原子核物理第三章课后习题答案

3-3. 60Co 是重要的医用放射性同位素，半衰期为5.26年，试问1g 60Co

的放射性强度？100mCi 的钴源中有多少质量60Co ？

解：放射性强度公式为：

000.693,==t t A dN m

A N e N N N e N N dt T M

λλλλλ--=-

===其中，，，T 为半衰期，0A 231330.6930.6931

6.022*******.2636524360059.93384.1977810/1.13510t dN m

A N e N N dt T M Ci

λλλ-∴=-

===?=?????≈?≈?次秒 其中103.710/i C =?次核衰变秒，

1039100 3.71010/i mC -=????10010=3.7次核衰变秒，利用公式

00.693t A dN m

A N e N N dt T M λλλ-=-

===，可知2390.6930.693 6.022*********.2636524360059.9338

A m m A N T M ==??=???? 3.7

解可得，-58.8141088.14m g g μ=?=

3-5用氘轰击55Mn 可生成β-放射性核素56Mn ，56Mn 的产生率为8510/s ?，

已知56Mn 的半衰期2.579h,试计算轰击10小时后，所生成的56

Mn 的放射性强度。

解：利用放射性强度公式

/(1)(12),P t t T A N P e P λλ--==-=-其中为核素的产生率。

可知生成的56

Mn 的放射性强度为：

/810/2.57988(12)510(12) 4.6610 4.6610t T A P Bq --=-=??-≈??次核衰变/秒=。

3-6已知镭的半衰期为1620a ,从沥青油矿和其他矿物中的放射性核素数目226()N Ra 与238()N U 的比值为73.5110-?，试求238U 的半衰期。

解：226

Ra 和238

U 为铀系放射性元素，2267

238()=3.5110()

N Ra N U -?∴子核半衰期远小于母核的半衰期，子核衰变快得多。因此满足公式：B B A A N N λλ=，

970.6930.693

,1620 4.62103.5110

B A B A

A A

B B N N T T N a

T T a N -∴

=∴=

=≈??即，238U 的半衰期约为94.6210a ?

3-7（1）从（3.1.9）0

()A B t t A B A B A

N N e e λλλλλ--=--出发，讨论当

A B λλ<时，

子体()B N t 在什么时候达极大值（假定(0)0B N =）？ 解：对0

()A B t t A B A B A

N N e e λλλλλ--=--求导并令其等于零，可知

0()0A B t t B A A A B B A

dN N e e dt λλλλλλλ--=-+=-，得出 )ln(

),A B A

B

B

t t B A

t A B A

e e e

λλλλλλλλλλ---∴==-（等式两边取对数可得t=

，从而可知在1ln()B B A A

λλλλ-t=

时候()

B N t 达到最大值。

（2）已知钼锝母牛有如下衰变规律：

99

9999

66.02 6.02m o c c h h

M T T βγ???→???→，临床中利用同质异能素99m

c

T ，

所放的(141)keV γ，作为人体器官的诊断扫描。试问在一次淋洗后，再经过多少时间淋洗

99m

c

T 时，可得到最大量的子体99m

c T 。

解：由题意可知：A B T T >，子核衰变得多，满足上面（1）题求出的()

B N t 达到最大值时的条件，

166.02 6.0266.02

ln()ln()ln()22.890.693()0.693(66.02 6.02) 6.02

B A B A B A A A B B T T T h

T T T λλλλ?∴==≈--?-t=

3-8利用α势垒贯穿理论，估算226Th α衰变( 6.33)E Mev α=的半衰期。【在计算中，α粒子在核内的动能k E 可近似取E α和势阱深度0V (取35Mev)之

和。】

解：α

衰变的半衰期计算公式为

1

2231

13

3

00.693

0.693 2.410,

= 1.2()X K Y P Y Y T A nP E E V R A A A Z A A αααλ

α-=

=≈?+≈+其中，，

为母核质量数，为子核的电荷数，为子核的质量数，为粒子的质量数。

∴

226

Th α衰变2262229088

Th Ra α→

+

的半衰期为

1

223

2.410226127.31s -=??≈T

3.9210

o P 核从基态进行衰变，伴随发射出两组α粒子：一组α粒子能量为5.30Mev ，放出这组α粒子后，子核处于基态；另一组α粒子能量为4.50Mev ，放出这组α粒子后，子核处于激发态。计算子核由激发

态回到基态时放出的γ光子能量。

解：假设210o P 核基态发射出α粒子(能量为1E α)子核处于基态的衰变能为1d E ,发射出α粒子(能量为2E α)子核处于激发态的衰变能为2d E , 则激发态和基态的能级差为: 211212()()d d E E E E E E E E E ?=-=---=- 根据α衰变时衰变能和α粒子出射能分配的公式Y

d X

M E E M α=

得 ()12210

(5.30 4.50)0.800.824206

X Y M A E E E MeV M A αα?=

-=

-=?≈-

出射的γ光子能量为 R h E E ν=?-

22

20.82 1.7522206931.49

R E E eV Mc ??=≈??

因此出射的γ光子能量约为0.82MeV

3.10 47V 即可发生β+衰变，也可发生K 俘获，已知β+最大能量为1.89MeV ，试求K 俘获过程中放出的中微子能量E ν。

解：47V 发生β+衰变的过程可表示为：47472322e V Ti e ν+

→++，其衰变能为47472

02322()[()()2]e

E M V M Ti m c β+=--， 47

V 发生K 俘获的过程可表示为：47472322i e V e Ti ν-+→+，其衰变能为

4747202322[()()]i i E M V M Ti c W =--，i W 为i 层电子在原子中的结合能。 由47V 发生β+衰变的衰变能47472

02322()[()()2]e E M V M Ti m c β+=--可知， 474722

23220[()()]()2 1.890.5112 2.912e M V M Ti c E m c MeV MeV MeV β+-=+=+?=，

其中20.511e m c MeV ≈；

把中微子近似当作无质量粒子处理,则K 俘获过程中子核反冲的能量

为 22

2 2.91296.842247931.49

R E E eV Mc ??

=≈?? 故K 俘获过程中放出的中微子能量E ν为：

4747247472

023222322[()()][()()] 2.9,i i E E M V M Ti c W M V M Ti c MeV ν≈=--≈-≈

()i W 数量级为KeV,很小，反冲损失能量也很小

3.11在黑火药中，硝酸钾（3KNO ）是主要成分。在天然钾中含0.0118%的40K ，它是β-放射性核素。因此通过β-放射性强度的测量，有可能对火药进行探测。试计算100克硝酸钾样品中40K 的β放射性强度。 解：单位时间内发生衰变的原子核数即为该物质的发射性强度。

3KNO 的分子量为101, 摩尔质量为101g/mol （利用39K 计算得出；而

40

K 含量少，故在此处可忽略不计）

故100g 3KNO 的物质的量为3100100

()101/101

m g n mol M KNH g mol =

==，

∴100g 3KNO 中含40K 的原子个数为

323190.0118%0.0118%

()

100

6.02100.0118%

7.0310101

A A m

N n N N M KNH mol mol =??=??=

???≈?个/个

已知40K 的半衰期为91280000000 1.2810T a a ==?，

∴100克硝酸钾样品中40K 的β

放射性强度为

193

90.6930.6937.0310 1.2101.2810365243600

A N N T λ==

=??≈?????次/秒

3.13将下列β衰变按跃迁级次分类

31717137137115115767636368787(1)(1/2)(1/2)(2)(1/2)(5/2)(3)(7/2)(3/2)(4)(9/2)(1/2)(5)(1)(0)(6)(2)(0)(7)(3/2)(9/2)

H He N O Cs Ba In Sn Br Se Cl Ar Rb Sr ++-+++++-+++-+→→→→→→→ 解：

3(1)(1/2)(1/2)

|||1/21/2|0,1,i f i

f

H He I I I l πππ++→?=-=-=?==∴只能是允许跃迁或更高级禁戒跃迁，为偶数允许跃迁

1717(2)(1/2)(5/2)

|||1/25/2|2,1,i f i

f N O I I I l πππ-+→?=-=-=?==-∴，只能为一级或更高级禁戒跃迁　为奇数, 一级禁戒跃迁

137137(3)(7/2)(3/2)

|||7/23/2|2,1,i f i f Cs Ba I I I l πππ++→?=-=-=?==∴，只能为一级或更高级禁戒跃迁为偶数，二级禁戒跃迁

115115(4)(9/2)(1/2)

|||9/21/2|4,1,i f i

f

In Sn I I I l πππ++→?=-=-=?==∴，只能为三级或更高级禁戒跃迁为偶数，四级禁戒跃迁

7676(5)(1)(0)

|||10|1,1,i f i

f Br Se I I I l πππ-+→?=-=-=?==-∴，只能为允许或更高级禁戒跃迁为奇数，一级禁戒跃迁

3636(6)(2)(0)

|||20|2,1,i f i

f Cl Ar I I I l πππ++→?=-=-=?==∴，　只能为一级或更高级禁戒跃迁为偶数二级禁戒跃迁

8787(7)(3/2)(9/2)

|||3/29/2|3,1,i f i

f

Rb Sr I I I l πππ-+→?=-=-=?==-∴，只能为二级或更高级禁戒跃迁为奇数，三级禁戒跃迁

3.125625

Mn 核从基态进行β-衰变，发射三组β粒子到达子核5626Fe 的激发态，它们的最大动能分别为0.72、1.05和2.85MeV 。伴随着衰变所发射的γ射线能量有0.84、1.81、2.14、2.65和2.98MeV 。试计算并画出子核的能级图。

解：5625

Mn 核进行β-

衰变：56562526

Mn Fe e e ν-

-

→++,

若衰变到达子核基态，

则衰变能为5656225

26[()()] 3.70d M Mn M Mn c MeV =-=E ， β粒子最大能量与激发态能量之和为定值，即衰变释放总能量守恒，

由题意可知近似为3.70MeV. 从所发射的三组β粒子最大动能可知，到达三个激发态能级为2.98、2.65和0.84MeV 。

与测到的γ射线能量也完全符合，中间没有其它的激发态了。

56

26Fe

0.84MeV

2.65MeV

2.98MeV

3.14原子核69Zn 处于能量为436KeV 的同质异能态时，试求放射γ光子

后的反冲动能R E γ和放射内转换电子后的反冲动能Re E 。（已知K 层电子结合能为9.7KeV ），电子能量要求作相对论计算）

解：由于原子核处于能量为436KeV 的同质异能态，故69Zn 向基态跃迁释放能量u l E h E E γν==-为436KeV ，其中u E 为上能级，l E 为下能级。 由于母核处于静止状态，则由动量守恒定律可知：子核的动量P 等于放出的γ光子的动量，即：=P =

E h P m v c

c

γγν

==

核核， ∴放射γ

光子后的反冲动能R E γ为：

2222

2/436KeV 1.48eV,

22269931.491000KeV

c 931.49R E c P E m m MeV

γγ

===≈???≈核核（）

其中u 放射内转换电子的能量为e u l k E E E W =--，其中u E 为上能级，l E 为下能级。衰变能0Re 436u l e k E E E E W E KeV =-=++=, Re E 考虑原子核的反冲能,

令 Re 4364369.7426.3e e k T E E KeV W KeV KeV KeV

=+=-=-=

假设核跃迁前处于静止状态，则由动量守恒定律可知：22

Re e P P =；

考虑相对论效应, 且()2

22224+e e e e E m c P c m c =+, 同样对反冲核有

()2

22224

+R R R

E m c P c m c =+R , 联立得到

()()2

2

222424

++R

e R e R e E m c T

E m c m c m c --=-R

, 即

()()()242422

22

223333

33

1()269931.49100.51110169931.49100.51110(4369.7)269931.49100.51110(4369.7)0.00480KeV 4.8eV

R e R e e R e e m c m c E m c m c T m c m c T ??-??=---??++????????-?????=??+?+-??????-??-?--?????

?≈≈R [注:如果不考虑相对论效应,

0.511

(4369.7)0.00339KeV 3.39eV 69931.490.511

e e R e m E T m m =

=-≈≈+?+R ]

3.15试求放射性强度为1毫居的59e F 制剂在1秒钟内发射的内转换电子数目。59e F 核的β衰变图如下所示。各γ射线的内转换系数分别等于

4431231.810()1.410()10()γγγ---???、和7。发射2γ和3γ的几率之比为1:15.

59

Fe

解：由内转换系数定义，=

e

N N γ

α，故内转换电子数目e N N γα=? 71/?毫居（mCi ）=3.710次核衰变秒

∴放射性强度为1毫居的59e F 制剂在1秒钟内发射的内转换电子数目

为：

()74435

15115

3.710[(0.540.46) 1.8100.46( 1.410710)]161616

1.1810e i i e i i

N N A N A

γααα---=?=?-≈?=??+???+???+??≈?∑∑∑

[注: 因为内转换系数一般小百分之一,e A N ∴>>]

191

1. 求γ跃迁类型

2. 考虑核反冲后，共振吸收所需γ射线（in γ）能量？

3. 第一激发态寿命τ∽s 10

7

-，估算该能级宽度？

4. 以此为例说明为什么Ir 191

自由原子不能观察到共振吸收？ 5. 穆斯堡尔效应的物理实质？

解： 1. γ跃迁：

|||3/25/2|1,11i f i f I I I M πππ?=-=-=?==∴或E2跃迁

2.考虑核反冲，出射γ射线的能量为2

0out

02

E 2E E Mc =-

,

222

02

(0.129)51022191931.5R E MeV E eV Mc MeV

-==≈??? 考虑核反冲，共振吸收所需γ射线（in γ）能量20in 02E 2E

E Mc

=+.

3.由测不准关系t E ???≥得出，该能级宽度Γ为

15

78

197.33~

6.5781010310c fm MeV MeV c m

τ

τ--?Γ=

=≈???96.610eV -≈? 4.由于R E >>Γ，发射谱和吸收谱之间没有重叠，发射谱高能端也达不到吸收谱低能端的能量要求, 因而不会发生共振吸收。 5.穆斯堡尔效应的物理实质：

无反冲γ共振吸收。束缚在低温晶体内的原子核，在发射或吸收γ射

线时，遭受反冲的不是单个原子核，而是整块晶体。由于晶体具有很大质量，于是R E 趋于0，整个过程可视为无反冲过程，因而能够满足共振条件。即 ,0M E →∞?→