圆锥曲线求最值方法总结及典型例题
圆锥曲线最值问题—5大方面
最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值
例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=4
1-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1， 则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +4
3≥21AB+43=21×4+43=4
11, 当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值4
11， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
二．求角的最值
例2．M ，N 分别是椭圆12
42
2=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠MPN 的最大值是 .
解析：不妨设l 为椭圆的右准线，其方程是22=x ，点)0)(,22(00>y y P ，直线PM 和PN 倾斜角分别为βα和.
∵)0,2(),0,2(N M -
∴,232220
tan 0
0y y k PM =+-==α2
2220tan 00y y k PN =--==β
于是)tan(tan αβ-=∠MPN 2321232tan tan 1tan tan 0000y y y y ?+-=+-=αβαβ 33622262262200
200=≤+=+=y y y y ∵)2,
0[π∈∠MPN ∴6π
≤∠MPN 即∠MPN 的最大值为6
π. 评注：审题时要注意把握∠MPN 与PM 和PN 的倾斜角之间的内在联系.
三、求几何特征量代数和的最值
例3.点M 和F 分别是椭圆19
252
2=+y x 上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求4
5|MF|+|MB|的最小值. 解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F ′(-4,0)，离心率e=
54，准线方程x=±425. ⑴|MF| + |MB| = 10―|MF ′ | + |MB| =10―（|MF ′|―|MB|）≥10―|F ′B|=10―210.
故当M ，B ，F ′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.
⑵过动点M 作右准线x=4
25的垂线，垂足为H ， 则54||||==e MH MF ?||5
4|H |MF M =. 于是
45|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=4
17. 可见，当且仅当点B 、M 、H 共线时，45|MF|+|MB|取最小值417. 评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。
例4．点P 为双曲线1422=-y x 的右支上一点，M ，N 分别为1)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的点，则PM －PN 的最大值为 .
解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点)0,5(1-F 和右焦
点)0,5(2F .
对于双曲线右支上每一个确定的点P ，连结PF 1，并延长PF 1交⊙F 1
于点M o .则PM 0为适合条件的最大的PM ，连结PF 2,交⊙F 2于点N o .
则PN 0为适合条件的最小的PN .于是00PN PM PN PM -≤-)1()1(21--+=PF PF 6242)(21=+=+-=PF PF
故PM －PN 的最大值为6.
评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.
例5．已知e 1，e 2分别是共轭双曲线12222=-b
y a x 和122
22-=-b y a x 的离心率，则e 1+e 2的最小值为 .
解析：
,1222222
1a b a b a e +=+= 22
222221b a b b a e +=+=
)1)(1(44)(22
2221221b
a a
b e e e e ++=≥+ 8224)(242222=+≥++=b a a b 考虑到021>+e e ，故得2221≥+e e .
即e 1+e 2的最小值为22.
评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.
四、求面积的最值
例6．已知平面内的一个动点P 到直线3
34:=x l 的距离与到定点)0,3(F 的距离之比为332，点)2
1,1(A ，设动点P 的轨迹为曲线C . ⑴求曲线C 的方程；
⑵过原点O 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.求△MAN 面积的最大值.
解析：⑴设动点P 到l 的距离为d ， 由题意2
3=d PF 根据圆锥曲线统一定义，点P 的轨迹C 为椭圆. ∵2
3,3===a c e c , 可得,2=a ∴134222=-=-=c a b
故椭圆C 的方程为：14
22
=+y x ⑵若直线l 存在斜率，设其方程为,kx y =l 与椭圆C 的交点),,(11y x M ),(22y x N
将y =kx 代入椭圆C 的方程14
22
=+y x 并整理得04)41(22=-+x k . ∴22121414,0k x x x x +-
==+ 于是 2212))(1(||x x k MN -+=
]4))[(1(212212x x x x k -++=
22
2241144116)1(k
k k k ++=+?+= 又 点A 到直线l 的距离|1|k d -
=
故△MAN 的面积241|12|||21k
k d MN S +-=?= 从而 2222
414141)12(k k k k S +-=+-= ①当k =0时，S 2=1得S =1
②当k >0时，S 2<1得S <1
③当k <0时，24241)4()1(4
12=+≤-+-+=k k S 得2≤S
若直线l 不存在斜率，则MN 即为椭圆C 的短轴，所以MN =2. 于是△MAN 的面积1122
1=??=S . 综上，△MAN 的最大值为2.
评注：本题将△MAN 的面积表示为l 的斜率k 的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数转化为关于k 的一元二次方程，由△≥0求得面积S 的最大值。
五.求最值条件下的曲线方程
例7.已知椭圆的焦点F 1(―3,0)、F 2(3,0)且与直线x ―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程. 解法1：设椭圆为9
22
22-+a y a x =1与直线方程x ―y+9=0联立并消去y 得： (2 a 2― 9) x 2 + 18 a 2 x + 90 a 2―a 4= 0，
由题设△=(18 a 2)2―4(2 a 2―9) (90 a 2―a 4) ≥0
?a 4―54 a 2 + 405 ≥0?a 2≥45或a 2≤9.
∵a 2－9> 0,
∴a 2≥45, 故a min =35，得（2a ）min =65, 此时椭圆方程为136
452
2=+y x .
解法2：设椭圆92222-+a y a x =1与直线x ―y+9=0的公共点为M(acos α,αsin 92-a )， 则acos α―αsin 92-a +9=0有解.
∵)cos(922φα+-a =―9?
cos(α+φ)=929
2--a ，∴|9292--a |≤1?
922-a ≥9?a 2≥45,
∴a min =35，得（2a ）min =65,
此时椭圆的方程136
452
2=+y x . 解法3：先求得F 1(―3，0)关于直线x ―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线x ―y+9=0与椭圆的一个交点为M ，
则2a=|MF 1|+|MF 2| =|MF| +|MF 2|≥|FF 2|=65，
于是(2a)min =65,
此时易得： a 2=45, b 2=36，
于是椭圆的方程为136
452
2=+y x . 评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。
解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。