解三角形问题和简单应用易错笔记
第十七讲 解三角形问题及其简单应用 1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究
1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 1.2由正弦值求三角形角时可能有两解
1.3 由cos 0A =产生的漏解现象
2.解三角形出现增解的应对策略
2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定 2.2根据两角正弦值大小剔除增解 2.3 根据三角函数值的围剔除增解 3．几何法判断三角形解的个数
3.1画图观察直观判断三角形解的个数 3.2 根据三角形解的个数求字母参数围
4.三角形形状的判定
4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角 4.2化边为角判定三角形形状 4.3化角为边判断判定三角形形状
5.三角形中的取值围与最值问题 5.1三角形形状隐含角的围
5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用 5.3利用余弦定理、基本不等式求最值 5.4化归为三角函数的最值与值域问题
6. 三角形中几种常见的变换方法 6.1 两角和与第三角的三角函数关系 6.2 不能遗忘的“切化弦”
7.常见的解三角形实例 7.1距离的测量问题 7.2高度的测量问题 7.3角度的测量问题 7.4是否进入某区域问题
7.5与最值有关的实际应用问题
1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究
1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 【典例】在ABC ?，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且1,a c ==.
（1）若3
C π=，则A = _______；(2)若
6
A π=，则b = _______．
【变式1】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6,8,45b c B ===o ，则cos C = .
【变式2】已知在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，45a b B ===o ， 试判断符合条件的ABC ?有多少个？
1.2由正弦值求三角形角时可能有两解 【典例1】在ABC ?
中，1,30AB AC B ===o ，求ABC ?的面积.
【变式1】若ABC ?
的面积为，且5,8AB AC ==，则BC 等于 ．
【变式2】ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3,1b c ==，ABC ?
A cos 与a 的值.
【变式3】已知(
)sin 2f x x x =+，A 是ABC ?的角，且()1f A =，求A 的大小.
【变式4】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，sin cos c C c A =-
(1)求角A ； (2)若2a =，ABC ?
,b c .
【变式1】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22tan tan a B b A =，判断ABC △的形状.
【变式2】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos 1cos 2cos 1cos 2b C C c B
B
+=+，判断ABC △的形状.
【变式3】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b ≠，=
-B A 22cos cos A A cos sin 3B B cos sin 3-．求角C 的大小．
1.3 由cos 0A =产生的漏解现象
【典例】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,3
c C π
==.若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求△ABC 的面积.
【变式1】若θ是三角形的角，则cos θ可能为0，但0sin >θ
在△ABC 中，已知角ο60=B .若cos()cos sin 2B A C A --=，求角A 的大小.
【变式3】等式两边乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立
在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos a b c B c A -=-，判断ABC △的形状.
2.解三角形出现增解的应对策略
2.1 已知两边及大边对角的三角形唯一确定
【典例】在ABC ?中，角
,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若a 2b =,sin cos B B +=则角A 的大小为 .
【变式1】三角形边对大角，非最大边所对的角一定是锐角
在ABC ?中，角
,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π,13
A a b ==，则边长c 等于（
）
A.1
B.2 1 D.3
【变式2】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3a =，b 3
2π
=∠A ，则B ∠= ．
【变式4】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、，若1,3
a c C π===，则角A =______.
【变式5】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角,,A B C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，则角=C .
【变式6】在ABC ?中，已知ο60,3,2===A AC AB .求C 2sin 的值.
2.2根据两角正弦值大小剔除增解
【典例】在ABC ?中，5
4sin =B ，135cos =A ，则C cos 的值为___________.
【变式1】在ABC ?中，求证：sin sin A B A B >?>.
【变式2】在ABC ?中，若53sin =A ，13
5cos =B ，则C cos 的值为 ．
【变式3】在ABC ?中，12sin 13B =，4cos 5
A =，则C cos 的值为___________.
2.3 根据三角函数值的围剔除增解
【典例】在ABC ?中，角
,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，λ=a ，λ3=b ，ο45=A ，则满足此条件的三角形有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【变式1】钝角ABC ?的面积是12
，1=AB ，2=
BC ，则=AC ( )
A ．5 B. 5 C ．2 D ．1
【变式2】借助余弦函数的单调性，缩小角的围，避免讨论 已知在ABC ?中，角
,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， ,A B 为锐角，且5
3
2cos =
A ，1010sin =
B ，则B A +的值为 ．
【变式3】根据三角形中各角的正弦值均大于零探求隐含条件，合理舍去增解
在?ABC 中，已知3sin 463cos 41A B A B +=+=cos sin ，，则角C = .
【变式1】已知在ABC ?中，角
,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，不解三角形，则下列判断正确的
（1）4,5,30a b A ===o 有两个解； （2）5,4,60a b A ===o
有一个解；
（3）120a b B ===o 有一解；
（4）60a b A ===o
无解.
【变式2】已知在ABC ?中，角
,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据下列条件解三角形：
①B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②B ＝60°，a ＝10，b ＝9．那么，下面判断正确的是( )
A ．①只有一解，②也只有一解．
B ．①有两解，②也有两解．
C ．①有两解，②只有一解．
D ．①只有一解，②有两解．
【变式3】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若18,24,45a b A ===o ，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定
【变式4】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2,6,30a b A ===o ，则满足此条件的三角形的个数是几个？
3.2 根据三角形解的个数确定字母参数的围
【典例】如果满足60B =o
，12,AC BC k ==的三角形ABC 恰好有一个解，那么实数k 的取值围是
【变式1】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2b a ==，此三角形有解，则角A 的取值围是 .
【变式2】若满足条件3=AB ，A C >，ο60=C 的ABC ?有两个，则边长BC 的取值围是 .
【变式3】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,4
b B π==，且此三角形只有一个解，则边长a 的取值围是 .
4.三角形形状的判定
4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角 【典例】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，用余弦定理证明：当角C 为钝角时，222a b c +<；当角C 为锐角时，222a b c +>.
【变式1】在ABC ?中，若222sin sin sin B C A +>，则ABC ?的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
【变式3】在ABC ?中，角
,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若三边满足333a b c +=，则ABC ?的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
4.2化边为角判定三角形形状 【典例】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
C
c
B b A a cos cos cos =
=，判定ABC △的形状.
【变式1】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos cos c
A B C a
b
==，判定ABC △的形状.
【变式2】在ABC △中，已知sin 2sin cos A B C =，判定ABC △的形状.
【变式3】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos a b C =，判定ABC △的形状.
【变式4】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知A c a sin =，B A C cos sin 2sin =，判定ABC △的形状.
【变式5】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 2sin cos A B C =，))((a c b c b a -+++bc 3=，判定ABC △的形状.
4.3化角为边判断判定三角形形状 【典例1】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =?，判断ABC △的形状.
【变式1】在ABC △中，若2cos sin sin C A B =，则ABC △的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【变式2】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60B =o ，2b a c =+，试判断ABC ?的形状．
【变式1】在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状 .
【变式2】在△ABC 中，若B
A B
A C cos cos sin sin sin ++=
，则△ABC 的形状如何？
5.三角形中的取值围与最值问题 5.1三角形形状隐含角的围
【典例】设锐角三角形ABC 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b A =，求cos sin A C +的取值围．
【变式1】在锐角ABC ?中，6=AC ，A B 2=，则BC 的取值围是 .
【变式2】锐角ABC ?的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 设2C B =，则
c
b
的取值围是 .
【变式3】钝角三角形的三个角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则m 的取值围是 .
【变式4】在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则cos AC A
的值等于 ，AC 的取值围为 .
【变式5】锐角△ABC 满足不等式tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>同时成立 锐角ABC ?中，若tan 1,tan 1A t B t =+=-，则t 的取值围是 .
5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用 【典例】在锐角ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，边长1,2a b ==，则边长c 的取值围是 .
【评注】ABC ?为锐角三角形cos 0,cos 0,cos 0A B C ?>>>同时成立，且三角形两边之和大于第三边；若A 是钝角，则cos 0A <且
b c a +>.
【变式1】锐角ABC ?的边长分别为a ，3，1，则a 的取值围是 .
5.3利用余弦定理、基本不等式求最值
【典例1】若ABC ?的角A 、B 、C 满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 .
【评注】现将等式中角应用正余弦定理化为边，化简整理后，再应用基本不等式求最值。同时要注意取等的条件，即取最值的条件。 【变式1】在ABC ?中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）
A. B. C. 12
D. 12-
【变式2】利用2
()2
a b ab +≤，求角的取值围 在△ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，c b a 2≥+,则角C 的取值围是 .
【变式3】在△ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若a 、c 、b 成等差，则角C 的取值围是 .
【变式4】在△ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若a 、c 、b 成等比，则角C 的取值围是 .
【变式5】利用2
2
2b c bc +≥，求边长的最小值
在△ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，3
π=
A ，若△
ABC 的面积为a 的最小值为 ．
【变式6】利用222b c bc +≥，b c +≥
已知c b a ,,分别是ABC ?的三个角C B A ,,的对边，A
C
a c
b cos cos 22=
--. （I ）求角A 的大小；（II ）若ABC ?的面积3=S ，求ABC ?周长的最小值．
【典例2】已知c b a ,,分别为ABC ?三个角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ?面积的最大值为_________．
【评注】最值问题经常利用的不等式：222b c bc +≥，b c +≥2()2
a b ab +≤.
【变式1】利用余弦定理结合2(
)2
a b ab +≤求周长的最大值
已知c b a ,,分别为ABC ?三个角C B A ,,的对边，2=a ，60A =o
，则ABC ?周长的最大值为_______．
【变式2】利用2
2
2b c bc +≥，结合余弦定理求面积的最大值
在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知(2sin(m A C =+u r
, 2(cos 2,2cos 1)2
B n B =-r
，且n m //.
（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1=b ，求ABC ?面积的最大值．
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及解析答案
新数学《三角函数与解三角形》高考知识点 一、选择题 1．在ABC ?中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =?的面积为 1， 则BD 的长为（ ） A ．32 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25 BCD BCD ???∠=∴∠= 2 2 2 2102210425 BD BD ∴=+-??? =∴=,选C 2．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ?的面积25cos S C =，且 1,25a b ==，则c =（ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 【答案】B 【解析】 由题意得，三角形的面积1 sin 25cos 2 S ab C C ==，所以tan 2C =， 所以5cos C = ， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B. 3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至 BC ，在旋转的过程中，记([0,])2 ABP x x π ∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区 域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π?? ∈???? 时，()112y f x tanx ==??; 当,42x ππ?? ∈ ??? 时，()11112y f x tanx ==-??; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】 本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
解三角形应用举例练习高考试题练习
解三角形应用举例练习 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（ ） A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面 成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（ ） A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定 二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方 向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的 高为_______.
必修五解三角形常考题型非常全面
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
高中数学-解三角形应用举例练习及答案
高中数学-解三角形应用举例练习 一、选择题 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为………………………………………………( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是……………………………………………………….( ) A.103海里 B.3610海里 C. 52海里 D.56海里 3. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( ) A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4. .已知平行四边形ABCD 满足条件0)()(=-?+→ -→-→-→-AD AB AD AB ，则该四边形是………( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时………………………………………………………………………………………… . ( ) A.5海里 B.53海里 C.10海里 D.103海里 6．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ………………………………………………………………………..( ) A. 21d d > B. 21d d = C. 21d d < D. 不能确定大小 二、 填空题
(word完整版)四年级《三角形试题分析及易错题分析》
四年级数学三角形考题分析与易错题分析 以盘龙区小学2016学年下学期期末四年级数学试题进行分析：三角形这一单元知识占11%，所考知识点主要有：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等腰三角形等边三角形的定义，三角形三边的关系，高的做法，会求三角形和多边形的内角和。如： 近三年考题分析 4、请你想办法求出下面这个多边形的内角和。
考查目的：三角形内角和和钝角三角形的特征。 15．画出下面三角形指定边上的高。 考查目的：三角形高的含义，会正确画不同三角形指定底边上的高。 掌握高的方法。 16、等腰三角形的一个内角是60°，其他两个内角各是多少度？这是（）三角形。考查目的：综合三角形内角和、等腰三角形的特点及等边三角形的特点解决问题。
三角形单元检测卷 一、填空（40分） 个钝角三角形，（）个等腰三角形。 7、在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是（）三角形，又是（）三角形。 二、选择（18分） 1．下面第（）组中的三根小棒不能拼成一个三角形。 2．一个三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则此三角形的第三边的长可能是（）。 A．3 cm B．4 cm C．7 cm 3．下面各组角中，第（）组中的三个角能组成三角形。 A．60°，70°，90° B．50°，50°，50° C．80°，95°，5° 4．钝角三角形的两个锐角之和（）90°。 A．大于 B．小于 C．等于 5、一个等腰三角形中，其中一底角是75度，顶角是（）。 A、75度 B、45度 C、30度 D、60度 6、下面长度的小棒中（单位：cm），能围成三角形的是（）。 A. 3.5、7.5、4 B . 5、2.8、6 C. 10、4.2、5.6 三、判断（8分） 1、一个内角是80度的等腰三角形，一定是一个钝角三角形。（） 2、等腰三角形一定是等边三角形。（） 3、等腰三角形一定是锐角三角形。（）
专题1-2解三角形重难点、易错点突破(含答案)
专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时：60分钟) 三角形定“形”记 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 1．通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2．通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 细说三角形中解的个数 解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源 我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，
把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情 况： 当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况： 根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当 a 不小于 b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 2．解决问题的策略 (1)正弦定理法 已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝ b sin A a . 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0 高中数学解三角形的实际应用举例综合测 试题(含答案) 解三角形的实际应用举例同步练习 1．在△ABC中，下列各式正确的是（） A. ab ＝sinBsinA B.asinC＝csinB C.asin(A＋B)＝csinA D.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B) 2．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2 ，则这个三角形的最大角是（） A.135 B.120 C.60 D.90 3．海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C 岛成60的视角，从B岛望A岛和C岛成75角的视角，则B、C间的距离是（） A.52 nmile B.103 nmile C. 1036 nmile D.56 nmile 4．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据 A.、a、b B.、、a C.a、b、 D.、、 5．某人以时速a km向东行走，此时正刮着时速a km的南风，那么此人感到的风向为，风速为. 6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝. 7．某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60 的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯 塔的距离是. 8．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是. 9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2，再向塔前进103 米，又测得塔顶的仰角为4，则塔高是米. 10．在△ABC中，求证：cos2Aa2 －cos2Bb2 ＝1a2 －1b2 . 11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得CAB＝45，CBA＝75，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m） 12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？ 答案 1．C 2．B 3．D 4．C 5．东南2 a 6．40 7．103 8．203 ，203 3 9．15 10．在△ABC中，求证：cos2Aa2 －cos2Bb2 ＝1a2 －1b2 . 提示：左边＝1－2sin2Aa2 －1－2sin2Bb2 ＝(1a2 －1b2 )－2(sin2Aa2 －sin2Bb2 )＝右边. 11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标 【高中数学】单元《三角函数与解三角形》知识点归纳 一、选择题 1．若,2παπ??∈ ??? ，2cos2sin 4παα?? =- ???，则sin 2α的值为（ ） A ．7 8 - B ． 78 C ．18 - D ． 18 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】 解：因为2cos2sin 4παα?? =- ??? 所以( ) 22 2cos sin sin cos cos sin 4 4 π π αααα-=- 所以()())2cos sin cos sin cos sin 2 αααααα-+= - ,cos sin 02παπαα??∈-≠ ??? Q ， 所以cos sin 4 αα+= 所以()2 1cos sin 8αα+=，即22 1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28 α+= 所以7sin 28 α=- 故选：A 【点睛】 本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题； 2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102 x << B ． 1 12 x << C ．12x << D ．01x << 【答案】D 【解析】 【分析】 根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】 将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ， 设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则 cos 0A '∠<， 所以()()()()()2222342340x x x x x x x ?+++<+? +++>+??>? ，解得01x <<. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40?的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70?方向的C 处，且A 与C 的距离为15 3千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ） ( ) 7 2.6≈ A ．10分钟 B ．15分钟 C ．20分钟 D ．25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=?，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】 根据条件可得30BAC ∠=?，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ?=+-??=， 则5713BC =≈（千米）， 解三角形应用举例 主标题：解三角形应用举例 副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． 规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量． 知识梳理 1．距离的测量 背景可测元素图形目标及解法 两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用 正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理 求BC； (3)△ABC中，用余弦定理 求AB 2.高度的测量 背景可测元素图形目标及解法 底部可 到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦 定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)． 解三角形应用举例练习题 一、选择题 1．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为() A.3B．2 3 C．23或 3 D．3 2．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为3km，则A，B两船的距离为() A．23km B．32km C.15km D.13km 3．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积是() A.14 B．214 C.15 D．215 4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．a km B.3a km C.2a km D．2a km 5．已知△ABC中，a＝2、b＝3、B＝60°，那么角A等于() A．135°B．90° C．45°D．30° 6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时() A．5海里B．53海里 C．10海里D．103海里 二、填空题 7．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)已知A、B两地的距离为10km，BC两地的距离 为20km，经测量∠ABC＝120°，则AC两地的距离为________km. 8．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是__________． 9. (2011·北京朝阳二模)如图，一艘船上午在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile，则此船的航行速度是________n mile/h. 三、解答题 第7节 解三角形应用举例 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒] 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( ) (2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为? ?????0，π2.( ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( ) 解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 解析 如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B 3.(教材习题改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量 者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的 距离为( ) A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.2522 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ， 又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACB sin B ＝50×2212 ＝502(m). 答案 A 4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile. 解析 设两船之间的距离为d ， 则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile. 东方中学教案 1．知识与技能： 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 2．过程与方法： 通过巧妙的设疑，顺利的引导新课，为下节课做好铺垫。结合学生的实际情况，采用“提出问题—引发思考—探索猜想—总结规律—反馈练习”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在联系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。 3．情感、态度与价值观： 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解三角形，得到实际问题的解。 修改简记教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点 B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角 为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字) 分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件， AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC 的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A ＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571 ∴BC≈1．89 （ｍ） 答：油泵顶杆B C约长1．89 ｍ 评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转 换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系 从题目准确地提炼出来 例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔 船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向， 以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救， 试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间 【精选】八年级数学三角形解答题易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动． （1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小． （2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． （3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数． 【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】 【分析】 （1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1 ABE ABO 2 ∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=? ，故PAB MBA 270∠+∠=?，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠= ∠，1 ABC ABM 2 ∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知 CDE DCE 112.5∠+∠=?，进而得出结论； （3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知 1EAO BAO 2∠=∠,1 EOQ BOQ 2 ∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论． 【详解】 （1）∠AEB 的大小不变， ∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ， 例题1、在△ABC 中，已知2a =，b ＝22，C ＝15°，求A 。 错解：由余弦定理，得ca ba b 222215=+-c o s ° 48228=+-=-×× ∴c =-62 。 又由正弦定理，得s i n s i n A a C c = =12 而0000018030150A A A <<=，∴＝或。 分析：由题意b a >，∴B A >。因此A ＝150°是不可能的。错因是没有认真审题， 未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细 致 地分析问题，避免错误发生。 正解：同上c A b a =-=>6212 ，，∵s i n ， 000018030B A A A ><<=∴，且，∴。 例题2、在△ABC 中，若a b A B 22=ta n ta n ，试判断△ABC 的形状。 错解：由正弦定理，得s i n s i n t a n t a n 22A B A B = 即s i n s i n s i n c o s c o s s i n s i n s i n 2200A B A A B B A B =>>·，∵， ∴，即s i n c o s s i n c o s s i n s i n A A B B A B ==22。 ∴2A ＝2B ，即A ＝B 。故△ABC 是等腰三角形。 分析：由s i n s i n 22A B =，得2A ＝2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉 三角函数的性质，三角变换生疏。 正解：同上得s i n s i n 22A B =，∴2A ＝22k B π+ 或222A k B k Z =+-∈ππ ()。 ∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π 2 。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 初中解三角形易错题集锦 初中解三角形易错题集锦组卷 一．选择题（共7小题） 1．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（ ） A ． B ． C ． D ． 或 2．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AD ，则tan ∠DAC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是（ ） A ． B ． C ． D ． 或 5．正比例函数y=kx 的图象经过点（3，2），则它与x 轴所夹锐角的正切 值是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦值为，那么这个三角形的两条直角边长不可能是（ ） A ． 5和2 B ． 5和7 C ． 10和4 D ． 和 7．△ABC 中，若AB=6，BC=8，∠B=120°，则△ABC 的面积为（ ） A ． B ． 12 C ． D ． 二．填空题（共1 小题） 8 ．若等腰三角形两边为4，9，则底角余弦值是 _________ ． 三．解答填空题（共3小题） 9．如图，△ABC 是等腰三角形，∠ACB=90°，过BC 的中点D 作 DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CE ，则sin ∠ACE= _________ ． 10．如图，电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，若CD 与地面成45°，∠A=60°，CD=4m ， ，则电线杆AB 的长为 _________ 米． 11．在一个含30°角的三角形中，一条边的长为1，另一条边的长为 2．那么这个三角形的面积有 _________ 种结果． 解三角形公式汇总一、正弦定理 公 式 正弦定理： 推论1：（边化角） 推论2：（角化边） 题 型 （1）已知sinB求B:一题多解型 判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （2）asin B＝2b: 方法：边化角，推论1，a：b=sinA：sinB （3）3sin A＝5sinB或sinA:sinB:sinC=1:2:3 方法：角化边，推论2,sinA：sinB=a：b 二、余弦定理 公 式 余弦定理： （已知两边及夹角，求第三边） 推论1： （已知三边，求角） 推论2： （三边的平方关系） a2＋b2－c2=2abcosC b2＋c2－a2=2bccosA a2＋c2－b2=2accosB 题 型 （1）已知a，b，角C,求c 方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理c2=a2＋b2-2abcosC （2）已知a：b：c=1:2：，求cosB 方法：已知三边求角，余弦定理推论1， （3）已知，求cosA 方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2，b2＋c2－a2=2bccosA 三、求三角形面积 公式： 题型1：已知a，b，c，A 求△ABC的面积． 方法：带公式 题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC的面积． 方法： 四、判断三角形形状 题型：cos cos sin +=，判断三角形形状 b C c B a A 方法1：角化边 公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或 结论： 方法2：边化角 公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC 将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin2A，用三角恒等变换公式求解。注： 三角形内常见角度转化： 五、解三角形应用举例 仰角： 俯角： 坡度： 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角 形应用举例 1. (必修5P 11习题4改编)若海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B 、C 间的距离是________海里． 答案：5 6 解析：由正弦定理， 知 BC sin60°＝AB sin （180°－60°－75°） ， 解得BC ＝56(海里)． 2. (必修5P 20练习第4题改编)江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案：10 3 解析：如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO ＝60°，OM ＝AOtan45°＝30，ON ＝AOtan30°＝ 3 3 ×30＝103，由余弦定理，得 MN ＝ 900＋300－2×30×103× 3 2 ＝300＝103(m)． 3. (必修5P 18例1改编)如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40 m 的C 、D 两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是__________ m. 答案：20 6 解析：由已知知△BDC 为等腰直角三角形，故DB ＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A 、B 、C 、D 四点共圆， 所以∠BAD＝∠BCD＝45°； 在△BDA 中，运用正弦定理可得AB ＝20 6. 4. (必修5P 21习题2改编)某人在C 点测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________m. 答案：10 解析：如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h. 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h. 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10. 由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2 －2OC·CD cos ∠OCD ， 即(3h)2 ＝h 2 ＋102 －2h×10×cos120°， ∴ h 2 －5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)． 5. 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进mkm 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围nkm 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险． 答案：mcos αcos β>nsin(α－β) 解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴ ∠AMB ＝α－β.由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin （90°－α）＝m sin （α－β）， 解得BM ＝ mcos αsin （α－β）.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos β sin （α－β） >n ， 所以α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时船没有触礁危险． 1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等． 1解三角形易错题解析 易错题解析 例题1 在不等边△ABC中，a为最大边，如果a b c 222 <+，求A 的取值范围。 错解：∵a b c b c a 2222220 <++-> ，∴。则 cos A b c a bc = +- > 222 2 0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数 且cos90090 °，∴° =< A 又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题 错误。 正解：由上面的解法，可得A＜90°。 又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。 例题2 在△ABC中，若a b A B 2 2 = tan tan ，试判断△ABC的形状。 错解：由正弦定理，得sin sin tan tan 2 2 A B A B =即 sin sin sin cos cos sin sin sin 2 2 00 A B A A B B A B =>> ·，∵， ∴，即 sin cos sin cos sin sin A A B B A B == 22。 ∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。 21360239 3R a A = ==sin sin °。∴a b c A B C R ++++== sin sin sin 2239 3 。 例题4 在△ABC 中，c = +62 ，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。 错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。 由正弦定理，得a A b A sin sin()sin =-= +15062 30°°∴a A =+262()sin ， b A =+-262150()sin() ° 又∵sin sin()A A ≤-≤11501，°∴a b +≤+++=+262262462()()() 。 故a b +的最大值为462( ) +。 辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。这里A 与 150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。 正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。 由正弦定理，得a A b A sin sin()sin =-= +1506230°° 因此a b A A +=++-262150( )[sin sin()] ° 2(62)sin 75cos(75)62 4(62) cos(75)(843)cos(75)843 A A A =-+=-=+-≤+·°°·°° ∴a ＋b 的最大值为843+。 例题5 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。 《三角函数、解三角形》部分易错题提醒 （315800 浙江宁波北仑职业高级中学）王瑛 三角函数及解三角形是高中数学的重要内容，也是各地高考的热点．但由于这部分内容公式多、概念广，解题方法与技巧多样，所以经常会出现遗漏条件、忽视范围及忘记分类等等问题，所以针对该部分常见错误与遗漏，归纳举例如下，望同学们能从中有所收获． 一、三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式 1. 因“忽视轴线角、象限角表示中ｋ的讨论”而导致错误 【例1】已知α为第三象限角，则 2 α 是第 象限角，α2是第 象限角． 【解析】α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2 3 22ππαππ Z k k k ∈+<<+∴,4 3 22ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ 当k 为偶数时，2α为第二象限角；当k 为奇数时，2 α 为第四象限角； 而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. 【评注】k 为整数，故不要忘记分奇数与偶数进行讨论．对于Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ，不要疏忽终边落在y 轴的非负半轴上这种特殊情况． 【变式】已知βαsin 2sin =，βαtan 3tan =，求αcos 的值． 提示：若tan 0a ，tan 0b 则βββαααcos 3 2 tan 3sin 2tan sin cos === ，∴αβc os 23c os =．又因为 =βsin αsin 21，所以1cos 23sin 212 2 =?? ? ??+??? ??αα，∴46cos ±=α．若0tan =α，0tan =β，即 πβαk ==(Z k ∈)．此时1cos ±=α也满足题意，答案为4 6cos ± =α或1±． ２. 因对“三角函数线的方向搞错”而导致错误 【例２】利用单位圆，求y ＝lg (1－2cos x )的定义域． 【解析】由1－2cos x ＞0 得cos x ＜ 22 .如图１， 利用余弦线可知函数的定义域为：x ∈(2k π＋π4，2k π＋7π 4 )(k ∈ Z) 【评注】余弦线是以原点为起点，以终边与单位圆交点向x轴所引垂线的垂足为终点的一条有向线段 ．余弦线若与ｘ轴正方向一致的为正，反之为负． 【变式】已知sin sin ,αβ>那么下列命题正确的是（ ） A ．若α、β是第一象限角，则cos cos , αβ> 图１高中数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案)
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