n | = | (-1) n (a n +1 - a n +2 + a n +3 - … ) = a n +1 - a n +2 + a n +3 - … < a n +1. Abel 变换 a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n = s 1 b 1 + (s 2 - s 1 ) b 2 + … + (s n - s n -1)b n = s 1 (b 1 - b 2 ) + … + s n -1 (b n -1 - b n ) + s n b n =∑-=+-1 11)(n k k k k b b s + s n b n , 其中s n = a 1 + a 2 +…+ a n . 利用Abel 变换, 把∑a n b n 的收敛问题化为∑s n (b n - b n +1)与{s n b n }的收敛问题. Di 法 {s n }有界, b n ↓0 (或↑0)?∑a n b n 收敛. (对积分:?t a f 有界,g ↓0??b a fg 收敛.) A 法 ∑a n 收敛, {b n }单调有界?∑a n a n 收敛. (积分:?b a f 收敛, g 单调有界??b a fg 收 敛.) 证 D 法: 设 | s n |≤M , 则s n b n ↓0,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M ∑=n k 1(b k - b k +1) = M (b 1 - b n )≤ Mb 1, 故∑s n (b n - b n +1)绝对收敛. A 法: 设s n →s , | s n |≤M , b n ↓b , 则s n b n →sb ,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M (b 1 - b n )≤M (b 1 - b ). 注1. 用这三个判别法(L 法是D 法的特例)不能判断发散性. 当然, 如果已经用前面的方法得到∑| a n |发散, 用这三个方法就能判断∑a n 的条件收敛性, 但不能由此而误认为它们是条件收敛判别法 注2. 用D 法证A 法: ∑a n 收敛?{s n }有界; {b n }减、有界??b 使b n ↓b ? b n - b ↓0. 由D 法, ∑a n (b n -b )收敛, 而∑ba n 收敛, 故∑a n b n 收敛. 类似地可证上册p.276.10. *级数与广义积分 给定∑a n , 定义阶梯函数f :[1,∞)为f (x ) = a n (n ≤x 正项数收敛判别方法
函数项级数的一致收敛性共8页word资料
正项级数敛散性地判别方法
数项级数及其收敛性
函数项级数的一致收敛性精选
函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用
数项级数收敛性的判别概论
考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结
比较几种判定正项级数收敛性的方法
函数项级数一致收敛性的判别法
数项级数的敛散性的练习题及解析
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定
关于数项级数敛散性的判定
正项级数收敛及其应用公式版
，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1 n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1 n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1n n a 发散。可是，马 上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞ =1ln ln ln 1 n n n n 仍然发散级 数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺 子”：n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。 由几何级数的∑∞ =-11n n q 的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n 充分大时，正项级数的后一 项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达
函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳
函数项级数一致收敛性
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1 时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞ =1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数 ∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1 ，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1 n n a 发 散。可是，马上又面临新问题：无穷小 n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1 ，但是 ∑∞ =1 ln ln ln 1 n n n n 仍然发散级数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺子”： n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。
任意项级数收敛性判别法