常微分方程阶段2复习题

《常微分方程》第二阶段试题

一. 单选题

1. 函数 )cos(C x y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程是（ ） )sin()(C x y A +-='； 1)(22=+'y y B ；

)sin()(C x y C +='； 22)(22=+'y y D 。

2.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是（ ）

（A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式为零 （C ）12()=()

x C x ??（常数） （D ）线性相关 3.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=不是基本解组的充要条件是（ ）

（A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式不为零 （C ）12()()

x C x ??≠（常数） （ ）线性相关 4.线性齐次微分方程组()dx A t x dt

=的一个基本解组的个数不能多于（ ） （A ） -1n （B ） n （C ）+1n （D ）+2n

5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（ ）个．

（A ） n （B ）-1n （C ）+1n （D ）+2n

6. 设常系数线性齐次方程特征方程根i r r ±=-=4,32,1,1，则此方程通解为（ ）

（A ）x C x C e x C C y x sin cos )(4321+++=-； （B ）x C x C e C y x sin cos 321++=-；

（C ）x x C x C e C y x sin cos 321++=-； （D ）x C x x C e C y x sin cos )(321+++=-

7.方程x xe y y 2'2"=-的特解具有形式（ ）。

（A ） x Axe y 2*=; （B ） x e B Ax y 2)(*+=;

（C ） x e B Ax x y 2)(*+= ; （D ）x e B Ax x y 22)(*+=。

8.微分方程x x y y 2sin =+''的一个特解应具有形式（ ）

（A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+

（C ）x B x A 2sin 2cos + （D ）()cos Ax B x +2

9.微分方程210y y '''++=的通解是（ ）

（A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21；

（C ）x e C C y x 21221-+=-； （C ）x x C x C y 2

1sin cos 21-+=。 10.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。（式中C C 12,为任意常数）（ ）

（A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin

（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin

11.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( )

（A ）b ae x +； （B ）bx axe x +； （C ）bx ae x +； （D ） b axe x +

12.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( )

（A ）A x sin （B ）A x cos

（C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+

13.微分方程''+=y y x x cos2的一个特解应具有形式（ ）

（A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+

（C ）A x B x cos sin 22+ （D ）()cos Ax B x +2

14.微分方程012'''=++y y 的通解是（ ）

（A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21；

（C ）x e C C y x 21221-+=-； （C ）x x C x C y 2

1sin cos 21-+=。 15.设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()y p x y q x y '''++=)(x f 的解，21,C C 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）

（A ）32211y y C y C ++； （B ）1122123()C y C y C C y +-+；

（C ）3212211)1(y C C y C y C ---+； （D ）3212211)1(y C C y C y C --++

16.方程0='+'''y y 的通解是( ).

(A) 1sin C x y +=； (B) 1cos sin C x x y +-=；

(C) 1cos sin C x x y ++=； (D) 321cos sin C x C x C y +-=.

17.求方程 x xe y y y 396-=+'+''的特解时，应令（ ）

x e b ax y A 3)()(-*+=； x e b ax x y B 32)()(-*+=；

x axe y C 3)(-*=； x e b ax x y D 3)()(-*+=。

18．函数)(1x ?,)(2x ?在区间［a,b ］上的朗斯基行列式恒为零，是它们在[a, b ]上线性相关的( ).

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.

19．设函数)(1x ?,)(2x ?方程()()0x p t x q t '''++=在区间［a,b ］上的两个解，则其朗斯基行列式不为零，是它们在[a, b ]上线性无关的( ).

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.

20．设函数)(1x ?,)(2x ?方程()()0x p t x q t '''++=在区间［a,b ］上的两个解，则其朗斯基行列式区间［a,b ］上某一点不为零，是它们在[a, b ]上线性无关的( ).

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.

21．函数)(1x ?,)(2x ?在区间［a,b ］上的朗斯基行列式在[a, b ]上某一点处不为零，是它们在[a, b ]上线性无关的( )

(A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.

22．n 阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间?( )

(A)是； (B)不是；

(C)也许是； (D)也许不是.

23.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?( )

(A)不可以 (B)可以

(C)也许不可以 (D)也许可以

24.若)(x Φ是线性齐次方程组Y A Y )(d d x x

=的一个基解矩阵，T 为非奇异n ×n 常数矩阵，那么)(x ΦT 是否还是此方程的基解矩阵.( )

(A)是 (B)不是

(C)也许是 (D)也许不是

25.方程组x t A x )(='（ ）

(A)n 个线性无关的解)(),(),(21t x t x t x n 称之为方程组的一个基本解组

(B)n 个解)(),(),(21t x t x t x n 称之为方程组的一个基本解组

(C)n 个线性无关的解)(),(),(21t x t x t x n 称之为方程组的一个基解矩阵

(D)n 个线性相关的解)(),(),(21t x t x t x n 称之为方程组的一个基本解组

26.若()t Φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则（ ）

（A ）)(t ψ＝()+t Φc 其中c 为非奇异常数矩阵 （B ）)(t ψ＝()+t Φc 其中c 常数矩阵

（C ）)(t ψ＝()t Φc 其中c 为非奇异常数矩阵 （D ）)(t ψ＝()t Φc 其中c 为常数矩阵

27.若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解（ ）

（A ）01()()()t

t t s f s ds η-Φ+Φ? （B ）010()()()()()t

t t t t t f s ds η-ΦΦ+ΦΦ? （C ）01()()

()()t t t t s f s ds η-Φ+ΦΦ? （D ）0110()()()()()t

t t t t s f s ds η--ΦΦ+ΦΦ? 28.方程组()x A t x '=的（ ）称之为()x A t x '=的一个基本解组。

（A ）n 个线性无关解 （B ）n 个不同解

（C ） n 个解 （D ）n 个线性相关解

29.n 阶齐线性微分方程的（ ）称方程的一个基本解组。

（A ） n 个线性相关解 （B ）n 个不同解

（C ） n 个解 （D ）n 个线性无关解

30.A 、B 为n n ?的常数矩阵，则下列式子错误的是 （ ）

（A ）0!

k

A k A e k ∞==∑ （

B ）1() A A e e --=

（C ） A B A B e e e += （D ）11() T T AT A e T e T --=为非奇异矩阵

二. 填空题

1. 以x e y x 2cos 43=为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 。

2.若12(),(),()n X t X t X t 为n 阶齐线性微分方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

3.形如___________________的方程称为欧拉方程。

4.若()t Φ和()t ψ都是()x A t x '=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是__________

5.以x x xe

y e y 2221,== 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 。 6.(4)20x x x '''''-+=的通解是

7.若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是____________

8.若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(='满足η=)(0t x 的解

9.设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解可表为)(t γ---------------------。

10.若()(1,2,,)i x t i n =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为

11.若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程组的n 个线性无关解，则这一齐线性方程组的所有解可表为

12.若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程组的n 个线性无关解，则这一齐线性方程组的基解矩阵为

13.若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解

14．函数组t

t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

15．若),,2,1)((n i t x i =为()x A t x '=的一个基本解组，)(t x -为()()x A t x f t '=+的一个特解，则()()x A t x f t '=+的所有解可表为 ____________ 。

16．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________________ 。

17．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______________是)()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解；

18.若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵向量函数)(t ?= __ ___ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。

19．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ___ ___ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。

20.若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

21.若)(),...(),(321t x t x t x 为一阶齐线性方程组的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

22.方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/

=的一个基本解组。

23.若()t Φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 24.形如 的方程称为欧拉方程。

25.n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．

26.n 阶非齐次线性微分方程的任意两解 必为其相应的齐次线性微分方程的解

三．求高阶微分方程的解

1. 试验证=---+x t dt dx t t dt

x d 111220有基本解组t ，t e ，并求方程

=---+x t

dt dx t t dt x d 11122t-1的通解。 2.2y ''+y '-y =2e x ;

3.sin cos2x x t t ''+=-

4.t x x cos =-'''

5.t e x x x =+-96'''

6.求方程t e x x x 25'6''=++的解。

7.求微分方程2

0yy y '''+=的通解。 8.y 3y ''-1=0;

9.求2

0,y ay '''-= 满足000,1x x y y =='==的特解 四．求解下列方程组的解

1.解方程组2332x x y y x y '=+??'=+?

2. 已知 2332x x y y x y '=+??'=+?的基解矩阵为55t t t t e e e e --?? ?-??，求方程组???++='++='t e

y x y t y x x 823532的通解

3．???????-==y x t

y y t x 2d d 3d d 4．???????+-=+=y x t

y y x t x 32d d d d 5．???????+=+=y x t

y y x t x 4d d d d

6.若2114A ??=??-??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????

并求expAt 7.试求方程组'

x =A x 的一个基解矩阵，并计算exp A t ，其中A 为???? ??3421 五．应用题

1.试求y ''=x 的经过点M (0, 1)且在此点与直线12

1+=x y 相切的积分曲线. 4 2. 求微分方程''+'-=y y y 230的一条积分曲线，使其在原点处与直线y x =4相切。

六．综合题

1.设?

--=x

dt t f t x x x f 0)()(sin )(，其中)(x f 为连续函数，求)(x f

2.设)(x f 具有二阶连续导数，(0)0,(0)1f f '==，且为一全微分方程，求)(x f 及此全微分方程的通解。

七．证明题

1.设121(),(),.....,()n x t x t x t +是方程()(1)11()...()()()n n n n x a t x

a t x a t x f t --'++++=的n+1个线性无关解,证明微分方程的任一解恒能表为:

112211()()().....()()n n n n x t c x t c x t c x t c x t ++=++++且121.....1n n c c c c +++++=

2. n 阶线性齐次微分方程一定存在n 个线性无关解。

3.试验证()t Φ=??????122t t t 是方程组x '=????????-t t 22102

x,x=??????21x x ，在任何不包含原点的区间a b t ≤≤上的基解矩阵。

4.设()t Φ为方程x '=Ax （A 为n ?n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明: ()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.

5.试证：如果Ax x t =/）是（?满足初始条件η?=)(0t 的解，那么

=)(t ?[]

η)(0t t A e - 6.假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mt x Ax ce '=+

有一解形如mt

pe t =)(?，其中c ，p 是常数向量。

7.假设y ＝)(x ?是二阶常系数线性微分方程初值问题 ???===++1

)0(',0)0(0'''y y by ay y 的解，试证?-=x

dt t f t x y 0)()(?是方程 )('''x f by ay y =++

的解，这里f （x ）为已知连续函数。

8.设y 1(x )、y 2(x )是二阶齐次线性方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的两个解, 令

)()()()()()()()()(212121

21x y x y x y x y x y x y x y x y x W '-'=''=, 证明: W (x )满足方程W '+p (x )W =0;

9. 设y 1(x )、y 2(x )是二阶齐次线性方程y ''+p (x )y '+q (x )y =0的两个解, 令

1212

()

()()()()y x y x W x y x y x ='', 且W (x )满足方程W '+p (x )W =0; 证明?=-x x dt t p e

x W x W 0)(0)()(.