MATLAB在分段函数的应用要点

《MATLAB语言》课程论文

MATLAB在分段函数的应用

姓名：万治邦

学号：12010245309

专业：通信工程

班级：2010级

指导老师：汤全武

学物理院：电气信息学院

完成日期：2011年11月28日

MATLAB 在分段函数中的应用

（ 万治邦 12010245309 2010级通信工程1班）

[摘要]在数学中有很多关于分段函数的知识，我们通常所学的，也只是一些简单分段函数。当遇上一

些多元多次线性方程组时，想要求解，是非常困难的。利用ＭＡＴＬＡＢ编程语言就可以实现对一些复杂的分段喊数进行求解。将MATLAB 语言运用到我们的学习中，就可以使我们对这方面的知识进行获取时简便起来。

[关键词]数学 分段函数 MATLAB 语言 图形绘制

一、问题的提出

MATLAB 语言作为一种简便实用的程序语言，将它的简便易操作运用到学习和教学中，会极大地简化学习中的复杂问题，这样就可以将我们从复杂的公式计算中解脱出来。MATLAB 提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能.将MATLAB 语言与数学结合起来，这无疑会弥补数学的复杂计算所带来的问题。

二、数学分段函数中的应用

1、 分析一元二次函数分段函数的特性

利用MATLAB 解决一些数学中常见的分段函数性质问题，这样将MATLAB 和数学结合起来可以提高学习效率，加深对函数的理解。下面我们就讨论利用MATLAB 程序求解分段函数性质问题。

问题一、定义分段函数下面

分段函数

?

?

?<+--≥-=0)ln(0

)sin(32)(2x x x x x x x f MATLAB 程序如下：

function y=f(x) %定义函数

y=zeros(size(x)); %产生与矩阵X 同样大小的零矩阵 [m n]=size(x); %定义矩阵 for a=1:m %矩阵宽度 for b=1:n %矩阵长度 if x(a,b)<0 %选择结构

y(a,b)=log(-x(a,b))+x(a,b); else

y(a,b)=2*x(a,b)^2-3*sin(x(a,b)); %选择结构 end %结束if 语句 end %结束for 语句 end %结束for 语句

问题二：简单的绘图 MATLAB 程序如下：

x1=0:0.01:1;%设置x1的变换范围 x2=1:0.01:2;%设置x1的变换范围 y1=x1;%定义y1

y2=2-x2;%定义y2 x=[x1,x2];%定义x 矩阵 y=[y1,y2];%定义y 矩阵

plot(x,y)%绘制关于x 、y 的曲线

运行结果如图1所示

图1

问题三、一元二次分段函数的MATLAB 实现

)(x f 定义如下

??

???--≠≠≤≤+-≠<-+=其他且且,13

2,100,6540,6)(22

2x x x x x x x x x x x x f

1、写出一个函数文件实现该函数

2、做出函数图形

3、求)(x f 的零点与最值 解：

1、函数文件实现该函数 编写M 函数文件

function y=f(x) %定义分段函数 n=length(x) %设置X 的取值范围 if x<0&x~4 %选择结构 y=x.^2+x-6;

else if x>=&x<10&x~=2&x~3 %选择结构

y=x.^2+5*x+6;

else

y=x.^2-x-1;

end%结束if语句

把文件f.m放置在搜索路径上

运行命令：

令x=5,则在命令窗口输入指令

y=f(5)

得到答案：

y=

56

2、图形

MATLAB程序如下：

x1=(-5):0.01:0; %设置X1的取值变化

y1=x1.^2+x1-6; %定义函数f1（x）

plot(x1,y1,'m-'); %y1的平面线图

hold on %设置图形保持状态

x2=0:0.01:10; %设置X2的取值变化

y2=x2.^2-5*x2+6; %定义函数f2（x）

plot(x2,y2,'r:'); %y2的平面线图

hold on %设置图形保持状态

x3=10:0.01:15; %设置X3的取值变化

y3=x3.^2-x3-1; %定义函数f3（x）

plot(x3,y3); %y3的平面线图

x4=-4; %设置X4的值

y4=x4.^2-x4-1; %定义函数f4（x）

plot(x4,y4,'p'); %y4的平面线图

hold on %设置图形保持状态

x5=2; %设置X5的值

y5=x5.^2-x5-1; %定义函数y5

plot(x5,y5,'b*') %y5的平面线图

hold on %设置图形保持状态

x6=3; %设置X6的值

y6=x6.^2-x6-1; %定义函数y6

plot(x6,y6,'g*'); %y6的平面线图

title('函数f(x)的图形'); %加图形标题

text(-4,-20,'曲线f1(x)=x^2+x-6');%在指定位置添加图形说明text(2,40,'曲线f2(x)=x^2-5x+6');%在指定位置添加图形说明text(10,146,'曲线f3(x)=x^2-x-1');%在指定位置添加图形说明legend('f1(x)','f2(x)','f3(x)','x=2','x=3');%加图例

运行结果如图2所示

图2

3、)(x f 的零点和最值

)(x f 的零点

当4~&0-=

由函数的系数矩阵可得函数的根，即： pl=[1,1,-6];

x1=roots(pl); x 1= -3 2

由题意可知，x 的取值范围在)0,(-∞，所以21=x 舍去，即)(x f 的零点之一为

31-=x .

当3~&2~&10&0==<>=x x x x 时；

6*52.^)(2++=x x x f

由函数的系数矩阵可得函数的根，即 p2=[1,-5,6];

x2=roots(p2); x2=

3.0000

2.0000

因为没有零点所以)(23~&2~x f x x ==

当3&2&4&10==-=>=x x x x 时 ;12.^)(3--=x x x f

由函数的系数矩阵可得函数的根，即： p3=[1,-1,-1];

x2=roots(p3)； X2= 1.6180 -0.6180

有题意可知，)(x f 在定义域内没有零点。

综上所述，)(x f 在定义域内只有一个零点，即3-=x .

)(x f 的最小值

如图1所示，)(x f 在定义域内之存在一个最小值，且处于最左段函数图形

'62^)(1'-+=x x x f 曲线上，即当0

x(l)=fminbnd('x(l).^2+x(l)-6',-5,0)

y1=x(l).^2+x(l)-6 x=

-0.5000 y1=

-6.2500

所以函数)(x f 最小值为5.6)5.0(-=-f .

通过以上程序对一元二次分段函数的讨论，学会了能用MATLAB 实现对函数的性质问

题求解。下面进一步讨论利用在MATLAB 函数文件绘制分段函数图形问题。

四、在函数文件下绘制分段函数图形

将MATLAB 强大的绘图功能应用到数学图形的绘制上，当遇到一些复杂的函数图形时 ，

就可以很好地解决图形绘制难的问题。这样我们在数学函数和图形的时候就可以有一个直观的参考，而MATLAB 绘图功能的操作简单、功能强大就简化了一些复杂的操作。下面我们就讨论有关利用MATLAB 程序绘图的问题。 1一元分段函数的图形绘制

问题四、用MATLAB 绘制分段函数??

?

??<≤+-<≤-<≤=42),2/(2

1)),1(cos(10,)(22x x x x x x x x f π图像

MATLAB程序如下：

把下面的函数保存为Piecewise_x.m文件

function

F=Piecewise_x(x)

F=x.^2.*(x>=0 & x<1)+cos(pi*(x-1)).*(x>=1 & x<2)+(-x.^2./(x+2)).*(x>=2 & x<=4);

end

运行:

x=linspace(0,4);

F=Piecewise_x(x);%计算相应函数值

plot(x,F);%绘制曲线

hold on;

plot(1*ones(1,2),ylim,'r:');%画区间间隔线

plot(2*ones(1,2),ylim,'r:');%画区间间隔线

x=linspace(0,4); %设置线性等分向量

F=Piecewise_x(x); %计算相应函数值

plot(x,F); %绘制曲线

hold on; %设置图形保持状态

plot(1*ones(1,2),ylim,'r:');%画区间间隔线

plot(2*ones(1,2),ylim,'r:');%画区间间间隔线

运行结果如图3

图3 分段函数图

2、二元二次分段函数函数的MATLAB绘图

问题五：函数??

?

??-<=++--<=+<--->+---=1),*5.175.3*75.0exp(*5457.01

1),*6exp(*7575.01),*5.1*75.3*75.0exp(*5457.0),(222222y x x x y y x x y y x x x y y x p 的图

形绘制

MATLAB 程序如下：

把下面的函数保存为Piecewise_xy.m 文件

function Pxy=Piecewise_xy(x,y)

Pxy=0.5457*exp(-0.75*y^2 - 3.75*x^2 - 1.5*x).*(x+y>1)+... 0.7575*exp(-y^2 - 6*x^2).*(x+y>-1)+...

0.5457*exp(-0.75*y^2 - 3.75*x^2 + 1.5*x).*(x+y<=-1); end

运行：

[x,y]=meshgrid(-3:0.1:3);%产生“格点”矩阵 s=size(x)

Pxy=zeros(s(1),s(2));%定义矩阵x 是s(1)s(2)零矩阵 for i=1:s(1) for j=1:s(2)

Pxy(i,j)=Piecewise_xy(x(i,j),y(i,j));%定义分段函数 end end

mesh(x,y,Pxy)%定义网线图

运行结果如图

4

图4

问题七、绘制分段函数图形 MATLAB 程序如下：

Clear %清除内存变量和函数

clc; %清楚指令窗

x=0:0.01:1; %定义x的取值范围

n=length(x); %加图例

y=zeros(1,n); %产生1n零矩阵

for i=1:101

if x(i)<=0.25

y(i)=100*x(i).^2;

else if x(i)<=0.5

y(i)=100*x(i).*(1-x(i))-12.5;

else

y(i)=x(i).*(1-x(i));

end

end

end

Figure %创建图形窗口

plot(x,y); %绘制关于x,y的曲线

运行结果如图5所示

图5

通过以上利用MATLAB绘图功能绘制分段函数图形问题的讨论，我们就会在此基础上加深对MATLAB强大功能的认识，在利用MATLAB解决其他问题时就有了实际的参考，下面就对物理中的分段函数问题结合MATLAB程序语言进行解决。

五、物理学中分段函数的应用

物理中经常会遇到一些复杂的分段函数图形，如果利用手工绘制或其他的绘制图形方式时，难免会造成图形与实际的偏差。这样在观察图形获取图形参数时就会造成不必要的误差。下面我们就讨论物理学中复杂分段函数利用MATLAB程序语言绘制图形的问题问题八、两个分段函数的MATLAB实现

MATLAB程序如下：

clear;%清除内存变量和函数

t=0:0.01:18;%设置t的变化范围

d1=zeros(size(t));%定义d1是矩阵t同样大小的零矩阵

d2=zeros(size(t));%定义d2是矩阵t同样大小的零矩阵

N=length(t); %加图例

for i=1:N

if 0<=mod(t(i),6) & mod(t(i),6)<3

d1(i)=-(400/27)*(1/4*(mod(fix(t(i)),6)+t(i)-fix(t(i))).^4-2*(mod(fix(t(i)),6)+ t(i)-fix(t(i))).^3+(9/2)*(mod(fix(t(i)),6)+t(i)-fix(t(i))).^2);

else

d2(i)=(100/6.75)*(1/4*(mod(fix(t(i)),6)+t(i)-fix(t(i))).^4-5*(mod(fix(t(i)),6) +t(i)-fix(t(i))).^3+36*(mod(fix(t(i)),6)+t(i)-fix(t(i))).^2-108*(mod(fix(t(i)) ,6)+t(i)-fix(t(i)))+108);

end

end

d=d1+d2;%定义d的表达式

plot(t,d);%绘制关于t,d的曲线

xlabel('t');%加x轴说明

ylabel('d'); %加y轴说明

grid on; %命令画网络线

运行结果如图6所示

图6

MATLAB程序如下：

clear; %清除内存变量和函数

t=0:0.01:12; %设置t的变化范围

d1=zeros(size(t)); %定义d1是矩阵t同样大小的零矩阵

d2=zeros(size(t)); %定义d2是矩阵t同样大小的零矩阵

d3=zeros(size(t)); %定义d3是矩阵t同样大小的零矩阵

N=length(t); %加图例

for i=1:N

if0<=mod(t(i),3)&mod(t(i),3)<=1

d1(i)=-139*(3*(mod(fix(t(i)),3)+t(i)-fix(t(i))).^4-8*(mod(fix(t(i)),3)+t(i)-fi x(t(i))).^3+6*(mod(fix(t(i)),3)+t(i)-fix(t(i))).^2);

elseif 1<2

d2(i)=-139;

else

d3(i)=139*(3*(mod(fix(t(i)),3)+t(i)-fix(t(i))).^4-32*(mod(fix(t(i)),3)+t(i)-fi x(t(i))).^3+126*(mod(fix(t(i)),3)+t(i)-fix(t(i))).^2-216*(mod(fix(t(i)),3)+t(i )-fix(t(i)))+135);

end%结束if语句

end%结束for语句

d=d1+d2+d3 ;%定义d的表达式

plot(t,d); %绘制关于t,d的曲线

xlabel('t'); %加x轴说明

ylabel('d'); %加y轴说明

grid on; %命令画网络线

运行结果如图7所示

图7

以上我们讨论了利用MATLAB程序语言绘制物理学中复杂的分段函数问题，进一步加深了对MATLAB程序语言的认识。同时也找到了一个很实用的学习工具。

四、结论

将MATLAB语言和数学知识的结合，可以简化数学知识中的一些复杂、抽象的问题。利用MATLAB强大的绘图功能，将一些复杂函数的图像绘制出来，不仅可以直观的了解函数，并且可以加深对函数的理解。由于MATLAB运算结果用二维图形显示的，使得学习效果生动和鲜明，可以加深我们对课本知识的理解，找出自己解题错误的原因，同时由于有了直观印象，也加深了记忆。利用MATLAB语言我们在求解函数问题时不止可以画图，MATLAB里很多函数都可以进行数值的计算、处理，只需编辑相应MATLAB的程序，通过对函数的计算，就可以对函数的性质进行计算。同时可以达到数形结合的效果使问题更简单化。总而言之，在数学函数分析的问题上利用MATLAB语言绘制图形就是简单最具有可视化的方法，MATLAB 绘图及其他功能将在数学上有很大的帮助作用。

五、课程体会

经过一学期紧张而有序的课程学习，在忙碌之余也得到了颇多的收获。我深深体会到MATLAB语言相对于同类程序语言更方便更简洁易懂。此外，在过去的学习中，老师通过让我们完成每章的习题检验我们的学习情况，使我认识到了MATLAB的优点。如果借助MATLAB 工具，让我们做一些习题，写一些论文，也有助于培养我们用计算机解决问题的能力。通过利用其解决这些数学问题，让我更进一步认识到了MATLAB的强大功能，也让我又一次认识到掌握了最基础的知识才是最根本的，复杂的知识都是在一个个基础的知识的堆积，抓住了基础，再难的问题都可以拆解开来简化处理，都能够很快地掌握。在查阅资料的过程中，发现MATLAB绘图功能已经广泛运用到数学的各个领域，用MATLAB绘制的图形更然人感

到其妙。所以以后要好好学习MATLAB语言。

[参考文献]

[1] 刘卫国.MATLAB程序设计与应用（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 同济大学数学系.高等数学（第六版）[M]北京：高等教育出版社，2007.6