原子物理与量子力学复习要点11级

《原子物理与量子力学》总结

1. 给出波函数的各种表达形式，如三角函数式，指数形式，δ函数式，能求出粒子的几率

分布，是否可以归一化，是否符合实际的物理问题。

三角式：)]cos[t A ω-?=r k Ψ，改写为波函数的建立：德布罗意提出的物质波使实物粒子的量子状态可以用波函数)](2cos[

ν

λλ

π

ψt

x A x -

=描述，扩展到空间()z y,x,r ，得

指数式：)

(i e

t A ω-?=r k Ψ，由波矢，动量与能量的关系得

)(i

e

Et A -?=r p Ψ

利用傅里叶积分将波包展开成一系列平面单色波的叠加可以得到：

()p t ,Et d e

)()π2(1

)(i

2

/3-??

=

r p p r Ψ

?波包

利用狄拉克δ函数的性质：??

?=∞

≠=-0

000

)(δx x x x x x ；

1d )(δ-0=-?

+∞

∞

x x x 得

δ函数式：)(i 00e d 21)(δx x k k x x -+∞

∞

-?

=

-

π

波函数服从统计性的规律，即波函数在空间某一点的强度和在该点找到的例子几率成比例，即描述粒子的波矢几率波。通过运算可对波函数进行归一化：

定义：微观粒子的运动状态用波函数),(t r ψ描述，代表t 时间在r 处的概率波幅，其中，

2),(t r w ψ=表示概率密度，在复数形式下，),(),(),(2

t r t r t r ψψψ?=*。全空间内概率

满足

1d ),(2

=?τψt r V

此式为波函数的归一化条件。

由空间的相对性，在同一状态下的波函数相对概率相等有2

21221)

,()

,(),(),(t r t r t r C t r C ψψψψ≡，因此

可对波函数进行归一化： 若：

0d ),(2

>=?

A t r V

τψ则1d ),(1

2

=?τψt r A

V

，得归一化的波函数A r /)(ψ。 例如可将∞≤≤+=-x x x 0,)2i 1()(1

ψ进行归一化，解答如下：

波函数为2412i 12i 11)(x x x x +-=+=

ψ，共轭复数为2

412i 1)(x x x ++=

*

ψ 概率密度2

411)()(x

x x w +=?=*

ψψ 4π

2arctan 21d 411d 0

2

==+=∞

∞

∞

?

?

x x x x w 故归一化的波函数为1)2i 1(π

2)(-+=

x x ψ。

2. 经典物理遇到的困难是什么，如光电效应的困难，黑体辐射的困难。

经典物理遇到的困难即量子论的提出：主要有 一．黑体辐射

（1） 黑体及黑体辐射

定义：黑体——在任何温度下都能全部吸收落在其表面上的一切辐射的理想吸收体 定义：表面亮度：

),()

,()

,(T E T a T e λλλ=其中),(T e λ为物体对光的发射本领；),(T a λ为物体

对光的吸收本领，二者比值),(T E λ为表面亮度。 （2） 黑体辐射的基本规律

定理：斯特番—波尔兹曼公式：4

0)(T T R σ=，其中83

24

51067.5152-?==h

c k πσ—S-B 常数 定理：维恩分布定律：T

a e

B T /3),(γννρ-=

定理：瑞利—金斯公式：KT c

hv T ?=3

2

8),(πνρ 定理：维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即

m λ T=b （常量）；

困难：辐射能量密度与频率的平方成正比，频率较低时能量密度与频率符合瑞利—金斯公式，

高频时不满足，紫外端发散形成“紫外灾难”。 二．康普顿效应

X 射线被轻原子量的物质(康普顿用的是石墨靶)散射后，其波长的增量随散射角的不同而变化，这种现象称为康普顿效应，对应的波长称为康普顿波长。如右图：

由经典物理学可知，当自由电子0m 静止，一波长为0λ光子与之碰撞，光子将沿着X 方向呈φ角，Y 方向呈θπ-角度散射出去，在X 、Y 各自的方向上动量、能量均守恒，有： X 方向上：

θφλ

λcos cos 0

mv h

h

+=

(1)

Y 方向上： θφλ

sin sin mv h

= （2） 能量守恒：

200

)(c m m hc

hc

-=λ

λ （3）

其中，λ为康普顿散射波长；c 为光速，由上述3式解得：

2

sin 2200φ

λλc m h =

- （4） 此式说明光具有粒子性，其波长的改变与物质无关，仅取决于入射角，式中常数项即为康普顿波长c

m h

0c =

λ。 带入数值，kg 101.9310-?=m ，s J 1063.634??=-h ，m/s 100.38

?=c 得

fm 10428.23c ?=λ（m 10fm 115-=）

困难：经典物理告诉我们，电荷以与电磁波一直的频率振动，并向外辐射电磁波形成散射波，散射波的频率与入射波相等，波长不变；事实是散射波长是变化的，且波长与散射物质无关，只与散射光和入射光的角度有关，散射角越大，波长改变量0λλλ-=?越大。 三．光电效应与普朗克的量子假说

1.普朗克黑体辐射公式：1)/ex p(18),(3

3-?=KT h c hv T νπνρ修正项为1

)/ex p(-KT h νν

。 此式使黑体辐射每个波段都吻合。普朗克提出解释：对于一定频率的电磁辐射，物体只能一

次吸收或发射能量为ε的单元，即物体的能量只能是某一个能量单位的整数倍，每一个最小的能量单元称为能量子，对于频率为ν的电磁波能量子为νεh =，式中

s J 1063.634??=-h ，称为普朗克常数。

困难：能量子的概念说明物体的能量是不连续的，与经典物理的理论是相悖的。

2.光电效应：金属被光照射后，金属内的电子吸收光的能量逃逸出金属，从而使金属带上正电的现象。电子称为光电子，形成的电流为光电流。

实验发现，当入射光线的强度和频率一定时，加速电压越大，光电流越强，但当增大到一定的程度后，无论怎样增加，光电流不再增大，此式的光电流称为饱和光电流。在频率一定的情况下，饱和光电流与光强成正比。

困难：经典物理学可知，光的频率和振幅越大，电子更易吸收能量逸出其表面，然而实验表明，当频率低于一定数值，光电效应不会发生，这与经典物理是不同的。 四．原子结构与玻尔理论

（1）原子核式结构模型及其验证： 1）密立根油滴实验测量到电子的数值C 10

6.119

-?=e 通过实验得电子质量

kg 101.931-?=e m 。

2）α散射实验验证了卢瑟福的原子核式结构模型

（2）氢原子的分立谱线 定理：里德伯公式 ]11[

1

22~

m

n R H -==

λ

ν ，其中71009.1?=H R —里德伯常数 解释：（1）氢原子的光谱由许多分立现状光谱构成；（2）任意一条谱线的波数可用上式表示，

即两项光谱之差；（3）每一项光谱是某一自然数的函数。 （3） 玻尔定态假设 1. 定态假设：

1）原子长时间处于一些稳定状态（定态）；2）各定态有相对应的能量，且数值分立（能量不连续）；3）原子能量的改变通过跃迁来实现。

2.跃迁能量假设：12E E h -=ν，其中h 为普朗克常量。

3.角动量量子化假设

电子绕核运动的角动量是量子化的，即 n vr m L n ==e ，其中π

2h

= ，n 为量子数，r 为量子化的轨道半径。

4.电子椭圆轨道的量子化：

普适条件的量子化条件：nh q p =?

d ，其中p,q 分别是广义动量与广义坐标。此式为量子化通则。

困难：按照经典物理的理论，物质释放能量将使质量减小，换句话说，电子将会最终落在原子核上，原子时不稳定的，事实是原子核通过强大的库仑力维持体系的完整。

1. 物质波的提出

1）光的干涉衍射偏振说明了光的波动性，而康普顿效应，光电效应和黑体辐射说明了光的粒子性，爱因斯坦描述光子νh E =，由于λν/c =而πνω2=，由质能方程2

mc E =带入得

k h

p ==

λ

，其中k 为波矢量大小，且λ

π

2≡

k ，改写矢量式得k n p ==

λ

h

2）法国科学家德布罗意提出物质波有波粒二象性，即一切实物粒子都有波动性，且波长p h /=λ

以上就是经典物理遇到的困难。

3. 结合杨氏双缝干涉实验对几率波的解释，态叠加原理。 （1） 托马斯·杨双缝干涉

假定两束相干光（满足双缝干涉，频率相同，相位差恒定，强度相差不大），相遇时在空间形成干涉现象，此时波函数为)cos(111?ωψ+=t A ；)cos(222?ωψ+=t A ，合成的运动将由振幅和相位决定，并存在以下关系：

)cos(221212

2212??-++=A A A A A ；2

2112

211cos cos sin sin tan ?????A A A A ++=

，经一段时间τ后两

束光叠加后的光强)cos(2d 1

21212

2210

22

??ττ

-++==

=?

A A A A t A A I ，由此，光强将决定

于相位差。当两束光强度相差不大，振幅可视为相等，π??2

)

12(21+=

-n 时，出现干涉极小值，光强0=I ，由于光线的差异将在挡板上呈现明暗相间的条纹。 (2) 双缝干涉的量子论解释

明暗程度的不同反应了光子到达挡板数量上的差异，光子多的地方出现明条纹，反之则出现暗条纹，同理，使用其他的粒子，由于粒子自身的干涉条件，同样会出现相似的概率分

布。因此双缝干涉的实质是光子在挡板上分布的几率不同，通过波函数可以将这种状态反映出来。

（3）态叠加原理：

若1ψ、2ψ为描述两个不同状态的波函数，则他们的线性叠加态2211ψψψC C +=表示例子既可能处于1ψ态又可能处于2ψ态，且处于这两个态的概率分别为21C 、2

2C 。但是，波函数与态叠加原理仅是量子力学的基本假设。

4. 写出薛定谔方程的几种形式，会对简单的物理问题进行求解，如：一维无限深势阱，方

势阱，一维谐振子，氢原子问题。 （1）薛定谔方程的建立及形式： 由平面单色波波函数)(i

e

Et A -?=r p Ψ

可知，方程两边同时对时间求偏导可得：

ΨΨE t

=??

i ， 定义：由梯度算符r

??=

?有?= i -p ，此为动量算符，对应的由mE p 22

=得222?-=m E 即为能量算符。加入粒子势能),(t U r 得),(22

2t r U m E +?-=

薛定谔方程：（1）ψψ]2[i 2

2U m

t +?-

=?? 引入力学算符A

?，结合经典力学中哈密顿能量的表达式 U m

p U T H +=+=22

，定义量子力学中的哈密顿算符)(22

2r U m

H +?-=∧

得到薛定谔方程:（2）ψψE H =∧。 由于哈密顿算符在不同理论中具有不同的形式，故薛定谔方程也可写成：

拉普拉斯方程：（3）ψψE x U x m =+-

)](d d 2[22

2 ；ψψE x U m

=+?-)](2[22 电磁场中带电粒子的薛定谔方程：（4）ψφψ])?(21[i 2

q c

q m t +-=??A P

其中，A B ??=，A 为电磁场的矢势，A v P c

q m +

=，P

?为正则动量，φ为磁标势。 引入矩阵力学的理论，特定的表象下，量子力学中的薛定谔公式可用矩阵表述：

（5）????

? ??????? ?

?=????? ??

212221121121i a a H H H H a

a

.

说明：薛定谔方程在量子力学中地位等同于牛顿第二定律。适用于非相对论情况。

x

U 0(x )

∞

∞

x =a

（2） 利用薛定谔方程可求解一维定态问题： 1） 一维无限深势阱： 势函数：???><∞

≤≤=a

x x a x x U ,000)(，其中a 为势

阱宽度，

求解：阱内薛定谔方程112

2

2d d 2ψψE x

m =- ， a x ≤≤0

阱外薛定谔方程2222

2

2d d 2ψψψE x

m =?∞+- ，a x x ><,0

边界条件)0()0(21ψψ=，)()(21a a ψψ= 阱外解得：0)(2=x ψ 对于阱内：令22

2

mE k =

化方程为012

''1=+ψψk 通解kx B kx A x sin cos )(1+=ψ，带入第二个边界条件，取a n k π=带入2

2

2 mE k =得22222ma n E π =，可以看出，当n 取不同的整

数，能量是量子化的。归一化波函数得??

?

??><≤≤=a x x a x x a

n a x ,000sin 2)(πψ 2）半无限深势阱

势函数：???

??><<<∞=a

x U a x x x U ,0,

00,

)(0

在x <0粒子势能为无穷大，

0)

()(d )

(d 22

22<=?∞+-x x E x x x m ψψψ

边界条件00)(≤=x x ψ

在

0

区域粒子势能为零

a x x E x x m <<=-0)

(d )

(d 22

2

2

ψψ

x

U 0(x )

U 0

∞

x =a

类似于简谐振子的方程，其通解为a x B kx A x ≤≤+=0)sin()(ψ，其中2

22 mE

k =

代入边界条件得：0sin )0(==B A ?，故0=B a x kx

A x ≤≤=∴0sin )(?

3、在x >a 区域粒子势能不为零（0U ），a x x E U m

x x ≥-=)()(2d )(d 022

2ψψ

即a x x x

x ≥=)(d )

(d 22

2ψκψ，式中)(2022E U m

-=

κ其通解为 a x C B x x x ≥+=-,

e e )(κκψ

在x →∞时波函数应有限，所以C=0，a x B x x

≥=∴-,e )(κψ

结果说明粒子仍有一定的概率进入a x ≥区域

波函数标准化条件要求在边界上波函数的一阶导数连续，否则会导致二阶导数发散，薛定谔方程失去意义

a x a x x x

x x x x ===∴

|)(/d )

(d |)(/d )(d 2211ψψψψ κ-=)

sin()cos(ka ka k ，故1)(sin )(cos 02222-==E U k ka ka κ，有02

)(sin U E ka =

其中)(2022

E U m -=

κ；2

22

mE k =,2π≥ka 结果说明若势阱内有束缚态，能量是量子化的解该超越方程可求出各能量 势阱内至少有一个束缚态的基态能的条件是：22

2 mE k =

；2

1)(sin 2

π≥≤ka ka 或 022

22

2328U ma h ma E ≤== π

a x B x x ≥=∴-,

e )(κψ

结果说明粒子会出现在x ＝a 的表层附近. 3） 一维无限深方势阱：

势函数????

?≥∞

<=a

x a x x U 0

)(

定态薛定谔方程：

???????≥=+-<=-a x E U x

m a x E x m ψψψ

ψψ

02

222

22

d d 2d d 2 ，当∞→0U 时，

根据波函数的连续性和有限性条件得：a x >=0

ψ，

x

x =a /2

U 0

U 0

x =a/2

U 0(x )

令22 mE =

α，薛定谔方程化为： a x x

<=+0d d 22

2ψαψ

，方程通解：

a x x B x A x <+=ααψcos sin )(，利用边界条件：00==-==a

x a

x ψ

ψ

得：

0cos sin 0

cos sin =+-=+a B a A a B a A αααα，解得???????===)(20cos 0为奇数n a n a A παα；???

????

===)

(20sin 0为偶数n a n a B π

αα。

带入能量本征方程： 3,2,1,82

2

22==n ma

n E π 显然，一维无限深方势阱的能谱是分立谱，这个分离的能谱就是量子化了的能级。 当1=n 时，2

2

218ma E π=

为粒子的基态，此本征值能量称为零点能，是束缚在无限深方势阱

内粒子所具有的最低能量。 归一化以后的波函数为：

4） 一维有限深方势阱

势函数???

?

??

?≥

<

=2

20)(0a x U a

x x U 讨论0U E <情况，在2

a

x ≥

的区域，薛定谔方程化为： 2

022

2/)(220d d E U m a x x

-=>

=+βψβψ

在±∞→x 时，ψ有界的解为：

???

?

??

?<

>

=-2e 2e )(a x B a

x A x x x ββψ， 在2

a

x <

区域，薛定谔方程为： ??

???>≤-=a x a

x a x a n a x 0)(2sin 1)(πψ