二次函数的应用(含答案)
二次函数的应用练习题
1、在一幅长60cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸
边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是
y cm 2，设金色纸边的宽度为x cm 2，那么y 关于x 的函数是（ ）
A ．y =（60+2x ）（40+2x ）
B ．y =（60+x ）（40+x ）
C ．y =（60+2x ）（40+x ）
D ．y =（60+x ）（40+2x ）
2、把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ）
A ．y = -x 2+50x
B ．y =x 2-50x
C ．y = -x 2+25x
D ．y = -2x 2+25
3、某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（）
A ．y =x 2＋a
B ．y =a （x －1）2
C ．y =a （1－x ）2
D ．y =a （1＋x ）2
4、如图所示是二次函数y=2122
x -+的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）
A ．4
B ．163
C ．2π
D ．8 5、周长8m 的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，
那么这个窗户的最大透光面积是（）m 2
A ． 45
B ． 83
C ．4
D ． 56
6、如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小
球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为h =30t -5t 2，那么小球从抛出至回
落到地面所需要的时间是（ ）
A ．6s
B ．4s
C ．3s
D ．2s
7、如图，二次函数y = -x 2-2x 的图象与x 轴交于点A 、O ，在抛物线
上有一点P ，满足
S △AOP =3，则点P 的坐标是（ ）
A ．（-3，-3）
B ．（1，-3）
C ．（-3，-3）或（-3，1）
D ．（-3，-3）或（1，-3）
8、向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y =ax 2+bx +c （a ≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A ．第8秒
B ．第10秒
C ．第12秒
D ．第15秒 9、将进货单价为70元的商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ）
A ．5元
B ．10元
C ．15元
D ．20元 10、如图，正方形ABCD 的边长为1，
E 、
F 分别是边BC 和CD 上的动
点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设
BE =x ，DF =y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）
A ．y =x +1
B ．y =x -1
C ．y =x 2-x +1
D ．y =x 2-x -1
11、如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y = -14
x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12m ，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A ．3m
B ．26 m
C ．43 m
D ．9 m
12、如图，隧道的截面是抛物线，可以用y = 21416
x -+表示，
13、该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是（ ）
A ．不大于4m
B ．恰好4m
C ．不小于4m
D ．大于4m ，小于8m
13、如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆
围成一个矩形花圃，设矩形ABCD 的边AB 为x 米，面积为S 平
方米，要使矩形ABCD 面积最大，则x 的长为（ ）
A ．10米
B ．15米
C ．20米
D ．25米
14、如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的
一部分，栅栏的跨径AB 间，按相同间隔米用5根立柱加固，拱高OC
为米，则立柱EF 的长为（ ）
A ．米
B ．米
C ．米
D ．米
15、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y = 15-x 2+的一部分
（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）
A ．
B ．4m
C ．
D ．
15、如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112
y x =-上运动， 当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_____________
16、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳
子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都
是米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小
明距较近的那棵树米时，头部刚好接触到绳子，
则绳子的最低点距地面的距离为____________
18、如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长
均为20厘米，AC与MN在同一直线上，
开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米
的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重
叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为____
19、如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y=x2图象上，点B1、B2、B3、…、
B n在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△A n B n-1B n都为等腰直角三角形（点
B0是坐标原点），则△A2015B2014B2015的腰长=____
19、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s
的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B
开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与
点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出
发，那么经过____秒，四边形APQC的面积最小．
．
21、扎西的爷爷用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
22、某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= -2x+100．（利润=售价-制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
23、每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是元/千克，假设不计其他费用．
（1）水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？
（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m= -10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？
24、某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图：
（1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？
（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？
参考答案
1.
答案：A
解析：解答：长是：60+2x，宽是：40+2x，
由矩形的面积公式得
则y=（60+2x）（40+2x）．
故选A．
分析：挂图的面积=长×宽，本题需注意长和宽的求法．
2.
答案：C
解析：解答：设这个长方形的一边长为x cm，则另一边长为（25-x）cm，
所以面积y=x（25-x）= -x2+25x．
故选C．
分析：由长方形的面积=长×宽可求解．
3.
答案：D
解析：解答：依题意，得y=a（1+x）2．故选D．
分析：本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．
4.
答案：B
解析：解答：函数与y轴交于（0，2）点，与x轴交于（-2，0）和（2，0）两点，则三点
构成的三角形面积S1=4，则以半径为2的半圆的面积为S2=π×1
2
×22=2π，则阴影部分的
面积S有：4＜S＜2π．因为选项A、C、D均不在S取值范围内．故选B
分析：本题不能硬求面积，要观察找一个范围，然后选一个合适的答案．由图形可知阴影部分的面积介于一个三角形和一个半圆之间，问题就好解决了．
5.
答案：B
解析：解答：设窗户的宽是x ，根据题意得
S =()832x x - =2348()(04)233
x x --+<< ∴当窗户宽是
43m 时，面积最大是83 m 2 分析：根据窗户框的形状可设宽为x ，其高就是8-32x ，所以窗户面积S =()832
x x -，再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。 6.
答案：A
解析：解答：由小球高度h 与运动时间t 的关系式h =30t -5t 2．
令h =0，-5t 2+30t =0
解得：t 1=0，t 2=6
即：小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．
故选A ．
分析：由小球高度h 与运动时间t 的关系式h =30t -5t 2，令h =0，解得的两值之差便是所要求得的结果．
7.
答案：D
解析：解答：设P点纵坐标为m，
抛物线的解析式中，令y=0，得：-x2-2x=0，解得x=0，x= -2；∴A（-2，0），OA=2；
∵S△AOP=1
2
OA×m=3
∴|m|=3；
∴m=±3；
当P点纵坐标为3时，-x2-2x=3，x2+2x+3=0，△=4-12＜0，方程无解，此种情况不成立；
当P点纵坐标为-3时，-x2-2x= -3，x2+2x-3=0，
解得x=1，x= -3；
∴P（1，-3）或（-3，-3）；
故选D．
分析：根据抛物线的解析式，即可确定点A的坐标，由于OA是定长，根据△AOP的面积即可确定P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．
8.
答案：B
解析：解答：由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，根据抛物线的对称性可知，x=（7+14）/2时，炮弹所在高度最高，所以x=．题中给的四个选项中B第10秒最接近秒
故选B．
分析：此题可归纳为：若抛物线y=ax2+bx+c，当x=a与x=b时y值相等，那么该抛物线的对称轴是直线x=(a+b)/2.
9.
答案：A
解析：解答：设应降价x元，则（20+x）（100-x-70）= -x2+10x+600= -（x-5）2+625，
∵-1＜0
∴当x=5元时，二次函数有最大值．
∴为了获得最大利润，则应降价5元．
故选A．
分析：设应降价x元，表示出利润的关系式为（20+x）（100-x-70）= -x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．
10.
答案：C
解析：解答：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．
∴∠BAE=∠FE C．
∴△ABE∽△ECF
∴AB：EC=BE：C F，
∴ABCF=ECBE，
∵AB=1，BE=x，EC=1-x，CF=1-y．
∴1×（1-y）=（1-x）x．
化简得：y=x2-x+1．
故选C．
分析：本题结合了正方形和相似三角形的性质考查了二次函数关系式．根据条件得出形似三角形，用未知数表示出相关线段是解题的关键．
11.
答案：D
解析：解答：由已知AB=12m知点B的横坐标为6．
把x =6代入y = -14
x 2， 得y = -9．
即水面离桥顶的高度为9m ．
故选D ．
分析：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据题意，把x =6直接代入解析式即可解答．
12.
答案：A 解析：解答：把y =3代入y = 21416
x -+中得： x =4，x = -4（舍去）．
∴每条行道宽应不大于4m ．
故选A ．
分析：本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 由题意可知，直接把y =3代入解析式求解即可．
13.
答案：A
解析：解答：设矩形ABCD 的边AB 为x 米，则宽为40-2x ，
S =（40-2x ）x = -2x 2+40x ．
要使矩形ABCD 面积最大，
则
即x的长为10m．
故选A．
分析：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y= -x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．
14.
答案：C
解析：解答：如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，
设抛物线解析式为y=ax2，
由题知，图象过B（，），
代入得：=
∴a=1，即y=x2．
∵F点横坐标为，
∴当x= 时，y=，
∴EF=米
故选C．
分析：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．由于相同的间距用5根立柱加固，则AB=×6=，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过（，）、（0，0）、（，），据此求出解析式．把x= 代入后求出y，让即可．
15.
答案：B
解析：
解答：如图，把C点纵坐标y=代入y=
1
5
x2+中得：
x=±（舍去负值），即OB=，
所以l=AB=+=4．
令解：把y=代入y=x2+中得：
x1=，x2= （舍去），
∴L=+=4米．
故选B．
分析：如图，实际是求AB的距离．而OA已知，所以只需求出OB即可；
而OB的长，又是C点的横坐标，所以把C点的纵坐标代入解析式即可解答．16.
答案：6，2）或（6，2）． 解析：解答：当⊙P 与x 轴相切时，P 点纵坐标为±2；
当y =2时，21-12
x =2，解得x =±6 当y = -2时，，x 无解；
故P 点坐标为（6，2）或（6-，2）．
分析：当⊙P 与x 轴相切时，P 点的纵坐标为2，可将其代入抛物线的解析式中，即可求得P 点坐标．
17.
答案：米
解析：解答：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得A （0，），B （2，），C （，1）
设函数解析式为y =ax 2+bx +c
把C 点代入得出 c =
再把A 、B 两点分别代入得
42 2.5 2.50.250.5 2.51
a b a b ++=??++=? 解之得a =2，b = -4，
∴y =2x 2-4x +=2（x -1）2+．
∵2＞0
∴当x =1时，y =米．
∴故答案为：米．
分析：根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．18.
答案：y=1
2
（20-2t）2
解析：解答：A M=20-2t，则重叠部分面积y=1
2
×AM2=
1
2
（20-2t）2
分析：根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解．
19.
答案：2015
解析：解答：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E．
∵△A1BOB1、△A2B1B2都是等腰直角三角形
∴B1C=B0C=DB0=A1D，B2E=B1E=A2E
∴设A1（a，a）将其代入解析式y=x2得：
∴a=a2
解得：a=0（不符合题意）或a=1，由勾股定理得：A1B0=
同理可以求得：A2B1=2
A3B2=3
A4B3=4
∴A2015B2014=2015
∴△A2015B2014B2015的腰长为：2015
故答案为：2015
分析：本题是一道二次函数规律题，运用由特殊到一般的解题方法，利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果．
20.
答案：3
解析：解答：设P、Q同时出发后经过的时间为t秒，四边形APQC的面积为S平方毫米，则有：S=S△ABC-S△PBQ
=11
12244122 22
t t ??-??-
（）
=4t2-24t+144
=4（t-3）2+108．
∵4＞0
∴当t=3s时，S取得最小值．
分析：根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值
21.
答案：解：设矩形的宽为xm，面积为Sm2，根据题意得：
S=x（30-2x）
= -2x2+30x
= -2（）2+，
所以当x=时，S最大，最大值为．
30-2x=30-15=15．
故当矩形的长为15m，宽为时，矩形菜园的面积最大，最大面积为．
解析：
分析：设菜园宽为x，则长为30-2x，由面积公式写出y与x的函数关系式，然后利用二次函数的最值的知识可得出菜园的最大面积，及取得最大面积时矩形的长和宽．
22.
答案：解：（1）z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）
= -2x2+136x-1800，
∴z与x之间的函数解析式为z= -2x2+136x-1800；
（2）由z=350，得350= -2x2+136x-1800，
解这个方程得x1=25，x2=43
所以，销售单价定为25元或43元，
将z═-2x2+136x-1800配方，得z= -2（x-34）2+512，
答：当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
解析：
分析：（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y= -2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
（2）把z=350代入z= -2x2+136x-1800，解这个方程即可，将z═-2x2+136x-1800配方，得z= -2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．
23.
答案：解：（1）设购进荔枝a千克，荔枝售价定为b元/千克时，水果商才不会亏本，由题
意得
ba（1-5%）≥（5+）a，
∵a＞0，
∴95%b≥
∴b≥6
所以，水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本．
（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为6元，由题意得
w=（x-6）m
=（x-6）（-10x+120）
= -10（x-9）2+90，
∵a= -10＜0
∴w有最大值
∴当x=9时，w有最大值．
所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．
解析：
分析：（1）设购进荔枝a千克，荔枝售价定为b元/千克时，水果商要不亏本，由题意建立不等式求出其值就可以了．
（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为6元，再根据售价-进价=利润就可以表示出w，然后化为顶点式就可以求出最值．
24.答案：解：（1）设购进荔枝a千克，荔枝售价定为b元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得
ba（1-5%）≥（5+）a，
∵a＞0，
∴95%b≥
∴b≥6
所以，水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本．
（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为6元，由题意得
w=（x-6）m
=（x-6）（-10x+120）
= -10（x-9）2+90，
∵a= -10＜0
∴w有最大值
∴当x=9时，w有最大值．
所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．
解析：
分析：（1）设购进荔枝a千克，荔枝售价定为b元/千克时，水果商要不亏本，由题意建立不等式求出其值就可以了．
（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为6元，再根据售价-进价=利润就可以表示出w，然后化为顶点式就可以求出最值．