信号与线性系统分析复习题及答案.doc
信 号 与 线 性 系 统 复 习 题
单项选择题。
1. 已知序列 f ( k)
cos( 3
k ) 为周期序列，其周期为
（ C ）
5
A ．2B. 5 C. 10D. 12
2. 题 2 图所示 f (t) 的数学表达式为
（ B
）
f(t
正弦函数
10
0 1
t
图题 2
A ． f (t ) 10sin( t )[ (t) (t 1)] B. f (t ) 10sin( t)[ (t ) (t 1)]
C. f (t ) 10sin( t )[ (t) (t 2)]
D.
f (t)
10sin( t )[ (t)
(t
2)]
3.
已知
f (t) sin( t) (t )dt
，其值是
（ A ）
t
A ． B. 2 C. 3
D.
4
4. 冲激函数 (t) 的拉普拉斯变换为
（ A
）
A ． 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 为了使信号无失真传输，系统的频率响应函数应为
（ D
）
A ． H ( jw ) C.
H ( jw )
6. 已知序列
z
A ．
e jwt
d
B.
H ( jw) e jwt
d
Ke jwt
d
D.
H ( jw )
Ke jwt
d
f (k ) ( 1)
k
(k ) , 其 z 变换为
（ B
）
3
B.
z
C.
z
D.
z
z 1
3
z
1 z
1 z 1
3
4
4
7. 离散因果系统的充分必要条件是（ A ）
A．h(k) 0,k 0 B. h( k) 0, k 0
C. h(k) 0,k 0
D. h( k) 0, k 0
8. 已知f (t)的傅里叶变换为 F ( jw )，则f (t 3) 的傅里叶变换为（ C ）A．F ( jw )e jw B. F ( jw )e j 2w C. F ( jw )e j 3 w D. F ( jw )e j 4 w
9. 已知f (k) k (k) ， h(k) (k 2) ，则 f ( k) h(k ) 的值为（ B ）
A．k 1( k 1) B. k 2 (k 2) C. k 3 (k 3) D. k 4 (k 4)
10. 连续系统的零输入响应的“零”是指（ A ）
A. 激励为零
B. 系统的初始状态为零
C. 系统的冲激响应为零
D. 系统的阶跃响应为零
11. 已知序列 f (k)
j k
（）e 3 为周期序列，其周期为
A． 2 B. 4 C. 6 D. 8
12. 题 2 图所示 f (t )的数学表达式为（）
f(t
1
- 0 1
t
A．f (t) (t 1) (t 1) B. f (t ) (t 1) (t 1)
C. f (t ) (t ) (t 1)
D. f (t) (t) (t 1)
13. 已知f1(t) (t 1), f2 (t) (t 2) ，则f1 (t ) f2 (t) 的值是（）A．(t ) B. (t 1) C. (t 2) D. (t 3)
14. 已知 F ( j ) j ，则其对应的原函数为（）A．(t ) B. ' (t ) C. ' ' (t ) D. '' ' (t)
15. 连续因果系统的充分必要条件是（）A．h(t ) 0,t 0 B. h(t ) 0,t 0
C. h(t ) 0, t 0
D. h(t ) 0,t 0
16. 单位阶跃序列(k) 的z变换为（）
A．z
, z 1 B.
z
z
, z 1 C.
z
, z 1 D.
z
, z 1 z 1 1 z 1 z 1
17. 已知系统函数 H ( s) 1
，则其单位冲激响应h(t ) 为（）s
A．(t ) B. t (t ) C. 2t (t ) D. 3t (t)
18. 已知 f (t) 的拉普拉斯变换为 F ( s) ，则 f (5t ) 的拉普拉斯变换为（）
A．F (s
) B.
1
F (
s
) C.
1
F (
s
) D.
1
F (
s
)
5 3 5 5 5 7 5
19. 已知 f ( k) k 2 ( k 2) ， h( k) (k 2) ，则 f (k) h(k ) 的值为（）
A．k 1( k 1) B. k 2 (k 2)
C. k 3 ( k 3)
D. k 4 ( k 4)
20. 已知 f (t) 的傅里叶变换为 F ( j ) ，则 F ( jt ) 的傅里叶变换为（）
A. f ( )
B. f ( )
C. 2 f ( )
D. 2 f ( )
21. 下列微分或差分方程所描述的系统是时变系统的是（）A．y'(t) 2 y(t) f ' (t) 2 f (t )
B. y' (t) sin ty (t) f (t)
C. y' (t) [ y(t )] 2 f (t)
D. y(k ) y(k 1) y(k 2) f ( k)
22. 已知f1(t) t (t ), f2 (t ) (t) A．0.1t2(t ) B. 0.3t 2 (t ) ，则 f1 (t ) f2 (t) 的值是（）C.0.5t 2 (t ) D.0.7t 2 (t)
23. 符号函数sgn(t )的频谱函数为（）
A．1
B. 2
C. 3
D. 4 j j j j
24. 连续系统是稳定系统的充分必要条件是（）
A．h(t )dt M B. h(t) dt M
C. h(t)dt M
D. h(t)dt M
25. 已知函数 f (t)的象函数F ( s) ( s 6) ，则原函数 f (t) 的初值为（）
( s 2)(s 5)
A． 0 B. 1 C. 2 D. 3
26. 已知系统函数H ( s) 3 ，则该系统的单位冲激响应为（）
s 1
A．e t(t ) B. 2e t (t ) C. 3e t (t) D. 4e t (t )
27. 已知f ( k) k 1 (k 1), h(k ) ( k 2) ，则 f (k ) h( k) 的值为（）A．k (k) B. k 1 (k 1) C. k 2 (k 2) D. k 3 (k 3)
28.系统的零输入响应是指（）
A.系统无激励信号
B.系统的初始状态为零
C.系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应
D.系统的初始状态为零，仅由系统的激励引起的响应
29. 偶函数的傅里叶级数展开式中（）
A．只有正弦项B.只有余弦项 C. 只有偶次谐波 D.只有奇次谐波
10. 已知信号 f (t )的波形，则 f (t
)的波形为（）2
A．将f (t )以原点为基准，沿横轴压缩到原来的 1
2
B. 将f (t )以原点为基准，沿横轴展宽到原来的 2 倍
C. 将f (t )以原点为基准，沿横轴压缩到原来的 1
4
D. 将f (t )以原点为基准，沿横轴展宽到原来的 4 倍
填空题
1. 已知象函数 F (s) 2s 3 f (0 ) 为 ___________________。
(s 1)2
，其原函数的初值
(e t t ) (t 2)dt 。
3. 当 LTI 离散系统的激励为单位阶跃序列(k) 时，系统的零状态响应称为
_________________。
4. 已知函数 F (s)
4
，其拉普拉斯逆变换为 ____________________。2s 3
5. 函数 f (t) 的傅里叶变换存在的充分条件是________________________。
6. 已知 X ( z) 1 ( z 0.5) ，则其逆变换x(n)的值是______________。
0.5z 1
1
7. 系统函数 H (z) (z 1)(z 1)
的极点是 ___________________________。
( z 1 )
2
8. 已知 f (t)的拉普拉斯变换为F ( s)，则f (t t0 ) (t t0 ) 的拉普拉斯变换为_________________。
9. 如果系统的幅频响应 H ( jw) 对所有的均为常数，则称该系统为__________________________。
10.已知信号f (t )
, 则其傅里叶变换的公式为 ______________。
11. 已知象函数 F ( s) 2s 3
2，其原函数的初值 f (0 ) 为___________________。
( s 1)
(e t t ) (t 2)dt 。
13. 当 LTI 离散系统的激励为单位阶跃序列(k) 时，系统的零状态响应称为
_________________。
4
，其拉普拉斯逆变换为 ____________________。14. 已知函数F ( s)
2s 3
15. 函数f (t)的傅里叶变换存在的充分条件是________________________。
16. 已知
1
，则其逆变换
x(n) 的值是______________。X ( z) 1 0.5z 1
( z
0.5)
17. 系统函数H ( z) ( z 1)(z 1)
的极点是 ___________________________。
1
)
(z
2
18. 已知f (t )的拉普拉斯变换为F (s)，则f (t t0) (t t0)的拉普拉斯变换为_________________。
19. 如果系统的幅频响应H ( jw)对所有的均为常数，则称该系统为
__________________________。
20.已知信号f (t )
, 则其傅里叶变换的公式为 ______________。
21.6e 3t (t ) 的单边拉普拉斯变换为_________________________。
22. f (t t0 ) (t )dt____________________________ 。
23.5 (t ) 的频谱函数为______________________。
24.一个 LTI 连续时间系统，当其初始状态为零，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为 __________响应。
25.序列 f ( k) ( 1
)k (k ) 的z变换为___________________________。2
26.时间和幅值均为 ______________的信号称为数字信号。
27. 系统函数H ( z)
z(z1)
( z 0.4)( z 0.6)
的极点是 ___________________________。
系统的全响应可分为自由响应和__________________。
29. 函数 f1 (t) 和 f2 (t) 的卷积积分运算 f1 (t ) f2 (t ) _______________________。
30. 已知函数 F (s)
3
，其拉普拉斯逆变换为 ____________________。s 2
简答题．。
1．简述根据数学模型的不同，系统常用的几种分类。
2．简述稳定系统的概念及连续时间系统时域稳定的充分必要条件。
3．简述单边拉普拉斯变换及其收敛域的定义。
4．简述时域取样定理的内容。
5.简述系统的时不变性和时变性。
6.简述频域取样定理。
7.简述 0 时刻系统状态的含义。
8.简述信号拉普拉斯变换的终值定理。
9.简述 LTI 连续系统微分方程经典解的求解过程。
10.简述傅里叶变换的卷积定理。
11.简述 LTI 离散系统差分方程的经典解的求解过程。
12.简述信号 z 变换的终值定理。
13.简述全通系统及全通函数的定义。
14.简述 LTI 系统的特点。
15.简述信号的基本运算
计算题
1. 描述离散系统的差分方程为y(k) 0.9 y(k 1) 0, y( 1) 1，利用z变换的方法求解 y(k) 。
2．描述某LTI 系统的微分方程为y' ' (t) 4 y ' (t ) 3y(t ) f ' (t) 3 f (t )，求其冲激响应 h(t) 。
3．给定微分方程
y '' ( ) 3 ' ( ) 2 ( )
f
' ( ) 3 ( )
，
f (t)
，'
( 0 ) 2
，t y t y t t f t (t), y(0 ) 1 y
求其零输入响应。
4．已知某 LTI 离散系统的差分方程为y(k ) 2 y(k 1) f (k ), f (k) 2 (k ) ，y(-1)=-1,求其零状态响应。
5．当输入 f (k) ( k ) 时，某LTI 离散系统的零状态响应为
y zs(k) [ 2 ( 0.5)k ( 1.5) k ] ( k) ，求其系统函数。
6．描述某LTI 系统的方程为y'' (t) 4 y' (t ) 3 y(t) f ' (t) 3 f (t), 求其冲激响应h(t ) 。7．描述离散系统的差分方程为
y(k ) y(k 1) 3 y(k
2) 2 f (k ) f (k 1) ,，求系统函数和零、极点。4
8．已知系统的微分方程为y '' (t ) 4 y' (t ) 3 y(t ) f (t) ，y(0 ) y' (0 ) 1
f (t ) (t) ，求其零状态响应。
9．用z 变换法求解方程y(k) 0.9 y(k 1) 0.1 (k), y( 1) 2的全解
10．已知描述某系统的微分方程y'' (t) 5y ' (t ) 6 y(t ) f ' (t ) 4 f (t ) ，求该系统的频率响应H ( jw ).
11. 已知某LTI 系统的阶跃响应g (t ) (1 e 2t ) (t ) ，欲使系统的零状态响应
y zs(t ) (1 e 2t te 2 t ) (t) ，求系统的输入信号 f (t) 。
12.利用傅里叶变换的延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果），求解下列信号的频谱函数。
f(t)
1
-3-1o 1 3
t
13.若描述某系统的微分方程和初始状态为
y(0 ) 1, y' ( 0 ) 5 ，求系统的零输入响应。
14.描述离散系统的差分方程为
y(k) y(k 1)
1
y(k 2) f (k ) f ( k 2) ，
2
求系统函数和零、极点。
15. 若描述某系统的差分方程为
y(k) 3y(k 1) 2 y(k
2)
(k ) ，已知初始条件 y( 1)
0, y( 2) 0.5 ，利用
z 变换
法，求方程的全解。
信号与线性系统分析复习题答案
单项选择题
1. C
7 .A
1
1.C 13.D16.D 17.A 19.D
23. B
27. D
29. B 30. B
填空题
3 t
1.
2 2.
e 2 2
3.
单位阶跃响应 / 阶跃响应
4.
2e 2 5.
(t)
f (t) dt
6.
( 0.5) k (k) 7.
1 8.
F (s)e st 0
9.
全通系
2
统
10.
F ( jw )
f (t )e jwt dt
11. 卷积和 12. 1 13.
y(t ) kf (t t d )
14. f 1 (t ) f 2 (t) f 1(t) f 3 (t) 15. 齐次解和特解 16.
18.
z
19. 2
(w) 20.
齐次 21.
6
22. f ( t 0 )
3z
6 2z
s 3
跃响应
25. 离散 27.
， 28. 强迫响应
2z 26.
1
30. 3e 2t (t)
系统函数分子 17. 2 23. 5 24.
单位阶
29.
f 1 ( ) f 2 (t )d
简答题
1．答：（ 1）加法运算，信号 f 1 ( ) 与 f 2 ( ) 之和是指同一瞬时两信号之值对应相加 所构成的“和信号” ，即 f ( ) f 1 ( )
f 2 ( )
（2）乘法运算，信号 f 1( ) 与 f 2 ( ) 之积是指同一瞬时两信号之值对应相
乘所构成的“积信号” ，即 f ( )
f 1 ( ) f 2 ( ) ）
（ 3）反转运算：将信号 f (t ) 或 f (k) 中的自变量 t 或 k 换为 t 或 k ，其
几何含义是将信号
f ( ) 以纵坐标为轴反转。
（ 4）平移运算：对于连续信号 f (t) ，若有常数t0 0 ，延时信号 f (t t0 ) 是将原信号沿t 轴正方向平移t0 时间，而 f (t t0 ) 是将原信号沿t 轴负方向平移t0时间；对于离散信号 f (k ) ，若有整常数k0 0 ，延时信号 f ( k k0 ) 是将原序列沿k 轴正方向平移 k0单位，而 f (k k0 ) 是将原序列沿k轴负方向平移 k0单位。（ 5）尺度变换：将信号横坐标的尺寸展宽或压缩，如信号 f (t ) 变换为 f ( at ) ，若
a 1 ，则信号 f (at ) 将原信号 f (t) 以原点为基准，将横轴压缩到原来的1
倍，若a
0 a 1，则 f (at ) 表示将 f (t ) 沿横轴展宽至1
倍a
2．答：根据数学模型的不同, 系统可分为 4 种类型. 即时系统与动态系统；连续系统与离散系统；线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统
3．答：（1）一个系统（连续的或离散的）如果对任意的有界输入，其零状态响
应也是有界的则称该系统是有界输入有界输出稳定系统。（ 2）连续时间系统时域稳定的充分必要条件是h(t ) dt M
4．信号的单边拉普拉斯正变换为： F ( s) f (t)e st dt
逆变换为： f (t ) 1 jw F (s)e st ds
2 j jw
收敛域为：在 s 平面上，能使lim f (t)e
t
0 满足和成立的的取值范围（或
t
区域），称为 f (t) 或 F (s) 的收敛域。
5．答：一个频谱受限的信号 f (t )，如果频谱只占据w m ~ w m的范围，则信号 f (t )
可以用等间隔的抽样值唯一表示。而抽样间隔必须不大于 1 （ w m 2 f m），或
2 f m
者说，最低抽样频率为 2 f m。
6. 答：如果系统的参数都是常数，它们不随时间变化，则称该系统为时不变（或
非时变）系统或常参量系统，否则称为时变系统。
描述线性时不变系统的
数学模型是常系数线性微分方程（或差分方程）
，而描述线性时变系统的数学模
型是变系数线性微分（或差分）方程。
7．答：一个在时域区间 ( t m ,t m ) 以外为零的有限时间信号 f (t ) 的频谱函数 F ( jw) ，
可 唯 一 地 由 其 在 均 匀 间 隔 f s ( f s
1
) 上 的 样 点 值 F ( jnw s ) 确 定 。
2t m
F ( jw )
F ( j n
)Sa( wt m n ) ， t m
1 n
t m
2 f s
8．答：在系统分析中，一般认为输入 f (t ) 是在 t 0 接入系统的。在 t 0 时，激
励尚未接入，因而响应及其导数在该时刻的值
y ( j ) (0 ) 与激励无关，它们为求得
t 0 时的响应 y(t) 提供了以往的历史的全部信息，故
t
0 时刻的值为初始状态。
9．答：若 f (t ) 及其导数
df (t)
可以进行拉氏变换，
f (t) 的变换式为 F ( s) ，而且
lim t
dt
f t sF s 。终值定理的条件是：仅 f (t ) 存在，则信号 f (t) 的终值为
lim
t
) s 0
( lim ( )
当 sF ( s) 在 s 平面的虚轴上及其右边都为解析时（原点除外）
，终值定理才可用。
10. 答：(1) 列写特征方程 , 根据特征方程得到特征根 , 根据特征根得到齐次解的表达式 (2) 根据激励函数的形式 , 设特解函数的形式 , 将特解代入原微分方程 , 求
出待定系数得到特解的具体值
. (3) 得到微分方程全解的表达式 , 代入初值 ,
求出待定系数 (4) 得到微分方程的全解
11. 答：（1）时域卷积定理 : 若 1(
)
1
(
j ), f 2 ( ) F 2 (
j ) , 则
f t
F t
f 1 (t) f 2 (t)
F 1 ( j )F 2 ( j )
(2) 频域卷积定理: 若
f 1(t)F 1 ( j ), f 2 (t )F 2 ( j ) , 则
12.. 答： (1) 列写特征方程 , 得到特征根 , 根据特征根得到齐次解的表达式
(2)根
据激励函数的形式, 设特解的形式, 将特解代入原差分方程, 求出待定系数,
得到特解的具体值 . (3) 得到差分方程全解的表达式 , 代入初始条件 , 求出待定
系数 , (4) 得到差分方程的全解 13. 答：终值定理适用于右边序列，可以由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原
序列。
如果序列在 k M 时， f (k) 0，设
f ( k)
F ( z), z
且
，则序列的终值为
1
f ( )
lim f ( k) lim
z 1
F (z) 或写为 f ( ) lim (z 1) F ( z) 上式中是取 z 1的
极
k
z 1
z
z 1
限，因此终值定理要求 z
1 在收敛域内 0
1，这时 lim f ( k) 存在。
k
14. 答 全通系统是指如果系统的幅频响应 H ( jw) 对所有的 w 均为常数，则该系统为全 通系统，其相应的系统函数称为全通函数。 凡极点位于左半开平面， 零点位于右半开平
面，且所有的零点与极点为一一镜像对称于
jw 轴的系统函数即为全通函数。
15. 答：当系统的输入激励增大 倍时，由其产生的响应也增大
倍，则称该系统是齐
次的或均匀的； 若两个激励之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，
则称该系统是
可加的。如果系统既满足齐次性又满足可加性， 则称系统是线性的； 如果系统的参数都
是常数，它们不随时间变化， 则称该系统为时不变系统或常参量系统。
同时满足线性和
时不变的系统就称为线性时不变系统（
LTI ）系统。
描述线性时不变系统的数学模型是常系数线性微分 （差分）方程。线性时不变系统还具
有微分特性。
计算题
1 解：令 y(k ) Y( z) ，对差分方程取 z 变换，得
将 y( 1) 1代入上式并整理，可得取逆变换得
2．
解：令零状态响应的象函数为Y zs ( s)，对方程取拉普拉斯变换得：于是系统函数为
3.
系统的特征方程为 2 32 0
特征根为：所以，零输入响应为1 2, 2 1
y zi (t) C zi1 e 2t C zi2 e t
所以：y
zi
(0 ) C
zi1
C
zi 2
1
y 'zi (0 ) 2C zi1 C zi 2 2
故：C
C
zi1
zi2
3
4
所以： y zi (t) 3e 2t 4e t
4. 解：零状态响应满足：y zs(k ) 2 y zs(k 1) 2 ，且 y zs( 1) 0
该方程的齐次解为： C zs 2k
设特解为 p, 将特解代入原方程有：p 2 p 2
从而解得 y p (k ) 2
所以 y zs(k) C zs2k 2
将 y zs( 0) 2 代入上式，可解得 C zs 4
故， y zs(k) (4 2k2) (k )
5．解：
6.解：令零状态响应的象函数为 Y zs(s) ，对方程取拉普拉斯变换得：
系统函数为：H (s) Y zs(s) 2 3 F ( s) s 1 s 3
故冲激响应为( ) (3 3t 2
e t ) ( )
h t e t
7．解：对差分方程取z 变换，设初始状态为零。
则： (1 z
1
3 2
) () (2
z 1 ) ( )
z
Y
z
F z
4
于是系统函数
其零点为
1
0,
2
1 ，
2
极点为 p 1
3
. p 2 1
2 2
8． 解： 方程的齐次解为： C
e t
C zs2 e 3t
zs1
方程的特解为：
1
3
1 于是：
y zs (t )
C zs1e t C zs2e 3t
1
1
3
得 C zs1
,C zs2
6
2
于是： y zs (t ) ( 1 e 3t 1 e t
1
) (t )
6
2
3
9． 解：令 y( k) Y(z) ，对差分方程取 z 变换，得
将 y( 1)
2 代入上式，并整理得
10．解：
令 f (t )F ( jw ), y(t ) Y ( jw ) ，对方程取傅里叶变换，得
11. 解： h(t ) dg (t ) 2e 2 t (t )
dt
12 解： f (t) 可看作两个时移后的门函数的叠合。
因为 g 2 (t)2Sa(w)
所以由延时性和线性性有：
F (
jw )2() e j 2w 2 ( ) e j 2w
4 ( ) cos(2 w )
Sa w Sa w Sa w
13. 解：特征方程为： 2 54 0
令 t 0, 将初始条件代入上式中，得
y zi (0 ) C zi1 C zi2 1
y zi '
(0 )C zi1 4C zi2 5 可得：
C zi13,C zi 2
2
14. 解：对差分方程取 z 变换，设初始状态为零，则
1
其零点11,2 1；极点p1,2 1 j
2 2
15. 解：令y(k ) Y( z) ，对差分方程取z变换，得