数学分析对中学数学指导作用

分类号 O171 单位代码

密级学号

学生毕业论文

题目数学分析对中学数学的指导作用

作者

院 (系) 数学系

专业数学与应用数学

指导教师

答辩日期2014年5月4日

摘要

数学是研究空间形式和数量关系的科学．随着数学改革的不断进行与发展，中学数学所涉及的数学分析方面的知识在高考中所占得比例越来越大．本文通过探讨数学分析与中学数学的关系，着重论述数学分析在中学数学函数、几何、代数等方面的应用，以大量详实的习题、范例为依据，分析不同方法的解题效果，从而说明数学分析对中学数学的指导意义和作用．

关键词：数学分析；中学数学；数学思想；数学方法

ABSTRCT

Mathematics is the study of space form and quantity relationship．With the ongoing development of mathematics reform，the proportion of the mathematical analysis knowledge included middle school math in the university entrance exam is becoming increasing larger．By discussing the relationship between mathematical analysis with the middle school mathematics，this thesis focuses on the application of mathematical analysis in functions，geometry ，algebra in middle school mathematics．At the same time with a large number of detailed examples，as the basis and analysis of effect of different methods of problem solving，the guiding significance and function of mathematical analysis to middle school mathematics is illustrated．

Key words: Mathematical analysis; Middle school mathematics;

Mathematical thinking;Mathematical methods

目录

摘要 ................................................................................................................................................. II ABSTRCT .............................................................................................................................................. I II 目录 ................................................................................................................................................. IV

1 引言 (1)

2 中学数学与数学分析的关系 (2)

2.1中学数学 (2)

2.2数学分析 (2)

2.3中学数学与数学分析的关系 (2)

2.4数学分析在中学数学中的指导作用 (3)

3 数学分析在中学数学中的应用 (4)

3.1函数方面应用 (4)

3.1.1 函数单调性和极限 (4)

3.1.2解三角函数 (5)

3.1.3函数极值和最值 (7)

3.2几何方面应用 (8)

3.2.1曲边图形的面积、体积、弧长 (8)

3.2.2切线方程和相交问题 (10)

3.3代数方面的应用 (12)

3.3.1证明代数式 (12)

3.3.2解不等式 (14)

3.3.3 解方程和证明恒等式 (16)

4 高考中有关问题的解决 (18)

5 小结 (22)

参考文献 (23)

致谢 ................................................................................................................ 错误！未定义书签。

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1 引言

数学分析在中学数学解题中所发挥的重大作用，越来越受到老师和学生的关注．通过大学数学分析的学习与深入，我们了解到数学分析在中学数学中具有非常重要的指导意义．在数学高速发展时期，数学分析的思想方法在中学数学的教与学的过程中占有举足轻重的地位．因此，本文通过具体实例说明数学分析对中学数学具有切实的指导意义和指导作用．从而为学生找到一种简便易行的方法去解决中学数学的一些问题，让大家更加深入的了解数学分析的重要作用．

2中学数学与数学分析的关系

2.1中学数学

中学时期我们所学的数学主要是常量数学，其次也包括变量数学的一些初步知识．中学数学一般可以分为两个层次：表层知识和深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指的是数学思想和数学方法．它的教学内容大致可分为代数、几何、微积分、概率统计、算法等几个部分．中学数学的学习方法，除了有观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象、概括等理论方法外，还有逻辑推理、证明方法、以及化归、递推、等价转化、推广与限定等数学思想方法．

2.2数学分析

数学分析主要是以变量及变量之间的函数依赖关系作为研究对象的，并以微积分学和无穷级数为主要内容，是一个较为完整的数学学科．数学分析除了体现其严密的逻辑体系外，也反映了现代代数学的发展趋势，它吸收和采用现代数学的思想观点与处理方法，提高学生的数学修养，培养学生的数学能力．数学分析的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续、可微及可积等各种特性．了解这些特性，有助于我们对物理世界的研究及对自然界规律的发现，从而更好的去改造我们的生活，也为未来的发展奠定基础．

2.3 中学数学与数学分析的关系

数学分析是初等数学发展到一定阶段的必然产物，数学分析的形成扎根于初等数学基础之上．它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等都是在初等数学有关问题的基础上发展而来的．导数是在用代数运算求直线斜率这一问题的基础上发展成为用极限方法求曲线上某点的切线斜率而形成的，积分是在用代数运算求直线所围成的平面图形面积的基础上发展成为用极限方法求曲线所围成的面积而形成的，无穷级数求和则是在用代数运算求有限项之和的基础上发展成

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为求无限项之和而形成的．从这些新概念的发展过程看都是为了解决初等代数、初等几何不能解决的问题，由此可以看出，数学分析是在实践中为了解决初等数学不能解决的问题而长期逐步发展起来的，从数学分析和中学数学的内容来看二者也是紧密联系的．

2.4 数学分析在中学数学中的指导作用

数学分析讲求的是一种严密的数学逻辑性思维，解题具有很强的技巧性与灵活性．数学分析思想对于提高个人的判断和处事能力有很好的帮助，它是对数学及其研究对象以及各种数学概念、定理、法则、范例、数学方法等的根本性认识．数学分析对于中学数学的教学和学习有着很好的指导作用．在中学数学教学中，数学分析思想方法有以下几个指导作用：首先，可以有效地帮助学生形成正确的数学观念和优秀的数学精神，是落实素质教育的有效途径；其次，可以提高教师的教学质量和教学水平，恰当地把握中学数学教学要求的程度；最后，数学分析中的知识和方法可以用来检验学习初等数学所犯的某些错误，对学生的发展也有很大的帮助．

3 数学分析在中学数学中的应用

3.1 函数方面应用

函数是中学数学很重要的教学内容，求函数的极值、极限、最值等很多知识都要用到数学分析方面的知识．

3.1.1 函数单调性和极限

例1 已知31()3

f x x x =-，求函数()f x 的单调性． 解 31()3

f x x x =-，2()1f x x '∴=-=()()11x x -+， 所以，当[]1,1x ∈-时()0f x '≤，此时函数在[]1,1-上单调递减；

当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时()0f x '>，此时函数在(,1)-∞-和()1,+∞上单调递增．

例2 已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围． 解 2()361f x ax x '=+-，因为)(x f 在R 上是减函数，所以0)(≤'x f 在R 上恒成立，所以0?≤且0a <，即01236≤+a a 且0a <．所以3a ≤-．

例3 已知数列{}n a ，{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p ，q 其中q p >，且1p ≠，1q ≠．设n n n b a c +=，n s 为数列{}n

c 的前n 项和，求极限

1lim -∞→n n s s n ． 解 1

)1(1)1(11--+--=q q b p p a s n n n )

1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a s s ， 下面分两种情况讨论求值:

（1）当1>p 时，由已知得，0>>q p ，故10<

q ．则

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∞→n lim )1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111

--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a s s )]1)(1()11)(1([)1)(1()11)(1([lim 111111111-----∞→--+----+--=n n n n n n n n n n

n p p q p b p q a p p p q p b p q a p 0

)1()01)(1(0)1()01)(1(1111?-+--?-+--=p b q a p b q a p p q a q a p =--=)1()1(11 （2）当1

111111

(1)(1)(1)(1)lim lim (1)(01)(1)(1)n n n n n n n s a q p b p q s a q b p q -→∞→∞---+--=--+-?- 1111(1)(01)(1)(01)(1)(01)(1)(01)

a q

b p a q b p --+-?-=--+-?- ()()()()

111111111a q b p a q b p ----==----． 3.1.2 解三角函数

例1 已知函数x arc x x f cot arctan )(+=，求)(x f 的值．

解 因为对R x ∈?，有

01111)cot (arctan 22=+-+=

'+x

x x arc x ， 所以 c x arc x =+cot arctan （c 为常数）

为了确定c 的值，令0=x ，有

20cot 0arctan π

==+c arc ．

即()2f x π

=．

例2 已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈．求：

（1）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；

（2）函数()f x 单调递增区间．

解（1）方法一 因为1cos 23(1cos 2)()sin 222

x x f x x -+=++

2sin 2cos 22)4x x x π

=++=+ ，

所以当2242x k π

π

π+=+，即()8x k k Z π

π=+∈时，()f x 取得最大值2

因此()f x 取得最大值的自变量x 的集合是|,8x x k k Z ππ??=+∈????

． 方法二 因为222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++

=1sin 21cos 2x x +++

2)4

x π=+

所以当2242x k πππ+=+，即()8

x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2 因此()f x 取得最大值的自变量x 的集合是|,8x x k k Z ππ??=+∈????

．

（2）方法一 ()2)4

f x x π=++，由题意得 222()242

k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即

32()848

k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 那么函数()f x 单调递增区间为3,88k k ππππ??-+???

?()k Z ∈．

方法二 ()2)4f x x π=++，故())4

f x x π'=+

求函数()f x 单调递增区间，即只需()0f x '≥，故有)04

x π

+≥，则有 222()242

k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 因此

3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 函数()f x 单调递增区间为3,88k k ππππ??-+???

?()k Z ∈．

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3.1.3 函数极值和最值

例1 已知)0(3

1)(23≠++=a cx bx ax x f 在1x =±时取得极值，且32)1(-=f ． （1）试求常数a 、b 、c 的值；

（2）试判断1x =±是函数的极小值还是极大值，并说明理由．

解 （1）2()2f x ax bx c '=++，

因为1x =±是函数的极值点，

所以1x =±是方程()0f x '=，即220ax bx c ++=的根，

()()()2131010f f f ?=-??'-=??'=??即有12332020a b c a b c a b c ++=-++=??-=?+????

将上面三式联立求得1,0,1-===c b a ．

（2）因为3()f x x x =-，所以2()1(1)(1)f x x x x '=-=+-．

而又当1,1x x ><-时，()0f x '>；当11x -≤≤时，()0f x '≤．

所以函数()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上是增函数，在[]1,1-上是减数．

所以当1x =-时，函数取得极大值()11f -=；

当1x =时，函数取得极小值()11f =-．

注1 利用导数这一工具，我们很容易解决了一元三次函数的极值问题．

例2 已知函数22()(0,)a f x x x a R x =+≠∈，22()(0,)a f x x x a R x

=+≠∈，求函数()f x 在[1,)+∞的上的最小值．

解 ()222a f x x x

'=-，1x ≥． （1）当1a <时，()0f x '>在[1,)+∞上恒成立，那么()f x 在[1,)+∞上单调递增．所以()f x 的最小值为()112f a =+．

（2）当1a =时，若1x =，()0f x '=;若1,()0x f x '>>恒成立．因为()f x 在

∞[1,+)上单调递增，所以()f x 在1x =时，取得最小值()112f a =+．

（3）当1a >时，令()0f x '=，得x =且在??上，()0f x '≤；在?+∞?

上，()0f x '>．

因为()f x 在??上单调递减，在?+∞?

上单调递增．

所以()f x 在x =

min ()f x f === 综上所述，当1a ≤时，()f x 在[]1,x ∈+∞上的最小值为12a +;

当1a >时，()f x 在[]1,x ∈+∞上的最小值为

3.2 几何方面应用

中学数学课本只是简单的给出了我们一些基本的几何公式、定理，而没有给出具体的证明过程，数学分析为此提供了理论依据和证明方法，能让学生对这些知识更加深入的理解和记忆．

3.2.1 曲边图形的面积、体积、弧长

1 由连续曲线()(0)y f x =≥，以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为：()b a A f x dx =?，如果()f x 在[],a b 上不都是非负的，则()b

a A f x dx =?． 2 由两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两直线x a =与()x

b a b =<所围成图形的面积为：12()()b

a S f x f x dx =-?． 3 设f 是[],a

b 上的连续函数，Ω是由平面图形0(),y f x a x b ≤≤≤≤绕x 轴

一周所得旋转体，易知截面面积函数为[]2()(),,A x f x x a b π??=∈??．则旋转体Ω的

体积为：[]2

()()b b a a V A x dx f x dx ππ==??． 4 设平面曲线C 由参数方程()y f x =，[],x a b ∈构成，若C 为一光滑曲线且可

求长，则C 的弧长为a s =?．

5 设平面光滑曲线C 的方程为()y f x =，[],x a b ∈（不妨设()0f x ≥）．则这段

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曲线绕x

旋转一周得到旋转曲面的面积为：2(b

a S f x π=?． 例1 求由椭球面222

2221x y z a b c

++=所围立体（椭球）的体积． 解 以平面)(00a x x x ≤=截椭球面，得椭圆（它在yOz 平面上的正投影）：

1)1()1(2202222022

=-+-

a x c z a x

b y

所以截面面积函数为： 2

2()(1),((,))x A x bc x a a a

π=-∈- 于是求得椭球体积为：

224(1)3a

a x V bc dx abc a ππ-=-=?． 于是显然当r c

b a ===时，这时等于球的体积33

4r π． 例2 已知函数3212()41,()22f x x f x x =-=-，求两函数在区间[]2,3上所围成 的不规则图形的面积．

解 如果用不规则图形算还要进行分割求和很麻烦，但我们可以用积分的形 算就很快得出结论：

12()()b

a S f x f x dx =-? 3

322(41)(22)x x dx =---? 3

322(421)x x dx =-+? 433()|2

x x x =-+ 47=．

例3 求223x y =+与y x =所围成的图形的面积．

解 先求其交点的横坐标，解方程组223x y y x

?=+?=?，得11x =-，23x =，在[]1,3-

内由2322

x x >-，所以 23

13[()]22x S x dx -=--? 23313[]|262

x x x -=-+ 163

=． 例4 求曲线229(3)ay x x a =-由0x =到3x a =的弧长．

解 用公式a l =?，且曲线关于x 轴对称，

故有曲线在区间内的弧长为：

302l =?

30

2=?

=．

例5 求曲线[0,1]y x ∈绕x 轴旋转所得曲面的面积．

解 用公式=2b

a S π?侧，所以

02S π=?

侧

2π=? 31202(41)|43x π=

+

1]6π

=．

3.2.2 切线方程和相交问题

例1 求双曲线14

92

2=-y x 的渐近线方程．

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解

双曲线方程可化为y =，渐近线的斜率为： ()23lim lim lim 3

x x x f x y a x x x →∞→∞→∞====±， 在y 轴上的截距：

2lim[]lim[)]03

x x b y ax x →∞→∞=-=±=， 故所求渐进线方程为23

y x =±． 例2 已知曲线S ：x x x y 43

223++-=及点)0,0(P ，求过点P 的曲线S 的切线 方程．

解 设过点P 的切线与曲线S 切于点),(00y x Q ，则过点P 的曲线S 的切线斜

0200224x x k y x x ='==-++ 又00

PQ y K x =，所以 0

0020422x y x x =++- ① 因为点Q 在曲线S 上，所以

320000243

y x x x =-++ ② 将②代入①得

00203002

0432422x x x x x x ++-=++- 化简得

3200403

x x -= 所以00=x 或034

x =． 若,00=x 则,4=k 过点P 的切线方程为x y 4=； 若,430=x 则358

k =，过点P 的切线方程为358y x =．

例3 双曲线221:241C x y -=与抛物线22:C y x b =+，(1)x ≥相交，求b 的取值范围．

解 1C 与2C 相交等价于方程组222241(1)x y x y x b

?-=?≥?=+??有实数解，联立可得 224410(0)x x b x ---=≥ ， 解出

21124

b x x =--， 将b 视为x 的函数，利用导数易知当1x ≥时，此函数为增函数，故

1131244

b ≥--=-， 由此可受到启发，寻求到该题的初等解法，即通过配方法213(1)24

b x =--，易见1x ≥时此函数为增函数，故min 3,4b =-所以b 的取值范围为3[,)4

-+∞． 3.3 代数方面的应用

代数是中学数学的基础，学好数学首先要学好代数，数学分析为中学代数中的一些问题提供了解题方法和思路，中学代数方面的问题用数学分析的知识往往会使解题更加简单明了．

3.3.1 证明代数式

例1 设,,x y z ，都是正数，且1x y z ++=，判断代数式1118x y z

++-的正负． 解 判断 11180x y z

++->． 由1x y z ++=知:

111x y z ++=()111x y z x y z ??++?++ ???

222222111??????=++?++??????????

．

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由施瓦兹不等式知

:

22222

2111??????++?++??????????

2?≥=()2111++=9． 故而111810x y z ++-≥>，因此1118x y z

++-为正． 例2 已知22,5,A a B a a =+=-+其中2a >．求证：0B A ->，并指出A 与B 的大小关系．

证明 法一 2(5)(2)B A a a a -=-+-+ =223a a -+(2)a >．

令2()23f a a a =-+，则()22f a a '=-

，故当2a >时()0f a '>，因此函数()f a 在定义域内为单调递增函数．则有()(2)4430f a f >=-+>，因此有0B A ->，因此B A >．

法二 2(5)(2)B A a a a -=-+-+

223a a =-+

=2(1)2a -+(2)a >．

当2a >时2(1)2a -+恒大于零， 故0B A ->，因此B A >．

例3 已知矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，12AD cm =，将矩形

纸片的右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕MN

的两端点，M 、N 分别位于边

AB 、BC 上，设,MNB MN l θ∠==．（1）试将l 表示成θ的函数；

（2）求l 的最小值．

解 （1）如图所示902APM θ∠=-，则MB =sin l θ，()sin sin 90AM l θθ=?-． 由题设得sin l θ+()

sin sin 902l θθ?-=6，从而得 C N

()6sin sin sin 902l θθθ=

+- 6sin sin cos 2θθθ=+ 23sin cos θθ

=． （2）设s i n t θ=，则有()231u t t t t =-=-，即3u t t =-，04πθ<<

．213u t '=-，

令0u '=

，得t =．

当t <时，0u '>

；当t >时，0u '<．

所以当t

max 13339u =-=．

那么min l == 3.3.2 解不等式

例1

12

>． 解 原不等式的定义域为[]1,3-，令(

)12

f x =，那么()0f x =的

两个根为1211x x ==+． 由此可分为三个区间

：123(1,1(1(1I I I =-==，(

)12

f x =，取1,2301,2I I I ∈∈∈， 可得：(0)0,(1)0,(2)0f f f ><<

，从而原不等式的解集为1,1?- ?

?． 这是一个解不等式的问题，若采用中学数学的常规方法，就是两边同时开方，当这样做很可能导致开平方后，要进行讨论，所以比较复杂．而上述先把不等式转化成方程，然后构造一个函数，再利用数学分析中介质性定理来确定区间，就

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很容易解决了．

例2 设()nx a x a x a x f n sin ...2sin sin 21+++=，并且

()x x f sin ≤．n a a a ,,,21 为常数．求证：1221≤+++n na a a ．

证明 因为()x x f sin ≤，所以()x

x x x f sin ≤，即 x

x x nx a x x a x x a n sin sin 2sin sin 21≤+++ ． 上述两边令0→x ，根据重要极限0sin lim

1x x x →=，则1221n a a na +++≤． 例3 已知x 0>，求证ln(1)1x x x x

<+<+． 证明 令()ln(1)f x x =+，()11f x x

'=+． 由()f x 在[]0x ，上满足拉格朗日中值定理，故()0,b x ?∈ 使

()[]()

()(0)0f x f f b x -'-=

， 即 1ln(1)1x b x

+=+ (0)b x <<． 由0b x <<知11111x b <<++，那么1ln(1)11x x x

+<<+． 再由x 0>知ln(1)1x x x x

<+<+．得证． 例4 如果,,a b c 都是正数，那么3333a b c abc ++≥．

证明 设()333()3,0,.f x x abx a b x =-++∈+∞则()233f x x ab '=-，

令()0f x '=，在()0,+∞内，求得驻点x =

所以当函数()f x 在x =

3

333f a b =-+

332a b =-

3

0=≥．

由于在区间()0,+∞内的连续函数()f x 只有一个极值点，因此极小值就是它的最小值，于是对于()0,+∞上的任何x 值恒有

(

)233330f x x abx a b =-++≥≥，

取0x c =>，得33330c abc a b -++≥．所以3333a b c abc ++≥．

3.3.3 解方程和证明恒等式

例1 解方程01555223=-+++x x x ．

分析 此题若按三次方程的求解x 相当困难，若将“5”看做“未知数”，x 看作常数，则是一个关于“5”的“一元二次方程”．

解 原方程整理为()0)1(5)12(5322

=++++x x x ，判别式 ()0)12()1(412232

2≥-=+-+=?x x x x ，

故方程有两个根． 根据二次方程解得求根公式()0x 1-5152≠++=-=x x x x 或， 故原方程的

解为

)

)123111,22x x x -

+--=-==．

a 则可将方程看作由x 与a 两个“变量”所确定的隐函数，求x 是将x 表示为a 的函数，自然也可将a 表示为x 的函数从而很容易解决本题这是非常好的一种解题思路从中学数学的角度看，本题可以看作是函数与反函数的应用．

例2 证明：4cos 44cos 238sin x x x -+=．

证明 法一 令4()cos44cos238sin f x x x x =-+-．

3()4sin 48sin 284sin cos f x x x x x '=-+-?

=28sin 228sin 216sin sin 20xcos x x x x -+-=．

即()f x 为一个常数．取特值令0x =，则()(0)0f x f ≡=．