分式与分式方程题型分类讲义全

分式方程及其应用

一、基本概念

1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.

2．解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；

（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

3. 用换元法解分式方程的一般步骤：

① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.

4．分式方程的应用：

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .

二、题型分类 考点一：分式方程 题型（一）分式方程去分母 1、解分式方程

22

311x x x

++=--时，去分母后变形为（ ）。 A ．()()1322-=++x x B ．()1322-=+-x x C ．()()x x -=+-1322 D ．()()1322-=+-x x

2、下列方程是分式方程的是（ ）

A ．0322

=--x x B ．

13-=x x C ．x x =1 D ．12=-π

x

题型（二）解分式方程

用常规方法解下列分式方程：25211

111 332552323

x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；

题型（三）分式方程的解 1.已知方程

26

1=311x

ax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－2

2.方程134

622

32622+++++++x x x x x x -5=0的解是( )

A. 无解

B. 0 , 3

C. -3

D. 0, ±3

3. 如果

)

2)(1(3

221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是( ) A ．

3

4 B. 3

5 C. 41

D. 2

4（C ）关于x 的方程c c x x 22+=+的两个解是c x c x 2,21==，则关于x 的方程1

2

12-+

=-+a a x x 的两个解是（ ） A ．a a 2,

B ．1

2,1--a a C ．12,-a a D ． 11

,-+a a a

题型（四）用换元法解分式方程

1.用换元法解分式方程152--x x +5

10102--x x =7时,如果设15

2--x x =y,那么原方程可化为( )

A. y+

710= B. y+71= C. 10y+71

= D. y+10y 2=7

2.解方程 （1）06)2(5)2(2=+---x x x x ； （2）解方程x

x x x 325

4322

2+=-+.

题型（五）解分式方程组

1.解方程组：11131129

x y x y ?-=??

???=??

题型（六）增根 1. 若解分式方程

2111

x x m x x x x

+-++=

+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或

B. -12或

C. 12或

D. 12或-

2. 若方程3

23-=--x k x x 会产生增根，试求k 的值

题型（七）求待定常数的值或取值范围

1.关于x 的分式方程1131=-+-x

x m 的解为正数，求m 的取值范围；

2.若关于x 的分式方程的解为非负数，则a 的取值范围是（ ）

A ．a≥1

B ．a ＞1

C ．a≥1且a≠4

D ．a ＞1且a≠4

3.若分式方程x

m

x x -=--221无解，求m 的值。

4.设c b a 、、是三个互不相同的正数，如果

a

b

b a

c b c a =+=-，那么（ ）． A ．c b 23= B ．b a 23= C ．c b =2 D ．b a =2

变式1：已知

123421+=-=+x x y y x ,则)(3

23

x y -的值是______________.

变式2：已知d c b a 、、、为正整数，且c

d a b c d a b )1(71,74-=

+-=，则a c 的值是_________；b d

的值是___________．

对应练习： 一、选择题 1、关于x 的方程

211

x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ）

A ．a ＞－1

B ．a ＞－1且a ≠0

C ．a ＜－1

D ．a ＜－1且a ≠－2 2．若解分式方程

x

x x x m x x 1

1122+=

++-+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或 B. -12或 C. 12或

D. 12或-

3、已知

,511b

a b a +=+则b a a b +的值是（ ）

A 、5

B 、7

C 、3

D 、

3

1

4、若x 取整数，则使分式

1

-2x 3

6x +的值为整数的x 值有 ( ) A 3个 B 4个 C 6个 D 8个 5、已知

x

B

x A x x x +-=--1322

，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－2 B 、2 C 、－4 D 、4 二、填空题 1、若分式方程

x m x x -=--2524无解，那么m 的值应为__________,若已知1

3

2112-+=-++x x x B x A （其中A 、B 为常数），则A=__________，B=__________；

且a +b +c ≠0，则k 的值为 . 3、方程

的解是_____________已知关于x 的方程

只有整数

解，则整数a 的值为_____________ 4、已知d c b a 、、、为正整数，且c

d a b c d a b )1(71,74-=

+-=，则a c 的值是_________；b d

的值是___________．

5、设m ＞n ＞0，m 2

＋n 2

＝4mn ，则22

m n mn -的值为___________,若121-x 与)4(3

1+x 互为倒数，则

x=__________.

三、解答题 1、解下列分式方程

（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）11

4

112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535

2、解下列方程

（1）4441=+++x x x x ； （2）5

6

9108967+++++=+++++x x x x x x x x

3、若关于x 的分式方程

3

132--=-x m

x 有增根，求m 的值.

4、若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值范围.

5、解关于x 的方程)0(≠+=--d c d

c

x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .

6、若分式方程

x

m

x x -=--221无解，求m 的值。

7、若关于x 的方程1

1122+=

-+-x x

x k x x 不会产生增根，求k 的值。

8、若关于x 分式方程

4

3

2212

-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

9、若关于x 的方程1

151221--=+-+-x k x

x k x

x 有增根1=x ，求k 的值。

10、m 为何值时，关于x 的方程

2243

2

x mx x x -+-=

+2会产生增根？当a 为何值时, )

1)(2(21221+-+=+----x x a

x x x x x 的解是负数?

考点二：分式方程的实际应用

（1）一般行程问题

1．某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（）

A．=B．=

C．=D．=

2.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

（2）水流问题

1、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

2、一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.

题型（二）工程问题

1．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）

A．﹣=2 B．﹣=2

C．﹣=2 D．﹣=2

2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？

3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？

题型（三）利润（成本、产量、价格、合格）问题

例1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，

（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人

（3）这个八年级的学生总数在什么范围内？

若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

1.某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．

（1）若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；

（2）若购买的两种球拍数一样，求x

2.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。

3. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。

4.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，

（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

题型四：其他类型

1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，

第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数X人，那么X应满足怎样的方程？

2、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合

格产品，甲厂的合格率乙厂高5%，求甲厂的合格率？

3、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高

5%，求甲班的合格率？

4、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分

别求这两种商品每千克的价值。

5、某甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？

对应练习：

1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？

2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度

5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。

6、甲乙两地相距360千米，新修的高叔公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间缩短了2小时，求原来的平均速度

7、一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.

8、一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.

9、大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇2小时后，由小抽水机继续工作1小时完成.已知小抽水机独浇

这块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的

1

1倍，求单独浇这块地各需多少时间？

10、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援建设，每天比原计划增产%25，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？

11、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.

12、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的2

1

2倍，所以加工完比原计划少用9小时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？

13、打字员甲的工作效率比乙高%25，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？

14、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg 和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。

15、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。

16、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。

17、退耕还林还草是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比是5：3，设退耕还林的面积是X公顷，那么应满足的分式方程是什么？

18、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。

19、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方水费上涨1/3，小利家去年12月的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民的用水的价格。

20、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？

21、某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格。

22、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？