应用随机过程-期末复习资料

第一章 随机过程的基本概念

一、随机过程的定义

例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。

例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。

例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。

定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。

E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。

例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10]

例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为),

0[∞+

注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。

（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。

（3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。

二、有限维分布与Kolmogorov 定理

随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随

机

过

程

的

二

维

分

布

：

T

t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21

随机过程的n 维分布：

T t t t x t X x t X x t X P x x x F n n n n t t t n ∈≤≤≤= ,,},)(,)(,)({),,(21221121,,21

1、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n 维分布等的全体

}1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n 称为{X(t), t ∈T}的有限维分布族。

2、有限维分布族的性质：

（1）对称性：对（1,2，…n ）的任一排列),,(21n j j j ，有

),,(),,(21,,,,21212

1

n t t t j j j t t t x x x F x x x F n n n

j j j

=

（2）相容性：对于m

),(),,(1,1,,111m t t m t t t t x x F x x F m n m m =∞∞+

3、Kolmogorov 定理

定理：设分布函数族}1,,,),

,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n 满足上述的对称

性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),

t ∈T}，使

}1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n 恰好是{X(t), t ∈T}的有限维分布族。

定义：设{X(t), t ∈T}是一随机过程：

（1） 称X(t)的期望)]([)(t X E t X =μ（如果存在）为过程的均值函数。

（2） 如果T t ∈?，)]([2

t X E 存在，则称随机过程{X(t), t ∈T}为二阶矩过程。此时，称

函数))]()())(()([(),(221121t t X t t X E t t X X μμγ--=，T t t ∈21,为过程的协方差函数；称),()]([t t t X Var γ=为过程的方差函数；称

T t s t X s X E t s R X ∈=,)],()([),(为自相关函数。

例：)()(0b t a tV X t X ≤≤+=，其中0X 和V 是相互独立的且均服从N(0,1)分布的随机变量，求)(t X μ和),(21t t γ。

三、随机过程的基本类型

独立增量过程：如果对任意,,,,21T t t t n ∈???,21n t t t

)()(1--n n t X t X 是相互独立的，则称{X(t), t ∈T}是独立增量过程。

平稳增量过程：如果对任意21,t t ，有X(t 1+h)-X(t 1)d X(t 2+h)-X(t 2)，则称{X(t), t ∈T}是平稳增量过程。

平稳独立增量过程：兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，例如Poisson 过程和Brownian motion

Poisson 过程 2.1 Poisson 过程

1. 计数过程

定义：随机过程}0),({≥t t N 称为计数过程，如果)(t N 表示从0到t 时刻某一特定事件A 发生的次数，它具备以下两个特点： （1）0)(≥t N 且取值为整数；

（2）t s <时，)()(t N s N ≤且)()(s N t N -表示],(t s 时间内事件A 发生的次数。 2. Poisson 过程

定义2.1.1：计数过程}0),({≥t t N 称为参数为λ（0>λ）的Poisson 过程，如果 （1）;0)0(=N

（2）过程具有独立增量性；

（3）在任一长度为t 的时间区间中事件发生的次数服从均值为t λ的Poisson 分布，即对一切0,

0>≥t s ，有 () ,1,0,!

))()((===-+-n n t e

n s N s t N P n t

λλ

注：Poisson 过程具有平稳增量性

因为)()(s N s t N -+的分布只依赖于t, 与区间起点s 无关，,0=s 令

() ,1,0,

!

)n )((===-n n t e

t N P n t

λλ

t t EN t m λ==∴)()(

于是可认为λ是单位时间内发生的事件的平均次数，一般称λ是Poisson 过程的强度。 例2.1.1：（Poisson 过程在排队论中的应用）研究随机服务系统中的排队现象时，经常用到Poisson 过程模型。例如：到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施（商场、车站、购票处等）的顾客数，都可以用Poisson 过程来描述。以某火车站售票处为例，设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少？10:00-11:00没有人来买票的概率是多少？

解：我们用一个Poisson 过程来描述，设8:00为时刻0，则9:00为时刻1，参数10=λ，于是!10}5)1()2({5

10

n e

N N P n n ∑=-=

≤-, 100

10!

010}0)2()3({--===-e e N N P 例2.1.2：（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以)(t N 表示某公路交叉口、矿山、工厂等场所在],0(t 时间内发生不幸事故的数目，则Poisson 过程就是}0),({≥t t N 的一种很好近似。例如，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故导致一次索赔），向315台的

投诉（设商品出现质量问题为事故）等都是可以用Poisson 过程的模型。我们考虑一种最简单的情形，设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求4次，则一年中它要付出的金额平均为多少？

解：设一年开始时刻为0，1月末为时刻1，…年末为时刻12，则有

12

4!)124(})0()12({?-?==-e n n N N P n

∑∞

=?-??=-0

12

4!)124()]0()12([n n e n n N N E =48

问题：为什么实际中有这么多现象可以用Poisson 过程来反映呢？

{}{}{}).

(2)(0h )iv ( );(1)(0h ,0)iii ( )ii ( ;

0)()i ( 0),(2.1.2h o h N P h o h h N P t N Poisson t t N =≥↓+==↓>=≥时，当时，当存在过程有平稳独立增量

过程，如果满足：称为：计数过程

定义λλ 定理2.1.1：定义1和定义2是等价的。

例2.1.3：事件A 的发生形成强度为λ的Poisson 过程}0),({≥t t N ，如果每次事件发生时以概率p 能够被记录下来，并以M(t)表示到时刻t 被记录下来的事件总数，则}0),(M {≥t t 是一个强度为p λ的Poisson 过程。

例2.1.4：若每条蚕的产卵数服从Poisson 分布，强度为λ，而每个卵变为成虫的概率为p ，且每个卵是否变为成虫彼此间没有关系，求在时间[0, t]内每条蚕养活k 只小蚕的概率。

2.2 与Poisson 过程相联系的若干分布

设n T 表示第n 次事件发生的时刻，n=1,2，…，规定00=T 。n X 表示第n 次与第n-1次事件发生的间隔时间，n=1,2，…。 1. 关于n X 和n T 的分布

定理2.2.1：n X （n=1,2,…）服从参数为λ的指数分布，且相互独立。 定理2.2.2：n T （n=1,2,…）服从参数为n 和λ的Γ分布。

注：如果每次事件发生的时间间隔,....,21X X 相互独立，且服从同一参数为λ的指数分布，则计数过程}0),({≥t t N 是参数为λ的Poisson 过程。

例2.2.1：设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min 的指数分布，则到中午12:00为止平均有多少人已经离去，已有9个人接受服务的概率是多少？

例2.2.2：假设某天文台观测到的流星流是一个Poisson 过程，根据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。试求：上午8:00-12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率。

2. 事件发生时刻的条件分布 对于t s ≤，有t

s t N s T P ==≤}1)(|{1 现在考虑2≥n 的情况：

定理2.2.1：在已知n t N =)(的条件下，事件发生的n 个时刻,,21T T n T 的联合分布密度是n n t

n t t t f !

),,(21=

， n t t t <<<210 例2.2.3：乘客按照强度为λ的Poisson 过程来到某火车站，火车在时刻t 启程，计算在]

,0(t 内到达的乘客等待时间的总和的期望值。即要求])([)

(1

∑=-t N i i

T t E ，其中i

T 是第i 个乘客来到

的时刻。

2.3 Poisson 过程的推广

1. 非齐次Poisson 过程

定义2.3.1：计数过程}0),({≥t t N 称作强度函数为)0(0)(≥>t t λ的非齐次Poisson 过程，如果