圆锥曲线大题20道(含标准答案)

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+

=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA （其

中O 为原点）. 求k 的取值范围.

解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b

y a x ).0,0(>>b a

由已知得.1,2,2,32222==+==

b b a

c a 得再由

故双曲线C 的方程为.13

=-y x （Ⅱ）将得代入13

222

=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得?????>-=-+=?≠-.

0)1(36)31(36)26(,

0312

222

k k k k

即.13

22<≠

k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319

,31262

2>+>?--=-=

+B A B A B A B A y y x x OB OA k

x x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x

3231262319)1(2

2222

-+=+-+--+=k k k k k k k 于是

解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .33

故k 的取值范围为).1,3

3()33,1(?-

- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22

y ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线

l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .

（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；

（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.

（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是

2222222.

,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y a

x a ex y a e a +=?????=-=?????=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a e

a b e a c AB AM λλ=+-=得

即22

1e a a

b e a

c e a

-=???????==-λλλ解得

证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e

设M 的坐标是00(,),x y

00(,)(,),a a

AM AB x y a e e

λλ=+=由得

所以???

=-=.

)1(00a y e a x λλ

因为点M 在椭圆上，所以,122

220=+b

y a x

即.11)1(,1)()]1([2

2222222

=-+-=+-e e b a a e a

λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e

解得.1122

e e -=-=λλ

即

（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，

即

.||2

1c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，

由

,1||1|0)(|||21221c e

ec a e a c e d PF =+-=+++-==

得

.112

2e e

e =+-

所以.3

1,3122=-==

e e λ于是

即当,3

时=

λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，

则0000010.

22y x c

e y x c e a -?=-?+??+-?=+??，2022

023,12(1).1e x c e e a y e ?-=??+?-?=?+?解得

由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([22222

2c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2

，化简得.1

)1(22

2e e e =+- 从而.3

12=

e 于是3

2112=-=e λ 即当3

λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i 、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a

（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]

4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，

OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明2

μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学

知识解决问题及推理的能力. 满分12分.

（1）解：设椭圆方程为

)0,(),0(122

22c F b a b

y a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入122

22=+b y a x ，化简得

02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .

令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22

222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得

,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，

0)()2(3212121c x x x x c x x =

+∴=++-+∴ 即2322

22c

a c a =+，所以3

6.32222a b a c b a =

-=∴=，故离心率.3

6==

a c e （II ）证明：（1）知2

3b a =，所以椭圆12222=+b

y a x 可化为.332

22b y x =+

设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=

???+=+=∴.

2121x x y x x x μλμλ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(2

21212

b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.2

1,23,232

22221c b c a c x x ===

+ [变式新题型3]

抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若FP ?FQ =0，求直线PQ 的方程；

（3）设AP =λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ .

.6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP j ?=，且3

OF FP t OM OP j ?==+ . （I ）设443,t OF FP θ<<求向量与的夹角的取值范围；

（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且|

|,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.

7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-，

0MA AP ?=. （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；

（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.

8.已知点C 为圆8)1(2

2=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且

.2,0AM AP AP MQ ==?

（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q

的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，

且

32≤?≤OH OF ，求△FOH 的面积

已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ?? ???

三点．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．

10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

(Ⅰ)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明);QB QA (QP λ-⊥

(Ⅱ)设直线AB 的方程是x —2y+12=0,过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程。

10.已知平面上一定点(1,0)C -和一定直线: 4.l x =-Ｐ为该平面上一动点，作,PQ l ⊥垂足为Q ，

0)2()2(=-?+→

→→→PC PQ PC PQ .

(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；

(2) 点Ｏ是坐标原点，A B 、两点在点Ｐ的轨迹上，若1OA OB OC λλ+=+（），求λ的取值范围．

11.如图，已知E 、F 为平面上的两个定点6||=EF ，10||=FG ，且EG EH =2，HP ·0=GE ，

（G 为动点，P 是HP 和GF 的交点）

（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P 的轨迹方程；

（2）若点P 的轨迹上存在两个不同的点A 、B ，且线段AB 的中垂线与EF

（或EF 的延长线）相交于一点C ，则||OC ＜5

（O 为EF 的中点）．

12．已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；

(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ?=？若存在，求出

直线l 的方程；若不存在，说明理由.

13．已知)0,1(),0,4(N M 若动点P 满足||6NP MP MN = （1）求动点P 的轨迹方C 的方程；

（2）设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线0122:=-+y x l 的距离的最小值. 19．如图，直角梯形ABCD 中，∠?=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=

23，BC=2

1 椭圆F 以A 、B 为焦点且过点D ，

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点E 满足AB EC 2

=,是否存在斜率

与的直线l k 0≠M 、F 交于椭圆N 两点，且

||||NE ME =，若存在，求K 的取值范围；若不存在，说明理由。

解（1）已知双曲线实半轴a 1=4，虚半轴b 1=25，半焦距c 1=62016=+， ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6，椭圆的半焦距c 2=a 1=4，椭圆的短半轴2b =204622=

-，

∴所求的椭圆方程为

+362x 120

=y （2）由已知)0,6(-A ,)0,4(F ，设点P 的坐标为),(y x ，则

),,4(),,6(y x FP y x AP -=+=由已知得 22

213620(6)(4)0x y x x y ?+=?

?+-+=?

则018922

=-+x x ，解之得623-==x x 或，

由于y>0，所以只能取23=x ，于是325=y ，所以点P 的坐标为??

??325,

239分（3）直线063:=+-y x AP ，设点M 是)0,(m ，则点M 到直线AP 的距离是2

+m ，于是626-=+m m ，又∵点M 在椭圆的长轴上，即 66≤≤-m 2m ∴= ∴当2=m 时，椭圆上的点到)0,2(M 的距离

2549

(2)4420()15992

x d x y x x x =-+=-++-=-+

又66x -≤≤∴当2

=x 时，d 取最小值15

2．解：（1）由3

4sin |

|||cos ,sin 34||||,sin ||||2

132θθθ

θt FP OF FP OF FP OF FP OF =??==???=由得，

得.34tan t

=θ…………………………………………………………………3分

],0[3

tan 1344πθθ∈<<∴<< t ∴夹角θ的取值范围是（

4π

π）

………………………………………………………………6分

C B

D A

（2）).0,(),,(),,(0000c OF y c x FP y x P =-则设

2000000(,)(,0)()(31)3143||||232OFP

OF FP x c y c x c c t c x c

S OF y y c

?∴?=-?=-==-∴==?=∴=±

…………………………………………………………………………………………8分

22004343

||(3)(

)2326OP x y c c c c

∴=+=+≥?=………………10分 ∴当且仅当)32,32(,,62||,2,3

43±===

OP OP c c

c 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33

=+=

∴OM 或)1,2()1,0()32,32(3

3-=+-=OM …………12分椭圆长轴

12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a

或2

1,217117

1)01()22()01()22(222222+=

∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为

112162

2=+y x .或12

17922=+++y x …………14分解：（Ⅰ）∵ OP →·OQ →

＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0， ……………………1分

又P 、Q 在抛物线上，

∴y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，

∴y 122p ·y 222p

＋y 1y 2＝0， y 1y 2＝－4p 2

， ∴|y 1y 2|＝4p 2，……………………3分

又|y 1y 2|＝4，∴4p 2＝4，p=1． ……………………4分（Ⅱ）设E(a,0），直线PQ 方程为x ＝my ＋a ,

联立方程组 ???x ＝my ＋a y 2＝2px

,……………………5分

消去x 得y 2－2pmy －2pa ＝0,……………………6分

∴ y 1y 2＝－2pa , ① ……………………7分设F(b,0)，R(x 3,y 3)，同理可知：

y 1y 3＝－2pb , ② ……………………8分由①、②可得

y 3y 2＝b

, ③ ……………………9分若 TR →＝3TQ →

，设T(c,0)，则有

(x 3－c,y 3－0)＝3(x 2－c,y 2－0),

∴y 3＝3y 2 即 y 3

y 2

＝3, ④ ……………………10分

将④代入③，得 b ＝3a ． ……………………11分

又由（Ⅰ）知，OP →·OQ →

＝0,

∴ y 1y 2＝－4p 2，代入①，

得－2pa ＝－4 p 2∴ a ＝2p,……………………13分 ∴b ＝6p,

故，在x 轴上，存在异于E 的一点F(6p,0)，使得TR →＝3TQ →

．………………14分注：若设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，不影响解答结果．（Ⅰ）解：设P (,)x y 则

(,)A AP x x y =-(,)B PB x y y =--……………………………………………...2分

由AP PB =- 得 2A x x =，2B y y =……………………………………………..4分又(,2)A MA x =(,)A AP x x y =- 即(2,2)MA x =，(,)AP x y =-……………6分由0MA AP ?= 得 2

(0)x y y =≥……………………………………………………..8分（Ⅱ）设11(,)E x y ，22(,)F x y

因为'y x = ，故两切线的斜率分别为1x 、2x ……………………………10分

由方程组22(2)x y y k x ?=?=+? 得2

240x kx k --=122x x k +=124x x k ?=- (12)

当12l l ⊥时，，

121x x ?=-，所以 1

k =

所以，直线l 的方程是 1

(2)8

y x =+…………

解：(Ⅰ)∵2MF x ⊥轴，∴21||2MF =,由椭圆的定义得：11

||22

MF a +=，--------2分

∵2211||(2)4MF c =+，∴22

11(2)424

a c -=+，-----------------------------------4分

又32e =

得2

234

c a =∴22423,a a a -=0a >2a ∴=

∴2

114

b a

c a =-=

=，-------------------------------6分 ∴所求椭圆C 的方程为2

214

x y +=．------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B 为（0，－1），设点P 的坐标为(,)x y 则(2,)PA x y =---，(2,1)AB =-, 由PA AB m ?=－4得－424x y m -+=-，

∴点P 的轨迹方程为2y x m =+------------------------------------9分设点B 关于P 的轨迹的对称点为00'(,)B x y ，则由轴对称的性质可得：000011

1,2222

y y x m x +-=-=?+，解得：004423

,55

m m x y ---=

，------------------------------11分 ∵点00'(,)B x y 在椭圆上，∴224423()4()455m m ---+=，整理得2230m m --=解得1m =-或 3

m =

∴点P 的轨迹方程为21y x =-或3

y x =+，-------------------------------------------13分

经检验21y x =-和3

y x =+都符合题设，

∴满足条件的点P 的轨迹方程为21y x =-或3

y x =+．---

解(Ⅰ)依题意,可设直线AB 的方程为m kx y +=,代入抛物线方程y x 42

=得

.0442=--m kx x ①

设A 、B 两点的坐标分别是（x 1,y 1）、(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程①的两根。所以.421m x x -=

由点P （0，m ）分有向线段AB 所成的比为λ，得

012

1=++λ

λx x ，即.21x x -=λ

又点Q 是点P 关于原点的以称点，

故点Q 的坐标是（0，--m ）,从而).2,0(m QP =

),(),(2211m y x m y x QB QA +-+=-λλ

=).)1(,(2121m y y x x λλλ-+--

])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-?

=])1(44[22

122212

1m x x

x x x x m ++?+

212144)(2x m

x x x x m +?

21444)(2x m

m x x m +-?+

=0，

所以).(QB QA OP λ-⊥ (Ⅱ)由?

?=+-=,

0122,42

y x y x 得点A 、B 的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。由y x 42

=得241x y =

， 1

y x '= 所以抛物线y x 42

=在点A 处切线的斜率为6

3x y ='=。

设圆C 的方程是2

)()(r b y a x =-+-，

则??

???-=---++=-+-,3169

.)4()4()9()6(2222a b b a b a 解之得 .2

125

)4()4(,223,23222=-++==-=b a r b a

所以圆C 的方程是2

125

)223()23(22=

-++y x ，解:(1)由(2)(2)0PQ PC PQ PC +?-=,得:2

40PQ PC -=,………（2分）

设(,)P x y ,则2

(4)4(1)0x x y ??+-++=??,化简得:22

143x y +=,………（4分）

点P 在椭圆上,其方程为22

143x y +=.………（6分） (2)设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由(1)O

A O

B O

C λλ+=+得：0CA CB λ+=，所以，A 、B 、C 三点共线.且0λ>,

得:1122(1,)(1,)0x y x y λ+++=,即:12

1x x y y λλλ=---??

=-?…（8分）

因为2211143x y +=,所以2

22(1)()143x y λλλ----+=①………（9分）又因为2222143x y +=,所以22

222()()43

x y λλλ+=②………（10分）由①-②得:2222(1)(1)14x λλλλ+++=- ,化简得:2352x λ

-=,………（12分）

因为222x -≤≤,所以35222λ

--≤≤. 解得:

133λ≤≤所以λ的取值范围为1,33??????

解：（1）如图1，以EF 所在的直线为x 轴，EF 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系。----------------------------------------1分由题设EG EH =2，0=?EG HP

∴||||PE PG =，而a

PG PE PF 2||||||==+-------------3分 ∴点P 是以E 、F 为焦点、长轴长为10的椭圆，

故点P 的轨迹方程是：

116

252

2=+y x -----------------4分（2）如图2 ，设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(0x C ， ∴21x x ≠，且||||CB CA =，--------------------------------6分即=+-21201)(y x x 2

2202)(y x x +- 又A 、B 在轨迹上，

∴116252

1=+y x ，116

252

2=+y

x 即2

125

1616x y -

=， 2

225

1616x y -

=---------------8分代入整理得：

)(259)(22

122012x x x x x -=?-

∵21x x ≠，∴50

)

(9210x x x +=．---------------------10分

∵551≤≤-x ，552≤≤-x ，∴101021≤+≤-x x ． ∵21x x ≠，∴101021<+<-x x ∴59590<<-

x ，即||OC ＜5

．---------------1 （Ⅰ）以AB 中点为原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图则A （-1,0） B(1,0) D(-1,

) (1分) 设椭圆F 的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x （2分）

得??

????+==??

? ??+-1123)1(222

22b a b a （4分） P

H F

C 图2

得3410417422224==∴>=+-b a a a a

所求椭圆F 方程 13

2=+y x （6分）

（Ⅱ）由)2

,0(21E AB EC 得=

显然)0(≠+=⊥k m kx y l AB l 方程设时不合条件

代入01248)43(13

42222

2=-+++=+m kmx x k y x 得（7分）

l 与椭圆F 有两不同公共点的充要条件是

0)124)(43(4)8(222>-+-=?m k km (8分)

即03422>+-m k 设、

y x M ),(11),(),(0022y x P ，MN y x N 中点 MN PE NE ME ⊥=等价于|

|||

22104344382k km

x k km x x x +-=∴+-=

+= (9分) 2

00436k

m kx y +=+= （10分） k

x y MN PE 12100-=-

⊥得（11分）得 k

km k m 143421

4362

2-=+--+ 得 2432k m +-= （12分）代入 0234340

>???

? ??+-+>?k k 得

34022<

,0()0,21(0

?-∈≠k k k 取值范围为故（14分）

解法2，设),(),(2211y x 、N y x M

得???????=+=+

134

2222

121y x y x ①—② 得

0)(3

1)(4122212221=-+-y y x x ①

②

21212

143y y x x x x y y x x ++?-=--≠得

设

000043)

,(y x k y x P MN ?-=得中点得004

x ky -=③ （9分）

MN PE NE ME ⊥=即||||

得

k x y 121

00-=-

得2

0k x ky +-=④ （11分）

由③、④得 2

200-==y k x

且P （x 0,y 0）在椭圆F 内部

得4

494422

<+k k

得（13分）又)2

,0()0,21(0?-∈∴≠k k k 取值范围为（14分）

圆锥曲线经典练习题及答案(供参考)

圆锥曲线经典练习题及解答大足二中欧国绪一、选择题 1. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的4 1 ，则该椭圆的离心率为（A ）31 （B ）21（C ）32（D ）4 3 2. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12 （B ）1 （C ）3 2 （D ）2 3.双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2C 的焦距等于( ) A. 2 B. 4.已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，离心率为3，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 5. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（） A.120522=- y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 6.已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（） A 、2 B 、3 C D 7.抛物线2 4 1x y = 的准线方程是（） (A) 1-=y (B) 2-=y (C) 1-=x (D) 2-=x

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是（） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案

圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题： 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为（） 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （） A ． 2 3 B ．3 C ．27 D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）. A. B. C. 2 D. 1 6．双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（） A ． 163 B ．83 C ．316 D ．3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对

圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力. 文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆122 22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x . 双曲线122 22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b y y a x x . 抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px . 命题 2 圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文[2]中有证明. 如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12 :22 =+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2 2 00012 x y < +<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____. P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为 [)22,2. 第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 12 00=+y y x x 并不经过()00,y x P .还有学生看到 12 00=+y y x x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点. 事实上，1200=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了. 题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率2 e = （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中 21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ?的值. 解析：（I ）C 的标准方程为.14 22 =-y x C 的渐近线方程为.2 1x y ± = （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和 44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线 MN 的方程为.44=+y y x x E E MN 的方程求出后剩下工作属常规计算.

圆锥曲线大题(有答案)

三、解答题 1.( 2013年上海市春季高考数学试卷 (含答案))本题共有2个小题，第1小题满分已知椭圆C 的两个焦点分别为只(1,0)、F 2(1, 0),短轴的两个端点分别为 B (1) 若RBB2为等边三角形,求椭圆c 的方程； ujir (2) 若椭圆C 的短轴长为2 ,过点F 2的直线I 与椭圆C 相交于P 、Q 两点,且F 1P 2 2 【答案】［解］(1)设椭圆C 的方程为x 2 y 2 1(a b 0). a b a 2b 2 4 2 1 根据题意知。… ，解得a 2 4, b 2 ' a 2 b 2 1 3 3 2 2 故椭圆C 的方程为X y 1. 4 1 3 3 2 ⑵ 容易求得椭圆C 的方程为X y 2 1. 2 当直线I 的斜率不存在时，其方程为x 1,不符合题意; 当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y k(x 1). 设 P(X 1，yJ ，Q(X 2, y 2),则 unr uuir uir uur 因为F 1P F 1Q ,所以F 1P FQ 0,即 4分,第2小题满分9分. B 2 uur FQ ,求直线I 的方程? y k(x 由x 2 2 — y 2 1)x 2 4k 2x 2(k 2 1) 0. x X 2 4k 2 2k 2严 2(k 2 2k 1) uir uuir (X 1 1,yJ, FQ (X 2 1小) 1) 得(2k 2 1

解得k 2 1 ,即k 7 所以，a 2. 又由已知，c 1, 所以椭圆C 的离心率e C 1 2 a V 2 2 2 X 2 由知椭圆C 的方程为—y 1. 设点Q 的坐标为(x,y). ⑵ 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx 2 . 因为M,N 在直线I 上，可设点M,N 的坐标分别为(石，心 2),(x 2,kx 2 2),则 2 2 (k 1)x 1x 2 (k 2 1)(x 1 x 2) k 1 7 k 2 1 2 k 2 1 0, 故直线l 的方程为x 7y 1 0 或 x 7y 2. (2013年高考四川卷(理)) 2 已知椭圆 C : x 2 a 2 y 2 1,(a b 0)的两个焦点分别为 R( b 1,0),F 2(1,0),且椭圆 (I )求椭圆 C 的离心率； (n )设过点 A(0,2)的直线 I 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且 1 ,2 2 | AQ|2 | AM | 2 ,求点 Q 的轨迹方程? |AN |2 【答案】解:2a PF 1 PF 2 (1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于 0,1 , 0, 1两点，此时Q 点坐标为 0,2

圆锥曲线单元测试题含复习资料

圆锥曲线与方程单元测试（高二高三均适用）一、选择题 1．方程x = （）（A ）双曲线（B ）椭圆（C ）双曲线的一部分（D ）椭圆的一部分 2．椭圆14222=+a y x 与双曲线122 2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是（）（A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 3.双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ） 2 3 4、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、过抛物线x y 42 =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（） A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、有无穷多条 D 、不存在 6、一个椭圆中心在原点，焦点12F F 、在x 轴上，P （2）是椭圆上一点，且1122|||||| PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为（） A 、22186x y += B 、221166x y += C 、22184x y += D 、22 1164 x y += 7．设0＜k ＜a 2, 那么双曲线x 2a 2–k – y 2b 2 + k = 1与双曲线 x 2a 2 – y 2 b 2 = 1有（）（A ）相同的虚轴（B ）相同的实轴（C ）相同的渐近线（D ）相同的焦点 8．若抛物线y 2= 2p x (p ＞0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p 的值等于（）（A ）2或18 （B ）4或18 （C ）2或16 （D ）4或16 9、设12F F 、是双曲线2 214 x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ?=u u u r u u u u r ，则12||||PF PF ?u u u r u u u u r 的值等于（） A 、2 B 、 C 、4 D 、8 10.若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22 =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（）

(完整版)高考圆锥曲线经典真题

高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l

的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点；当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在.

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答大足二中欧国绪直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占八、、的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（） x 1 (D)

圆锥曲线大题专题训练答案和题目

圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ．（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +，求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解：（Ⅰ）由题意知，(A a ．因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=．又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =，解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-．所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-．即2 04 24x x y x =-．因为点(0)P -4，在切线上．所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-．（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．

圆锥曲线基础测试题大全

（北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（）。（A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）（A ）y 2＝4x （B ）x 2＝ 21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1 y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-±

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用)

圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。（3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。

(完整版)圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理)

圆锥曲线一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 3．常用结论：（1）椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(122 22>>=-b a b x a y 图形顶点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e （离心率越大，开口越大）渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通径 22b a （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线122 2 2 =-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得022 2 2 =-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-2

人教版高二数学选修2-1第二章圆锥曲线测试题以及详细答案

高二圆锥曲线单元测试姓名：得分：一、选择题： 1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 2．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）. A. B. C. 2 D. 1- 4．过点(2,-1)引直线与抛物线2 x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2 C. 3 D.4 5．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =?满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 6．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 7、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对 8．方程02 =+ny mx 与)02+mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（） C

二、填空题： 9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19 72 2=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是； 10．若直线01)1(=+++y x a 与圆022 2 =-+x y x 相切，则a 的值为； 11、抛物线2 x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是； 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标； 13、椭圆13 122 2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的； 14．若曲线 15 42 2=++-a y a x 的焦点为定点，则焦点坐标是。三、解答题： 15．已知双曲线与椭圆 125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为5 14，求双曲线方程.（12分） 16．P 为椭圆 19 252 2=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若?=∠6021PF F （1）求△21PF F 的面积；（2）求P 点的坐标．（14分） 17、求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为 3 3 8的双曲线方程.（14分） 18、知抛物线x y 42 =，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分） 19、某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ 20、点A 、B 分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值。

新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案

全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于（） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -=

4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的（） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距离是（） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋；（2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。（II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。

圆锥曲线经典例题及总结(全面实用,你值得拥有!)

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。（3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。（2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。（3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

圆锥曲线历年高考题附答案解析

数学圆锥曲线测试高考题一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（） A ．43 B ．75 C ．85 D ．3 4．（2006高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（） B. C. 2 D. 4 5.（2006卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设

圆锥曲线综合测试题

圆锥曲线综合测试题班别座号成绩一、选择题（每小题5分，共60分。） 1.双曲线1322 2=-y x 的离心率为（） A ．13 2 B ．13 3 C ．102 D ．103 2.在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 3. 已知1F 、2F 为双曲线C:14x 2 2=-y 的左、右焦点,点P 在曲线C 上,∠21PF F =060, 则P 到x 轴的距离为（）A ．55 B ．155 C ．2155 D ．15 20 4. 已知动点(,)M x y 的坐标满足方程2222 558()()x y x y ++--+=，则M 的轨迹方程是（） A.221169x y += B.221169x y -= C. 2210169()x y x -=> D. 22 10169()y x y -=> 5.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）Ａ．必在圆 222x y += Ｂ．必在圆 22 2x y +=上Ｃ．必在圆 22 2x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能 6. 设双曲线)0,0(122 2 2>>=-b a b y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A x y 2±= B x y 2±= C x y 22± = D x y 21 ±= 7.已知等边△ABC 中，D 、E 分别是CA 、CB 的中点，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则下列关于1e 、2e 的关系式不正确的是( )