高中数学高二第一学期8.3平面向量的分解定理_教案1-沪教版

平面向量的分解定理

【教学目标】

1．理解和掌握平面向量的分解定理；

2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；

3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。

4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。【教学重难点】

平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。

【教学过程】

一、设置情景，引入课题

（1）观察。

前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？

下面让我们来看一个实例：

实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住。CO所受

的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F

1和F

2

。

B

思考：从这个实例我们看到了什么？

答：一个向量可以分成两个不同方向的向量。（2）复习正交分解，并抽象为数学模型。

e 1

a=入1e 1 +入2e 2.

1

j P

OP xi y j =+。

二、探索探究，主动建构

概括讨论，提出新问题：

如果向量21,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量21,e e 表示向量a ？

数学实验1： 实验设计：

（1）实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量21,e e ，对于给定的非零向量是否能分解成21,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？

（2）实验步骤：

A ．以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量21,e e 和；

B ．每个同学先独立作图；

C ．小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同。并得出结论。 （3）实验报告：（由学生发言）可以分解，且分解的长度和方向唯一的。 师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a 和21,e e 的关系表示出来？

生：21,e e 是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O 。

（1）作1,OA e =2,OB e =OC a =；

（2）过C 作平行于直线OB 的平行线与直线OA 相交于点M ； （3）过C 作平行于直线OA 的平行线与直线OB 相交于点N ；

（4）四边形ONCM 为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数21,λλ，使得

11OM e λ=，22ON e λ=，则2211e e ON OM a OC λλ+=+==。

对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验。

数学实验2： 实验设计：

（1）实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的。

（2）实验步骤：

A ．利用几何画板画出两个不平行向量21,e e ，画出一个任意向量（该向量可以任意拖动终点来改变）；

B ．学生从拖动中体会其向量的任意性。（一些特殊位置0，1a e ，2a e ）。 （3）实验报告： 3．探究结果。

几何角度：平面内的任一向量a 都可以表示为给定的两个不平行向量21,e e 的线性组合，即2211e e λλ+=，且分解是唯一的。

代数角度：说明唯一性： 说明：

（1）当=时，21000e e ?+?=；

（2）当≠时，假设1122a e e λλ''=+，则有：

1122e e λλ+=1122e e λλ''+， 111222()()0e e λλλλ''-?+-?=。

由于21,e e 不平行，故1122()0,()0λλλλ''-=-=，即1122,λλλλ''==。 4．概括得出定理：

平面向量分解定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=。

我们把不平行的向量21,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基。 注意：

（1）基底不共线；

（2）将任一向量在给出基底1

e 、2

e 的条件下进行分解；

（3）基底给定时，分解形式唯一，21,λλ是被

a

，1e ，2e 唯一确定的数量。

（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练。）