六年级奥数专题20染色问题
二十染色问题(1)
年级班姓名得分
(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)
1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?
2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间?
3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图(a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?
(a) (b)
4.一个(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨牌”
(形如62个小格完全盖住?
5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.
6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形?
7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?
8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
A B
一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数.
9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
A B
一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?
10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
A B
证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).
11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
A B
一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A?为什么?
12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
A B
一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.
13.8?8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2?2的正方形和9个4?1的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.
14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)中任选、、
三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少?并说明理由.
10101010
01010101
10101010
01010100
10101010
01010101
10101010
01010101
表1
表2
———————————————答案——————————————————————
1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(29?31),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.
要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.
2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.
3. 图(a)行,走法如图所示.
图(a)
图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.
4. 不能.原因是每一个2?1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.
但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.
5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有3?3=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.
将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.
6. 设这六个点为A、B、C、D、E、F.我们先证明存在一个同色的三角形:
考虑由A点引出的五条线段AB、AC、AD、AE、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB、AC、AD三条同为红色.再考虑三角形BCD的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD为蓝色三角形.
B
C
A
D
下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC 的三边同为红色. (1) 若三角形DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形.
(2) 若三角形DEF 中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA 、DB 、DC
三
条线段，其中必有两条同色.
①若其中有两条是红色的,如DA 、DB 是红色的,则三角形DAB 为第二个同色三角形(图1).
②若其中有两条是蓝色的,设DA 、DB 为蓝色(图2).此时在EA 、EB 两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.
综上所述,一定有两个同色三角形.
7. 甲虫不能走遍所有的立方体.
我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.
8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.
由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.
9. 不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.
10. 与B 点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B 点出发,
A B
C D E (图1) A B C D
E (图2)
跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.
11. 不能.因为A 、B 两点异色,从B 到A 所跳的步数是一个奇数.
12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A 、B 两点异色,故从A 到B “车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.
13. 如图对8?8的棋盘染色,则每一个4?1的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个2?2的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个2?2的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.
14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色.
表(1)
本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.
+1 +1 +1 +1
-1 -1 -1 -1
+1 +1 +1 +1 +1 +1
-1 -1 -1 -1 -1 -1
+1 +1 +1 +1
+1 +1 -1 -1 -1 -1
-1 -1
二十 染色问题(2)
年级 班 姓名 得分
1. 下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何 一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?
2. 展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口 进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?
3. 图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路 相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?
4. 下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地 拼成一个4?n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.
5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).
6.能否用一个田字和15个4?1矩形覆盖8?8棋盘?
7.能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个8?8的正方形棋盘?
8.在8?8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.
9.下面三个图形都是从4?4的正方形分别剪去两个1?1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1?2的七个小矩形?
10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)
11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.
12.用一批1?2?4的长方体木块,能不能把一个容积为6?6?6的正方体木箱充塞填满?说明理由.
13.在平面上有一个27?27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9?9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中
,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?
14.12?12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3?4矩形的另一角(如图).问能,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)?
1
2 3
———————————————答案——————————————————————
1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.
2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.
3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.
4. 如图,对4?n长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L形纸片所占的方
3黑1白,第二类占3白1黑.
n个
设第一类有a个,第二类有b个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n是偶然.
5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.
6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4?1的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个4?1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4?1的矩形不能复盖8?8
7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住8?8的棋盘.
8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.
9. 先对4?4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1?2矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个1?2矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个1?2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个1?27个1?2的矩形.
棋盘(1)可以被.下面给出一种剪法:
10. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.
然后考虑前4列构成的3?4矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.
若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.
11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.
从任意一点,不妨设从A向其他16点A1,A2,…A16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA1,AA2,…AA6且同为红色.
考虑A1,A2,A3,A4,A5,A6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A1A2为红色) ,则三角形AA1A2为红色的同色三角形.
若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A 1引出的五条线段A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4 A 1A 5 A 1A 6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4,且同为蓝色.若三角形A 2A 3A 4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A 2A 3A 4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.
12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为2?2?2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色2?2?2的正方体有14个,白色2?2?2小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个1?1?1的小正方体.
将1?2?4的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含6?6?6=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住8?26=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个1?2?4长方体木块不管怎样放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.
13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.
因为一开始时,81枚棋子摆成一个9?9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.
A
A 1
A 2 A 3
A 4
A 5 A 6
A 1
A 2 A 3 A 4
14. 用两种方法对超级棋盘染色.
首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.
其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.
但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.
染色与覆盖
第三讲 染色与覆盖 本讲我们将一起学习染色与覆盖。而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。 知识构架图： 染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ） 覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ） 例题讲解 一、 染色问题 1、 座位染色问题 例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上 能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么 有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼 就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到 它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个 数不相等，所以无法办到。 提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众， 如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样 能办到吗？ 提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。 （2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。新年到了，每个同学都准备了一 个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个 别人送的礼物？ 提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。 2、 路径问题 例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。所以我们按例1的方法，将9个小格 染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会 走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从 A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可 以。 提高练习：（1）有一次车展共4×4=16个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口 提示：仍是黑白相间染色，根据奇偶性判断出不可以。
六年级奥数题：染色问题(A) (2)
十染色问题(1) 年级班姓名得分 (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨 牌” (把象棋盘上的62个小格完全盖住?
5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”. 6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解 日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子 组成。 目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。 3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。 4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格 子组成，一边长一边短。 凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形 状的四个格子组成。 田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形 状的四个格子组成。 完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。 一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。更复杂的染色 覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一 个需要这种技巧。 题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为 偶数。 题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。 题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存 有日字形覆盖。 题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。 题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。 题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四 个同色的方格位于一个长方形的四个角上。 题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。提示：本题目需要用多 种颜色染色。 题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。 题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明 剩下的部分能够实现日形覆盖。 题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？ 题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛 克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。现 在开始翻转部分马赛克，但是要求每次必须同时翻动9块（上次翻动 的下一次还能够翻动），试问：是否能够经过有限次翻动之后，得到 一个和原来黑白颜色正好相反的棋盘？ 题13：某个展览大厅是一个6*6的棋盘状，每个棋盘格子是一个展览室，相邻展览室之间有门相通。现在有人想从入口开始，不重复 不遗漏地走完所有的展览室。已知该展览室的入口在左上角，出口在 右下角，问，有无这种行走路径？
六年级奥数.应用题.浓度问题
一、 基本概念与关系 （1） 溶质 “干货”、“纯货”——被溶解的物质 （2） 溶剂 “溶质之外的物质”——用来溶解溶质的物质 （3） 溶液 溶液=溶质+溶剂——溶质与溶质的混合体 （4） 浓度 ——溶质的量占溶液的量的百分比 二、 基本方法 （1） 寻找不变量，按基本关系或比例求解 （2） 浓度三角（如右图所示） （3） 列方程或方程组求解 （1） 重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角 （2） 难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用 一、 抓住不变量和浓度基本关系解决问题 例题精讲 重难点 浓度问题 知识框架 =100%=100% +??溶质溶质浓度溶液溶质溶液::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z z-y x-z 乙溶液浓度y % 浓度x %混合浓度z%
【例 1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？ 【例 2】浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？ 【巩固】浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？【例 3】买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份？ 【巩固】1000千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了千克. 【例 4】将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________． 【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加入同样多的水，盐水的含 盐百分比将变为_______%. 二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题 【例 5】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【巩固】将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？ 【例 6】瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度 的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？ 【巩固】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为15%，盐浓度为10%，乙溶液中的酒精浓度为45%，盐浓度为5%．现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶 液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？ 【例 7】甲瓶中酒精的浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度是66%．如果两瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度是66.25%．问原来甲、乙 两瓶酒精分别有多少升？ 【巩固】纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%．如
小学数学六年级奥数《染色问题(1)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《染色问题(1)》练习题（含答案） 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨 牌” (把象棋盘上的62个小格完全盖住? 5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.
6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
小学奥数专题：黑白染色问题
小学奥数专题：黑白染色问题
专题:黑白染色问题 1. 下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何 一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗? 2. 展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口 进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 3. 图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路 相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线? 4. 下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地 拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.
5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况). 6.能否用一个田字和15个4?1矩形覆盖8?8棋盘? 7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8?8的正方形棋盘? 8.在8?8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由. 9.下面三个图形都是从4?4的正方形分别剪去两个1?1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1?2的七个小矩形? 10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图) 红 红 红 红 11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题. 12.用一批1?2?4的长方体木块,能不能把一个容积为6?6?6的正方体木箱充塞填满?说明理由. 13.在平面上有一个27?27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9?9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子? 14.12?12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3?4矩形的另一角(如图).问 1 2
六年级奥数专题01：染色问题教学文案
二十染色问题(1) 年级班姓名得分 (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图(a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b)) 呢?
(a) (b) ?8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨牌” ()把象棋盘上的62个小格完全盖住? 5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.
6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
奥数染色问题题目及答案
染色问题(1) 年级班姓名得分 (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨 牌” (把象棋盘上的62个小格完全盖住?
5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”. 6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:
最新奥数 染色问题
1. 如右图，对A,B,C,D,E五个区域分别用红黄绿蓝白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同色，问有多少种不同的着色方案？【组合十讲P37】 2 用红黄蓝三种颜色涂在右图的圆圈中，每个圆圈中，每个圆圈只涂一种颜色，并且要使每条连线两端的圆圈涂上不同颜色，问一共有多少种不同的涂法？ 3.某植物园计划在A,B,C,D,E五个地块栽种四种不同颜色的郁金香，每个地块内的郁金香必须同色，相邻的（有公共边界的）地块郁金香不能同色，不相邻可以同色，问共有多少种不同的方案？ 4.如图对A,B,C,D,E,F,G七个区域分别采用红，黄，绿，蓝，白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域不能同色，那么有多少种不同的着色方案？ 5.用红，黄，蓝，三种颜色把如图的8个小圆圈涂上颜色，每个圆圈只涂一种颜色，并且有连线的两个圆圈不能同色，那么有多少种不同涂色方案？【希望杯P107】 6. 一根划分成相等5段的钢管，若要用红，白两种颜色分别对每一段着色，问共有几种不同的涂色方案？（倒置后相同的两种涂色方案视为同种） 8. 如图用4种颜色对A,B,C,D,E五个区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么，共有几种涂法？ 9. 用三种颜色染正方体的6条边，相邻边不同色，有多少种染法？【教程P133】 10. 如图，用红，黄，蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一边的两段点不能同色，且顶点A 必须染红色，请问：有多少种不同的染色方案？【高斯导引P76】
11. 如图一个圆环被分成8部分，先将每一部分染上红，黄，蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种不同染色方案？ 12. 如图，用4种不同的颜色将图中的圆圈分别涂色，要求有线段连接的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色，共有几种涂法？（不许旋转翻转） 13 给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同，现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方案？ 14. 用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且乡邻面的颜色必须不同，如果将正方体经过反转后颜色相同视为同一种，那么共有多少种不同的染色方案？ 17.用红，黄，蓝三种颜色对右图进行染色，要求相邻两块颜色不同，共有多少种不同的染色方案？【简明读本P191】 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图(a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢?
六年级奥数专题染色问题
六年级奥数专题染色问题年级班姓名得分 (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.一个8?8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住? 5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.
6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数. 9.,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).
五年级下学期数学 长方体和正方体的染色问题 专项题型训练
长方体与正方体的染色问题 【知识点总结】 三个面都染色的在8个顶点处，两个面都染色的在12条棱的中间段（去掉每条横两头的各一个），一面有色的在各个面的中央，没有着色的在长方体的里面。 对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下： 三面涂色的：8块 二面涂色的：（n－2）×12 一面涂色的：（n－2）×（n－2）×6 没有颜色的：（n－2）×（n－2）×（n－2） 验算的方法：上面的总数=体积数 对于一个a×b×c的长方体，其涂色情况如下： 三面涂色的：8块 二面涂色的：[（a－2）＋（b－2）＋（c－2）]×4 一面涂色的：[（a－2）×（b－2）＋（a－2）×（c－2）＋（b－2）×（c－2）]×2 没有颜色的：（a－2）×（b－2）×（c－2） 验算的方法：上面的总数=体积数 【针对性训练】 1、下图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它洞虚线切成8 个正方体，这些小正方体的所有表面的面积和是（）平方厘米。 2、一个正方体形状的木块儿，棱长为1米，若沿着正方体的三个方向分别锯成3份，四份、五份，如下图，得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？
3、一个表面积为56平方厘米的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体的表面积的和是多少平方厘米？ 4、（1）将一个长10厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体表面全部染成红色，然后切割成棱长为1厘米的小正方体，所有的小正方体中有1面染色的有（）个，2面染色的有（）个，三面染色的有（）个，0面染色的有（）个。 （2）将一个棱长为8厘米的正方体表面全部染成红色，然后切割成棱长为1厘米的小正方体，所有的小正方体中有1面染色的有（）个，2面染色的有（）个，三面染色的有（）个，0面染色的有（）个 5、（1）将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红色没有涂的小立方体只有3块。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ （2）将一个表面都涂成红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红色都没有的小正方体只有5块．原来长方体的体积是多少立方厘米？ 6、125个棱长为1厘米的小正方体，62个白色，63个黑色，拼成大正方体，在表面上白色部分的面积最多是多少平方厘米？
六年级奥数题：染色问题(B)
二十 染色问题(2) 年级 班 姓名 得分 1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何 一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗? 2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口 进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路 相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线? 4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地 拼成一个4n 的长方形,试证明:n 一定是偶数. 5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况). 6.能否用一个田字和15个41矩形覆盖88棋盘?
7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个88的正方形棋盘? 8.在88棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由. 9.下面三个图形都是从44的正方形分别剪去两个11的小方格得到的,问可否把它们分别剪成12的七个小矩形? 10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图) 红 红 红 红 11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题. 12.用一批124的长方体木块,能不能把一个容积为666的正方体木箱充塞填满?说明理由. 13.在平面上有一个2727的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个99的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子? 14.1212的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至34矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回 O O 1 2 3
小学奥数专题：黑白染色问题.
专题:黑白染色问题 1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗? 2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线? 4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地 拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数. 5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).
6.能否用一个田字和15个4?1矩形覆盖8?8棋盘? 7.能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个8?8的正方形棋盘? 8.在8?8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由. 9.下面三个图形都是从4?4的正方形分别剪去两个1?1的小方格得到的,问 可否把它们分别剪成1?2 的七个小矩形? (3) 10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图) 红红红红 11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题. 12.用一批1?2?4的长方体木块,能不能把一个容积为6?6?6的正方体木箱充塞填满?说明理由. 13.在平面上有一个27?27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9?9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子? 14.12?12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3?4矩形的另一角(如图).问 “回路”)? 1 2 3
2019年六年级奥数题：染色问题(A)
2019年六年级奥数题：染色问题(A) (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21 )把象棋盘上的62个小格完全盖住? 5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.
6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回
六年级奥数染色和覆盖
染色和覆盖 [同步巩固演练] 1、某影院有座位31排，每排29个座。某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。 如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？为什么？ 2、（北京市第12届小学生迎春杯决赛试题） 如图，把A、B、C、D、E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图一共有_____________种不同的着色方法。 4、下图，是一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁的房间相通。 问能否从1号房间开始，不重复的走遍所有房间又回到1号房间？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5、如图，由22块1×1的小正方形拼成，能不能用若干个2×1的矩形将这个图形不重复 地全部覆盖？ [能力拓展平台] 1、有一个5×5的方格棋盘，如图所示，每一个小方格中有一只小甲虫，假设在同一时刻， 所有小甲虫都爬到邻格中（横向与纵向的格，不能斜爬），问此时能否会出现空格？ 2、一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘 上的62个小格完全盖住？
3、至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。 4、现有1，1，2，2，3，3，……，10，10共20个数。问能否将这些数排一行并满足两个 1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……，两个10之间有十个数？请说明理由。 5、下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻 两个方格组成的长方形。 [全讲综合训练] 1、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数 还是偶数？ 2、正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线 路使参观的人不重复地走完全部展室？ 3、将上题的入口改在A处，如下图，这条线路可能吗？ 4、把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？
六年级奥数专题01：染色问题
二十染色问题(1) 年级班得分 (编者按:由于容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.一个8?8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨 把象棋盘上的62个小格完全盖住?
5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”. 6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回答 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回答 一只马能否跳遍这半棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回
奥数：乘法原理之染色法.学生版(精编版)
1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法； 2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系． 3.培养学生准确分解步骤的解题能力； 乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯． 一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？ 我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了． 二、乘法原理的定义 完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法． 结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条． 教学目标 知识要点 7-2-3乘法原理之染色问题
小学奥数专题15：染色问题
专题14 染色问题 1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗? 2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线? 4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数. 5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况 ). 通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资
6.能否用一个田字和15个4?1矩形覆盖8?8棋盘? 7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8?8的正方形棋盘? 8.在8?8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从4?4的正方形分别剪去两个1?1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1?2的七个小矩形? (1) (2) (3) 10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)红红红红11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批1?2?4的长方体木块,能不能把一个容积为6?6?6的正方体木箱 充塞填满?说明理由. 13.在平面上有一个27?27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9?9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法 ,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.12?12 的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3? 4矩形的另一角( 如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)? 123术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进
六年级上册奥数试题：第19讲 简单染色问题 全国通用(含答案)
第19讲简单染色问题 知识网络 数学竞赛中的“染色”一般包括两个方面：染色问题和染色方法。如果染色作为题目的条件给出，那么一般要考虑的是存在与否，有何性质以及有多少种染法等，这就是染色问题。如果题目中没有提到染色，在解题中运用形象、直观的染色来进行分类，帮助解决问题这就是染色方法。 重点·难点 我们在前面几讲中也涉及到染色问题。一般来说，染色问题涉及分类、奇偶性、排列组合等多方面的知识。因此如何应用这些相关的知识点解题，是很关键的。在下面的例题中也可以看出，这些知识在解题中的应用。 学法指导 染色作为一种数学思维方法，可以用来推证说理，使一些难以讲清楚的问题一目了然。有时染色题可能很难想清楚，比如“四色问题”，但可以运用上面的知识点解决一些比较简单的染色问题。 经典例题 [例1]如图1所示，一个长方形被分成6块区域，若给每一块区域都染色，并且要求相邻的区域颜色不同，请问至少需要多少种不同的颜色？ 思路剖析 由于A、B、C两两相邻，所以要使相邻的区域颜色不同，至少A、B、C的颜色不能相同。但是，仅有3种颜色够不够呢？对于区域较少的情形可以逐一试验，如果区域较多时，可以考虑取有多相邻区域的区域来先染色。 解答 先考虑有最多相邻区域的A，染第1种颜色；其次考虑与A相邻的B、C、D、E中，有最多相邻区域的E，染第2种颜色；再考虑B，它与A、E都相邻，染第3种颜色。由C 和E不相邻，故C可用第2种颜色，D与B不相邻，D可用第3种颜色，F和A不相邻，F 可染第一种颜色。这样，用第一种颜色染在A和F上，用第二种颜色染在C和E上，用第三种颜色染在B和D上即可满足题意要求。 所以，满足条件的染色，至少需要三种颜色。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：染色法(练习无答案)全国通用
在解决某些数学问题时，我们常常需要把有关元素适当分类。为了使这种分类更为形象，我们可以设想把元素分别涂上不同的颜色。这类用涂色的方法来寻求解题思路的方法叫做染色法。 根据染色对象的不同，染色法一般分为方格染色、线段染色和点染色三种，在运用染色法解题的过程中，常结合抽屉原理等组合知识和图论初步知识。解题步骤一般分为： (1)审题，把实际问题用染色图表示出来； (2)运用抽屉原理或图论知识对染色图进行分析； (3)找出问题的答案。 [例1] 在平面上有一个27×27的方格棋盘，在横盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。问：是否存在一种方法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子? 思路剖析 本题的游戏规则是一枚棋子越过相邻的棋子进 行移动，故每一次移动会影响3个棋盘方块的棋子 数，可考虑用3种颜色对棋盘染色，研究其变动规 律，推出答案。 解答 如图1所示，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有
两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数的奇偶性都要改变。 因为一开始时，81个棋子摆成一个9×9的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。 但如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另—部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不 存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。 [例2]在5×5的方格棋盘中的A格里放一颗棋子，规定每次棋子可向左右或上下移动一格，问这颗棋子走25步后能否回到原处? 思路剖析 如图2所示，棋子从A出发，每一步都有2┉4种走法，25步以后出现的情况很多。从表面上看，似乎找不到棋子行走的规律，若利用染色法，对棋格作相间染色，很容易发现规律，找到本题答案。 解答 如图3所示，对棋格作相间染色，则棋子从白格A出发，走l步进入黑格，走2步进入白格，走3步进入黑格，……，显然，棋子从白格A出发。走奇数步落在黑格，走偶数步落在白格，所以，走25步一定落在黑格，而原处为白格，故本题答案为：这颗棋子走25步后不能回到原处。 [例3】如图4所示，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只小甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 思路剖析 先将正方体进行黑白相间染色(见图5)，则小甲虫每移动一次，会改 变一次方格的颜色，对小甲虫走过不同颜色的方格数进行考虑，问题便迎刃而解了。 解答 我们如图5所示，将正方体分割成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上黑色。显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。 [例4] 如图6所示，平面上给定6个点，没有三个点在一条直线上。证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，必定有一个三角形，它的最大边同时是另一个三角形的最小边。 思路剖析 在一般情况下，三角形的三条边互不相等，因此存在一个最大边和最小边，考虑特殊情况，在等腰三角形(或等边三角形)中，最大边可能有2 条(或3条)。同样，可用涂色法解决。 证明 先将每一个三角形中的最大边涂成红 色，然后将其余的边染成绿色。 (1)先证明这些三角形中至少有一个 同色三角形。根据抽屉原理，从A出发的5 条线，至少有3条线同色，设有3条红线 AB、AC、AD，再分析BC、BD、CD三条线段， 若有l条为红色，问题得证，若3条全是绿 色．问题也得证。 (2)由(1)可知，全部三角形中必有一个为同色三角形，若为红色三角形，则这红色三角形中的最小边必定是某个三角形的最大边；若为绿色三