人教版必修四三角函数图像性质变换Word版
学生姓名唐嘉励性别女年级高一学科数学
授课教师上课时间2013年12月22日13：00-15：00课时：2 课时教学课题正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、性质、变换
教学过程
三角函数的图象和性质
函数
性质
y＝sin x y＝cos x y＝tan x
定义域R R{x|x≠kπ＋
π
2，k∈Z} 图象
值域
[－1,1][－1,1]R
对称性
对称轴：__ x＝kπ＋
π
2
(k∈Z)__ _；
对称中心：
_ (kπ，0)(k∈Z)__ _
对称轴：
x＝kπ(k∈Z)___；
对称中心：
_(kπ＋
π
2，0) (k∈Z)__
对称中心：_????
kπ
2，0
(k∈Z) __
周期2π_2ππ
单调性
单调增区间_[2kπ－
π
2，2kπ＋
π
2](k∈Z)___；
单调减区间[2kπ＋
π
2，
2kπ＋
3π
2] (k∈Z) __
单调增区间[2kπ－π，
2kπ] (k∈Z) ____；
单调减区间[2kπ，2kπ
＋π](k∈Z)______
单调增区间_(kπ－
π
2，
kπ＋
π
2)(k∈Z)___
奇偶性奇函数偶函数奇函数
2．利用“五点法”作函数R
x
x
A
y∈
+
=),
sin(?
ω(其中0
,0>
>ω
A)的简图，是将?
ω+
x看着一个整体，先令
ππ
ππ
?ω2,2
3,
,2
,
0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，
用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。
3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?
ω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ
=T
4．图象变换
(1)振幅变换 R
x x y ∈=,sin ??????????????→?<<>倍
到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A
(2)周期变换 R x x y ∈=,sin ??????????????→
?<<>倍
到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω1
1)(01)(R x x y ∈=,sin ω
(3)相位变换 R x x y ∈=,sin ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(sin ? (4)复合变换 R
x x y ∈=,sin ????????????→
?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(sin ?
??
????????????→?<<>倍
到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→
?<<>倍
到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω
5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，
图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
类型一：定义域
（1）求函数
的定义域。
思路点拨：找出使函数有意义的不等式组，并解答即可.
解析：
将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分， 由于x ∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值， 即：
∴因此函数的定义域为：。
（2）求函数的定义域.
要使得函数有意义，需满足
解得
∴定义域为：
（3）已知的定义域为，求的定义域.
解：∵中，∴中，
解得，
∴的定义域为：.
类型二：单调性与最值、值域、周期
1．把三角函数式化简为（）是解决周期、最值、单调区间、对称性等问题的常用方法.
2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间
（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界。
（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.
3. 周期的计算：的周期是，的周期是
讨论]
6
,
6
[
),
3
2
sin(
2
π
π
π
-
∈
+
=x
x
y的单调性，最值、值域、周期。
利用单调性比较下列各组的大小：
（1），，；
（2），．
类型三：奇偶性与对称性
已知函数
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性。
思路点拨：先求定义域并判断在数轴上关于原点对称，再结合函数的图象判断其奇偶性和对称性。
解析：
（1）的定义域关于原点对称，
∵且，
∴函数不是奇函数也不是偶函数.
（2）∵令,则的图象的对称轴是，对称中心（），
∴函数的图象的对称轴是即（）由得（），
∴函数的图象的对称中心是（）.
总结升华：
①经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式（），再判断其奇偶性。函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。
②对于（）来说，对称中心与零点（平衡位置）相联系，对称轴与最值点（极值点）联系.
课后作业类型四：三角函数的图象
例题1：作函数y = 3sin(2x+ )
3
π
的简图。
解析：⑴设Z= 2x +
3
π
，那么 3sin(2x+ )=3sinZ
3
π
，3
z z
x
226
π
-π
==-，分别取z = 0，
2
π
，π，2
3π
，2π，则得x为
6
π
-，
12
π
，
3
π
，
12
7π
，
6
5π
，所对应的五点为函数y=3sin(x )
3
π
-在一个周
期[
6
π
-，
6
5π
]图象上起关键作用的点。
⑵列表
x 6
π
-
12
π
3
π
12
7π
6
5π
2x
3
π
+
0 2
π
π2
3π
2π
sin(2x+)
3
π
0 1 0 -1 0
3 sin(2x+)
3
π
0 3 0 -3 0
于是得函数的图象：
例题2：函数
3
sin()
226
x
y
π
=+表示一个振动量。
（1）、指出函数的振幅、最小周期、初相、频率和单调区间.
（2）、说明此函数的图像怎样由sin
y x
=的图像得到.
① 函数)(),sin(Z k x k y ∈+-=π是奇函数；
② 函数)32sin(2π
+
=x y 的图象关于点)0,12
(π
对称； ③ 若α、β是第一象限的角，且αβ>，则βαsin sin > ④ △ABC 中，B A cos cos >的充要条件是B A <。
三．解答题
15．化简：)
2
9sin()sin()3sin()cos()
211cos()2cos()cos()2sin(απ
απαπαπαπ
απαπαπ+-----++-
16．函数)2
,0,0(),sin()(π
θθ<
>>+=w A wx A x f 的
图象如右，求出它的解析式，并说出它的周期、振幅、相位。
17．已知函数)6
3
1sin(2π
-
=x y
（1）求它的单调区间、定义域、周期、最大（小）值； （2）当x 为何值时，使1>y ？
18．已知,sin tan ,sin tan b a =-=+θθθθ 求证：ab b a 16)(222=-。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）