近世代数-4—6结合律、交换律及分配律

第 2 讲

一、算律

§4—6 结合律、交换律及分配律（2课时）

(Associative Law Commutative Law and distributive law ) 定义 任一个D B A 到?的映射都叫做D B A 到?的一个代数运算。 定义 若A A A 到是?ο的代数运算，则可称ο是A 的代数运算或称二元运算。

§4、结合律：

?代数运算就是二元运算，当元素个数2>时，譬如4321,,,a a a a 同时进行运算：4321a a a a οοο，这已经超出了我们定义的范围，这个符号

至少现在是没有意义的。

?对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果。两两运算的过程叫做加括号。加括号的方法显然不止一种：

4321])[(a a a a οοο；4321)]([a a a a οοο；)()(4321a a a a οοο … … … 加括号的方法不一样，其运算的结果是否一样？

例1：设,Z A =“ο”是整数中的减法：则特取Z ∈3,5,2，

63)52(-=--，而0)35(2=--

)35(23)52(--≠--∴

其运算的结果不一样。

例2：设,Z A =“ο”是整数中的加法：则

)()(,,,t s r t s r Z t s r ++=++∈?

定义1：设ο是集合A 的一个代数运算，如果A c b a ∈?,,都有

)()(c b a c b a οοοο=，

则称ο满足结合律。

例2、 “+”在Z 中适合结合律。

例1、 “-”在Z 中不满足结合律。

思考题：就结合律成立与交换律不成立分别各举一例。

上述实例告诫我们，并不是每一个代数运算都能满足结合律的。注意：

定义2：设A 中的代数运算为ο，任取)2(>n n 个元素

n a a a ,,,21Λ，如果所有加括号的方法最后算出的结果是

一样的，那么这个结果就用n a a a οΛοο21来表示。

注意：从定义2可知，“n a a a οΛοο21”)2(>n 也可能是有意义的。 定理1（p11. 定理）：如果A 的代数运算ο满足结合律，那么 对于A 的任意)2(≥n n 个元素n a a a ,,,21Λ来说，所有加括号的方

法运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用

n a a a οΛοο21来表示。

证明：因n 是有限数，所以加括号的方法必是有限的。

?任取一种加括号的方法)(21n a a a οΛοοπ，往证：

)()(2121n n a a a a a a οΛοοοΛοο=π

?对n 用数学归纳法。当n=2时，结论成立。假设对

。））（][]}

[{(]

[][)(2121212121212121n i i i n i i i n i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b a a a οΛοοοοΛοοοΛοοοοΛοοοΛοοοοΛοοοοΛοο++++++====π

§5、交换律

定义3：设ο是集合A 的一个代数运算，如果A b a ∈?,都有

a b b a οο=，

则称ο满足交换律。

定理2：设A 的代数运算ο同时满足结合律和交换律，那么

n a a a οΛοο21中的元的次序可以任意掉换。

证明：用数学归纳法。当n=2时定理成立，假设当元素的

个数为1-n 时，定理成立，元素的个数为n 时，设

12n

i i i a a a o oL o 是12,,,n a a a L 的按任意一个次序相乘的结果。这里的12,,n i i i L

是1，2，L n 的一个排列，而12,,,n

i i i a a a L 是12,,,n a a a L 的一个 排列。因此，有

k i n a a = 。所以，

12121112111211121112()[()]

()[()]

[()()]()n k k n k k n k k n k k n i i i i i i n i i i i i i i n i i i i i n i i i i i n

n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+-+=====o oL o o oL o o o oL o o oL o o oL o o o oL o o oL o o o oL o o oL o o o oL o

满足交换律的运算一般用“+”表示。

§6、分配律

定义4：设B A ,都是集合，而e 是A A B →?的代数运算，

而⊕是A 的代数运算，如果A a a B b ∈?∈?21,,，都有

1212()()()b a a b a b a ⊕=⊕e e e

那么称,⊕e 满足左分配律。

定理3：设B A ,和,⊕e 如上，如果⊕满足结合律，且,⊕e 满足左分配律，那么A a a a B b n ∈?∈?,,,,21Λ，都有

1212()()()()n n b a a a b a b a b a ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕e L e e L e

[论证思路]

?采用数学归纳法，归纳假设1-n 时命题成立。

定义5：设B A ,和,⊕e 同上，若A a a B b ∈?∈?21,,，若有

1212()()()a a b a b a b ⊕=⊕e e e ，

那么称,⊕e 满足右分配律

定理4：设B A ,和,⊕e 同上，若⊕适合结合律，

而,⊕e 适合右分配律。那么

1211,,,,,()()()n n n b B a a a A a a b a b a b ?∈?∈⊕⊕=⊕⊕L L e e L e 都有。

注意：定义4与定义5，、定理3与定理4是对称的两对概念，所以定理4的证明可依据定理3的思路解之。

作业：12P ②，16P 。

二、一一映射，同态及同构

§7、

1、一一映射（双射。Bijection ）

在高等代数中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只简要的复习。

定义1、设?是集合A 到A 的映射，且?既是单的又是满的，则称?是

一个一一映射（双射）。

定理1：设?是A 到A 的一个双射，那么由?可诱导出 （可确定出）A 到A 的一个双射1-?（通常称1-?是?的逆映射） 结论：设A A →:?是映射，那么：

（1）?是双射??可唯一的确定一个逆映射A A →-:1?，

使得：

? A A 1,111==--????；

? ?也是1-?的逆映射，且??=--11)(；

（2）?是双射A A 与?同时是有限集或同时是无限集。

2、变换（transformation ）

定义2：设A A →:?是映射，那么称?为A 的变换。

当?是双射（单射，满射）时，也称?为一一变换（单射变换，满射变换）

例2 19P

§8、同态（Homomorphism ）

比较代数系统的一种方法

定义3：设集合A A ,都各有代数运算οο,（称},{οA 及},{οA 为

代数系统）而A A →:?是映射，且满足下面等式：

)()()(,,b a b a A b a ???οο=∈?（习惯上称?可保持运算）

那么称?是A 到A 的同态映射。

例3、设}1,1{:-=→A Z ?，其中},{οZ 中的代数运算ο就是Z 中 的加法，而},{οA 中的代数运算ο为数中的乘法。

)3()2()32(,111)1()1()1()1()3()2(,

1)5()32()32(,1)3(,1)2(,,1)(???????????οοοοο≠-≠?=-?-=--=-==+=-=-=∈?-=即

而那么

现设Z n n

?不是同态映射。

例4、设},{οZ 与},{οA 同例3，今设Z n n A Z ∈?=→,1)(:ττ为， 那么

的同态映射到是即A Z n m n m n m n m Z n m τττττττ),()()(1

11)()(,1)(,,οοοο=∴=?==∈?

如果同态映射?是单射（满射），那么自然称?是同态单射（同态满射），而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。

定义4：若?是},{οA 到},{οA 的同态满射，那么习惯上称A A 与 同态，并记为A ～A ；习惯上称A 是A 的同态象.

定理1. 如果?是},{οA 到},{οA 的同态满射，那么

（1） 若ο满足结合律ο?也适合结合律；

（2） 若ο满足交换律ο?也适合交换律.

证明：（1）任取?因,,,A c b a ∈是满射b b a a A c b a ==∈??)(,)(,,,??使，又因为A 中ο的满足结合律c b a c b a οοοο)()(=?

即))(())((c b a c b a οοοο??=，但是?是同态映射。

)()]()([)()()())((c b a c b a c b a c b a οοοοοοοο===??????

c b a c b a c b a c b a οοοοοοοο)()()]()([)()()))((===?????? 所以c b a c b a οοοο)()(=

同理可以证明（2）

定理2、设},,{⊕?A 和},,{⊕?A 都是代数系统，而映射A A →:?

关于⊕?,以及⊕?,都是同态满射，那么：

（1） 若⊕?,满足左分配律?⊕?,也适合左分配律；

（2） 若⊕?,满足右分配律?⊕?,也适合右分配律。

证明：（1）?因,,,A c b a ∈?是满射c c b b a a A c b a ===∈??)(,)(,)(,,,???使. 又因为?是关于⊕?,及⊕?,的同态映射?

)()()]()([)]()([)()()]()[()]([))()(()()(c a b a c a b a c a b a c a b a c b a c b a c b a ?⊕?=?⊕?=?⊕?=

?⊕?=⊕?=⊕?=⊕???????????? 即)()()(c a b a c b a ?⊕?=⊕?.

同理可证明（2）。

思考题1：在定理1及定理2中，都要求映射?是满射，似 乎当?是同态满射时，才能将A 中的代数性质（结合律、交 换律及分配律）“传递”到A 中，那么：

（1） 当?不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理1，2 成立吗？）

（2） 即使?是满射，“传递”的方向能改变吗？（即A 中的性 质能“传递”到A 中去吗？）

§9、一、同构（isomorphism ）

定义4、设?是},{οA 到},{οA 的同态映射，若?是个双射，

那么称?是同构映射，或称A 与A 同构，记为A A ?。

例6、设οοΛΛ与而},,3,2,1{},,3,2,1{---====-+Z A Z A 都是整数 中通常的加法“+”，现作A n n n A A ∈?-=→,)(},{},{:??其中οο， 那么?是同构映射.

事实上，

（1）?是单射：

????=-≠-=?≠∈)()(,,m m n n m n A m n 且是单射.

（2）?是满射：

???∈=--=-∈-?∈?A t t t A t A t )()(,,且是满射.

（3）?是同态映射：

)()()()

()()()()()()(,,m n m n m n m n m n m n m n A m n ???????οοοο=∴=-+-=+-=+=∈?

由（1），（2），（3）知，?是同构映射，即A A ?。

定理3、设?是},,{+οA 到},,{+οA 的同构映射，那么

（1）“ο”适合结合律?“ο”也适合结合律；

（2）“ο”适合交换律?“ο”也适合交换律；

（3）“ο”和“+”满足左（右）分配律?“ο”和“+”满足 左（右）分配律。

注意：由上述表明，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的，因此，同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别，但从近世代数的宗旨来看，我们自然认为：它们的差别是表面上的，次要的，而它们的共同点——运算所体现的规律性则是本质的，主要的。于是，我们需要阐明近世代数的观点是：凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的。

在上述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。我们将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。因此，同构的代数体系由于完全相同的代数结构。研究代数体系的首要目的

就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。

思考题1：设},3,2,1{},,3,2,1,0{ΛΛ==*N N ，试证：

},{},{++*N N 与不可能同构.

思考题2：

试证：（1）},{},{?+Z Z 与不同构.

（2）},{},{?+*Q Q 与不同构（其中*Q 为非零有理数集）.

（3）设F 为数域，44321}),,,{(F F a a a a a A i =∈=

)(24321F M F x x x x x A i =?

?????∈???? ??= 试证：},{},{++A A 与是同构的。（其中“+”为数组间的加法，“+”为矩阵的加法）

思路：

（1）（反证法）若N N ?*，且?是*N 到N 的同构映射。则

,1)0()0()00()0(),1()0(,1)1(2=∴==?==∴≠∴==a a a a a ??????令

（2）（反证法）若Z Z ?，且?是Z 到Z 的同构映射。则

推出矛盾令),(2)()()()0(12)(,1)0(n n n n n n -=-=-==∴==???????.

（3）（反证法）若*?Q Q ，且?是Q 到*Q 的同构映射。则

推出矛盾令,0,02)()()()1)(1(11)(,1)0(=∴=?+==--=∴-==q q q q q q q ?????

二、自同构

定义5、设},{οA 是一个代数体系，若?是A 到A 的一个同构

映射，那么称 为A的一个自同构。

例7（

P）

26

思考题3

两个代数体系如果同构了，那么它们之间的同构映射是唯一的吗？作业：

P①②23P②26P②

19