考研数学习题课--1 极限与连续总结

考研数学习题课讲义

第一讲 函数、极限与连续

2016年大纲解读

考试内容

函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数, 基本初等函数的性质及其图形, 初等函数函数关系的建立; 数列极限与函数极限的定义及其性质, 函数的左极限与右极限; 无穷小量和无穷大量的概念及其关系, 无穷小量的性质及无穷小量的比较; 极限的四则运算, 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： ll ll ll

xx→00

ssll ss xx xx

=11, ll ll ll nn→∞

?11+11nn ?nn =ll ll ll xx→∞

?11+11xx ?xx

=ee .

函数连续的概念, 函数间断点的类型, 初等函数的连续性, 闭区间上连续函数的性质.

考试要求

1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。

2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。

6. 掌握极限的性质及四则运算法则。

7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

知识细节：

1. 确定函数的几种方式:

(1) 显函数 (2) 隐函数 (3) 参数方程

(4) 幂指函数(对数恒等式) yy =ff (xx )gg (xx )=ee gg (xx )ll ss ff (xx ) (5) 变限积分函数 yy =∫ff (tt )ddtt xx

aa 或 yy =∫ff (tt )ddtt φφ(xx )

aa

(6) 由极限确定的函数: yy =ll ll ll nn→∞ff (xx ,nn ) 或 yy =ll ll ll tt→xx

ff (xx ,tt )

2. 几个关于函数的性质的结论

(1) 设 f (x ) 在区间[?l , l ]上有定义, 则 f (x ) + f (?x )为偶函数, f (x ) ? f (?x ) 为奇函数.

(2) 设 f (x ) 为可导的偶函数(或奇函数), 则 f ′(x ) 为奇函数(或偶函数); 若 f (x ) 为可导的周期函数, 则 f ′(x ) 为同周期的周期函数.

(3) 设 f (x ) 连续, FF (xx )=∫ff (tt )ddtt xx

00+CC (C 为任意常数), 则 f (x ) 为奇函数 ? F (x ) 为偶函数; 若 f (x ) 为偶函数, 则只有 ∫ff (tt )ddtt xx

00 是奇函数.[说

明: 周期函数的原函数不一定是周期函数, 如 f (x ) = cos x + 1 的周期为 2π, 但 F (x ) = sin x + x 不是周期函数.]

(4) 单调函数的导数和原函数不一定是单调函数. 3. 关于极限的运算法则的说明

(1) 极限的四则运算法则的前提(和差积商可拆)是各部分的极限存在(处理的依然是类似于数的运算法则----有限可算, 拆开时部分式不能有∞, 分母不能出现0);

(2) 凡是极限中出现有悖于数的运算法则的, 均要按极限的方式处理(未定式极限);

(3) 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) 一个存在一个不存在, 则 lim[ f (x ) ± g (x )]一定不存在; 若 lim f (x ) 与 lim[ f (x ) ± g (x )] 都存在, 则 lim g (x )一定存在; 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) 一个存在一个不存在, 则 lim f (x )g (x ) 可能存在也可能不存在, 若存在时一般为0(有界量与无穷小的乘积还是无穷小)[两个都不存在时lim f (x )g (x )可能存在也可能不存在].

(4) 幂指函数极限运算常用公式: ll ll ll ff (xx )gg (xx )=AA BB (ll ll ll ff (xx )=AA >00,ll ll ll gg (xx )=BB ); ll ll ll uu (xx )→00vv (xx )→∞

(11+uu (xx ))vv (xx )=ee

ll ll ll uu (xx )vv (xx )

.(1∞)

4. 几个常用结论

(1)

>∞<==++++++??∞→m

n m n m n b a b

x a x b a x a x a m m m n n n x ,,0,lim 0

101001

0100

(2) 几个常见易出错的不存在极限: ;

arctan lim ;lim x e x x x ∞

→∞

→x

e x x

x 1

arctan

lim ;lim 0

10

→→及它们的变形 (3) 常用的数列极限: ll ll ll nn→∞

√aa nn

=11(aa >00),ll ll ll nn→∞

√nn nn

=11.

(4) 无穷小的和差运算规则: 和差取大(低阶)

常考题型及其解法与技巧

题型一 求函数表达式

注意: 在利用给定条件求复合函数的表达式时, 注意换元与迭代的思想.

例1 设,1||,01

||,1)(

>≤=x x x f 则 f {f [ f (x )]}等于 ( ). (A) 0 (B) 1 (C) ,1

||,01

||,1

>≤x x (D) ,1

||,11

||,0

>≤x x 例2 设 gg (xx )=?22?xx ,xx ≤00xx +22,xx >00,ff (xx )=?xx 22,xx <00

?xx ,xx ≥00, 则g [f (x )] = _______.

练习 设 ff (xx )=?xx , xx ≤00

xx +xx 22,xx >00

, 则 f [ f (x )] = _____________________.

题型二 对函数性质的理解

例2 当 x → 0 时, ff (xx )=11

xx 22ssll ss 11

xx 是 ( ).

(A) 无穷小量 (B) 无穷大量

(C) 有界但非无穷小量 (D) 无界但非无穷大量

例3 设 f (x ) 是连续函数, F (x ) 是 f (x ) 的一个原函数, 则 ( ). (A) 当 f (x ) 是奇函数时, F (x ) 必是偶函数 (B) 当 f (x ) 是偶函数时, F (x ) 必是奇函数

(C) 当 f (x ) 是周期函数时, F (x ) 必是周期函数

(D) 当 f (x ) 是单调增加函数时, F (x ) 必是单调增加函数

练习

(1) 设 f (x ) 是奇函数, 除 x = 0 外处处连续, x = 0 为其第一类间断点, 则

∫

x

t t f 0

)(d 是

(A) 连续的奇函数 (B) 连续的偶函数 (C) 在 x = 0 间断的奇函数 (D) 在 x = 0 间断的偶函数 (2) 设f (x )连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是

∫x t t f A 0

2

)()(d ∫x

t t f B 0

2)()(d

∫??x t t f t f t C 0

)]()([)(d ∫?+x

t t f t f t D 0

)]()([)(d

题型三 数列的极限

一、 对概念、性质的理解

注意: 此类问题主要考查对极限定义与性质的理解, 一般借助于极限存在的几何意义处理更有效；另外要注意几个基本的结论：子列原理、单调有界原理. 例4 数列{x n } 收敛于实数 a 等价于 ( )

(A) 对任给 ε > 0, 在 (a ? ε, a + ε) 内有数列的无穷多项 (B) 对任给 ε > 0, 在 (a ? ε, a + ε) 内有数列的有穷多项 (C) 对任给 ε > 0, 在 (a ? ε, a + ε) 外有数列的无穷多项 (D) 对任给 ε > 0, 在 (a ? ε, a + ε) 外有数列的有穷多项

例 5 设函数 f (x ) 在 (?∞, +∞) 内单调有界, {x n } 为数列, 下列命题正确的是 ( ).

(A) 若 {x n } 收敛, 则 {f (x n )} 收敛 (B) 若{x n } 单调, 则 {f (x n )} 收敛 (C) 若{f (x n )} 收敛, 则 {x n } 收敛 (D) 若{f (x n )} 单调, 则 {x n } 收敛 练习

(1) “存在正数 ε0, 使满足 |xx nn ?AA |≥εε00的 x n 有无穷多项”是数列{x n }不收敛于 A 的 ( ).

(A) 充分必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充分但非必要条件 (D) 既非充分又非必要条件

(2) 设数列{x n }是数列, 下列命题不正确的是( ).(2015年数学三) (A) 若 ll ll ll nn→∞

xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞

xx 22nn =ll ll ll nn→∞

xx 22nn+11=aa ;

(B) 若ll ll ll nn→∞

xx 22nn =ll ll ll nn→∞

xx 22nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞

xx nn =aa .

(C) 若 ll ll ll nn→∞

xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞

xx 33nn =ll ll ll nn→∞

xx 33nn+11=aa ; (D) 若ll ll ll nn→∞

xx 33nn =ll ll ll nn→∞

xx 33nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞

xx nn =aa .

二、 通项是 n 项和的数列的极限 设 xx nn =∑aa ii nn ii=11, 求 ll ll ll nn→∞

xx nn .

一般解法:

(1) 求出和的通项(相对简单:拆项相消、等比数列等); (2) 定积分定义(注意转换) ∑ff (ξξii )ΔΔxx ii nn ii =11→∫ff (xx )ddxx bb

aa ; (3) 夹逼准则.

例 6 求下列数列的极限:

(1) ll ll ll nn→∞?

11

?nn +11

+

11

?nn +22

+?+11

?nn +nn ?

(2) ll ll ll nn→∞

11nn ?

11?nn +11+nn

+

22

?nn +22+nn

+?+

nn

?nn +nn+nn

?

练习

(1) 求 ll ll ll nn→∞

?11

nn 22+11+22

nn 22+22+?+nn

nn 22+nn ? ;

(2) 求 ll ll ll nn→∞

?ssll ss

ππnn

nn+11+

ssll ss

22ππ

nn nn+11+?+

ssll ss ππnn+

11?

三、 通项是 n 项乘积的数列的极限

设 xx nn =∏aa ii nn ii=11, 求 ll ll ll nn→∞

xx nn .

一般解法: (1) 求出积的通项; (2) 利用对数化为和的形式; (3) 夹逼准则. 例7 求下列数列极限

(1) ll ll ll nn→∞

11nn ?nn (nn +11)(nn +22)…(22nn ?11)nn

(2) ll ll ll

nn→∞11?33?55?… ?(22nn?11)

22?44?66?… ?(22nn )

四、 通项由递推公式给出的数列的极限

设 xx nn+11=ff (xx nn ), 求ll ll ll nn→∞

xx nn . (注意: 通项也可能是其他形式).

一般解法: 先利用单调有界原理证明极限存在, 再令ll ll ll nn→∞

xx nn =aa , 通过递推

公式解方程求出极限.

例8 (2006年数学一) 数列 {x n } 满足 0 < x 1 < π, x n +1 = sin x n (n = 1, 2, …). (1) 证明 n n x ∞

→lim 存在, 并求其极限;

(2) 计算 .lim 2

1

1n

x n n n x x

+∞→

练习

(1) 设 x 1 > 0, x n +1 = 11?ee ?xx nn , n = 1, 2, ….

(i) 证明 n n x ∞

→lim 存在, 并求其极限;

(ii) 计算ll ll ll nn→∞xx nn xx

nn+11

xx nn

?xx

nn+11

.

(2) 设 a > 0, x 1 > 0, 且定义 xx nn+11=1144?33xx nn +aa

xx nn

33?(nn =11,22,…), 证明当 n →∞时,

数列 {x n } 的极限存在并求出该极限值.

五、 利用函数的极限求数列极限

注意: 一般是含有 n 的未定式极限, 应该按数列极限处理, 若用到罗比达法则, 最好先求出 x →+∞ 时的极限, 再利用函数极限与数列的极限关系(结论也可以用来说明极限不存在)得出结果.

例9 .arctan 2lim n

n n

∞→π

练习

求 ll ll ll nn→∞

nn ?ee ?11+11nn ??nn

?11?.

题型四 函数的极限

一、分段函数的极限

求分段函数在分段点处的极限, 要利用:

.)(lim )(lim )(lim 0

A x f x f A x f x x x x x x ==?=?+→→→

例11 (2000年数学一) 求.||sin 11lim /4/10

+++→x x x x x e e

例12 当 x → 1 时, 函数

xx 22?11xx?11

ee

11xx?11

的极限为 ( ).

(A) 2 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在

二、未定式极限

未定式的类型: “0000,∞

∞; ∞?∞,00?∞; 11∞,0000,∞00”. 注意各部分均为极限、罗

比达法则不是万能的(先确定极限的类型，再考虑方法，一定要与数的运算分开).

1.

0000,∞∞

型未定式

常用方法: 无穷小的等价代换(代换原则: 因式替代); 罗比达法则(注意条件, 使用罗比达法则后及时整理并分离出极限存在的因式); 无穷大转换为无穷小等. 例13 求.)(arcsin arcsin lim

3

x x

x x ?→

例14 求.ln ln lim 2

x

t dt x x

x ∫

+∞

→

例15 求.sin 1

14lim 2

2x

x x x x x +++?+?∞

→

例16 求.)

1ln()cos 1(1sin

)cos 1(sin 3lim

x x x x x x ++?+→

练习：求下列极限 (1) 2

13lim

21

?++??→x x x

x x

(2) .13cos 21lim 3

?

+→x x x x

(2004年数学二) (3) 30sin arctan lim x x

x x ?→(2007年数学二) (4) ll ll ll

xx→?∞

?33xx 22+xx?11+xx?11?xx +ccccss xx

2. ∞?∞,00?∞型未定式

方法: 转化为 0000,∞

∞ 型(通分、构造分母等)

例17 求.11ln lim 2

+?∞→x x x x

例18 求.2arctan 2lim 22x x x ?∞→π

练习: 求下列极限

(1) .cos sin 1lim 2220

?→x x x x (2) .lim

??++∞→x x x x x

3. 11∞,0000,∞00型未定式

方法: 非1∞类型常使用对数恒等式(或取对数后化为00?∞型未定式).

uu (xx )vv (xx )=ee vv (xx )ll ss uu (xx ).; 1∞类型: ll ll ll uu (xx )

→00vv (xx )→∞

(11+uu (xx ))vv (xx )=ee

ll ll ll uu (xx )vv (xx )

.

例19 求.arcsin lim 2

1

0x x x x

→

例20 求.lim ln 10

x

k

x x

+→+

例21 求ll ll ll xx→+∞

(ll ss xx )11xx?11

练习: 求下列极限

(1) )1ln(1

2

)(cos lim x x x +→(2003年数学一)

(2) .sin 1tan 1lim 3

1

0x x x x

++→

三、极限的综合题

说明: 这类题目涉及面稍微广泛, 比如导数的定义、已知一个极限求另一个极限等。解此类题目要注意极限的形式与因果判断。

例22 已知 f (x ) 在 x = a 处可导, 且 f (a ) ≠ 0, 求 .)()1(lim n

n a f n a f

+∞→

例23 已知,4cos 1)(1ln 121lim 0=

?+?→x x f x x 求.)(lim 30x x f x →

练习: 设 f (x ) 在 x = 0 的某邻域内二阶可导, 且 ,0)(3sin lim 230=

+→x x f x

x x 求 f (0), f ′(0), f ″(0) 及 .3

)(lim

2

x

x f x +→

题型五 极限的反问题

一般指已知某个极限存在求极限中的常数. 主要涉及连续、极限存在(或给出极限值)、等价无穷小(高阶、同阶)、洛必达法则与泰勒公式等知识的应用.

例24 若5)(cos sin lim 0=??→b x a

e x

x x , 求 a , b .

例25 确定正数 a 和 b 使得 .2sin 1

lim 0

220=+?∫→x x t t

a t x bx d

练习: (1) 若,2)

1()21ln()cos 1(tan lim

2

=?+??+?→x x c x x b x a e

则a =_____.

(2) 设函数bx

a x

x f e +=

)(在(?∞, +∞) 内连续, 且 ,0)(lim =?∞→x f x 则常数a , b 满足

(A) a < 0, b < 0 (B) a > 0, b > 0 (C) a ≤ 0, b > 0 (D) a ≥ 0, b < 0

题型六 无穷小量的比较

一、比较给定的无穷小量

主要考查比较给定的无穷小量的同阶、高阶、等价等，解法主要是对无穷小的阶的理解与各自的定义。

例26 当 x →0+时, 与 √xx 等价的无穷小量是

D C B A x x x

x e

x

cos 1)(11)(11ln

)(1)(??+?+?

二、已知无穷小量的比较结果, 确定参数

解法: (1) 利用定义; (2) 带皮亚诺余项的泰勒公式

例27 设当x →0 时, (1 ? cos x )ln(1 + x 2) 是比 x sin x n 高阶的无穷小, 而 x sin x n 是比 ee xx 22

?11高阶的无穷小, 则正整数 n 等于

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

例28 当 x → 0 时, f (x ) = x ? sin ax 与 g (x ) = x 2 ln(1 ? bx ) 是等价无穷小, 则 ____.

6

1,1)(?==b a A 61,1)(==b a B 61,1)(=?=b a C 61

,1)(?=?=b a D

三、确定无穷小量的阶

解法: 注意无穷小阶的比较的定义(基本); 泰勒公式(灵活). 例29 已知当 x → 0 时, ff (xx )=√11+

xx 22

?ccccss xx ,gg (xx )=

∫ssll ss tt ddtt ll ss (11?xx 22)

00

, hh (xx )=aaaaccssll ss xx ?xx 都是无穷小, 则它们关于 x 的阶数从低到高的顺序为

( ).

(A) f (x ), g (x ), h (x ) (B) h (x ), f (x ), g (x ) (C) f (x ), h (x ), g (x ) (D) h (x ), g (x ), f (x ) 例30 已知x → 0 时, xx ??aa +bbee xx 22

?ssll ss xx 是关于 x 的5阶无穷小. 求常数 a , b .

练习: (1) 把

x → 0+时的无穷小量∫

∫

∫===x

x x

t t t t t t d d d 0

30

2

sin ,tan ,cos 2

γβα

排列

起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

(A) α, β, γ (B) α, γ, β (C) β,α, γ (D) β, γ, α (2) 若x →0时, x x ax sin 1)1(4

12与??是等价无穷小, 则 a =________.

(3) 当 x → 0 时, α(x ) = kx 2 与 x x x x cos arcsin 1)(?+=β是等价无穷小, 则k =___.

(4) 试确定 A, B , C 的值, 使得),(1)1(32x o Ax Cx Bx e x ++=++其中 o (x 3) 是当 x → 0 时比 x 3 高阶的无穷小.

题型七 函数的连续性

主要考查函数在某点连续的定义(ll ll ll xx→xx 00

ff (xx )=ff (xx 00), 本质是考查极限).

例30 设函数,0

,0,2arcsin 1)(2tan

≤>?=x a x x x f x x

e e 在 x = 0 处连续, 则 a = _________.

例31 设函数ff (xx )=?

ll ss ccccss (xx?11)11?ssll ss ππ22

xx

,xx ≠11

11, xx =11

, 问 f (x ) 在 x = 1处是否连续? 若不连

续, 修改 f (x ) 在 x = 1 处的定义, 使之连续.

练习: 设).1,2

1[,)1(1sin 11)(∈??+=

x x x x x f πππ试补充定义 f (1) 使 f (x ) 在 [1/2, 1] 上连续.

题型八 函数的间断点与间断点的类型

解法: 依据间断点的定义. 例32 设函数 ,1

1

)(1

?=

?x x x f e 则

(A) x = 0, x = 1都是 f (x )的第一类间断点 (B) x = 0, x = 1都是 f (x )的第二类间断点

(C) x = 0是 f (x )的第一类间断点, x = 1是 f (x ) 的第二类间断点 (D) x = 0是 f (x )的第二类间断点, x = 1是 f (x ) 的第一类间断点

例33 求极限 .sin sin lim sin sin x

t x x t x t ?→

记此极限为 f (x ), 求函数f (x )的间断点并指

出其类型.

练习:

(1) 函数)

(tan )()(11e e x x e e x f x

x

?+=

在 [?π, π ] 上的第一类间断点是 x = _____.

(A) 0 (B) 1 22)(π

π (D) C ?

(2) 设函数,sin 1

ln )(x x x x f ?=

则 f (x ) 有 _____ .

(A) 1个可去间断点, 1个跳跃间断点 (B) 1个可去间断点, 1个无穷间断点

(C) 2个无穷间断点 (D) 2个跳跃间断点

(3) 设函数 f (x ) 在 [?1, 1] 上连续, 则 x = 0 是函数x

t t f x g x

∫=

d )()(的

(A) 跳跃间断点 (B) 可去间断点

(C) 无穷间断点 (D) 震荡间断点

(4) 函数 x

x x x f πsin )(3

?=的可去间断点的个数为 _____ .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 无穷多个

题型九 曲线的渐近线

解法: 渐近线的定义, 不可遗漏(铅直\水平\斜渐近线)

例34 曲线x x x

x y cos 25sin 4?+=的水平渐近线方程为 __________ .

例35 曲线)1ln(1

x e x

y ++=渐近线的条数为_______.

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

练习 曲线1

22

+=x x y 的斜渐近线方程为________________.

题型十闭区间上连续函数的性质(命题证明)

说明: 重点考查介值定理与零点定理, 注意结论形式, 构造辅助函数.

例36 设 f (x) 在[0, 1] 上非负连续, 且 f (0) = f(1) = 0, 证明对实数 a (0 < a < 1), 必有ξ∈ [0, 1) 使得f (ξ+ a) = f (ξ).

例37 设 f (x) 在[a, b] 上可微, ?x ∈[a, b], a < f (x) < b, 且 f ′(x) ≠ 1, x∈(a, b). 证明: 在(a, b) 内方程 f (x) = x 有唯一实根.

练习:

(1)设函数f (x) 在[0, 1]上连续, f (0) = 0, f (1) = 1, 证明: 存在ξ∈ (0, 1)使得f (ξ)

= 1?ξ.

(2)设函数f (x), g(x) 在[a, b] 上连续, 在(a, b) 内存在相等的最大值, f (a) =

g(a), f (b) = g(b), 证明: 存在η∈ (a, b), 使得f (η) = g(η).