2021年中考数学微专题：一次函数 解答题压轴专项

2021年中考数学微专题：一次函数解答题压轴专项

1．如图，直线y＝﹣与x轴相交于点A，与直线y＝x相交于点B．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）动点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度在线段OA上向点A做匀速运动，连接BC，设运动时间为t秒，△BCA的面积为S，求出S关于t的函数关系式；（3）若点P是坐标平面内任意一点，以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标．

2．某学校初二年级在元旦汇演中需要外出租用同一种服装若干件，已知在没有任何优惠的情况下，甲服装店租用2件和在乙服装店租用3件共需280元，在甲服装店租用4件和在乙服装店租用一件共需260元．

（1）求两个服装店提供的单价分别是多少？

（2）若该种服装提前一周订货则甲乙两个租售店都可以给予优惠，具体办法如下：甲服装店按原价的八折进行优惠；在乙服装店如果租用5件以上，且超出5件的部分可按原价的六折进行优惠；设需要租用x件服装，选择甲店则需要y1元，选择乙店则需要y2元，请分别求出y1，y关于x的函数关系式；

（3）若租用的服装在5件以上，请问租用多少件时甲乙两店的租金相同？

3．如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别相交于点A、B，设M是OB上一点，若将△ABM沿AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点B′处．求：

（1）点B′的坐标；

（2）直线AM所对应的函数关系式．

4．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．

（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中（填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全过程是米．

（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？

（3）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？

（4）兔子醒来后，以400米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟．

5．在下列条件下，求出一次函数的表达式，并画出图象：

（1）图象经过点（﹣5，1）和（2，4）；

（2）图象经过点（2，﹣3）的正比例函数；

（3）图象和x轴的交点的横坐标为5，和y轴的交点的纵坐标为﹣；

（4）图象经过点（1，2）和x轴相交成45°角．

6．如图，直线y＝kx+6分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．

（1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

（3）探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由．

7．某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；

乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．

（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？

（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．

8．平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．

（1）直接写出直线AB关于x轴对称的直线BC的解析式；

（2）如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于E点，点P为y轴上一点，PE＝PB，求P点

坐标；

（3）如图2，点P为y轴上一点，∠OEB＝∠PEA，直线EP与直线AB交于点M，求M点的坐标．

9．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．

（1）根据图象信息，当t＝分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟；

（2）图中点A的坐标为；

（3）求线段AB所直线的函数表达式；

（4）在整个过程中，何时两人相距400米？

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．E为AB的中点，过点D（6，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G．

（1）求直线DE的函数关系式；

（2）函数y＝mx﹣1的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值；（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG的面积．

参考答案

1．解：（1）当y＝0时，0＝﹣，

解得x＝4；

则A（4，0）；

联立两直线的解析式得，

解得．

则B（2，2）；

（2）∵A（4，0），

∴OA＝4，

∴S＝（OA﹣t）×2＝（4﹣t）×2＝4﹣t（0≤t＜4）；

（3）如图，当OA为平行四边形的边时，

∵OA＝4，

∴P 1（6，2），P2（﹣2，）；

当OA为对角线时，

P 3（2，﹣2）．

综上所示，点P的坐标为：P 1（6，2），P2（﹣2，2），P3（﹣2，2）．

2．解：（1）设甲店每件租金x元，乙店每件租金y元，由题可得：，解得，

答：两个服装店提供的单价分别是50元．60元；

（2）根据题意可得：y1＝40x，

y2＝

（3）由40x＝36x+120得x＝30

答：当x＝30时，两店相同．

3．解：（1）y＝﹣x+8，

令x＝0，则y＝8，

令y＝0，则x＝6，

∴A（6，0），B（0，8），

∴OA＝6，OB＝8 AB＝10，

∵A B'＝AB＝10，

∴O B'＝10﹣6＝4，

∴B'的坐标为：（﹣4，0）．

（2）设OM＝m，则B'M＝BM＝8﹣m，

在Rt△OMB'中，m2+42＝（8﹣m）2，

解得：m＝3，

∴M的坐标为：（0，3），

设直线AM的解析式为y＝kx+b，

则，

解得：，

故直线AM的解析式为：y＝﹣x+3．

4．解：（1）∵乌龟是一直跑的而兔子中间有休息的时刻，

∴折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系；

由图象可知：赛跑的全过程为1500米；

故答案为：兔子，1500；

（2）结合图象得出：

兔子在起初每分钟跑700÷2＝350（米），乌龟每分钟爬1500÷50＝30（米）．

（3）700÷30＝（分钟），

所以乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子．

（4）∵兔子跑了700米停下睡觉，用了2分钟，

∴剩余800米，所用的时间为：800÷400＝2（分钟），

∴兔子睡觉用了：50.5﹣2﹣2＝46.5（分钟）．

所以兔子中间停下睡觉用了46.5分钟．

5．解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），

把（﹣5，1）与（2，4）代入得：，

解得：，

则一次函数解析式为y＝x+；

（2）设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），

把（2，﹣3）代入得：﹣3＝2k，

解得：k＝﹣，

则正比例函数解析式为y＝﹣x；

（3）∵图象和x轴的交点的横坐标为5，和y轴的交点的纵坐标为﹣，

∴图象与x轴交点坐标为（5，0），和y轴的交点坐标为（0，﹣），

设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），

把两点代入得：，

解得：，

则一次函数解析式为y＝x﹣；

（4）∵图象经过点（1，2）和x轴相交成45°角，

∴k＝1或﹣1，

当k＝1时，设y＝x+b，把（1，2）代入得：2＝1+b，即b＝1，

此时y＝x+1；

当k＝﹣1时，设y＝﹣x+m，把（1，2）代入得：2＝﹣1+m，即m＝3，此时y＝﹣x+3．

6．解；（1）∵直线y＝kx+6过点E（﹣8，0），

∴0＝﹣8k+6，

k＝；

（2）∵点A的坐标为（﹣6，0），

∴OA＝6，

∵点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，

∴△OPA的面积S＝×6×（x+6）＝x+18 （﹣8＜x＜0）；

（3）设点P（m，n）时，其面积S＝，

则＝，

解得|n|＝，

则n1＝或者n2＝﹣（舍去），

当n＝时，＝m+6，

则m＝﹣，

故P（﹣，）时，三角形OPA的面积为．

7．解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，

10x+（100﹣x）×1＝235，

解得，x＝15，

∴100﹣x＝85，

答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，

w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，

∵0≤a≤20，

∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，

答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．8．解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．

∴A（0，4），B（﹣2，0），

∵直线AB与直线BC关于x轴对称，

∴C（0，﹣4），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，；

∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣4；

故答案为：y＝﹣2x﹣4；

（2）∵，

∴，

∴E（﹣4，4），

∴AE⊥AO，

设OP＝a，AP＝4﹣a，

在Rt△BOP和Rt△EAP中，

BP2＝4+a2，PE2＝16+（4﹣a）2，

∵PE＝PB，

∴4+a2＝16+（4﹣a）2，

解得a＝3.5．

∴P（0，3.5）．

（3）①如图，当点P在点A的下方，

∵∠OEB＝∠PEA，∠AEO＝45°，

∴∠PEB＝45°，

过点B作BN⊥BE交直线EP于点N，过点N作NQ⊥OB于Q，过点E作EH⊥OB于点H，

∴△EBN为等腰直角三角形，

∴EB＝BN，

∵∠BEH+∠EBH＝90°，∠EBH+∠NBQ＝90°，

∴∠BEH＝∠NBQ，

又∵∠EHB＝∠BQN＝90°，

∴△EHB≌△BQN（AAS），

∴NQ＝BH＝2，BQ＝EH＝4，

∴N（2，2），

设直线EN的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直线EN的解析式为y＝﹣x+，

∴，

解得，

即M（﹣，）；

②P点在A点的上方，

由①知图1中OP＝，则AP＝，

∴OP＝，

设直线EP的解析式为y＝mx+，

∵E（﹣4，4），

∴﹣4m+＝4，

解得m＝，

∴直线EP的解析式为y＝x+，

∴，

解得，

∴M（0.8，5.6）．

综合以上可得点M的坐标为（﹣，）或（0.8，5.6）．

9．解：（1）根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60＝40（米/分钟）．

∴甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，

∴乙的速度为100﹣40＝60（米/分钟）．

故答案为：24，40，60；

（2）乙从图书馆回学校的时间为2400÷60＝40（分钟），

40×40＝1600，

∴A点的坐标为（40，1600）．

故答案为：（40，1600）；

（3）设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b，

∵A（40，1600），B（60，2400），

∴，解得，

∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t；

（4）两种情况：①迎面：（2400﹣400）÷100＝20（分钟），

②走过：（2400+400）÷100＝28（分钟），

∴在整个过程中，第20分钟和28分钟时两人相距400米．

10．解：（1）设直线DE的解析式为：y＝kx+b，

∵顶点B的坐标为（4，2），E为AB的中点，

∴点E的坐标为：（4，1），

∵D（6，0），

则，解得，

∴直线DE的函数关系式为：y＝﹣x+3；

（2）∵点F的纵坐标为2，且点F在直线DE上，

∴﹣x+3＝2，

解得：x＝2，

∴点F的坐标为（2，2）；

∵函数y＝mx﹣1的图象经过点F，

∴2m﹣1＝2，

解得：m＝；

（3）如图：设直线FH交y轴于点K，

对于y＝x﹣1，

当y＝0时，x﹣1＝0，解得x＝，即H（，0），

令x＝0，则y＝﹣1，则点K（0，﹣1）；

同理可得，点G（0，3），则KG＝4，

四边形OHFG的面积＝S△GKF﹣S△OHK＝×4×2﹣×1×＝．