高1数学绝对值三角不等式知识点
高1数学绝对值三角不等式知识点
高1数学绝对值三角不等式知识点(一)
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式:
1、基本形式
如果a,b都是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立;
2、变式
如果a,b都是实数,则
。
三角不等式的解法
利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集.
高1数学绝对值三角不等式知识点(二)
绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法
二.教学目的
1、掌握绝对值的三角不等式;
2、掌握不等式证明的基本方法
三.知识分析
[绝对值的三角不等式]
定理1若a,b为实数,则
,当且仅当ab≥0时,等号成立。
几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b 的距离等于它们到原点距离之和。
(2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。
|a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。
定理2设a,b,c为实数,则
,等号成立
,即b落在a,c之间。
推论1
推论2
[不等式证明的基本方法]
1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。
比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。
比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。
如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。
2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。
所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“
”表述。
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。
3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。
4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得
,
,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。
【典型例题】
例1、已知函数
,设a、b∈R,且a≠b,求证:
思路:本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明:
证明:
证法一:
①
当ab≤-1时,式①显然成立;
当ab>-1时,式①
②
∵a≠b,∴式②成立。故原不等式成立。
证法二:当a=-b时,原不等式显然成立;
当a≠-b时,
∴原不等式成立。
点评:此题还可以用三角代换法,复数代换法、数形结合等证明,留给读者去思考。
例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:
。
思路:本题的关键是对题设条件的理解和运用,|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以
得到一个重要的信息:m≥|a|、m≥|b|、m≥1。
证明:
故原不等式成立。
点评:将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的
一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的
关键。
例3、函数
的定义域为[0,1]且
。当
∈[0,1],
时都有
,求证:
。
证明:不妨设
,以下分两种情形讨论。
若
则
,若
则
综上所述
点评:对于绝对值符号内的式子,采用加减某个式子后,重新组合,运用绝对值不等式的性质变形,是证明绝对值不等式的典型方法。
例4、已知a>0,b>0,求证:
。
思路:如果用差值比较法,下一步将是变形,显然需要通分,是统一通分,还是局部通分?从题目结构特点看,应采取局部通分的方法。
证明:
①
②
∴原不等式成立。
点评:在上面得到①式后,其分子的符号可由题设条件作出判断,但它没有②明显,所以,变形越彻底,越有利于最后的判断,本题
还可以用比值比较法证明,留给读者去完成。
例5、设x>0,y>0,且x≠y,求证:
思路:注意到x、y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续
思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手。
证明:∵x>0,y>0,且x≠y,
点评:在不便运用比较法或综合法时,应考虑用分析法。应注意分析法表述方法,其中寻求充分条件的语句常用符号“
”表述。本题应用了分析法,既找到了解题思路,又使问题完满地得到了解决,可谓一举两得。
绝对值不等式教学设计
含有绝对值的不等式 教学目标 (1)掌握绝对值不等式的基本性质,在学会一般不等式的证明的基础上,学会含有绝对值符号的不等式的证明方法; (2)通过含有绝对值符号的不等式的证明,进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法; (3)通过证明方法的探求,培养学生勤于思考,全面思考方法; (4)通过含有绝对值符号的不等式的证明,可培养学生辩证思维的方法和能力,以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ①本节重点是性质定理及推论的证明.一个定理、公式的运用固然重要,但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法,通过证明过程的探求,使学生理清思考脉络,培养学生勤于动脑、勇于探索的精神. ②教学难点一是性质定理的推导与运用;一是证明含有绝对值的不等式的方法选择.在推导定理中进行的恒等变换与不等变换,相对学生的思维水平是有一定难度的;证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换,根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点. 三、教学建议
(1)本节内容分为两课时,第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用,第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例. (2)课前复习应充分.建议复习:当时 ; ; 以及绝对值的性质: ,为证明例1做准备. (3)可先不给出含有绝对值的不等式性质定理,提出问题让学生研究:是否等于? 大小关系如何?是否等于?等等.提示学生用一些数代入计算、比较,以便归纳猜想一般结论. (4)不等式的证明方法较多,也应放手让学生去探讨. (5)用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论. (6)本节教学既要突出教师的主导作用,又要强调学生的主体作用,课上尽量让全体学生参与讨论,由基础较差的学生提出猜想,由基础较好的学生帮助证明,培养学生的团结协作的团队精神. 教学设计示例 含有绝对值的不等式 教学目标 理解及其两个推论,并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点
(完整版)绝对值三角不等式
1.4 绝对值三角不等式 教案1 (新人教选修4-5) 教学目标: 1:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会进行简 单的应用。 2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数 学 思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 教学重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程: 一、复习引入: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1.请同学们回忆一下绝对值的意义。 ?? ? ??<-=>=0000x x x x x x ,如果,如果,如果。 几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1)a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立,.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。 (2)2 a a =, (3) b a b a ?=?, (4) )0(≠= b b a b a 那么? b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课: 结论:a b a b ++≤(当且仅当0ab ≥时,等号成立.) 已知,a b 是实数,试证明:a b a b ++≤(当且仅当0ab ≥时,等号成立.) 方法一:证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时, 探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a -
绝对值不等式例题解析
典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析:解含有绝对值的不等式,通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ,将不等式中的绝对符号去掉,转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组),再去求解.去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点),将数轴分成若干段,然后从左向右逐段讨论. 解:令01=+x ,∴ 1-=x ,令032=-x ,∴2 3=x ,如图所示. (1)当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾,无解. (2)当2 31≤ <-x 时,原不等式化为2)32(1--->+x x . ∴ 0>x ,故2 30≤
当4>x 时,得a x x <-+-)3()4(,即27+< a x ,有解的条件为42 7>+a ∴1>a . 以上三种情况中任一个均可满足题目要求,故求它们的并集,即仍为1>a . 解法二:设数x ,3,4在数轴上对应的点分别为P ,A ,B ,如图,由绝对值的几何定义,原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a . 因为1=AB ,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于1),即134≥-+-x x ,故当1>a 时,a x x <-+-34有解. 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-,求证ε<-ab xy . 分析:根据条件凑b y a x --,. 证明:ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(. 说明:这是为学习极限证明作的准备,要习惯用凑的方法. 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析:使用分析法 证明 ∵0>a ,∴只需证明b a a b a -≥-222,两边同除2 b ,即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2,即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时,b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(;当1高考含绝对值不等式的解法
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一:形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号,准确的去掉绝对值符号,再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时, a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(,无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 (2008年四川高考文科卷)不等式22<-x x 的解集为( ) A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解: 因为 22<-x x ,
所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x , 解得: ? ??<<-∈21x R x , 所以 )2,1(-∈x ,故选A. 类型二:形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是,该类型的不等式容易错解为: b x f a a b b x f a <>><<)()0()( 例2 (2004年高考全国卷)不等式311<+ 不等式的解法 绝对值不等式 例1 解绝对值不等式|x+3|>|x-5|. {x |x>1}. 例2 对任意实数x ,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则实数k 的取值范围是( ) A .k<3 B .k<-3 C .k≤3 D .k≤-3 选B . 例3 解不等式|3x-1|>x+3. {x | x<- ,或x>2}. 例4 解不等式 |x-5|-|2x+3|<1 {x |x<-7或 x> } |x+3|+|x-3|>8. 例5 解不等式1≤|2x-1|<5. {x |-2 指数不等式 例1、解不等式 (1)12>x (2) ) 1(332)21(22--- 绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab ≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a 与-b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1 推论2 [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证: 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 高1数学绝对值三角不等式知识点 高1数学绝对值三角不等式知识点(一) 绝对值三角不等式 绝对值三角不等式: 1、基本形式 如果a,b都是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立; 2、变式 如果a,b都是实数,则 。 三角不等式的解法 利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集. 高1数学绝对值三角不等式知识点(二) 绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 二.教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 三.知识分析 [绝对值的三角不等式] 定理1若a,b为实数,则 ,当且仅当ab≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b 的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2设a,b,c为实数,则 ,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1 推论2 [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“ 课题:绝对值三角不等式 红岭中学 隗双和 教学目标: 知识与技能:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会 进行简单的应用。 过程与方法:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合 的数学思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 情感、态度与价值观:体验不等式的美感,提高推理能力,增强学习兴趣。能运用所学的知 识,正确地解决的实际问题. 教学重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体辅助。 教学过程: 一、复习引入: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1.请同学们回忆一下绝对值的意义。 ?? ? ??<-= >=0000x x x x x x ,如果,如果,如果。 几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1)a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立,.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。 (2)2 a a =, (3) b a b a ?=?, (4) )0(≠= b b a b a 那么? b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课: 结论:a b a b ++≤(当且仅当0ab ≥时,等号成立.) 已知,a b 是实数,试证明:a b a b ++≤(当且仅当0ab ≥时,等号成立.) 探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a - 《绝对值三角不等式》教案 教学目标 1.了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会进行简 单的应用. 2.充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学 思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明. 教学重、难点 重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用. 难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件. 教学过程 一、复习引入: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式.本节课探讨不等式证明这类问题. 1.请同学们回忆一下绝对值的意义. ?? ???<-=>=0000x x x x x x ,如果,如果,如果. 几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值. 2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1)a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立,.a a -≥当且仅当 时等号成立. (2)2a a =, (3)b a b a ?=?, (4))0(≠=b b a b a 那么?b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课: 探究:,,,a b a b a b +-之间有什么关系? 结论:a b a b ++≤(当且仅当ab ≥0时,等号成立.) 定理1 a ,b 如果 是实数,则a b a b ++≤(当且仅当ab ≥0时,等号成立.) 探究1:若把a ,b 换为向量b a ,情形又怎样呢? 得到向量形式的不等式 a b a b +<+ 它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边. 由于定理1与三角形之间的这种联系,我们称其中的不等式为绝对值三角形不等式 探究2:当向量a ,b 共线时,有怎样的结论? 一般地,我们有 a b a b ++≤ 为了更好地理解定理1,我们再从代数推理的角度给出它的证明. 证明:(1)当ab ≥0时, ||, ||||||ab ab a b a b =+=====+ (2)当ab <0时, ||, ||||||ab ab a b a b =-+===<==+ a a b + 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义:x 是指数轴上点x 到原点的距离;21x x -是指数轴上1x ,2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时,不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3.c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时,可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时,不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0 (二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??- 去掉绝对值再解。 例2。解不等式 22 x x x x >++。 分析:由绝对值的意义知,a a =?a ≥0,a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +<0?x(x+2)<0?-2<x <0。 (三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ,02=+x ,得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间,即2- 1.4绝对值三角不等式 教学目标:1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程; 2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式; 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。 教学重点:定理1的证明及几何意义。 教学难点:换元思想的渗透。 教学过程: 一、引入: 证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1)b a b a +≥+ (2)b a b a +≤- (3)b a b a ?=? (4))0(≠=b b a b a 请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上,性质b a b a ?=?和)0(≠=b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题:设a 为实数,a 和a 哪个大? 显然a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立(即在0≥a 时,等号成立。在0 绝对值三角不等式讲与练 一、引入: 证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1)b a b a +≥+ (2)b a b a +≤- (3)b a b a ?=? (4) ) 0(≠=b b a b a 请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上,性质b a b a ?=?和 ) 0(≠= b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法 法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明 b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证 明。 现在请同学们讨论一个问题:设a 为实数,a 和a 哪个大? 显然a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立(即在0≥a 时,等号成立。在0 学科:数学 教学内容:含绝对值不等式的解法 【自学导引】 1.绝对值的意义是:? ? ?<-≥=)0x (x ) 0x (x x . 2.|x |<a (a >0)的解集是{x |-a <x <a }. |x |>a (a >0)的解集是{x |x <-a 或x >a }. 【思考导学】 1.|ax +b |<b (b >0)转化成-b <ax +b <b 的根据是什么? 答:含绝对值的不等式|ax +b |<b 转化-b <ax +b <b 的根据是由绝对值的意义确定. 2.解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么? 答:解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法就与解一般不等式或不等式组相同. 【典例剖析】 [例1]解不等式2<|2x -5|≤7. 解法一:原不等式等价于???≤->-7|52|2 |52|x x ∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即????? ≤≤-<>6 12327x x x 或 ∴原不等式的解集为{x |-1≤x < 23或2 7 <x ≤6} 解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ)???≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)???≤-<<-7 252052x x 不等式组(Ⅰ)的解集为{x | 2 7 <x ≤6} 不等式组(Ⅱ)的解集是{x |-1≤x <23 } ∴原不等式的解集是{x |-1≤x <23或2 7 <x ≤6} 解法三:原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集. (Ⅰ)2<2x -5≤7 (Ⅱ)2<5-2x ≤7 不等式(Ⅰ)的解集为{x | 2 7 <x ≤6} 不等式(Ⅱ)的解集是{x |-1≤x <23 } ∴原不等式的解集是{x |-1≤x <23或2 7 <x ≤6}. 点评:含绝对值的双向不等式的解法,关键是去绝对值号.其方法一是转 化为单向不等式组如解法一,再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三. [例2]解关于x 的不等式: (1)|2x +3|-1<a (a ∈R ); (2)|2x +1|>x +1. 解:(1)原不等式可化为|2x +3|<a +1 当a +1>0,即a >-1时,由原不等式得-(a +1)<2x +3<a +1 - 24+a <x <2 2 -a 当a +1≤0,即a ≤-1时,原不等式的解集为?, 综上,当a >-1时,原不等式的解集是{x |-24+a <x < 2 2 -a } 当a ≤-1时,原不等式的解集是?. (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)???+>+≥+112012x x x 或(Ⅱ)? ??+>+-<+1)12(012x x x 不等式组(Ⅰ)的解为x >0 不等式组(Ⅱ)的解为x <- 3 2 ∴原不等式的解集为{x |x <- 3 2 或x >0} 点评:由于无论x 取何值,关于x 的代数式的绝对值均大于或等于0,即不可能小于0,故|f (x )|<a (a ≤0)的解集为?. 解不等式分情况讨论时,一定要注意是对参数分类还是对变量分类,对参数分类的解集一般不合并,如(1)对变量分类,解集必须合并如(2). [例3]解不等式|x -|2x +1||>1. 解:∵由|x -|2x +1||>1等价于(x -|2x +1|)>1或x -|2x +1|<-1 (1)由x -|2x +1|>1得|2x +1|<x -1 1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标:1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程; 2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式; 4. ☆教学重点:定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点:换元思想的渗透。 ☆教学过程: 一、引入: 证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1)b a b a +≥+ (2)b a b a +≤- (3)b a b a ?=? (4) )0(≠=b b a b a 请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理? 实际上,性质b a b a ?=?和 )0(≠=b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法 法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题:设a 为实数,a 和a 哪个大? 显然a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立(即在0≥a 时,等号成立。在0 解绝对值不等式的几种常用方法以及变形 前提:a 0; 形式:f (x ) =a ; f(x ) ca ; f (x )∣κa , f (x) Wa 等价转化为 f(x) >a = f(x )〉a 或f (x)<—a ; f(x) va= -a 澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【绝对值三角不等式】 学科:数学 年级:高三 班级:202、203 主备教师:沈良宏 参与教师:郭晓芳、龙新荣、刘世杰 审定教师:刘德清 一、教材分析:本节课是人教A 版选修4-5《不等式选讲》中的第一讲“不等式和绝对值不等式”中第二节第一课时的内容,属于定理课.绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念,讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义.绝对值三角不等式既是一个基本的结论,又是知识承上启下的一个生长点.承上:学生在初中里就已经接触和学习了绝对值的定义与几何意义,这里继续沿用;启下:绝对值三角不等式是证明有关绝对值不等式的基础和基本方法. 二、教学目标: 1、知识与技能: (1)理解绝对值的定义; (2)掌握定理1的两种证明思路及其几何意义; (3)理解绝对值三角不等式; (4)会用绝对值不等式解决一些简单的问题。 2、过程与方法:利用绝对值的定义,充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 3、情感、态度与价值观:让学生在绝对值三角不等式的推理和证明过程中,体会转化和数形结合的数学思想,培养学生的分析问题、解决问题的能力。 三、教学重点:定理1的证明及几何意义。 四、教学难点:换元思想的渗透。 五、教学准备 1、课时安排: 1课时 2、学情分析:因为是选修4系列内容,面对的是高三学生,学生虽然在初中接触过绝对值的定义和几何意义,但对于绝对值不等式没有深入学习过,所以本节课的知识对学生来说比较新鲜.同时,利用几何意义探究绝对值不等式相关问题的方法对学生来说比较困难.有利要素是学生已经具备一定的分类讨论思想以及不等式证明的方法. 3、教具选择:多媒体 六、教学方法:启发引导、合作探究 七、教学过程 1、自主导学: Ⅰ、创设情境: 1、在数轴上,你能指出实数a 的绝对值a 的几何意义吗? 2、绝对值的性质:)0(,≠=?=?b b a b a b a b a , 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8-3x|>0的解集是 [ ] 答选C. 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A.3 B.2 C.-2 D.-5 分析列出不等式. 解根据题意得2<|x|≤5. 从而-5≤x<-2或2<x≤5,其中最小整数为-5, 答选D. 例3 不等式4<|1-3x|≤7的解集为________. 分析利用所学知识对不等式实施同解变形. 解原不等式可化为4<|3x-1|≤7,即4<3x-1≤7或-7 例4 已知集合A={x|2<|6-2x|<5,x∈N},求A. 分析转化为解绝对值不等式. 解∵2<|6-2x|<5可化为 2<|2x-6|<5 因为x∈N,所以A={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件. 例5 实数a,b满足ab<0,那么 [ ] A.|a-b|<|a|+|b| B.|a+b|>|a-b| C.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<||a|+|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义. 解∵a、b异号, ∴|a+b|<|a-b|. 答选C. 例6 设不等式|x-a|<b的解集为{x|-1<x<2},则a,b的值为 [ ] A.a=1,b=3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 分析解不等式后比较区间的端点. 解由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b<x<a+b},由于解集又为{x|-1<x<2}所以比较可得. 答选D. 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例7 解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R) 分析分类讨论. x<m. {x|1-m<x<m}. 说明:分类讨论时要预先确定分类的标准. 点击思维 分析一般地说,可以移项后变形求解,但注意到分母是正数,所以能直接去分母. 解注意到分母|x|+2>0,所以原不等式转化为2(3-|x|)≥|x|+2,整理得说明:分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号,使过程简便. 例9 解不等式|6-|2x+1||>1. 分析以通过变形化简,把该不等式化归为|ax+b|<c或|ax+b|>c型的不等式来解. 解事实上原不等式可化为 6-|2x+1|>1 ①或6-|2x+1|<-1 ②由①得|2x+1|<5,解之得-3<x<2; 由②得|2x+1|>7,解之得x>3或x<-4. 从而得到原不等式的解集为{x|x<-4或-3<x<2或x>3}. 说明:本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论. 例10 已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|<a的解集是非空集合,则实数a的取值范围是________. 分析可以根据对|x+2|+|x-3|的意义的不同理解,获得多种方法. 解法一当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+3<a即-2x+1<a有解,而-2x+1≥5, ∴a>5. 当-2<x≤3时,不等式化为x+2-x+3<a即a>5. 当x>3是,不等式化为x+2+x-3<a即2x-1<a有解,而2x-1>5,∴a>5. 综上所述:a>5时不等式有解,从而解集非空. 解法二|x+2|+|x-3|表示数轴上的点到表示-2和3的两点的距离之和,显然最小值为3-(-2)=5.故可求a的取值范围为a>5. 解法三利用|m|+|n|>|m±n|得 |x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|=5. 所以a>5时不等式有解. 说明:通过多种解法锻炼思维的发散性. 例11 解不等式|x+1|>2-x.绝对值指数对数三角不等式的解法
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