国外计算机科学教材系列 离散数学(第4版)-3
离散数学第三版课后习题答案
离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论
离散数学习题解答 习题一（第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B= 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}； 2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}； 3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）∈ 3）{} 4）∈{} 5）{a，b}{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为是集合{}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；
7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。 3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B C，则A C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A C。 [解] 1）真。因为B C x（x∈B x∈C），因此A∈B A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B C，但A C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A B∧B∈C，但A C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A B∧B∈C，但A C。 6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{b，c}} 3）{} 4）{，{}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{，{}} 4）{，{}，{{}}，{，{}}}
离散数学答案屈婉玲版第二版 高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（pr）∧(﹁q∨s) ?（01）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例）
第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p)
离散数学第四版课后答案(第4章)
第4章 习题解答 4．1 A ：⑤； B ：③； C ：①； D ：⑧； E ：⑩ 4．2 A ：②； B ：③； C ：⑤； D ：⑩； E ：⑦ 4．3 A ：②； B ：⑦； C ：⑤； D ：⑧； E ：④ 分析 题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的 }2,2,1,2,2,1,1,1{}, 2,2,1,1{><><><><=><><=s s E I };2,2,2,1,1,1{><><><=s I 而题4.2中的 }.1,4,4,3,1,2,4,1,1,1{><><><><><=R 为得到题4.3中的R 须求解方程123=+y x ，最终得到 }. 1,9,2,6,3,3{><><><=R 求R R 有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。下面由题4.2的关系分别加以说明。 1°集合表达式法 将ranR ran domR domR ,, 的元素列出来，如图4.3所示。然 后检查R 的每个有序对，若R y x >∈<,，则从domR 中的x 到ranR 中的y 画一个箭头。若danR 中的x 经过2步有向路径到达ranR 中的y ，则R R y x >∈<,。由图4.3可知 }. 1,3,4,2,1,2,4,4,1,44,1,1,1{><><><><>><<><=R R
如果求G F ，则将对应于G 中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F 中的有序对的箭头画在右边。对应的三个集合分别为ranF domF ran domG ,, ，然后，同样地寻找domG 到ranF 的 2步长的有向路径即可。 2° 矩阵方法 若M 是R 的关系矩阵，则R R 的关系矩阵就是M ·M ，也可记作M 2 ，在计算乘积时的相加不是普通加法，而是逻辑加，即0+0=0，0+1=1+0=1+1=1，根据已知条件得 ????? ???????=?????????????????????????=10 1 0001 1001 1001000 1 1000 0001 10 01000 1 1000000110 01 2 M 2 M 中含有7个1，说明R R 中含有7个有序对。 图4.3 图4.4 3°关系图方法 设G 是R 的关系图。为求n R 的关系图' G ，无将G 的结点
离散数学第四版答案
浅谈高中数学新教材中课本例题的教学 无锡市辅仁高级中学王文俊文章提要：搞好课本例题的多种形式教学，能使学生的数学思维能力得到进一步提高。本文从以下几个方面进行说明。首先，课本例题是解题规范参照的最佳样本；其次，课本例题是将设问引申的最理想起点；第三、课本例题是一题多解的最佳展示台；第四、课本例题是变式教学的最丰富源泉。 关键词：课本例题规范引申一题多解变式 《普通高中数学课程标准》指出：教师不仅是新课程的实施者,而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。《普通高中课程标准实验教科书—数学》，即通常所说的教材，具有完备的知识体系，又具有权威性，是教师进行数学教学的主要依据，也是学生学习数学基础知识的重要依据。而课本例题更是经过编者反复论证精心设计的，具有典型的范例作用，蕴含着基本的解题思想和方法，具有很高的教学价值。 新教材中例题的选择更是力求与生活实际接近，许多情景甚至完全可以通过实际活动来表现。在高中数学教学中，搞好例题教学，特别是搞好课本例题的多种形式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力、培养和提高学生能力等方面，能发挥其独特的功效。 但是对课本例题的教学，很多老师有时会照本宣科，或认为课本例题太过一般，不值得花费时间讲解，一带而过，而改用自己在其他参考书上找来的例题。事实上，这正是教师对课程、教材研究不深入的表现。只要教师认真钻研教材，深刻理解例题的用意，充分挖掘例题的价值，结合学生的实际情况和教学的实际需要，进行适当的引申和拓展，就可以满足不同层次教学的要求。下面就新教材中课本例题的教学，谈一下笔者几点简单的想法。 一、课本例题是解题规范参照的最佳样本 解题是深化知识、发展智力、提高数学能力的重要手段。规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平。语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，是数学解题的重要环节。因此，语言叙述必须规范。规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当，言必有据。数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云。在高中数学的学习中，有些题目的解答过程是有严格的规范和要求的，比如函数单调性的证明，立体几何证明等等。
离散数学结构 习题5
习题5 1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词： (1) x y(F(x)∧G(y)) (2) x y(F(x)∨G(y)) (3) xF(x)→yG(y) (4) x(F(x,y)→yG(y)) 答案 (1) x y(F(x)∧G(y)) xF(x)∧yG(y) (F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c)) (2) x y(F(x)∨G(y)) xF(x)∨yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c)) (3) xF(x)→yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y)) xF(x,y)→yG(y) (F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c)) 2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。 (1) x(F(x)→G(x)) (2) x(F(x)∧G(x)) .(1) 答案 I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3 F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以 x(F(x)→G(x)) (F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。 I2: F(x)同I1,G(x):x≤0 则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假， x(F(x)→G(x))为假。 (2)留给读者自己做。 3．给定解释I如下： (a) 个体域D={3,4}。 (b) (x)为(3)=4，(4)=3。 (c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。 答案 试求下列公式在I下的真值： (1) x yF(x,y) (2) x yF(x,y)
离散数学(第2版)_在线作业_3
离散数学(第2版)_在线作业_3 交卷时间： 2017-01-12 13:46:31 一、单选题 1. (5分 ) ? A. 简单图 ? B. 多重图 ? C. 树 ? D. 完全图 纠错 得分： 5 知识点： 离散数学(第2版) 收起解析 答案 B 解析 2. (5分) 设为无环的无向图，，，则G 是( )。
? A. 哈密顿图 ? B. 完全图 ? C. 平面图 ? D. 欧拉图 纠错 得分： 5 知识点： 离散数学(第2版) 收起解析 答案 C 解析 3. (5分) ? A. 有么元、可结合 ? B. 有零元、可交换 ? C. 满足结合律、交换律 ? D. 有么元、可交换 纠错 得分： 5 知识点： 离散数学(第2版) 设G 如右图，则G 不是( )。 . 若是群，则运算( )。
答案 A 解析 4. (5分) ? A. G 只有一个顶点的入度为1 ? B. G 只有一个顶点的出度为0 ? C. G 一定是弱连通的 ? D. G 一定是强连通的 纠错 得分： 5 知识点： 离散数学(第2版) 收起解析 答案 C 解析 5. (5分) ? A. ? B. ? C. ? D. G 是一棵根树，则( )。 设：，：雪是黑色的，：，：太阳从东方升起，则下列 为真的命题是( )。
得分： 5 知识点： 离散数学(第2版) 收起解析 答案 D 解析 6. (5分 ) ? A. ? B. ? C. ? D. 纠错 得分： 5 知识点： 离散数学(第2版) 收起解析 答案 A 解析 7. (5分) ? A. 16 ? B. 14 ? C. 12 下列集合为前缀码的是( )。 设G 是连通的平面图，G 中有11个顶点，5个面，则G 中的边数为( )。
《离散数学(第三版)》期末复习知识点总结含例题(呕心沥血整理).doc
T 是 系、空关系、全关系、恒等关 P （A ）-p （B ） = {{3},{1,3}, {2,券,;{陶鮮餐的集合衣示、关 系矩阵和矣系图、关系的运 算。 2、 学握求复合关系与逆关系 的方法。 3. 理解关系的性质（自反性. 对称性、反对称性、传递性） ? 掌握其判别方法（定义、矩阵、 图）。 4、 掌握求关系的闭包（自反 闭包、对称闭包、传递闭包） 的 方法。 5、 理解等价关系和偏序关系 的概念，学握等价类的求法和 偏序关系做哈斯图的方法，极 人/小元、最人/小元、上/卜?界、 最小上界、最人下界的求法。 6、 理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。 7、 理解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 ［木章重点习题］ P25, 1； P32?33, 4, 8, 10； P43, 2, 3, 5； （Au~ B ）c （~ 注J 8）P59, 1, 2； P64, 3 ； P74?75, 2, 4, 6, 7； P81, 5, 7： = （（An ?A 曲鑑咖血c 肛（~ 3 c B ）） =（①遊:縱璇憾"） =（An 圧皿細扇渤洋輕）：元关系 世概念及关系矩阵、 图表 示。 2、关系的性质及其判定 关系的性质既是对关系 概念的加深理解与学握，乂是 关系的闭包、 等价关系、半序 关系的基础。对丁?四种性质的 判定，可以依据教材中P49上 总结的规律。这其中对传递性 的判定，难度稍大一点，这里 要提及两点：一是不破 坏传递 性定义，可认为具有传递性。 如空关系具冇传递性，同时空 关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。另一点是 介绍-?种判定传递性的“跟踪 法” ， 即 若 （a l9a 2）e R. \a 2,a 3）e R, ,则（R 。如若 （a,b ）w R, R , 则有,且 （b,b ）w R 。例题 一、各章复习要求与重点 第一章集合 ［复习知识点］ 1、 集合、元索、集合的表示 方法、子集、空集、全集、集 合的包含、相等、幕集 2、 集合的交、并、差、补等 运算及其运算律（交换律、结 合律、分配律、吸收律、De Morgan 律等）,文氏（Venn ） 图 3、 序偶与辿卡尔积 本章重点内容：集合的概 念.集合的运算性质、集合恒 等式的证明 ［复习要求］ 1、 理解集合、元素、子集、 空集、全集、集合的包含、相 等、幕集等基本概念。 2、 学握集合的表示法和集合 的交、并、差、补等基本运算。 3、 掌握集合运算基本规律， 证明集合等式的方法。 4、 了解序偶与迪卡尔积的概 念，掌握辿卡尔积的运算。 ［疑难解析］ 1、 集合的概念 因为集合的概念学生在 中学阶段已经学过，这里只多 了一个幕集概念，重点对幕集 加以掌握，一是掌握幕集的构 成.一是掌握幕集元数为2"。 2、 集合恒等式的证明 通过对集合恒等式证明 的练习?既町以加深对集介性 质的理解与学握；又可以为第 三章命题逻辑中公式的基本 等价式的应用打下良好的基 础。实际上,本章做题是一种 基本功训练，尤其要求学生重 视吸收律利重耍等价式在 A — B = A c ~ B 证明中 的特殊作用。 ［例题分析］ 例1设A, B 是两个集合， A={1, 2, 3}, B={1, 2）,则 p （A ） — p （B ） = 例 2 A = {a,b,{a 9b},}, 求： (1) A-{a,b} ⑵ A -① ⑶ A - {O}； ⑷{{tz,/?}} — A ⑸ ①一 A ⑹{①} - A 。 解 (1) A-{a,b} = {{a,b}^} ⑵ A -①=A ⑶ >4-{o} = (4) {{a,b}}-A =① ⑸ ①一 4二① (6) A 二① 例 3 试证明 第二章二元关系 ［复习知识点］ 1、 关系、关系矩阵与关系图 2、 复合关系与逆关系 3、 关系的性质（自反性.对 称性、 反对称性、传递性） 4、 关系的闭包（自反闭包、 对称闭包、传递闭包） 5、 等价关系与等价类 6、 偏序关系与哈斯图 （Hasse ） ＞极大/小元.最大/ 小元、上/下界、最小上界、最 大 下界 7、 函数及其性质（单射、满 《离散数学（第三版）》 期末复习知识点总结含 解 P （A ） = {0,{1},{2},{3},{1,2},{1|删{辆,曲3 料序关系、 映射 的概念 p （B ）二{0,{1},{2},{1,2}}［复习要求］ 1、理解关系的概念：二元关 证明 P86, 1, 2o 射、双射） 8、复合函数与反函数 木章重点内容：二元关系 的 概念、关系的性质、关系的 (Au ?B)c(?AuS)= ((Au^ff
离散数学第四版 课后答案
离散数学第四版课后答案 第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9）， （10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→q为假命题。 （7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命
题，q为真命题，因而p→q为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。 （13）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q 为假命题。 （14）p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15）p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 1．3 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为 （1）p→q （2）p→?q （3）?p→q （4）?p→?q
离散数学结构试题集5-7
第5章 一.填空题 1. 群中有唯一的（）。 2. 如果群运算是可交换的，则群为（）。 3. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是（）。 4. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是（）。 5. 设★是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有x★y=x+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算★在Q 上是（）。（填写可交互/不可交换） 6. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)*z=x*(y*z) ，则称二元运算*在A上是（）。 7. 设★是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y， 则二元运算★在A上是（）。（填写可结合/不可结合） 8. 设*，★是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y) ★z=（x★z）*(y★z)，z★(x*y)=(z★x)*(z★y),则称二元运算★对于*在A上是（）。 9. 设*，★是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x*(x★y)=x, x★(x*y)=x,则称二元运算*对于★在A上满 足（）。 10. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x，都有x*x=x，则称二元运算*是（）。 11. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的（）。 12. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol*x=x，则称ol为A中关于运算*的（）。 13. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*erl =x，则称er为A中关于运算*的（）。 14. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素or，对于A中任意的元素x，都有x*or=x，则称or为A中关于运算*的（）。 15. 如果对于集合中的二元运算*，存在左零元和右零元，且左零元等于右零元，则零元是（）。 16. 如果对于集合中的二元运算*，存在左么元和右么元，且左么元等于右么元，则么元是（）。 17. 设*是定义在集合A上的二元运算，且e是A中关于运算*的么元，如果对于A中的元素x，存在A中的元素y，有y*x=e，则称y为x的 （）。 18. 对于实数域上的乘法元算，每个元素（）逆元。（填写一定有/不一定有） 19. 对于实数域上的加法运算，（）零元。（填写存在/不存在） 20. 对于整数域上的加法运算，（）么元。（填写存在/不存在） 21. 对于非空集合S上二元运算*，是封闭且可结合的，那么
离散数学知识点
说明： 定义：红色表示。 定理性质：橙色表示。 公式：蓝色表示。 算法:绿色表示 页码：灰色表示 数理逻辑： 1.命题公式：命题，联结词(，，，，)，合式公式，子公式 2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式 3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式 4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集 5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则， CP规则，推理 6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词 7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入 8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的 9.前束范式:前束范式 10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，-规则（US），+规则（UG），-规则(ES)， +规则(EG), 推理 集合论： 1.集合: 集合, 外延性原理, , , , 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差 2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关 系 3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R), 对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R) 4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分
5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下 界 6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数 7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集 代数结构： 1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺 元,零元,逆元 2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。 3.群与子群：半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集， 拉格朗日（Lagrange）定理 4.阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元 5.环与域：环，交换环，含幺环，整环，域 6.格与布尔代数：格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限 布尔代数的表示定理 图论： 1.图的基本概念：无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、 补图，握手定理，图的同构 2.图的连通性:通路，回路，简单通路，简单回路（迹）初级通路（路径），初级回路 （圈），点连通，连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度，边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图，二部图（二分图） 3.图的矩阵表示：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵 4.欧拉图与哈密顿图：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密 顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 5.无向树与根树：无向树，生成树，最小生成树，Kruskal，根树，m叉树，最优二叉 树，Huffman算法 6.平面图:平面图，面，欧拉公式，Kuratoski定理
最新洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案
第1章 集合 1、列举下列集合的元素 (1) 小于20的素数的集合 (2) 小于5的非负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且 答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19} (2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11} 2、用描述法表示下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,} 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100} 答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤ 3、下面哪些式子是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈ 答：正确 (2) {}{{}}a a ? 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈ 答：正确 (4) {}{{},}a a a ? 答：正确 4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下面哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈ 错误
(2) {}a R ∈ 正确 (3) {,4,{3}}a S ? 正确 (4) {{},1,3,4}a R ? 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ? 正确 (7) {}a R ?错误 (8) R φ?正确 (9) {{}}a R φ?? 正确 (10) {}S φ?错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ?正确 5、 列举出集合,,A B C 的例子，使其满足A B ∈，B C ∈且A C ? 答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ?。 6、 给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b 答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ 答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集 答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}A a a φφφ= 8、 设128{,, ,}A a a a =由17B 和31B 所表示的A 的子集各是什么？应如何表示子 集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
离散数学习题答案 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： | （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 ； 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 解：公式的真值表如下：
, 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54） 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论：s 证明： ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 — ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论：p u → 证明：用附加前提证明法。 ' ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入
离散数学第四版课后答案(第9章)
第9章 习题解答 9.1 有5片树叶. 分析 设T 有x 个1度顶点(即树叶).则T 的顶点数 T x x n ,523+=++=的边数.41x n m +=-=由握手定理得方程. ∑=+=?+?+?== +=n i i x x v d x m 1 .1312233)()4(22 由方程解出.5=x 所求无向树T 的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的. 9.2 T 中有5个3度顶点. 分析 设T 中有x 个3度顶点,则T 中的顶点数,7x n +=边数x n m +=-=61,由握手定理得方程. ∑=+== +=n i i x v d x m 1 73)(2122 由方程解出x=5. 所求无向树T 的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具 有上述度数列,且它们是非同构的. 9.2 T 中有5个3度顶点. 要析 设T 中有x 个3度顶点,则T 中的顶点数x n +=7,边 数x n m +=-=61,由握手定理得方程.
∑=+== +=n i i x v d x m 1 73)(2122. 由此解出5=x ,即T 中有5个3度顶.T 的度数列为1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3.由于T 中只有树叶和3度顶点,因而3度顶点可依次相邻,见图9.7所示. 还有一棵与它非同构的树,请读者自己画出. 9.3 加1-k 条新边才能使所得图为无向树. 分析 设具有k 个连通分支的森林为G,则G 有k 个连通分支i K T T T T ,,,2 1 全为树,.,,2,1k i =加新边不能在i T 内部加,否则 必产生回路.因而必须在不同的小树之间加新边. 每加一条新边后,所得到的森林就减少一个连通分支. 恰好加1-k 条新边,就使得图连通且无回路,因而是树.在加边过程中,只需注意,不在同一人连通分支中加边. 下面给出一种加边方法,取i v 为i T 中顶点,加新边1,,2,1),(1 -=+k i v v i i ,则所得图为树, 见图9.8 给出的一个特例.图中虚线边为新加的边. 9.4 不一定. 分析 n 阶无向树T 具有1-n 条边,这是无向树T 的必要条件,但不是充公条件.例如, 阶圈(即1-n 个顶点的初级回路)和一个孤立点组成无向简单图具有1-n 条边, 但它显然不是 树.
离散数学结构 习题13
习题13参考答案 1.图13.9中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。 图13.9 答案：(1),(3),(6)是格。(2)中的{e,d}没有最大下界。(4)中的{d,e}没有最大下界。(5)中的{a,b}没有最大下界。 2.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。 (1) L={1,2,3,4,5} (2) L={1,2,3,6,12} (3) L={1,2,3,4,6,9,12,18,36} (4) L={1,2,22,...,2n},n∈Z+ 答案：(1)不是格,其他都是。
3.(1)画出Klein四元群的子群格。 (2)画出模12的整数群Z12的子群格。 (3)画出3元对称群S3的子群格。 答案：(1) (2) (3) 4.设L是格,求以下公式的对偶式: (1) a∧(a∨b) a (2) a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c) (3) b∨(c∧a)(b∨c)∧a 答案：(1) a∨(a∧b) a (2) a∧(b∨c)(a∧b)∨(a∧c) (3) b∧(c∨a)(b∧c)∨a
5.设L是格,a,b,c∈L,且a b c,证明 a∨b=b∧c 答案：a∨b=b b∧c=b 6.针对图13.10中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。 图13.10 答案： L1的子格：{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d}, {b,d},{c,d},{a,b,d},{a,c,d},L1 L2的子格：{a1},{d1},L2 L3的子格：{a2},{b2},{c2},{d2},{a2,b2},{a2,c2}, {a2,d2},{b2,c2},{b2,d2},{c2,d2},{a2,b2,c2}, {a2,b2,d2},{a2,c2,d2},{b2,c2,d2},L3 7.针对图13.9中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。 答案：（1）a与d互补；b,c没有补元。 （3）a与f互补；b的补元为c,d；c的补元为b,e；d的补元为b,e；e的补元为c,d. （6）a与f互补；b的补元为e；c和d没有补元；e的补元为b. 8.说明图13.9中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。 答案： （1）是分配格，因为不包含与钻石格和五角格同构的子格；不是有补格和布尔格，b,c没有补元。 （3）不是分配格，不是布尔格，因为包含五角格作为子格；是有补格，a与f互补，b和e的补元有c,d；c,d的补元有b,e. （6）是分配格，因为没有5元子格与钻石格或五角格同构；不是有
离散数学课后练习题答案(第三版)-乔维声-汤维版
离散数学课后练习题答案(第三版)-乔维声-汤维版
、 命题逻辑 1. 用形式语言写出下列命题： (1) 如果这个数是大于1 的整数，则它的大于1 最小因数一定是素数。 (2) 如果王琳是学生党员又能严格要求自己，则她一定会得到大家的尊敬。 (3) 小王不富有但很快乐。 (4) 说逻辑学枯燥无味或毫无价值都是不对的。 (5) 我现在乘公共汽车或者坐飞机。 (6) 如果有雾，他就不能搭船而是乘车过江。 解： (1) 设P ：这个数是大于1 的整数。 Q ：这个数的大于1 最小因数是素数。 则原命题可表示为：P →Q 。 或：设P 1：这个数大于1。 P 2：这个数是整数。 Q ：这个数的大于1 最小因数是素数。 则原命题可表示为：P 1∧ P 2→Q 。 (2) 设P ：王琳是学生。 Q ：王琳是党员。 R ：王琳能严格要求自己。 S ：王琳会得到大家的尊敬。 则原命题可表示为：P ∧Q ∧R → S 。 (3) 设P ：小王富有。 Q ：小王很快乐。 则原命题可表示为：?P ∧Q 。 (4) 设P ：逻辑学枯燥无味。 Q ：逻辑学毫无价值。 则原命题可表示为：?( P ∨Q)。 (5) 设P ：我现在乘公共汽车。 Q ：我现在坐飞机。 则原命题可表示为：P ?∨Q 。 (6) 设P ：天有雾。 Q ：他搭船过江。 R ：他乘车过江。 则原命题可表示为：P →? Q ∧R 。 2. 设P ：天下雪。 Q ：我将进城。 R ：我有时间。 将下列命题形式化： (1) 天不下雪，我也没有进城。 (2) 如果我有时间，我将进城。 (3) 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。 解：原命题可分别表示为： (1) ?P ∧? Q 。 (2) R →Q 。 (3) ?P ∧ R →Q 。 3. 将P 、Q 、R 所表示的命题与上题相同，试把下列公式翻译成自然语言： (1) R ∧Q (2) ?(R ∨Q) (3) Q ?(R ∧?P) (4) (Q →R)∧(R →Q) 解： (1) 原公式可翻译为：我有时间而且我将进城。 (2) ?(R ∨Q) ??R ∧?Q 。原公式可翻译为：我没有时间也没有进城。 (3) 我将进城当且仅当我有时间而且天不下雪。 (4) (Q →R)∧(R →Q) ) ?(Q ∧R) ∨ (?Q ∧? R) ? Q ?R 。原公式可翻译为：如果我进城，我就有时间；如果我有时间，我就进城。或：我进城而且我有时间，或者我没有进城而且我也没有时间。或：我进城当且仅当我有时间。 4. 构造下列命题公式的真值表： (1) Q ∧(P →Q)→P (2) (P ∧?Q)∨(R ∧Q)→R (3) ((P ∨Q)→(Q ∨R))→(P ∧?R) (4) ((?P →(P ∧?Q))→R)∨(Q ∧?R) 解： (1) Q ∧(P →Q)→P 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示： P Q P →Q Q ∧(P →Q) Q ∧(P →Q)→P 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 5. (P ∧?Q)∨(R ∧Q)→R 是含三个变元的四层复合命题，其真值表如下表所示： P Q R ?Q R ∧Q P ∧?Q (P ∧?Q)∨(R ∧Q) (P ∧?Q)∨(R ∧Q)→R 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
离散数学结构 习题8
习题8 1. 设f：N→N，且 求f(0)，f({0})，f(1)，f({1})，f({0，2，4，6，…})，f({4，6，8})，f({1，3，5，7})。 2. 设A={1，2}，B={a，b，c}，求B A。 3.给定函数f和集合A，B如下： (1) f：R→R，f(x)=x，A={8}，B={4} (2) f：R→R+，f(x)=2x，A={1}，B={1，2} (3) f：N→N×N，f(x)=